Relatório Final Pêndulo Físico

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INSTITUTO DE FÍSICA – DEPARTAMENTO DE FÍSICA GERAL 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
Deborah Santos, Letícia Rodrigues, Pedro Araújo e Érica Bispo 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO – PÊNDULO FÍSICO E PÊNDULO SIMPLES ACOPLADO 
 
Trabalho realizado para a disciplina de Física Geral 
e Experimental II do departamento de física, sob a 
orientação do Professor Tiago Paes, e 
apresentado pelos alunos Deborah Santos, Pedro 
Araújo, Letícia Rodrigues e Érica Bispo. 
 
 
 
 
 
 
Salvador 
2016 
2 
 
PÊNDULO FÍSICO E PÊNDULO SIMPLES ACOPLADO 
Deborah, Pedro, Letícia e Érica – Turma P04 
FIS122 – Física Geral e Experimental II 
Professor: Tiago Paes 
 
Resumo 
Este relatório tem como finalidade tratar sobre pêndulos físicos através da 
análise dos resultados obtidos experimentalmente. Por meio dele foi possível 
demonstrar os períodos de oscilação, além de entender a respeito dos momentos de 
inércia do pendulo físico. No caso do experimento, para tal, foi utilizado uma barra 
de alumínio presa a uma garra de bicicleta, como eixo de oscilação. Desta forma 
pode-se observar e registrar diferentes oscilações para cada furo distinto da barra, 
sendo possível a construção de gráfico e análises comparativas. 
 
Introdução 
Os pêndulos são uma classe de osciladores harmônicos simples (M.H.S.), 
nos quais o elemento de elasticidade agora está associado com a força gravitacional 
e não com as propriedades elásticas do sistema massa-mola. Em ambos os 
sistemas, quando sujeito a um deslocamento, ele tenderá a voltar para a sua 
posição de equilíbrio por meio de uma força restauradora. 
O pêndulo simples é um sistema constituído por uma partícula de massa m, 
suspensa por um fio ideal de comprimento L, que ao oscilar em torno de sua posição 
de equilíbrio realiza um movimento periódico. Nesse caso, a força restauradora vai 
ter influência da gravidade que vai aplicar uma força a massa do pêndulo para que 
retorne para sua posição inicial. Aqui a força restauradora é devida à gravidade que 
força a massa a retornar para o ponto mais baixo. Quando suspenso em um ângulo 
𝜃 para pequenos ângulos, sin 𝜃 ≅ 𝜃 . Logo o torque restaurador de um pêndulo 
simples é dado por: 𝜏 = −𝑚𝑔𝐿 sin 𝜃. 
3 
 
 
Figura 1 - Pêndulo Simples. Fonte: Física UFPB. 
Já o pêndulo físico, chamado também de pêndulo real, possui uma 
distribuição de massa diferente do pêndulo simples. Nesse, quando deslocado em 
um ângulo 𝜃 a força atuará no seu centro de massa que estará a uma distância s do 
ponto do pivô, que também terá um braço de alavanca em relação a esse ponto, o 
qual vai gerar um torque. Como no pêndulo simples, no físico também analisaremos 
o momento de inércia I, porém agora ele vai variar a depender da forma do pêndulo, 
proporcional à sua massa. 
 
Figura 2 - Pêndulo Físico. Fonte: Halliday, 2009. 
Na figura 2, vemos um esquema de pêndulo físico onde C é o Centro de 
Massa, onde é aplicado o torque restaurador e L é a distância do ponto de pivô O 
até o seu centro de massa, geralmente na prática é mais usual usar essa distância 
como s. 
O torque restaurador será dado pela fórmula: 
𝜏 = −𝑚𝑔𝑠𝑠𝑒𝑛𝜃. 
4 
 
Para encontrar a frequência de oscilação, é aplicada a segunda lei de 
Newton, onde: 
𝜏 = 𝐼
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 
𝐼
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
= −𝑚𝑔𝑠 sin 𝜃 
𝜔 = √
𝑚𝑔𝑠
𝐼
. 
Para tal, é necessário definir I, o momento de inércia. No caso do 
experimento, com uma barra de alumínio, o 𝐼𝐶𝑀 = 
1
12
𝑀𝐿², onde L é o comprimento 
total da barra. Por meio do teorema dos eixos paralelos, é possível enfim encontrar o 
I para os diferentes furos da barra. 
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑚𝑠
2. 
Desta forma o objetivo deste relatório será analisar os dados experimentais, 
executar medidas de frequências de um pêndulo físico relacionando-o com a 
geometria e distribuição de massa que o caracteriza. 
Para fins de demonstração, vale falar a respeito dos pêndulos acoplados, 
estes acontecem entre dois ou mais sistemas físicos que vão se influenciando. Pode 
ser observado como dois pêndulos simples que vão “trocar de movimento”, quando 
um oscila, através da troca de energia entre eles, o outro irá oscilar de forma oposta 
ao outro. Por exemplo, no laboratório, foi possível observar que ao colocar para 
oscilar apenas um pêndulo no sentido horário, o outro pêndulo começa a girar no 
sentido anti-horário enquanto o primeiro pêndulo para de girar devido a troca de 
energia entre os pêndulos. A troca acontece repetidamente até a energia ser 
completamente dissipada entre os dois pêndulos. 
 
Figura 3 - Pêndulos Acoplados 
 
5 
 
Procedimento Experimental 
Material utilizado: 
 Haste de acrílico com furos; 
 Raio da roda de bicicleta; 
 Cronômetro; 
 Bases, garras e barras cilíndricas; 
 Sistema de pêndulos acoplados; 
 Balança; 
 Régua. 
Diagrama: 
 
Experimento: 
De início, utilizando a régua, obtivemos as medidas do comprimento L da 
haste de acrílico dotada de 12 furos, o seu centro de massa CM, a distância D de 
cada furo da haste até o seu centro de massa, e com o auxílio da balança, medimos 
o valor da massa da haste. Tais informações foram anotadas na tabela de dados. 
Após as medições, colocamos a haste sustentada pelo raio da roda de 
bicicleta que passava por um dos furos, e fizemos esta oscilar, medindo com o 
cronômetro o tempo de 15 oscilações para obtermos o período de oscilação 
(utilizamos um ângulo de 25º). Este procedimento se repetiu 11 vezes, modificando 
apenas as distâncias usadas de acordo com as mudanças dos furos da haste. 
6 
 
Quando a distância D se aproximou do centro de massa da barra, foi 
necessário diminuir o número de oscilações. 
 
Tratamento de Dados 
Na tabela a seguir foram registrados a massa m e o comprimento L do 
pêndulo físico (uma régua retangular de plástico furada em diversos pontos ao longo 
do lado mais comprido da régua, equidistantes da borda), o valor do período e da 
frequência. 
No sentido de diminuir os erros de medida, o período foi determinado a partir 
da medida do tempo de quinze oscilações e a amplitude angular de 25°, uma vez 
que, só é possível fazer a aproximação senϕ~ϕ, em radianos, para ângulos 
pequenos. 
 
L=40cm m=128.4g 
S (cm) 19.2 17.0 15.0 13.0 11.1 9.1 
f (Hz) 1.014 1.007 1.020 1.020 1.007 0.984 
T (seg) 0.986 0.993 0.980 0.980 0.993 1.016 
 
 
L=40cm m=128.4g 
S (cm) 7.0 5.0 3.1 2.0 1.2 0 
f (Hz) 0.857 0.857 0.676 0.547 0.446 - 
T (seg) 1.167 1.167 1.480 1.828 2.243 - 
 
7 
 
Gráfico 1: Gráfico do período de oscilação T em função da distância s. 
 
Neste gráfico, período de oscilação T em função da distância s, notou-se que 
ele tem um valor mínimo, e cresce quando s tende a zero e s tende a L/2. 
Observou-se também que ao fazer o pêndulo físico oscilar colocando o eixo 
exatamente no centro de massa da régua, a distância s do centro de massa ao eixo 
é igual a zero e analisando a expressão 
𝑇²
4𝜋²
=
𝐿
12
+𝑠²
𝑔𝑠
 e fazendo o limite s tendendo a 
zero, o período de T tende a infinito. O que nos diz que não há oscilação, pois, o 
sistema se apresenta em equilíbrio. A frequência tenderia a zero neste caso. 
 
Gráfico 2: Gráfico log-log de (T x S) com os quatros menores valores de s. 
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
T 
(s
eg
)
S (m)
T x s
Série1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1 10
T 
(s
e
g)
S (m)
T x s (log-log)
8 
 
 Dependência de T x s neste limite. (Quatro menores valores de s). 
Método dos Mínimos Quadrados: 
S (cm) 1,0 2,03,1 5,0 
T (s) 2,243 1,828 1,480 1,167 
Xi=log s 0,079 0,300 0,490 0,700 ∑Xi=1,569 
Yi=log T 0,351 0,262 0,170 0,067 ∑Yi=0,850 
XiYi 0,0277 0,0786 0,0833 0,0470 ∑XiYi=0,237 
Xi² 0,006 0,009 0,240 0,490 ∑Xi²=0,826 
*n=4 
Encontrando a (coeficiente angular) e b ( coeficiente linear) . 
𝑎 =
(∑ 𝑥𝑖)(∑ 𝑦𝑖)−𝑛(∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖)
(∑ 𝑥𝑖)²−𝑛(∑ 𝑥𝑖²)
 e 𝑏 =
(∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖)(∑ 𝑥𝑖)−(∑ 𝑥𝑖²)(∑ 𝑦𝑖)
(∑ 𝑥𝑖)²−𝑛(∑ 𝑥𝑖²)
 
a=
(1,569)(0,850)−4(0,237)
(1,569)2−4(0,826)
= -0,46 e b=
(0,237)(1,569)−(0,826)(0,850)
(1,569)2−4(0,826)
= 0,39 
De acordo com a expressão para o período 
𝑇²
4𝜋²
=
𝐿
12
+𝑠²
𝑔𝑠
, espera-se uma 
dependência em uma lei de potência com expoente negativo. 
Desta forma, a dependência entre T e s será do tipo 𝑦 = 𝑏𝑥𝑎. 
𝑇 = 0,39𝑠−0,46 
 
Gráfico 3: T²s/4² em função de s². 
s² 
(m) 
3,686 2,890 2,250 1,690 1,232 0,828 
T²s/4² 
(s².m) 
 
0,473 0,425 0,380 0,316 0,277 0,238 
 
s² 
(m) 
0,490 0,250 0,096 0,04 0,014 
T²s/4² 
(s².m) 
 
0,241 0,172 0,172 0,169 0,153 
 
9 
 
 
De acordo com a expressão já mencionada, espera-se uma dependência 
linear entre essas duas grandezas. Usando o método dos mínimos quadrados foi 
feito o ajuste da melhor reta entre elas. 
s² =xi 3,686 2,890 2,250 1,690 1,232 0,828 0,490 0,250 0,096 0,04 0,014 ∑Xi=13,46
7 
T²s/4²
=yi 
0,473 0,425 0,380 0,316 0,277 0,238 0,241 0,172 0,172 0,169 0,153 ∑Yi=3,016 
xiyi 1,743 1,228 0,855 0,534 0,341 0,197 0,118 0,043 0,017 0,007 0,002 ∑XiYi=5,0
86 
Xi² 13,58
7 
8,352 5,063 2,856 1,518 0,686 0,240 0,063 0,009 0,0016 0,002
2 
∑Xi²=32,3
68 
 
Tabela anterior no SI 
s² =xi 0,036
9 
0,028
9 
0,022
5 
0,016
9 
0,012
3 
0,008
28 
0,004
9 
0,002
5 
0,000
9 
0,0004 0,000
1 
∑Xi=0,135 
T²s/4²
=yi 
0,004
7 
0,004
25 
0,003
80 
0,003
16 
0,002
77 
0,002
38 
0,002
41 
0,001
72 
0,001
72 
0,0000
169 
0,001
53 
∑Yi=0,028 
xiyi 0,000
17 
0,000
123 
0,000
086 
0,000
044 
0,000
033 
0,000
02 
0,000
012 
0,000
0043 
0,000
0015 
0,0000
00006
8 
0,000
00015 
∑XiYi=0,0
012 
Xi² 0,001
36 
0,000
84 
0,000
51 
0,000
29 
0,000
15 
0,000
07 
0,000
024 
0,000
0063 
0,000
00081 
0,0000
0016 
0,000
00001 
∑Xi²=0,00
33 
 
𝑎 =
(∑ 𝑥𝑖)(∑ 𝑦𝑖)−𝑛(∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖)=0,14
(∑ 𝑥𝑖)²−𝑛(∑ 𝑥𝑖²)
 e 𝑏 =
(∑ 𝑥𝑖𝑦𝑖)(∑ 𝑥𝑖)−(∑ 𝑥𝑖²)(∑ 𝑦𝑖)
(∑ 𝑥𝑖)²−𝑛(∑ 𝑥𝑖²)
=0,000039 
y= 0,14x + 0,00039 T²s/4² = 0,14s² + 0,00039. 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 1 2 3 4
T²
S/
4

² 
s² (m²) 
T²s/4² x s²
Série1
10 
 
A partir dos valores obtidos para o coeficiente angular e termo constante, foi 
determinado à dependência do momento de inércia (I) do pêndulo físico em função 
da distância s que pode ser encontrada partindo-se da equação: 
𝑇 =
2𝜋
𝑤
 
𝑇 = 2𝜋 √𝐼/𝑀𝑔𝑠 Elevamos a equação ao quadrado 𝑇² =
4𝜋² 𝐼
𝑀𝑔𝑠
 
𝐼
𝑀𝑔
=
𝑇²𝑠
4𝜋²
 → 𝐼 = 𝑀𝑔.
𝑇²𝑠
4𝜋²
 → 𝐼 = 𝑀𝑔. (0,14s² + 0,00039. ) 
 
Para verificar se esta equação satisfaz o teorema dos eixos paralelos foi 
calculado o momento de inércia teórico (𝐼𝑡) e comparado ao momento de inércia 
experimental. 
O teorema dos eixos paralelos estabelece que o momento de inércia de um 
corpo em torno de um eixo qualquer pode ser expresso pela soma do momento de 
inércia em torno de um eixo paralelo ao original, passando pelo centro de massa, e 
de um termo que é o produto da massa total do corpo pelo quadrado da distância 
entre os dois eixos, ou seja: 
𝐼𝑡 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑚𝑠2 . 
𝐼𝑡 =
𝑀𝐿2
12
+ 𝑚𝑠² 
 
Sabendo que 𝐼𝑐𝑚 =
𝑀𝐿2
12
=
0,128(0,40)²
12
=0,0017kg.m² 
 
Calculando os momentos de inércia teóricos para cada s 
 
S=0,012m → 𝐼𝑡=0,00172 kg.m² 
S =0,020m → 𝐼𝑡=0,00175 kg.m² 
S=0,031m → 𝐼𝑡=0,00182 kg.m² 
S=0,050m → 𝐼𝑡=0,00202 kg.m² 
S=0,070m → 𝐼𝑡=0,00233 kg.m² 
S=0,091m → 𝐼𝑡=0,00276 kg.m² 
S=0,111m → 𝐼𝑡=0,00328 kg.m² 
S=0,130m → 𝐼𝑡=0,00386 kg.m² 
S=0,150m → 𝐼𝑡=0,00458 kg.m² 
S=0,170m → 𝐼𝑡=0,00540 kg.m² 
S=0,192m → 𝐼𝑡=0,00642 kg.m² 
 
11 
 
Substituindo s=0,192m; m=0,128kg e g=9,783m/s² 
 
Iexp= (0,128x9,783)x(0,14x0,192²+0,00039)=0,0069kg.m² 
S=0,192m → 𝐼𝑡=0,00642 kg.m² 
 
Cálculo do erro relativo: 
∆I=│0,0064-0,0069/0,0064│=7,2% 
O erro relativo para este valor de s é aceitável, porém se fosse utilizado 
valores menores de s para a realização dos cálculos este erro aumenta, pois quanto 
maior a distância entre o centro de massa e o eixo de oscilação do pêndulo maior 
será a precisão dos resultados experimentais. 
No geral, o momento de inércia expressou o grau de dificuldade em se alterar 
o movimento de um corpo em rotação. Notou-se que quanto maior o momento de 
inércia, mais difícil era fazê-lo girar ou alterar sua rotação. E o que mais contribuiu 
para o aumento do momento de inércia foi a massa e a distância da massa ao seu 
eixo de rotação. Quanto maior à distância s, maior o momento de inércia do corpo. 
 
Raio de giração k em função de s. 
O raio de giração k é a distância do eixo a um ponto tal que, se toda a massa 
do corpo estiver ali concentrada, o seu momento de inércia em relação ao eixo seria 
igual ao do corpo que constitui o pêndulo físico. Este pode ser obtido em função de s 
da seguinte forma: 
𝐼 = 𝑀𝑔(0,14s² + 0,00039) 
𝐾 = √𝐼/𝑚 → 𝐾 = √𝑀𝑔(0,14s² + 0,00039/𝑚 = 0,23 m 
Desta forma, analisando o conceito de raio de giração percebe-se que o valor 
do raio de giração k não pode ser maior que a régua, pois este é uma distância 
contida na régua. 
 
 
 
12 
 
 
Conclusão 
 Pêndulo Físico é aquele que tem sua massa distribuída ao longo do corpo, ao 
contrário do pêndulo simples em que a massa é concentrada em apenas um local. 
Conclui-se com este experimento que a massa distribuída implica na forma como o 
pêndulo oscila e seu período de acordo com a mudança do eixo de rotação. 
 Observou-se que quanto maior a distância entre o centro de massa e o eixo 
de oscilação (s), maior será a precisão do experimento pois o momento de inércia 
será maior e maiores momentos de inércia causam mais oscilações em períodos 
menores que são mais fáceis de observar em laboratório. Por exemplo, quando o s = 
0, o pêndulo não oscilou pois seu momento de inércia ficou muito pequeno e não 
teve oscilações. 
 Considerando todas as observações em laboratório, podemos dizer que este 
experimento permitiu entender mais sobre as oscilações de pêndulos com massas 
distribuídas, pêndulos físicos, e a interferência da posição do eixo de oscilação neste 
movimento. 
 
 
Referências 
UFBA. Instituto de Física. Roteiro de Laboratórios para Física Geral e 
Experimental II - Pêndulo Físico. Disponível em: 
<http://www.fis.ufba.br/laboratorio-2>. Acesso em: 02 de ago. 2016. 
UFPB. Estudo Dirigido de Física On-Line sobre Movimento Harmônico Simples 
(M.H.S.)- Pêndulo Simples. Disponível em: 
<http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto6.htm>. Acesso em: 02 de ago. 
2016. 
HALLIDAY, D.;RESNICK, R.; E WALKER; J. Fundamentos da Física – Vol. 2, 
Gravitação, ondas e termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2009.