Aulas 1 a 4 Vetores e Operações com Vetores

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GEOMETRIA ANALÍTICA
Aulas 1 a 4
História da Geometria 
Egito – Faraó – Nilo – Medição da Terra
René Descartes - associação a cada ponto a um endereço.
Conceito da palavra: geo: terra – metria – medição = medição da terra
Analítica: problemas geométricos transformados em problemas algébricos (associação entre geométrico ao número).
Aula II
PONTOS EM R2 E VETORES
Ponto 
 . 		Menor ente geométrico
Reta 
	 	Conjunto de vários pontos
Plano
 Conjunto de retas
Sólido Geométrico
			
			 Conjunto de planos
Aula II
Tudo que nosso olho enxerga está em três dimensões.
Exemplo da formiga
Matemáticos defendem a 4ª dimensão;
Aula II
Plano Cartesiano
x, y
Ponto “o”
Valores positivos 
e negativos para x e y.
Os quadrantes	
Bissetriz 
Aula II
Grandezas Escalares e Vetoriais
Conceito de grandezas escalares e vetoriais: medição.
Exemplos escalares: número (módulo) + unidade de medida (ex: temperatura, massa e comprimento) – grandezas bem definidas.
Exemplos vetoriais: módulo, direção e sentido (exemplo: deslocamento, velocidade, aceleração, força).
	Ex.: Força de 5N. Representado por um vetor.
Aula II
Módulo: número + unidade ex 5N. Para representar o módulo de um vetor usamos: | AB | que refere-se ao comprimento ou tamanho do vetor AB
Direção e sentido
Direção: da reta ou horizontal – vertical - diagonal
Sentido positivo: sentido da seta ou usar a palavra “PARA”
Sentido negativo: sentido contrário da seta
 		Sentido positivo 		Sentido positivo
		
					Sentido positivo
Aula II
Segmento orientado: AB
Segmento Nulo: 
	 	 C 200 D
			
		 200 200
	 	 A 200 B						 
 
Deslocamento = 0
Distância percorrida= 800
Aula III 
VETORES – CONCEITO
Dado um segmento orientado o seu vetor correspondente é representado por AB, podemos representar o vetor com uma letra minúscula, v.
AB = B - A
 A		B	
Onde A é um ponto que representa a origem e B é o ponto que representa a extremidade. 
Aula III 
Representação simbólica
Por convenção, para saber se estamos falando de vetores e não de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra. 
Aula III - Tipos de Vetores
Vetores Iguais: mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
Vetores Paralelos : mesma direção: AB // CD
Vetores Colineares : são os pertencentes a mesma reta.
 
Aula III - Tipos de Vetores
 Vetores perpendiculares : AB ┴ CD são perpendiculares se algum representante de AB formar ângulo reto com CD necessitando estar no mesmo plano. 
Vetores Ortogonais: AB ┴ CD são ortogonais se algum representante de AB formar ângulo reto com CD não necessitando estar no mesmo plano. 
Aula III - Tipos de Vetores
Vetor Nulo: indicação 0 ou AA - possui a mesma origem e extremidade – não possui direção nem sentido definido – módulo = 0.
Vetor Unitário: | u | = 1
				 u
				
Vetores Opostos: mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário. AB = - BA . Ou seja, quando o vetor é negativo, mudamos a “ordem das letras”
 A		B
A 		B
Aula III - Tipos de Vetores
Vetores coplanares: são coplanares se existir algum plano que contém estes vetores.
RESPOSTAS
1)
a) ( V )	EO = OG – mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
b) ( F ) 	AF = CH - mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário.
c) ( V ) 	DO = HG - mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
d) ( V )	| C – O | = | O – B |
|C – O| = |OC| e |O – B| = |BO| então | OC | = | BO |
e) ( F )	| H – O | = | H – D |, 
| H – O | = |OH| e | H – D | = |DH|, logo |OH| ≠ |DH|
f) ( F )	H – E = O – C
	H – E = EH e O – C = CO, logo EH ≠ CO – Sentido oposto.
g) ( V )	|AC| = |BD|
h) ( V )	|AO| = ½ |DB|
i) ( V )	AF // CD, pois possuem a mesma direção
j) ( F )	GF // HG, pois não possuem a mesma direção
k) ( V )	AO // OC, pois possuem a mesma direção
l) ( V )	AB ┴ OH, pois formam um ângulo reto
m) ( V )	EO ┴ CBH, pois formam um ângulo reto
n) ( F )	AO ┴ HF, pois não formam um ângulo reto
o) ( V )	OB = - FE, sendo que OB = EF, mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
2)
a)( V )	mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
b)( F )	mesmo módulo,porém a direção e o sentido podem ser diferentes.
c)( F )	mesma direção, porém o módulo e o sentido podem ser diferentes.
d)( V )	mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.
e) ( F )	somar vetores é diferente de somar módulos (grandeza escalar)
Ex. u = 3 v = 4 w = u + v = 5 (em um triânulo retângulo)
|u| = |3| |v| = |4| |3| + |4| = |7| e |7| ≠ 5.
f) ( V )	mesma direção
g) ( F )	AB e DC nunca se encontram portanto, não podem formar um paralelograma
h) ( V )	
i) ( F )	são paralelos, porém de sentido contrário.
j) ( V )	| |u| = 2 |v| = 4
k) ( V )	v = v / 3, portanto o versor de 
–v = - v / 3 ; - 2 v = - v / 3; ... – 10 v = - v / 3
Aula IV
Operações com Vetores
Adição de vetores 
1º Caso
O vetor soma de 2 vetores é dado por um vetor que possui a origem no 1º e a extremidade do 2º.
			u + v = AC 
Aula IV
Operações com Vetores
Adição de vetores 
2º Caso
O vetor soma de dois vetores colineares e de mesmo sentido é representado por um vetor de mesma direção, sentido e seu módulo é dado pela soma dos módulos dos vetores.
Aula IV
Operações com Vetores
Adição de vetores 
3º Caso
O vetor soma de dois vetores de mesma direção e sentido contrário, é dada pela subtração dos seus módulos. O novo vetor soma terá direção e sentido do maior vetor.
Ex: 
u + ( - v ) 
Ex: u = 8 v = 3
u + v = 8 + ( - 3 ) = 5
Aula IV 
Operações com Vetores
4º Caso
A soma de dois vetores não paralelos que possuem a mesma origem é dada por um vetor que possui a mesma origem dos vetores e extremidade no encontro das retas paralelas formadas. É conhecida como regra do paralelogramo.
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este estudava a decomposição de forças no caso particular do retângulo.
				
			 
			
Aula IV
Operações com Vetores
5º Caso
A soma de três ou mais vetores é representado por um vetor que possui origem no primeiro e extremidade no último.
Aula IV
Operações com Vetores
6º Caso
A soma dos vetores em que ocorrem coincidências entre a origem do primeiro com a extremidade do último é igual a 0.
Aula IV
Propriedades das Retas
Comutativa: u + v = v + u
Associativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w )
Elemento Neutro: u + 0 = u
Elemento Oposto: u + ( - u ) = 0
Aula IV
Diferença entre Vetores 
 
Vetor u + ( - v ) escreve-se u - v é chamado diferença entre vetores. 
Soluções
3) Determinar os vetores, expressando-os com origem no ponto A.
OC = AO e CH = FA , então AO + FA = FO = AE
AH = AO e FG = AO, então AO + AO = AC
2AE = AD e 2AF = AB, então AD + AB = AC
EH = AO e EF = EF, portanto AO + EF = FB
EO = AF e BG = AE, então AF + AE = AO
2EO = CD e 2OC = AC, então AC + CD = AD
½BC = AE = OH e EH = AO, então OH + AO = AH
FE + FG = FH = AD
OG = AF e – HO = OH então OG + OH = OC = AO
AF + FO + OC = AO
AD + AB = AB + DC = AC
BA + DA = CD + DA = CA
AC – BC = AC + CB = AB
NA + BC = NA + NM = AM
MD + MB = BN + MB = MN
BM - ½ DC = BM + ½ CD = BM + MD = BD
4) Determinar:
Exercício 14
1ª) Um quadrilátero que tem dois lados opostos paralelos e congruentes é uma paralelogramo.
Considerando o Δ ADC podemos escrever:
MN = ½ AC ( semelhança de triângulos ). 
Do mesmo modo Δ ABC, PQ = ½ AC.
Das expressões MN = PQ
 
2ª) Paralelogramo MPQN, as diagonais MQ e PN e E o ponto médio de PN e de MQ.
QE = QN + NE = PM + EP = EM
Logo E é o ponto médio de QM.
Exercício 16
Expressar os vetores AM
e NA em função de AB e AC.
AM = AB + BM	AC = AB + BC	BC = AC - AB
AB + ½ BC
AB + ½ ( AC – AB )
AB + ½ AC – ½ AB
½ ( AB + AC )
 
AN = AB + BN	BC = AC - AB
AB + ⅓ BC
AB + ⅓ ( AC – AB )
AB + ⅓ AC - ⅓ AB
AN = ⅔ AB + ⅓ AC