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( )F620 ( )MS650 - Exame Final - 12/12/2011
RA: Nome:
(1) Sejam Ln(x) (n = 0, 1, 2, . . .) os polinoˆmios de Laguerre. Mostre, usando a propriedade de
ortogonalidade desses polinoˆmios, que o desenvolvimento da func¸a˜o f(x) = e−ax (a > 0) em uma
se´rie de Fourier-Laguerre pode ser escrito na forma
e−ax =
1
1 + a
∞∑
n=0
(
a
1 + a
)n
Ln(x),
onde 0 ≤ x <∞.
(2) Usando o me´todo da transformada de Fourier, mostre que a soluc¸a˜o da equac¸a˜o integral∫ ∞
−∞
y(u)
(x− u)2 + a2 du =
1
x2 + b2
, 0 < a < b,
e´ dada por
y(x) =
a
bpi
(b− a)
[x2 + (b− a)2] .
(3) Encontre a soluc¸a˜o do problema de Cauchy
2xyux + (x
2 + y2)uy = 0,
com u = exp
(
x
x− y
)
em x+ y = 1.
(4) Mostre, usando coordenadas polares e o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, que a soluc¸a˜o do
problema 
∇2u = 0, a < r < b, 0 ≤ θ ≤ 2pi,
u(a, θ) = T0,
u(b, θ) = T1,
onde T0 e T1 sa˜o constantes, e´ dada por
u(r, θ) = T0 +
ln (r/a)
ln (b/a)
(T1 − T0).
OBS: Em coordenadas polares ∇2u = urr + 1rur + 1r2uθθ.
i Valor das questo˜es: (1) 2,5 (2) 2,5 (3) 2,0 (4) 3,0.
Formula´rio eventualmente u´til
Ln(x) =
∞∑
k=0
(−n)k
k!2
xk,
∫ ∞
0
e−xLn(x)Lm(x)dx = δmn, xL′n(x) = nLn(x)− nLn−1(x),
(n+ 1)Ln+1(x) = (2n+ 1− x)Ln(x)− nLn−1(x), Ln(0) = 1, Ln(x) = e
x
n!
dn
dxn
(e−xxn).
i Valor das questo˜es: (1) 3,0 (2) 3,0 (3) 2,0 (4) 3,0.