Análise 1 - UnB-MAT - Listas de exercícios

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1- Turma A
Lista 1
1. Prove o princ´ıpio da induc¸a˜o como consequeˆncia do princ´ıpio da boa ordenac¸a˜o.
2. Seja s : N→ N uma func¸a˜o tal que para cada n ∈ N, o nu´mero s(n) e´ chamado sucessor de n.
Esta func¸a˜o s satisfaz os seguintes axiomas:
(P1) s : N→ N e´ injetiva.
(P2) N− s(N) consta de um so´ elemento.
Com base nisso, prove que, na presenc¸a dos axiomas (P1) e (P2), a propriedade (A) abaixo
e´ equivalente ao princ´ıpio da induc¸a˜o. (A) Para todo subconjunto na˜o-vazio A ⊂ N, tem-se
A− s(A) 6= ∅.
3. Usando induc¸a˜o, prove:
a) 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)/2
b) 1 + 3 + 5 + . . . + 2n− 1 = n2
c) (a− 1)(1 + a + . . . + an) = an+1 − 1, seja quais forem a, n ∈ N.
d) n ≥ 4 ⇒ n! > 2n.
4. Dados m,n ∈ N com n > m, prove que ou n e´ mu´ltiplo de m ou existem q, r ∈ N tais que
n = mq + r e r < m. Prove que q e r sa˜o u´nicos com esta propriedade.
5. Seja X ⊂ N um subconjunto na˜o-vazio tal que m,n ∈ X ⇔ m,m + n ∈ X. Prove que existe
k ∈ N tal que X e´ o conjunto dos mu´ltiplos de k.
6. Dado n ∈ N, prove que na˜o existe x ∈ N tal que n < x < n + 1.
7. Seja a um nu´mero natural. Prove que se um conjunto X e´ tal que a ∈ X e, ale´m disso,
n ∈ X ⇒ n + 1 ∈ X, enta˜o X conte´m todos os nu´meros naturais ≥ a.
8. Um elemento a ∈ N chama-se antecessor de b ∈ N quando se tem a < b, mas na˜o existe c ∈ N
tal que a < c < b. Prove que, exceto 1, todo nu´mero natural possui um antecessor.
9. Usando o Princ´ıpio da Boa Ordenac¸a˜o, prove o Segundo Princ´ıpio da Induc¸a˜o que diz: “Seja
X ⊂ N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n ∈ N, se X conte´m todos os nu´meros
naturais m tais que m < n, enta˜o n ∈ X. Nestas condic¸o˜es, X = N.”
10. Usando o Segundo Princ´ıpio da Induc¸a˜o, prove que todo nu´mero natural se decompo˜e, de modo
u´nico, como produto de fatores primos.
11. Seja X um conjunto com n elementos. Use induc¸a˜o para provar que o conjunto das bijec¸o˜es
f : X → X tem n! elementos.
12. Sejam X, Y conjuntos finitos disjuntos, com m e n elementos, respectivamente. Prove que
X ∪ Y e´ finito e possui m + n elementos.
13. Sejam X1, . . . , Xk conjuntos finitos, dois a dois disjuntos, com m1, . . . ,mk elementos, respecti-
vamente. Prove que X1 ∪ . . . ∪Xk e´ finito e possui m1 + m2 + . . . + mk elementos.
14. Sejam Y1, . . . , Yk conjuntos finitos (na˜o necessariamente disjuntos) com m1, . . . ,mk elementos,
respectivamente. Prove que Y1 ∪ . . .∪ Yk e´ finito e possui no ma´ximo m1 + . . .+mk elementos.
15. Sejam X1, . . . , Xk conjuntos finitos com m1, . . . ,mk elementos, respectivamente. Prove que o
produto cartesiano X1 × . . .×Xk e´ finito e possui m1 ·m2 · . . . ·mk elementos.
16. Se X e Y sa˜o finitos e possuem, respectivamente, m e n elementos, enta˜o prove que o conjunto
F(X;Y ) de todas as func¸o˜es f : X → Y e´ finito e possui nm elementos.
17. Prove que todo conjunto finito na˜o-vazio X de nu´meros naturais conte´m um elemento ma´ximo
(ou seja, existe x0 ∈ X tal que x ≤ x0, ∀x ∈ X).
18. Indicando com card X o nu´mero de elementos do conjunto finito X, prove:
a) Se X e´ finito e Y ⊂ X, enta˜o card Y ≤ card X.
b) Se X e Y sa˜o finitos, enta˜o X ∪ Y e´ finito e
card (X × Y ) = card X + card Y − card (X ∩ Y ).
c) Se X e Y sa˜o finitos, enta˜o X × Y e´ finito e
card (X × Y ) = card X · card Y.
19. Seja P(A) o conjunto cujos elementos sa˜o os subconjuntos de A. Prove que se A tem n
elementos, enta˜o P(A) tem 2n elementos.
20. Seja X um conjunto com n elementos. Determine o nu´mero de func¸o˜es injetivas f : Ip → X.
21. Dada f : X → Y , prove:
a) Se X e´ infinito e f e´ injetiva, enta˜o Y e´ infinito.
b) Se Y e´ infinito e f e´ sobrejetiva, enta˜o X e´ infinito.
22. Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito. Prove que existe uma func¸a˜o injetiva
f : X → Y e uma func¸a˜o sobrejetiva g : Y → X.
23. Prove que o conjunto P dos nu´meros primos e´ infinito.
24. Defina uma func¸a˜o sobrejetiva f : N → N tal que, para todo n ∈ N, o conjunto f−1(n) e´
infinito.
25. Deˆ exemplo de uma sequeˆncia decrescente X1 ⊃ X2 ⊃ . . . ⊃ Xn ⊃ . . . de conjuntos infinitos
cuja intersec¸a˜o ∩∞n=1Xn seja vazia.
26. Defina f : N×N→ N pondo f(1, n) = 2n− 1 e f(m+ 1, n) = 2m(2n− 1). Prove que f e´ uma
bijec¸a˜o.
27. Exprima N = N1 ∪N2 ∪ . . .∪Nn ∪ . . . como unia˜o infinita de subconjuntos infinitos, dois a dois
disjuntos.
28. Para cada n ∈ N, seja Pn = {X ⊂ N; card X = n}. Prove que Pn e´ enumera´vel. Conclua que
o conjunto Pf dos subconjuntos finitos de N e´ enumera´vel.
29. Sejam Y enumera´vel e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y , f−1(y) e´ enumera´vel. Prove que
X e´ enumera´vel.
30. Prove que Q e´ enumera´vel.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1- Turma A
Lista 2
1. Prove que na˜o existe um nu´mero racional cujo quadrado seja igual a 2.
2. Prove que o conjunto dos nu´meros irracionais na˜o e´ enumera´vel.
3. Prove as seguintes unicidades:
a) Se x+ θ = x para algum x ∈ R, enta˜o θ = 0.
b) Se x · u = x para todo x ∈ R, enta˜o u = 1.
c) Se x+ y = 0, enta˜o y = −x.
4. Prove que (1− xn+1)/(1− x) = 1 + x+ . . .+ xn para todo x 6= 1.
5. Para quaisquer x, y, z ∈ R, prove que |x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|.
6. Prove que ||x| − |y|| ≤ |x− y| para quaisquer x, y ∈ R.
7. Dados x, y ∈ R, se x2 + y2 = 0, prove que x = y = 0.
8. Prove por induc¸a˜o que (1 + x)n ≥ 1 + nx+ [n(n− 1)/2]x2 se x ≥ 0.
9. Para todo x 6= 0 em R, prove que (1 + x)2n > 1 + 2nx.
10. Diz-se que uma func¸a˜o f : X → R e´ limitada superiormente quando sua imagem f(X) =
{f(x); x ∈ X} e´ conjunto limitado superiormente. Enta˜o po˜e-se sup f = sup{f(x); x ∈ X}.
Prove que f, g : X → R sa˜o limitadas superiormente, o mesmo ocorre com a soma f+g : X → R
e tem-se sup(f + g) ≤ sup f + sup g. Deˆ um exemplo com sup(f + g) < sup f + sup g.
11. Enuncie e prove um resultado ana´logo ao do item anterior para inf.
12. Dadas as func¸o˜es f, g : X → R+ limitadas superiormente, prove que o produto f · g : X → R+
e´ uma func¸a˜o limitada (superior e inferiormente) com sup(f · g) ≤ sup f · sup g e inf(f · g) ≥
inf f · inf g. Deˆ exemplos onde se tenha < e na˜o =.
13. Nas condic¸o˜es do exerc´ıcio anterior, mostre que sup(f 2) = (sup f)2 e inf(f 2) = (inf f)2.
14. Prove que o conjunto dos polinoˆmios com coeficientes inteiros e´ enumera´vel.
15. Um nu´mero real chama-se alge´brico quando e´ raiz de um polinoˆmio com coeficientes inteiros.
Prove que o conjunto dos nu´meros alge´bricos e´ enumera´vel.
16. Se n ∈ N e x ∈ R tal que x < 1, prove que (1− x)n ≥ 1− nx.
17. Sejam a e a+ x ∈ R+, prove que (a+ x)n ≥ an + n · an−1 · x.
18. Dados a, b ∈ R e ε ∈ R+, prove que:
|a− b| < ε⇒ |b| − ε < |a| < |b|+ ε.
Conclua que |a− b| < ε⇒ a < |b|+ ε.
19. Seja a ∈ R tal que a > 1. Considere a func¸a˜o f : Z → R, definida por f(n) = an. Prove as
seguintes afirmac¸o˜es:
a) f(Z) na˜o e´ limitado superiormente.
b) inf f(Z) = 0.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1- Turma A
Lista 3
1. Uma sequeˆncia (xn) diz-se perio´dica quando existe p ∈ N tal que xn+p = xn para todo n ∈ N.
Prove que toda sequeˆncia perio´dica convergente e´ constante.
2. Dadas as sequeˆncias (xn) e (yn), defina (zn) pondo z2n−1 = xn e z2n = yn. Se lim xn = lim yn =
a, prove que lim zn = a.
3. Se limxn = a, prove que lim |xn| = |a|.
4. Se uma sequeˆncia mono´tona tem uma subsequeˆncia convergente, prove que a sequeˆncia e´, ela
pro´pria, convergente.
5. Se a > 1, prove que a sequeˆncia (a, a2, . . . , an, . . .) e´ limitada inferiormente, pore´m na˜o superi-
ormente.
6. Prove que a sequeˆncia cujo n-e´simo termo e´ xn = 1/n e´ mono´tona, decrescente, limitada e
satisfaz limxn = 0.
7. Seja 0 < a < 1. Prove que a sequeˆncia (a, a2, . . . , an, . . .) e´ decrescente, limitada e limn→∞ an =
0.
8. Se xn > 0 para todo n ∈ N e lim(xn+1/xn) = a < 1, proveque limxn = 0.
9. Se a > 1 e k ∈ N sa˜o constantes, enta˜o prove que:
lim
n→∞
nk
an
= lim
n→∞
an
n!
= lim
n→∞
n!
nn
= 0.
10. Dado a > 0, prove que a sequeˆncia dada por xn = n
√
a = a1/n tem limite igual a 1.
11. Seja 0 < a < 1. Prove que sequeˆncia cujo termo geral e´ xn = 1 + a + a
2 + . . . + an =
(1− an+1)/(1− a) e´ crescente, limitada e limn→∞ xn = 1/(1− a).
12. Considere a sequeˆncia cujo n-e´simo termo e´ xn = n
√
n = n1/n. Prove que limn→∞ xn = 1.
13. A fim de que o nu´mero real b na˜o seja valor de adereˆncia da sequeˆncia (xn) e´ necessa´rio e
suficiente que existam n0 ∈ N e ε > 0 tais que n > n0 ⇒ |xn − b| ≥ ε.
14. Se limxn = a, lim yn = b e |xn − yn| ≥ ε para todo n ∈ N, prove que |a− b| ≥ ε.
15. Sejam limxn = a e lim yn = b. Se a < b, prove que existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ xn < yn.
16. Se o nu´mero real a na˜o e´ o limite da sequeˆncia limitada (xn), prove que alguma subsequeˆncia
de (xn) converge para um limite b 6= a.
17. Prove que uma sequeˆncia limitada converge se, e somente se, possui um u´nico valor de adereˆncia.
18. Quais sa˜o os valores de adereˆncia da sequeˆncia (xn) tal que x2n−1 = n e x2n = 1/n? Esta
sequeˆncia converge?
19. Diz-se que (xn) e´ uma sequeˆncia de Cauchy quando, para todo ε > 0 dado, existe n0 ∈ N tal
que m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < ε.
a) Prove que toda sequeˆncia de Cauchy e´ limitada.
b) Prove que uma sequeˆncia de Cauchy na˜o pode ter dois valores de adereˆncia distintos.
c) Prove que uma sequeˆncia (xn) e´ convergente se, e somente se, e´ de Cauchy.
20. Prove que, para todo p ∈ N, tem-se limn→∞( n+p
√
n) = 1.
21. Se existem ε > 0 e k ∈ N tais que ε ≤ xn ≤ nk para todo n suficientemente grande, prove que
lim n
√
xn = 1. Use este fato para calcular lim
n
√
n + k, lim n
√
n +
√
n, lim n
√
log n e lim n
√
n log n.
22. Dado a > 0, defina indutivamente a sequeˆncia (xn) pondo x1 =
√
a e xn+1 =
√
a + xn. Prove
que (xn) e´ convergente e calcule seu limite
L =
√
a +
√
a +
√
a + . . ..
23. Dado a > 0, defina indutivamente a sequeˆncia (xn) pondo x1 = 1/a e xn+1 = 1/(a + xn).
Considere o nu´mero c, raiz positiva da equac¸a˜o x2 + ax− 1 = 0, u´nico nu´mero positivo tal que
c = 1/(a + c). Prove que:
x2 < x4 < . . . < c < . . . < x2n−1 < . . . < x3 < x1,
e que limxn = c. O nu´mero c pode ser considerado como a soma da frac¸a˜o cont´ınua
1
a +
1
a +
1
a +
1
a + . . .
24. Defina a sequeˆncia (an) indutivamente, pondo a1 = a2 = 1 e an+2 = an+1 + an para todo
n ∈ N. Escreva xn = an/an+1 e prove que limxn = c, onde c e´ o u´nico nu´mero positivo tal que
1/(c + 1) = c. O termo an chama-se o n-e´simo nu´mero de Fibonacci e c = (−1 +
√
5)/2 e´ o
nu´mero de ouro da Geometria Cla´ssica.
25. Prove que lim n
√
n! = +∞.
26. Se limxn = +∞ e a ∈ R, prove que lim
n→∞
[
√
log(xn + a)−
√
log xn] = 0.
27. Dados k ∈ N e a > 0, determine o limite
lim
n→∞
n!
nkan
.
Supondo a > 0 e a 6= e, calcule:
lim
n→∞
an · n!
nn
e lim
n→∞
nk · an · n!
nn
.
28. Mostre que lim
n→∞
log(n + 1)/ log n = 1.
29. Prove que a sequeˆncia cujo termo geral e´ bn = (1 + 1/n)
n satisfaz lim bn = e.
30. E´ correto afirmar que se a sequeˆncia na˜o e´ limitada superiormente, enta˜o lim xn = +∞? Se
sim, prove. Caso contra´rio, deˆ um contra-exemplo.
31. Seja (xn) uma sequeˆncia tal que toda subsequeˆncia contenha uma subsequeˆncia que converge
para o mesmo limite r. Mostre que a sequeˆncia original (xn) converge para r.
32. Se p e´ um inteiro positivo e (xn) e´ uma sequeˆncia convergente, mostre que (x
p
n) e´ tambe´m
convergente e limxpn = (lim xn)
p. Observe que a sequeˆncia (xpn) pode convergir sem que (xn)
convirja. Deˆ um exemplo.
33. Calcule o limite das sequeˆncias abaixo:
a) (
√
n + 3−√n)
b) (
√
n2 + n− n)
34. Seja limxn = 0. Para cada n, ponha yn = min{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}. Prove que yn → 0.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1- Turma A
Lista 4
1. Prove que a se´rie
s = 1− 1
2
+
1
3
− 1
4
+ . . .
converge, mas na˜o comutativamente.
2. Prove que a se´rie
∑
(−1)n+1 log(1+1/n) e´ convergente, mas na˜o e´ absolutamente convergente.
3. Dadas as se´ries
∑
an e
∑
bn, com an =
√
n + 1 − √n e bn = log(1 + 1/n), mostre que
lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-e´simas reduzidas sn e tn destas se´ries e mostre
que lim sn = lim tn = +∞, logo as se´ries dadas sa˜o divergentes.
4. Use o crite´rio da comparac¸a˜o para provar que
∑
1/n2 e´ convergente, a partir da convergeˆncia
de
∑
2/n(n + 1).
5. Seja sn a n-e´sima reduzida da se´rie harmoˆnica. Prove que para n = 2
m tem-se sn > 1 +m/2 e
conclua da´ı que a se´rie harmoˆnica e´ divergente.
6. Mostre que a se´rie
∑∞
n=2
1
n logn
diverge.
7. Mostre que se r > 1, a se´rie
∑∞
n=2
1
n(logn)r
converge.
8. Prove que a se´rie
∑ logn
n2
converge.
9. Prove que se a1 ≥ . . . ≥ an ≥ . . . e
∑
an converge, enta˜o limn→∞ nan = 0.
10. Se
∑
an e´ convergente e an ≥ 0 para todo n ∈ N, enta˜o a se´rie
∑
anx
n e´ absolutamente
convergente para todo x ∈ [−1, 1] e∑
an sin(nx),
∑
an cos(nx)
sa˜o absolutamente convergentes para todo x ∈ R.
11. A se´rie 1−1/2+2/3−1/3+2/4−1/4+2/5−1/5+2/6−1/6+ . . . tem termos alternadamente
positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto, e´ divergente. Por que isso
contradiz o Teorema de Leibniz?
12. Deˆ um exemplo de uma se´rie convergente
∑
an e de uma sequeˆncia limitada (xn) tais que a
se´rie
∑
anxn seja divergente.
13. Prove que e´ convergente a se´rie obtida alterando-se os sinais dos termos da se´rie harmoˆnica, de
modo que fiquem p termos positivos(p ∈ N fixado) seguidos de p termos negativos, alternada-
mente.
14. Se
∑∞
n=0 an e´ absolutamente convergente e lim bn = 0, ponha cn = a0bn + a1bn−1 + . . .+ anb0 e
prove que lim cn = 0.
15. Se
∑
an e´ absolutamente convergente, prove que
∑
a2n converge.
16. Se
∑
a2n e
∑
b2n convergem, prove que
∑
anbn converge absolutamente.
17. Prove que se existir uma infinidade de ı´ndices n tais que n
√|an| ≥ 1 enta˜o a se´rie ∑ an diverge.
Se an 6= 0 para todo n e |an+1/an| ≥ 1 para todo n > n0, enta˜o
∑
an diverge. Por outro lado,
a se´rie 1/2 + 1/2 + 1/22 + 1/22 + 1/23 + 1/23 + . . . converge, mas se tem an+1/an = 1 para todo
n ı´mpar.
18. Se 0 < a < b < 1, a se´rie a + b + a2 + b2 + a3 + b3 + . . . e´ convergente. Mostre que o teste de
Cauchy conduz a este resultado, mas o teste de d’Alembert e´ inconclusivo.
19. Determine se a se´rie
∑
(log n/n)n e´ convergente usando ambos os testes, de d’Alembert e
Cauchy.
20. Dada uma sequeˆncia de nu´meros positivos xn, com limxn = a, prove que limn→∞ n
√
x1x2x3 . . . xn =
a.
21. Determine para quais valores de x cada uma das se´ries abaixo e´ convergente:∑
nkxn
∑
nnxn
∑
xn/nn
∑
n!xn
∑
xn/n2.
22. Se uma se´rie e´ condicionalmente convergente, prove que existem alterac¸o˜es da ordem dos seus
termos de modo a tornar sua soma igual a +∞ e a −∞.
23. Efetue explicitamente uma reordenac¸a˜o dos termos da se´rie 1− 1/2 + 1/3− 1/4 + 1/5− . . . de
modo que sua soma se torne igual a zero.
24. Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se int(intX) = intX e conclua que intX e´ um conjunto
aberto.
25. Seja A ⊂ R um conjunto com a seguinte propriedade: toda sequeˆncia (xn) que converge para
um ponto a ∈ A tem seus termos xn pertencentes a A para todo n suficientemente grande.
Prove que A e´ aberto.
26. Prove que int(A∪B) ⊃ intA∪ intB e int(A∩B) = intA∩ intB quaisquer que sejam A,B ⊂ R.
Se A = (0, 1] e B = [1, 2), mostre que int(A ∪B) 6= intA ∪ intB.
27. Para todo X ⊂ R, prove que vale a reunia˜o disjunta R = intX ∪ int(R − X) ∪ F , onde F e´
formado pelos pontos x ∈ R tais que toda vizinhanc¸a dex conte´m pontos de X e pontos de
R − X. O conjunto F = frX chama-se a fronteira de X. Prove que A ⊂ R e´ aberto se, e
somente se, A ∩ frA = ∅.
28. Para cada um dos seguintes conjuntos, determine sua fronteira:
a) X = [0, 1]
b) Y = (0, 1) ∪ (1, 2)
c) Z = Q
d) W = Z
29. Prove que Q na˜o e´ aberto.
30. Prove que, todo X ⊂ R, vale X = X ∪ frX. Conclua que X e´ fechado se, e somente se,
X ⊃ frX.
31. Seja X ⊂ R limitado, na˜o vazio e tal que a = inf X e b = supX. Prove que a = inf X e
b = supX.
32. Para todo X ⊂ R, prove que R− intX = R−X e R−X = int(R−X).
33. Se X ⊂ R e´ aberto (respectivamente, fechado) e X = A∪B e´ uma cisa˜o, prove que A e B sa˜o
abertos (respectivamente, fechados).
34. Prove que se X ⊂ R tem fronteira vazia, enta˜o X = ∅ ou X = R.
35. Sejam X, Y ⊂ R. Prove que X ∪ Y = X ∪ Y e que X ∩ Y = X ∩ Y . Deˆ exemplo em que
X ∩ Y 6= X ∩ Y .
36. Prove que, para todo X ⊂ R, tem-se X = X ∪X ′. Conclua que X e´ fechado se, e somente se,
conte´m todos os seus pontos de acumulac¸a˜o.
37. Prove que, para todo X ⊂ R, X ′ e´ um conjunto fechado.
38. Prove que se X ′ 6= ∅, enta˜o X e´ infinito.
39. Prove que se todos os pontos do conjunto X sa˜o isolados, enta˜o X e´ enumera´vel.
40. Seja a um ponto de acumulac¸a˜o do conjunto X. Prove que existe uma sequeˆncia crescente ou
uma sequeˆncia decrescente de pontos xn ∈ X com limxn = a.
41. Prove que se todos os pontos do conjunto X ⊂ R sa˜o isolados, enta˜o pode-se escolher, para
cada x ∈ X, um intervalo aberto Ix de centro x, tal que x 6= y ⇒ Ix ∩ Iy = ∅.
42. Prove que o conjunto A dos valores de adereˆncia de uma sequeˆncia (xn) e´ fechado. Se a sequeˆncia
for limitada, A e´ compacto, logo existem l e L, respectivamente, o menor e o maior valor de
adereˆncia da sequeˆncia limitada (xn). Costuma-se escrever l = lim inf xn e L = lim supxn.
43. Prove que uma reunia˜o finita e uma intersec¸a˜o arbitra´ria de conjuntos compactos e´ um conjunto
compacto.
44. Deˆ exemplo de uma sequeˆncia decrescente de conjuntos fechados na˜o-vazios F1 ⊃ . . . ⊃ Fn ⊃ . . .
e uma sequeˆncia decrescente de conjuntos limitados na˜o-vazios L1 ⊃ . . . ⊃ Ln ⊃ . . . tais que
∩Fn = ∅ e ∩Ln = ∅.
45. Prove que o conjunto de Cantor tem interior vazio.
46. Prove que o conjunto de Cantor na˜o conte´m pontos isolados.
47. Prove que o conjunto de Cantor e´ na˜o enumera´vel.
48. Prove que a soma da se´rie cujos termos sa˜o os comprimentos dos intervalos omitidos para
formar o conjunto de Cantor e´ igual a 1.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1- Turma A
Lista 5
1. Sejam f, g : X → R cont´ınuas no ponto a ∈ X. Prove que sa˜o cont´ınuas no ponto a as func¸o˜es
ϕ, ψ : X → R, definidas por ϕ(x) = max{f(x), g(x)} e ψ(x) = min{f(x), g(x)} para todo
x ∈ X.
2. Sejam f, g : X → R cont´ınuas. Prove que se X e´ aberto, enta˜o o conjunto A = {x ∈ X; f(x) 6=
g(x)} e´ aberto e se X e´ fechado, enta˜o o conjunto F = {x ∈ X; f(x) = g(x)} e´ fechado.
3. Uma func¸a˜o f : X → R diz-se semi-cont´ınua superiormente (scs) no ponto a ∈ X quando,
para cada c > f(a) dado, existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x − a| < δ implicam f(x) < c. Defina
func¸a˜o semi-cont´ınua inferiormente (sci) no ponto a. Prove que f e´ cont´ınua no ponto a se, e
somente se, e´ scs e sci nesse ponto. Prove que se f e´ scs, g e´ sci no ponto a e f(a) < g(a) enta˜o
existe δ > 0 tal que x ∈ X, |x− a| < δ ⇒ f(x) < g(x).
4. Seja f : R → R cont´ınua. Prove que se f(x) = 0 para todo x ∈ X enta˜o f(x) = 0 para todo
x ∈ X.
5. Prove que f : R→ R e´ cont´ınua se, e somente se, para todo X ⊂ R tem-se f(X) ⊂ f(X).
6. Sejam f, g : X → R cont´ınuas no ponto a. Suponha que, em cada vizinhanc¸a V de a, existem
pontos x, y tais que f(x) < g(x) e f(y) > g(y). Prove que f(a) = g(a).
7. Seja f : X → R descont´ınua no ponto a ∈ X. Prove que existe ε > 0 com a seguinte
propriedade: ou se pode achar uma sequeˆncia de pontos xn ∈ X com limxn = a e f(xn) >
f(a) + ε para todo n ∈ N ou acha-se (yn) com yn ∈ X, lim yn = a e f(yn) < f(a)− ε para todo
n ∈ N.
8. Uma func¸a˜o f : X → R diz-se localmente constante quando todo ponto de X possui vizinhanc¸a
V tal que f e´ constante em V ∩ X. Prove que toda func¸a˜o f : I → R, localmente constante
num intervalo I, e´ constante.
9. Seja f : I → R uma func¸a˜o mono´tona definida no intervalo I. Se a imagem f(I) e´ um intervalo,
prove que f e´ cont´ınua.
10. Diz-se que uma func¸a˜o f : I → R, definida no intervalo I, tem a propriedade do valor inter-
media´rio quando a imagem f(J) de todo intervalo J ⊂ I e´ um intervalo. Mostre que a func¸a˜o
f : R→ R dada por
f(x) =
{
sin(1/x), se x 6= 0,
0, se x = 0
tem a propriedade do valor intermedia´rio, embora seja descont´ınua.
11. Seja f : I → R uma func¸a˜o com a propriedade do valor intermedia´rio. Se, para cada c ∈ R,
existe apenas um nu´mero finito de pontos x ∈ I tais que f(x) = c, prove que f e´ cont´ınua.
12. Seja f : [0, 1] → R cont´ınua tal que f(0) = f(1). Prove que existe x ∈ [0, 1/2] tal que
f(x) = f(x+ 1/2). Prove o mesmo resultado com 1/3 em vez de 1/2. Generalize.
13. Seja f : [a, b] → R uma func¸a˜o cont´ınua tal que f(a) ≤ a e b ≤ f(b). Prove que existe pelo
menos um nu´mero c ∈ [a, b] tal que f(c) = c.
14. Sejam X, Y ⊂ R e f : X → Y uma bijec¸a˜o. Se f e´ cont´ınua, enta˜o e´ correto afirmar que sua
inversa f−1 : Y → X tambe´m e´ cont´ınua? Justifique sua resposta.
15. Seja f : R→ R definida por
f(x) =

x
|x| , se x 6= 0,
1, se x = 0.
e´ cont´ınua no ponto x = 0? Justifique sua resposta.
16. Seja X ⊂ F1 ∪ F2, onde F1 e F2 sa˜o fechados. Se a func¸a˜o f : X → R e´ tal que suas restric¸o˜es
f |(X ∩ F1) e f |(X∩F2) sa˜o cont´ınuas, enta˜o prove que f e´ cont´ınua.
17. Seja X = F1 ∪ F2, onde F1 e F2 sa˜o fechados. Se a func¸a˜o f : X → R e´ tal que suas restric¸o˜es
f |F1 e f |F2 sa˜o cont´ınuas, enta˜o prove que f e´ cont´ınua.
18. Seja X ⊂ ⋃λ∈LAλ uma cobertura de X por meio dos abertos Aλ. Se uma func¸a˜o f : X → R e´
tal que para todos os λ ∈ L, as restric¸o˜es f |(Aλ∩X) sa˜o cont´ınuas, enta˜o prove que f e´ cont´ınua.
19. Seja X =
⋃
λ∈LAλ, onde cada Aλ e´ aberto. Se cada restric¸a˜o f |Aλ e´ cont´ınua, enta˜o prove que
a func¸a˜o f : X → R e´ cont´ınua.
20. Seja X = R− {0}. Seja f : X → R dada por:
f(x) =
{ −1, se x < 0
1, se x > 0.
Prove que f : X → R e´ cont´ınua.
21. Seja f : X → R mono´tona. Se f(X) e´ um conjunto denso em algum intervalo I, enta˜o f e´
cont´ınua.
22. Dizemos que f : X → R possui uma descontinuidade de primeira espe´cie no ponto a ∈ X
quando f e´ descont´ınua a e ale´m disso, existem os limites laterais lim
x→a+
f(x) e lim
x→a−
f(x). Uma
descontinuidade a ∈ X da func¸a˜o f : X → R e´ chamada de segunda espe´cie quando a ∈ X ′+ e
limx→a+ f(x) na˜o existe ou enta˜o quando a ∈ X ′−, mas na˜o existe o limite a` esquerda de f no
ponto a. Com base nas definic¸o˜es acima, prove os itens abaixo.
a) Uma func¸a˜o mono´tona f : X → R na˜o admite descontinuidades de segunda espe´cie.
b) Seja f : X → R uma func¸a˜o cujas descontinuidades sa˜o todas de primeira espe´cie, enta˜o
o conjunto dos pontos de descontinuidades de f e´ enumera´vel.
c) Conclua que se f : X → R e´ mono´tona, enta˜o o conjunto dos pontos de descontinuidades
de f e´ enumera´vel.
23. Prove que se f : X → R e´ lipschitziana, enta˜o f e´ uniformemente cont´ınua.
24. Seja f : X → R uniformemente cont´ınua. Se (xn) e´ uma sequeˆncia de Cauchy em X, enta˜o
prove que (f(xn)) e´ uma sequeˆncia de Cauchy.
25. Seja f : R → R cont´ınua tal que lim
x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) = +∞. Prove que existe x0 ∈ R tal
que f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ R.
26. Seja f : R → R cont´ınua com lim
x→+∞
f(x) = +∞ e lim
x→−∞
f(x) = −∞. Prove que, para todo
c ∈ R dado, existe entre as ra´ızes x da equac¸a˜o f(x) = c uma cujo mo´dulo |x| e´ mı´nimo.
27. Prove que na˜o existe uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b]→ R queassuma cada um dos seus valores
f(x), x ∈ [a, b], exatamente duas vezes.
28. Uma func¸a˜o f : R → R diz-se perio´dica quando existe p ∈ R+ tal que f(x + p) = f(x) para
todo x ∈ R. Prove que toda func¸a˜o cont´ınua perio´dica f : R → R e´ limitada e atinge seus
valores ma´ximo e mı´nimo, isto e´, existem x0, x1 ∈ R tais que f(x0) ≤ f(x) ≤ f(x1) para todo
x ∈ R.
29. Seja f : X → R cont´ınua no conjunto compacto X. Prove que, para todo ε > 0 dado, existe
kε > 0 tal que x, y ∈ X, |y − x| ≥ ε ⇒ |f(y)− f(x)| ≤ kε|y − x|.
30. Se toda func¸a˜o cont´ınua f : X → R e´ uniformemente cont´ınua, prove que o conjunto X e´
fechado, pore´m na˜o e´ necessariamente compacto.
31. Mostre que a func¸a˜o cont´ınua f : R → R, dada por f(x) = sin(x2), na˜o e´ uniformemente
cont´ınua.
32. Dada f : X → R uniformemente cont´ınua, defina ϕ : X → R, pondo ϕ(x) = f(x) se x ∈ X
e´ um ponto isolado e ϕ(x) = limy→x f(y) se x ∈ X ′. Prove que ϕ e´ uniformemente cont´ınua e
ϕ(x) = f(x) para todo x ∈ X.
33. Seja f : R → R cont´ınua. Se existem lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x), prove que f e´ uniformemente
cont´ınua. Mesma conclusa˜o vale se existem os limites de f(x)− x quando x→ ±∞.
34. Sejam f, g : X → R uniformemente cont´ınuas. Prove que f + g e´ uniformemente cont´ınua. O
mesmo ocorre com o produto f · g, desde que f e g sejam limitadas. Prove que ϕ, ψ : X → R,
dadas por ϕ(x) = max{f(x), g(x)} e ψ(x) = min{f(x), g(x)}, x ∈ X sa˜o uniformemente
cont´ınuas.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1- Turma A
Lista 6
1. A fim de que f : X → R seja deriva´vel no ponto a ∈ X ∩ X ′, e´ necessa´rio e suficiente que
exista uma func¸a˜o η : X → R, cont´ınua no ponto a, tal que f(x) = f(a) + η(x)(x − a) para
todo x ∈ X.
2. Sejam f, g, h : X → R tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x ∈ X. Se f e h sa˜o deriva´veis
no ponto a ∈ X ∩ X ′, com f(a) = h(a) e f ′(a) = h′(a), prove que g e´ deriva´vel nesse ponto,
com g′(a) = f ′(a).
3. Seja f : X → R deriva´vel no ponto a ∈ X ∩ X ′+ ∩ X ′−. Se xn < a < yn para todo n e
limxn = lim yn = a, prove que lim
n→∞
[f(yn) − f(xn)](yn − xn) = f ′(a). Interprete este fato
geometricamente.
4. Deˆ exemplo de uma func¸a˜o deriva´vel f : R → R e sequeˆncia de pontos 0 < xn < yn, com
limxn = lim yn = 0 sem que entretanto exista o limite lim
n→∞
[f(yn)− f(xn)]/(yn − xn).
5. Seja f : X → R deriva´vel num ponto interior a ∈ X. Prove que limh→0[f(a+h)−f(a−h)]/2h =
f ′(a). Deˆ um exemplo em que este limite existe, pore´m f na˜o e´ deriva´vel no ponto a.
6. Admitindo que (ex)′ = ex e que limy→+∞ ey/y = +∞, prove que a func¸a˜o f : R→ R, definida
por f(x) = e−1/x
2
quando x 6= 0 e f(0) = 0, possui derivada igual a zero no ponto x = 0, o
mesmo ocorrendo com f ′ : R→ R, com f ′′ e assim por diante.
7. Seja I um intervalo aberto. Uma func¸a˜o f : I → R diz-se de classe C2 quando e´ deriva´vel e
sua derivada f ′ : I → R e´ de classe C1. Prove que se f(I) ⊂ J e g : J → R tambe´m e´ de classe
C2 enta˜o a composta g ◦ f : I → R e´ de classe C2.
8. Seja f : I → R de classe C2 com f(I) = J e f ′(x) 6= 0 para todo x ∈ I. Calcule a derivada
segunda de f−1 : J → R e mostre que f−1 e´ de classe C2.
9. Seja I um intervalo com centro 0. Uma func¸a˜o f : I → R chama-se par quando f(−x) = f(x)
e ı´mpar quando f(−x) = −f(x) para todo x ∈ I. Se f e´ par, suas derivadas de ordem par
(quando existem) sa˜o funcc¸o˜es ı´mpares. Em particular, estas u´ltimas se anulam no ponto 0.
Enuncie o resultado ana´logo para f ı´mpar.
10. Seja f : R → R deriva´vel tal que f(tx) = tf(x) para quaisquer t, x ∈ R. Prove que f(x) =
f ′(0) · x, qualquer que seja x ∈ R. Mais geralmente, se f : R → R e´ k vezes deriva´vel e
f(tx) = tkf(x) para quaisquer t, x ∈ R, prove que f(x) = [f (k)(0)/k!] · xk para todo x ∈ R.
11. Se f : R → R e´ de classe C1, o conjunto dos seus pontos cr´ıticos e´ fechado. Deˆ exemplo de
uma func¸a˜o deriva´vel f : R→ R tal que 0 seja o limite de uma sequeˆncia de pontos cr´ıticos de
f , mas f ′(0) > 0.
12. Seja f : I → R deriva´vel no intervalo aberto I. Um ponto cr´ıtico c ∈ I chama-se na˜o-degenerado
quando f ′′(c) e´ diferente de 0. Prove que todo ponto cr´ıtico na˜o-degenerado e´ um ponto de
ma´ximo local ou de mı´nimo local.
13. Se c ∈ I e´ um ponto cr´ıtico na˜o-degenerado da func¸a˜o f : I → R, deriva´vel no intervalo aberto
I, prove que existe δ > 0 tal que c e´ o u´nico ponto cr´ıtico de f no intervalo (c − δ, c + δ).
Conclua que, se f e´ de classe C1, enta˜o num conjunto compacto K ⊂ I, onde os pontos cr´ıticos
de f sa˜o todos na˜o-degenerados, so´ existe um nu´mero finito deles.
14. Prove diretamente (sem usar o exerc´ıcio anterior) que se o ponto cr´ıtico c da func¸a˜o f : I → R
e´ limite de uma sequeˆncia de pontos cr´ıticos cn 6= c e f ′′(c) existe, enta˜o f ′′(c) = 0.
15. Prove que o conjunto de pontos de ma´ximo e de mı´nimo local estrito de qualquer func¸a˜o
f : R→ R e´ enumera´vel.
16. Seja g : I → R cont´ınua no intervalo aberto I, exceto no ponto c ∈ I. Se existem os limites
laterais limx→c− g(x) = A e limx→c+ g(x) = B, com A 6= B, enta˜o nenhuma func¸a˜o deriva´vel
f : I → R tem derivada f ′ = g.
17. Seja f : R+ → R definida por log x/x. Admitindo que (log)′(x) = 1/x, indique os intervalos de
crescimento e decrescimento de f , seus pontos cr´ıticos e seus limites quando x → 0 e quando
x→ +∞.
18. Fac¸a um trabalho ana´logo ao do exerc´ıcio anterior para a func¸a˜o g : R+ → R, definida por
g(x) = ex/x, admitindo (ex)′ = ex.
19. Supondo conhecidas as regras de derivac¸a˜o para as func¸o˜es seno e consseno, prove que sin :
(−pi/2, pi/2) → (−1, 1), cos : (0, pi) → (−1, 1) e tan = sin / cos : (−pi/2, pi/2) → R sa˜o
bijec¸o˜es com derivadas 6= 0 em todos os pontos e calcule as derivadas das func¸o˜es inversas
arcsin : (−1, 1)→ (−pi/2, pi/2), arccos : (−1, 1)→ (0, pi) e arctan : R→ (−pi/2, pi/2).
20. Dada f deriva´vel no intervalo I, sejam X = {f ′(x) : x ∈ I} e Y = {[f(y)− f(x)]/(y− x); x 6=
y ∈ I}. O Teorema do Valor Me´dio assegura que Y ⊂ X. Deˆ um exemplo em que Y 6= X.
Prove que Y¯ = X¯ e conclua que supX = supY , inf X = inf Y .
21. Seja f : (a, b) → R limitada e deriva´vel. Se na˜o existir limx→a+ f(x) ou limx→b− f(x), prove
que, para todo c ∈ R, existe x ∈ (a, b) tal que f ′(x) = c.
22. Seja f : [a, b] → R cont´ınua, deriva´vel no intervalo aberto (a, b), com f ′(x) ≥ 0 para todo
x ∈ (a, b). Se f ′(x) = 0 apenas em um conjunto finito, prove que f e´ crescente.
23. Use o princ´ıpio dos intervalos encaixados para provar diretamente (sem usar o Teorema do
Valor Me´dio) que se f : I → R e´ deriva´vel, com f ′(x) = 0 em todos os pontos x do intervalo
I, enta˜o f e´ constante.
24. Com a mesma te´cnica do exerc´ıcio anterior, prove que uma func¸a˜o f : I → R e´ deriva´vel com
f ′(x) = 0 em todos os pontos do intervalo I, enta˜o f e´ constante.
25. Prove que se f e´ deriva´vel num intervalo I e f ′ e´ cont´ınua no ponto a, enta˜o para quaisquer
sequeˆncias de pontos xn 6= yn nesse intervalo, com lim xn = lim yn = a, tem-se lim[f(yn) −
f(xn)]/(yn − xn) = f ′(a).
26. Seja f : [a, b] → R deriva´vel em todos os pontos x ∈ [a, b]. Se f ′(a) < df ′(b), enta˜o prove que
existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = d.
27. Uma func¸a˜o f : I → R e´ dita uniformemente deriva´vel se para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que
0 < |h| < δ → |f(x+ h)− f(x)− f ′(x) · h| < ε|h| para x ∈ I, x+ h ∈ I quaisquer. Com base
nesta definic¸a˜o, prove que uma func¸a˜o f : [a, b] → R e´ uniformemente deriva´vel se, e somente
se, e´ de classe C1.
Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ana´lise 1- Turma A
Lista 7
1. Seja f : I → R de classe C∞ no intervalo I. Suponha que exista K > 0 tal que |f (n)(x)| ≤ K
para todo x ∈ I e todo n ∈ N. Prove que, para x0, x ∈ I quaisquer, vale f(x) =
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x−
x0)
n.
2. Seja f : I → R de classe C2 no intervalo I. Dado a ∈ I, defina a func¸a˜oϕ : I → R pondo
ϕ(x) = [f(x)− f(a)]/(x− a) se x 6= a e ϕ(a) = f ′(a). Prove que ϕ e´ de classe C1. Mostre que
f ∈ C3 → ϕ ∈ C2.
3. Seja p : R→ R um polinoˆmio de grau n. Prove que para a, x ∈ R quaisquer, tem-se
p(x) = p(a) + p′(a)(x− a) + . . .+ p
(n)(a)
n!
(x− a)n.
4. Sejam f, g : I → R duas vezes deriva´veis no ponto a ∈ intI. Se f(a) = g(a), f ′(a) = g′(a) e
f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ I, prove que f ′′(a) ≥ g′′(a).
5. Sejam f : I → R e g : J → R func¸o˜es convexas, com f(I) ⊂ J , e g mono´tona na˜o-decrescente.
Prove que g◦f : I → R e´ convexa. Deˆ outra demonstrac¸a˜o, supondo f e g duas vezes deriva´veis.
Por meio de um exemplo, mostre que se g na˜o e´ mono´tona na˜o-decrescente o resultado pode
na˜o ser va´lido.
6. Se f : I → R possui um ponto cr´ıtico na˜o-degenerado c ∈ intI no qual f ′′ e´ cont´ınua, prove
que existe δ > 0 tal que f e´ convexa ou coˆncava no intervalo (c− δ, c+ δ).
7. Examine a convexidade da soma e do produto de duas func¸o˜es convexas.
8. Uma func¸a˜o f : I → R, definida no intervalo I, chama-se quase convexa (respectivamente,
quase-coˆncava quando, para todo c ∈ R, o conjunto {x ∈ I; f(x) ≤ c} (respectivamente,
{x ∈ I; f(x) ≥ c}) e´ vazio ou e´ um intervalo. Prove que toda func¸a˜o convexa (respectivamente,
coˆncava) e´ quase-convexa (respectivamente, quase-coˆncava) e que toda func¸a˜o mono´tona e´ ao
mesmo tempo quase-convexa e quase-coˆncava.
9. Prove que f : I → R e´ quase convexa se, e somente se, para x, y ∈ I e t ∈ [0, 1] quaisquer, vale
f((1− t)x+ ty) ≤ max{f(x), f(y)}. Enuncie o resultado ana´logo para f quase-coˆncava.
10. Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua quase-convexa, cujo valor mı´nimo e´ atingido no ponto
c ∈ [a, b]. Prove que se c = a, enta˜o f e´ mono´tona na˜o-decrescente, se c = b, f e´ mono´tona
na˜o-crescente e, finalmente, se a < c < b enta˜o f e´ mono´tona na˜o-crescente em [a, c] e na˜o-
decrescente em [c, b]. Enuncie resultado ana´logo para f quase-coˆncava. Conclua da´ı que a
func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] → R e´ quase-convexa se, e somente se, existe c ∈ [a, b] tal que f e´
mono´tona na˜o-crescente no intervalo [a, c] e mono´tona na˜o-decrescente em [c, b].
11. Para cada n ∈ N, seja fn : I → R uma func¸a˜o convexa. Suponha que, para todo x ∈ I, a
sequeˆncia de nu´meros (fn(x))n∈N convirja. Prove que a func¸a˜o f : I → R, definida por f(x) =
limn→∞ fn(x) e´ convexa. Prove resultado ana´logo para func¸o˜es quase-convexas, coˆncavas e,
quase-coˆncavas.
12. Seja f : [a, b]→ R uma func¸a˜o cont´ınua convexa tal que f(a) < 0 < f(b). Prove que existe um
u´nico ponto c ∈ (a, b) com f(c) = 0.
13. Sejam I = [a − δ, a + δ] e f : I → R tal que |f(y) − f(x)| ≤ k|y − x|, onde 0 ≤ k < 1. Se
|f(a)− a| ≤ (1− k)δ, prove que existe um u´nico x ∈ I com f(x) = x.
14. Se f : I → R e´ coˆncava no intervalo I, enta˜o prove que existem as derivadas laterais f ′+(c) e
f ′−(c) em todo ponto c ∈ intI.
15. Prove que uma func¸a˜o coˆncava f : I → R e´ cont´ınua em todo ponto interior ao intervalo I.
16. Prove que uma func¸a˜o f : I → R duas vezes deriva´vel e´ coˆncava se, e somente se, sua derivada
e´ ≤ 0.
17. Prove que uma func¸a˜o f : I → R deriva´vel e´ coˆncava se, e somente se, seu gra´fico esta´ abaixo
de qualquer de suas tangentes.
18. Prove que todo ponto cr´ıtico de uma func¸a˜o f : I → R e´ um ponto de ma´ximo absoluto.
19. Prove que convexidade estrita de uma func¸a˜o implica que f ′ seja crescente, mas na˜o implica
que f ′′(x) > 0 para todo x ∈ I.
20. Prove que se f : I → R e´ convexa, enta˜o dados a1, . . . , an ∈ I e t1, . . . , tn ∈ [0, 1] com
t1 + . . .+ tn = 1, vale
f(t1a1 + . . .+ tnan) ≤ t1f(a1) + . . .+ tnf(an).
21. Usando o item anterior, mostre que para quaisquer n nu´meros reais positivos x1, . . . , xn, a
desigualdade
n
√
x1x2 · xn ≤ x1 + . . .+ xn
n
esta´ satisfeita.
22. Seja f : X → R. Prove que a condic¸a˜o |f(y) − f(x)| < |y − x| para quaisquer x, y ∈ X na˜o e´
suficiente para garantir a existeˆncia de um ponto fixo.