112329-lista_de_Limites_e_derivadas_parciais.pdf

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LIMITES E DERIVADAS PARCIAIS 
 
1) Calcule os seguintes limites: 
a) 
xy
x
yx



3
2
)0,0(),(
2
lim
 
b) 
x
y
yx
cos2
1
)1,(),(
2
lim


 
 
c) 
y
x
yx



2
4
)1,2(),(
lim
 
d) 
)2)(1(
)3,1(),(
2
lim



yx
xy
yx
 
e) 
22
44
)0,0(),(
lim
yx
yx
yx 


 
f) 
yxyxx
yxy
yx 22)2,1(),(
2lim 


 
g) 
22
3223 2323
)0,0(),(
lim
yx
yxyyxx
yx 


 
h) 
22
3223
)0,0(),(
lim
yx
yxyyxx
yx 


 
i) 
)3(
34
)1,3,2(),,(
2
2
lim


 yzx
yy
zyx
 
j)
33
22
)2,1,2(),,(
lim
zx
zx
zyx 


 
2) Determine as derivadas parciais de: 
a) 
45),( 324  xyyxyxf
 
b) 
132),( 234  yxyyxyxf
 
c) 
)cos(),( xyyxf 
 
d) 
xysenxeyxf y ),(
 
e) 
)ln(),( xyeyxf x
 
f) 
652),,( 432  yzxzyxzyxf
 
h) zyxxezyxf ),,( 
i) xyezzyxf 2),,(  
j) yxeyxf 3),(  
k) xyxyeyxf ),( 
l) 22
),( yxeyxf 
 
m) 
)1ln(),( 222 yxxyxf 
 
n) 
)cos(),(
y
xxyxf 
 
o) 
zexzyxf y cos),,( 22
 
p) yxz zeyexezyxf ),,( 
q) 
yx
yxyxf 
),(
 
 
3) Seja 
22
2
yx
xy
z


, verifique que 
zyx
y
z
x
z 




. 
 
4) Seja  
y
xxsenz 
, verifique que 
zyx
y
z
x
z 




. 
 
5) Seja    
x
y
y
xsenz ln
, verifique que 
0




y
z
x
z yx
. 
 
6) Uma chapa de metal plana jaz em um plano-xy, de modo que a temperatura T em (x, y) seja dada por 
222 )(10),( yxyxT 
, em que T é expresso em graus e x e y em centímetros. Determine a taxa 
instantânea de variação de T em relação à distância em (1, 2) na direção do: 
a) eixo-x b) eixo-y 
 
7) A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano-xy, de modo que a 
profundidade sob o ponto correspondente a (x, y) é dada por 
22 32300),( yxyxf 
, em que 
x, y e f(x, y) são expressos em metros. Se um esquiador aquático está na água no ponto (4, 9), ache a 
taxa instantânea à qual a profundidade varia na direção do: 
a) eixo-x b) eixo-y 
 
8) Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x, y, z) seja dado por 
222
100
zyx
V


, onde V é 
dado em volts e x, y, z em centímetros. Determine a taxa instantânea de variação de V em relação à 
distância em 
)1,1,2( 
 na direção do: 
a) eixo-x b) eixo-y c) eixo-z 
 
9) Determine as derivadas parciais de segunda ordem. 
a) 
xyxyxyxf 32),( 223 
 
b) 
92),( 524  xyyxyxf
 
c) 
yx
xyxf

),(
 
d) 
senyeyxf x),(
 
e) 
)53ln(),( yxyxf 
 
f) 
xyexyxf y cos),( 223  
 
 
10) Uma função f de x e y é harmônica se 
0 yyxx ff
 em todo o domínio de f. Verifique se as 
seguintes funções são harmônicas: 
a) 
xeyeyxf yx coscos),(  
 
b) 
)ln()cos(),( yxyxyxf 
 
 
c) 
)3(),( yxsenyxf 
 
d) 
23 3),( xyxyxf 
 
11) Seja 
)3(),,( yzxsenzyxf 
. Determine 
xxyzf
. 
 
 
GABARITO: 
1. 
a) –2/3 b) 1 c) 6 d) – 4/5 e) 0 f) 2/5 g) 0 h) 0 i) 1/2 j) 1/3 
2. 
a) 
24323 31020 xyyxfyyxf yx 
 
b) 
3268 24233  xyyxfyyxf yx
 
c) 
)sin()sin( xyxfxyyf yx 
 
d) 
xxefxyef yy
y
x sincos 
 
e) 
y
e
yx
ex
x
xx
fxyef  )ln(
 
f) 
yzyxfzzyxfzxyf zyx 545322
33242243 
 
g) 
zyx
z
zyx
y
zyxzyx
x xefxefxeef
 
 
h) 
xy
z
xy
y
xy
x zefexzfeyzf 2
22 
 
i) 
y
y
y
x xefef
33 3
 
j) 
xyxy
y
xyxy
x yexxefexyyef
22 
 
k) 2222
22 yxy
yx
x yefxef
 
 
l) 
22
2
22
3
1
2
1
222 )1ln(2
yx
yx
yyx
x
x fyxxf  
 
m) 
     
y
x
y
x
yy
x
y
x
y
x
x ff sinsincos 2
2

 
n) 
zexfzexfzxef yz
y
y
y
x sincos2cos2
22222 
 
o) 
yz
z
yx
y
xz
x exefzeefyeef
 
 
p) 
22 )(
2
)(
2
yx
x
yyx
y
x ff 



 
5 a) 200 b) 400 
6 a) –16 b) –54 
7 a) –11,1 b) 5,55 c) –5,55 
8. 
a) 
322 24646 xfxyxfyxyf yyxyxx 
 
b) 
344322 40210812 xyxfyyxfyxf yyxyxx 
 
c) 
333 )(
2
)()(
2
yx
x
yyyx
yx
xyyx
y
xx fff 


 
 
d) 
yefyefyef xyy
x
xy
x
xx sincossin
 
 
e) 
222 )53(
25
)53(
15
)53(
9
yxyyyxxyyxxx
fff





 
 
f) 
442
cos623sin222cos2 466
y
xy
yyy
xyy
xyy
xy
xx exfexfxef 

 
9. a) sim b) não c) não d) não 
10. 
)3sin(9)3cos(9 yzxyzyzx 