Analogias Eletromecânicas

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Aula 5 
Analogias Eletromecânicas
Ao longo dessa aula veremos que todo sistema mecânico admite um circuito elétrico 
equivalente cujas tensões e correntes satisfazem um conjunto de equações (modelo matemático) que 
é idêntico ao conjunto das equações de movimento do sistema mecânico. Dependendo do tipo de 
analogia que faremos com a força, se com tensões ou correntes, teremos dois tipos de circuitos 
diferentes, que serão duais.
I) Analogia Força-Corrente
Nessa analogia, as forças presentes no sistema mecânico irão corresponder a correntes 
fluindo pelos ramos do circuito elétrico equivalente.
Quantidades Análogas
Sistema Mecânico Circuito Elétrico
Força ( f ) ___________ Corrente elétrica ( i )
Massa ( m ) ___________ Capacitância ( C )
Coeficiente de 
amortecimento viscoso ( b )
___________ Inverso da resistência ( 1/R )
Rigidez ( k ) ___________ Inverso da Indutância ( 1/L )
Deslocamento ( x ) ___________ Fluxo magnético
Velocidade ( dx/dt ) ___________ Voltagem ( v )
Aceleração ( d2x/dt2 ) ___________ ( dv/dt )
Regras de Conversão
1) Cada massa corresponderá a um capacitor aterrado. A tensão inicial no capacitor é igual à 
velocidade inicial da massa correspondente.
2) Molas são substituídas por indutores e amortecedores são substituídos por resistores. A conexão 
dos elementos é reproduzida no circuito elétrico.
3) Forças externas são substituídas por fontes de corrente.
Passemos diretamente aos exemplos.
Exemplo 1
No sistema mecânico ilustrado ao lado, u(t) representa uma força externa 
(entrada) aplicada à massa m, enquanto que y(t) é o deslocamento do bloco em 
relação à posição de equilíbrio. Queremos montar o circuito elétrico equivalente 
através da analogia força-corrente, e em seguida determinar a equação diferencial 
relacionando entrada e saída, comparando-a com a equação do sistema mecânico.
Solução
1) Modelagem do sistema mecânico
Com a hipótese de que a massa está se movendo para baixo (direção positiva de 
deslocamento), temos pela 2a Lei de Newton:
Ou seja,
,
1
de onde obtemos a primeira equação de movimento:
(Eq. 1).
2) Modelagem via circuito elétrico equivalente
Seguindo as regras de conversão, temos que:
1) a massa m é convertida em um capacitor aterrado,
2) a mola e o amortecedor são convertidos em um indutor e um resistor, respectivamente. Ambos 
possuem uma das extremidades ligada ao capacitor (massa m). Como a outra extremidade de ambos 
está presa à parede, o indutor e o resistor terão a outra extremidade ligada ao terra.
3) a força u(t) é convertida em uma fonte de corrente.
Com isso, chegamos ao circuito elétrico equivalente mostrado abaixo:
Vamos, agora, determinar a equação diferencial para a tensão sobre o capacitor. Pela LKC no nó 
superior:
As correntes nos elementos são dadas por:
Resistor:
Capacitor:
Indutor:
Substituindo na equação da LKC, temos
.
Reorganizando,
.
Mas note que a tensão sobre o capacitor corresponde à velocidade da massa m (dy/dt):
,
ou seja,
 .
Note que a equação acima corresponde exatamente à Eq. 1 que obtivemos pela modelagem do 
sistema mecânico, comprovando assim a validade da analogia eletromecânica.
Considere, agora, o exemplo abaixo.
Exemplo 2
No sistema mecânico ao lado, f(t) representa uma força externa 
(entrada) aplicada à massa m1, xP é o deslocamento vertical da massa e xQ o 
deslocamento vertical do ponto Q. Queremos montar o circuito elétrico 
equivalente força-corrente para esse sistema, e a partir do circuito 
determinar as equações de movimento (modelo matemático) para o sistema.
Solução
1) Modelagem do sistema mecânico
2
Já modelamos esse sistema mecânico anteriormente. Na ocasião, o modelo matemático foi 
determinado como sendo constituído de duas equações diferenciais:
 (Eq. 1)
 (Eq. 2)
2) Modelagem via circuito elétrico equivalente
Seguindo as regras de conversão, temos:
i) a massa m1 é convertida em um capacitor aterrado,
ii) a mola 1 e o amortecedor possuem um extremidade ligada à massa e a outra à parede. Logo, no 
circuito elétrico, corresponderão respectivamente a um indutor e a um resistor em paralelo com a 
massa. A mola 2 vira um indutor que terá uma extremidade ligada ao capacitor (massa 1) e a outra 
ligada ao resistor 2, que corresponderá ao amortecedor 2.
iii) a força f(t) é convertida em uma fonte de corrente em paralelo com o capacitor.
O circuito elétrico resultante, equivalente ao sistema mecânico do ponto de vista da analogia 
força-corrente, é mostrado abaixo:
Equacionando:
LKC - nó 1
As correntes nos elementos podem ser expressas como:
Resistor 1:
Capacitor:
Indutor 1:
Indutor 2:
Substituindo as expressões acima na equação da LKC, temos
.
Reorganizando,
.
Novamente, note que a tensão sobre o capacitor corresponde à velocidade da massa m1 (dxP/dt), e 
que a tensão no ponto 2 (ponto Q) é igual à velocidade do ponto Q (dxQ/dt). Assim, na equação 
acima:
,
ou seja,
 .
A equação diferencial acima é exatamente a Eq. 1 que achamos na modelagem do sistema 
mecânico.
LKC - ponto 2
,
onde as correntes são dadas por:
3
Indutor 2:
Resistor 2:
Substituindo as expressões das correntes na equação de continuidade de corrente:
.
E, desenvolvendo,
.
Já vimos que a tensão no ponto 2 (ponto Q) é igual à velocidade do ponto Q (dxQ/dt), e que a tensão 
sobre o capacitor corresponde à velocidade da massa m1 (dxP/dt). Na equação acima, temos então
,
ou seja,
 .
Novamente, a equação diferencial acima correspondente perfeitamente à Eq. 2 encontrada na 
modelagem do sistema mecânico.
II) Analogia Força-Tensão
Quantidades Análogas
Sistema Mecânico Circuito Elétrico
Força ( f ) ___________ Tensão ( v )
Massa ( m ) ___________ Indutância ( L )
Coeficiente de 
amortecimento viscoso ( b )
___________ Resistência ( R )
Rigidez ( k ) ___________ Inverso da Capacitância ( 1/C )
Deslocamento ( x ) ___________ Carga elétrica
Velocidade ( dx/dt ) ___________ Corrente elétrica ( i )
Aceleração ( d2x/dt2 ) ___________ ( di/dt )
Regras de Conversão
1) Associamos uma letra (P, Q, S,...) a cada um dos seguintes pontos: 
• massas, 
• pontos de aplicação de forças 
• pontos de ligação entre amortecedores e molas
2) Cada ponto que recebeu uma letra corresponderá a uma malha no circuito elétrico.
3) Os diversos elementos do sistema mecânico são convertidos conforme a tabela acima.
Exemplo 3
Voltemos ao sistema mecânico do Exemplo 1, ilustrado ao lado. Lembremos que 
u(t) representa uma força externa (entrada) aplicada à massa m, enquanto que y(t) 
é o deslocamento do bloco em relação à posição de equilíbrio. Queremos 
novamente determinar a equação diferencial relacionando entrada e saída mas 
dessa vez utilizando o circuito obtido através da analogia força-tensão.
Solução
1) Modelagem do sistema mecânico
Já foi realizada no Exemplo 1, onde obtivemos a equação de movimento:
(Eq. 1).
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2) Modelagem via circuito elétrico equivalente
Seguindo a 1a regra de conversão, associamos uma letra à massa m, conforme a 
figura ao lado. Como só designamos uma letra, significa que o circuito elétrico 
equivalente só possuirá uma malha.
No passo seguinte, todos elementos que estão ligados ao ponto P são convertidos e 
colocados em uma única malha. São eles a massa (indutância), a mola (capacitância), o amortecedor 
(resistência) e a força externa (fonte de tensão). O circuito obtido é mostrado abaixo:
Note que não faz diferença a ordem em que são colocados na malha, pois em um circuito em série é 
possível intercambiar os elementos.
Aplicando a LKT temos:
As tensões sobre os elementos podem ser expressas em função da corrente i(t):
Resistor:
Capacitor:
Indutor:
Substituindo as expressões acimana equação da LKT, temos
.
Reorganizando, colocando à esquerda os termos em i(t),
.
Sabemos, entretanto, que a corrente passando pelo indutor corresponde à velocidade da massa m 
(dy/dt). Substituindo, então, na equação acima, temos:
,
ou seja,
 .
Mais uma vez, obtivemos uma equação (modelo matemático) via circuito elétrico que corresponde 
exatamente à Eq. 1 obtida pela modelagem direta do sistema mecânico. 
Exemplo 4
Voltemos agora ao sistema mecânico do Exemplo 2. Relembremos 
inicialmente que f(t) representa a força externa (entrada) aplicada à massa 
m1, que xP é o deslocamento vertical da massa e xQ o deslocamento vertical 
do ponto Q. Queremos montar o equivalente elétrico via analogia força-
tensão, a fim de determinar as equações de movimento (modelo 
matemático) para o sistema a partir do circuito.
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Solução
1) Modelagem do sistema mecânico
O modelo matemático foi determinado anteriormente como sendo o conjunto das duas 
equações diferenciais abaixo:
 (Eq. 1)
 (Eq. 2)
2) Modelagem via circuito elétrico equivalente
De acordo com as regras de conversão, devemos associar uma letra a cada um dos seguintes pontos:
i) a massa m1 (ponto P)
ii) conexão entre a mola 2 e o amortecedor 2 (Ponto Q).
Note que agora temos dois pontos, de modo que o circuito final possuirá duas malhas. Para 
montarmos a circuito elétrico equivalente, devemos começar pelos elementos que ficarão na 
interface entre duas malhas. Ou seja, o ramo do circuito que será compartilhado entre as malhas. No 
presente sistema, entre os pontos P e Q temos apenas a mola 2 (capacitor). A seguir, todos os outros 
elementos são convertidos e colocados cada um em sua malha respectiva. Ou seja, os elementos 
ligados à massa m1 pertencerão à malha 1, enquanto que os elementos ligados ao ponto Q 
pertencerão à malha 2. O circuito elétrico resultante é mostrado abaixo. Como no exemplo anterior, 
a ordem dos elementos na malha não importa. Apenas o elemento da interface deve ser preservado.
Inicialmente, perceba que a corrente sobre C2 é i1-i2. Equacionando o circuito:
LKT - malha 1
Expressando as tensões sobre os elementos temos:
Resistor 1:
Indutor:
Capacitor 1:
Capacitor 2:
Substituindo as expressões acima na equação da LKC, temos
.
Colocando à esquerda todos os termos em i1, temos
.
Mas a corrente i1 passando pelo indutor corresponde exatamente à velocidade da massa m1 
(i1=dxP/dt), enquanto que a corrente por R2 representa a velocidade da extremidade superior do 
amortecedor 2 (i2=dxQ/dt), ligada ao ponto Q . Assim, na equação acima:
,
ou
 .
Novamente reencontramos a primeira equação diferencial (Eq. 1) determinada na modelagem do 
sistema mecânico.
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LKT - ponto 2
Como o capacitor 2 e o resistor 2 estão em paralelo, temos
,
onde as tensões acima são dadas por:
Capacitor 2: (determinado anteriormente)
Resistor 2:
Substituindo então essas expressões na equação da igualdade de tensões:
.
Desenvolvendo,
.
Mas já sabemos que a corrente passando por R2 corresponde à velocidade do ponto Q (dxQ/dt), e que 
a corrente i1 corresponde à velocidade da massa m1 (dxP/dt). Substituindo essas duas relações na 
equação acima temos
,
ou 
 .
A equação diferencial acima correspondente mais uma vez perfeitamente à Eq. 2 encontrada na 
modelagem do sistema mecânico.
Seja a seguir nosso último exemplo
Exemplo 5
Considere o sistema mecânico representado ao lado. Queremos determinar as 
equações de movimento para esse sistema através de análogos eletromecânicos.
Solução
Para uma comparação posterior, vamos inicialmente modelar o sistema mecânico diretamente.
1) Modelagem mecânica
Seja x o deslocamento para cima do ponto P em relação à posição de equilíbrio, e seja y o 
deslocamento do ponto Q. Adotamos o sentido positivo para cima, fazemos as seguintes hipóteses:
1) o ponto Q está deslocado para cima.
2) o ponto P está se deslocando para cima mais rápido que o ponto Q.
Ponto P
Pelo equilíbrio de forças, temos
Note que o amortecedor se opõe à força f. Substituindo a expressão da força do amortecedor no 
ponto P temos
.
E, reorganizando,
(Eq.1)
Ponto Q
Aplicando a 2a Lei de Newton à massa m:
Substituindo a expressão das forças do amortecedor e da mola,
.
Colocando os termos em x à esquerda, temos a segunda equação diferencial:
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(Eq.2)
Resumindo, nosso modelo é composta das equações
(Eq.1)
(Eq.2)
2) Analogia força-corrente
Utilizando as regras de conversão, chegamos ao circuito elétrico mostrado abaixo:
i) Lei de Ohm sobre R:
Mas a tensão V1 corresponde à velocidade de deslocamento do ponto P (dy/dt), enquanto que V2 
corresponde à velocidade de deslocamento do ponto Q (dx/dt). Assim, na equação acima,
,
ou
Reencontramos, então, a Eq.1.
ii) LKC no nó 2:
.
Expressando as correntes em função de V1 e V2:
.
Colocando os termos em V2 à esquerda,
,
e relembrando que a tensão V1 corresponde à velocidade de deslocamento do ponto P (dy/dt), e que 
V2 corresponde à velocidade de deslocamento do ponto Q (dx/dt),
.
Assim,
,
que é exatamente a Eq. 2.
3) Analogia força-tensão
Aplicando as regras de conversão, chegamos ao circuito elétricos equivalente mostrado abaixo.
i) LKT malha 1
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Ou seja,
.
Como a corrente circulando pela malha 1 (i1) corresponde à velocidade do ponto P (dy/dt) e a 
corrente na malha 2 (i1) corresponde à velocidade do ponto Q (dx/dt), temos
.
Assim, reencontramos novamente a Eq. 1:
.
ii) LKT malha 2
,
.
Ou seja,
.
Visto que a corrente circulando pela malha 1 (i1) corresponde à velocidade do ponto P (dy/dt) e a 
corrente na malha (i2) corresponde à velocidade do ponto Q (dx/dt), temos
,
que pode ser reorganizada como
.
Note que a equação acima corresponde à Eq. 2 determinada anteriormente.
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