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KIT DE SOBREVIVÊNCIA PARTE I - TEORIA - 2 Sumário Fatoração..................................................................................................................................3 Frações.....................................................................................................................................4 Operações com frações.........................................................................................................4 Adição e subtração.......................................................................................................4 Multiplicação...............................................................................................................5 Divisão.........................................................................................................................5 Potenciação..............................................................................................................................6 Radiciação................................................................................................................................8 Decomposição do radicando.................................................................................................8 Simplificação de radicais......................................................................................................8 Produto de radicais...............................................................................................................8 Divisão de radicais...............................................................................................................8 Potenciação de radicais........................................................................................................8 Radiciação de radicais..........................................................................................................9 Racionalização de denominadores.......................................................................................9 Inequações.............................................................................................................................10 Valor Absoluto......................................................................................................................10 Variável Independente e Variável Dependente.....................................................................12 Função...................................................................................................................................12 Domínio................................................................................................................................13 Imagem.................................................................................................................................14 Continuidade.........................................................................................................................15 Operações com Funções.......................................................................................................15 Operações de Translação...................................................................................................16 Revendo Gráficos Cartesianos..............................................................................................18 FATORAÇÃO Fatorar uma expressão algébrica significa reescrevê-la como um produto. Há várias formas de se fatorar uma expressão algébrica. Em geral, coloca-se em evidência o fator comum a todos os termos da expressão. Exemplo: Fatorar 7 83 2 2 4 3 3xy x y x y x y− + − 5 3 como xy2 é o fator comum a todos os termos da expressão xy2 ( )7 8 3 2y x x y x y− + − Algumas técnicas de fatoração utilizadas com freqüência: a2 - b2 = (a + b)(a - b) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b)( a2 + ab + b2) (a + b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Observe que não há fórmula para a expressão a2 + b2, pois ela não pode ser fatorada utilizando números reais. Outra expressão que pode ser fatorada é a do tipo ax2 + bx +c, que se transforma no produto de dois binômios, (x - x1)(x - x2). Por exemplo: x2 - 2x + 8 = (x - 4)(x + 2) Os termos grifados (x1 , x2) podem ser encontrados resolvendo-se a equação ax2+ bx+c = 0 através da fórmula de Báskara. x b b a a = − ± − 2 4 2 c Exemplos: 1) Fatorar x2 - 2x -15 x2 - 2x - 15 = 0 x = ± + = ±2 4 60 2 2 8 2 x x1 25 3= = − Então x2 - 2x -15 = (x - 5)(x + 3) 2) Fatorar x6 - 16 = (x3)2 - (4)2 x6 - 16 = (x3 + 4)( x3 - 4) 3) Fatorar 64a3 - 27b3 = (4a)3 - (3b)3 64a3 - 27b3 = (4a - 3b)(16a2 + 12ab + 9b2) ATENÇÃO Não cometa mais este erro: a2 - b2 = (a - b)2 ERRADO a2 - b2 = (a + b)(a - b) CERTO - (x - y) = - x - y ERRADO - (x - y) = - x + y CERTO 3 FRAÇÕES a b a dividen rador b divisor ou denominador do ou nume⎧⎨⎩ , onde b ≠ 0 * SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Para simplificar uma fração é necessário dividir o numerador e o denominador pelo seu máximo divisor comum. Exemplos: 36 48 36 12 48 12 3 4 = ÷÷ = 2 4 2 4 2 2x xy x x x y x y = ⋅ ⋅⋅ ⋅ = , onde x, y ≠ 0 14 21 2 7 3 7 2 3 2 2 a bc ab c a a b c a b b c a b = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , onde a, b, c ≠ 0 Pode-se também simplificar frações, aplicando os casos de fatoração nos termos da fração e cancelando os fatores comuns. Exemplos: 5 10 15 5 2 5 15 5 2 3 x x x− = − ÷÷ = −( ) a a a a a a 2 4 2 2 2 2 2−− = + − − = + ( )( ) , onde a ≠ 2 x y x xy y x y x y x y + + + = + + = +2 2 22 1 ( ) , onde x + y ≠ 0 Por quê, nas simplificações, deve-se tomar cuidado com as restrições do tipo x ≠ 0, x+ y ≠ 0, a ≠ 2, etc ? OPERAÇÕES COM FRAÇÕES * ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO Reduzimos as frações ao mesmo denominador, quando necessário. Divide-se este denominador pelos denominadores anteriores e o resultado multiplica-se pelo numerador correspondente. a b c b a c b + = + , onde b ≠ 0 a b c b a c b − = − , onde b ≠ 0 a b c d ad bc bd + = + , onde b, d ≠ 0 a b c d ad bc bd − = − , onde b, d ≠ 0 4 Exemplo: 4 5 2 3 4 3 2 5 15 22 15 + = ⋅ + ⋅ = 2 3 2 3 1 22 2x 3 2x x x x x + = ⋅ + ⋅ = + 4 5 2 3 4 3 2 5 15 2 15 − = ⋅ − ⋅ = 2 3 2 3 1 22 2x 3 2x x x x x − = ⋅ − ⋅ = − * MULTIPLICAÇÃO Multiplica-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. a b c d ac bd ⋅ = , onde b, d ≠ 0 Exemplo: 3 2 5 3 10 2a a b a b ⋅ = 2 7 5 10 7 c d c d ⋅ = * DIVISÃO Multiplica-se a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador. a bc c d a bc d c ad bc ÷ = ⋅ = 2 ou a bc c d a bc d c ad bc = ⋅ = 2 , onde b, c, d ≠ 0 Exemplos: a b c a b c a b c a bc = ÷ = ⋅ =1 , onde b, c ≠ 0 1 1 1 a b a b b a b a = ÷ = ⋅ = , onde a, b ≠ 0 ATENÇÃO Não cometa mais estes erros: x y y x+ = ERRADO x y y x⋅ = CERTO 1 1 1 a b a b + = + ERRADO 1 1 a b b a a b + = +⋅ CERTO a b a b− = − ERRADO a b a b a − = −1 CERTO 5 POTENCIAÇÃO a a base n oente n→ → ⎧⎨⎩ exp * Toda potência de expoente zero é igual a 1. a0 1= , a ≠ 0 6 Exemplos: (143)0 = 1 3 5 12 0 x y ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = * Toda potência de expoente 1 é igual a base. a a1 = Exemplo: 7 2 7 2 4 1 4a b a b ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = * Toda potência de expoente negativo e base não nula é igual ao inverso da base elevada ao expoente positivo. a a an n − = ≠1 0 , Exemplos: −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − −7 10 10 7 1 ( ) ( ) ( )x x x 2 2 3 2 2 3 2 23 7 1 7 1 7 − = − = − − Atenção ao exemplo abaixo: 1 7 2 1 7 2 7 2 2 7 3 1 3 1 3 1 3 + − = + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = +− ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − x y x y x y y x 9 *Um número negativo elevado numa potência par torna-se positivo. Exemplos: ( )− = − ⋅ − =3 3 32 ( ) ( ) −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⋅ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = −4 5 5 4 5 4 5 4 25 16 2 2 Mas − = − ⋅ = −5 1 25 252 * Um número negativo elevado numa potência ímpar conserva seu sinal. Exemplo: ( )− = − ⋅ − ⋅ − = −4 4 4 43 ( ) ( ) ( ) 64 PROPRIEDADES: * Um produto de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando-se a base e somando-se os expoentes. a a am n m n⋅ = + Exemplo: ( ) ( ) ( )− = − ⋅ − =4 4 4 163 2 3 3xy xy xy x y2 6 * Um quociente de potências de mesma base é igual à potência que se obtém conservando a base e subtraindo os expoentes. a a a a a m n m n m= ÷ = −n Exemplo: 5 7 5 7 5 7 5 7 3 2 3 2 2 1 2x y xy x y xy x y x y = ÷ = =− * Uma potência elevada a um dado espoente é igual à potência que se obtém conservando a base e multiplicando os expoentes. ( )a am n m n= ⋅ Exemplo: 2 3 8 27 8 27 2 3 3 6 3 x y x y x y⋅⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⋅ = 6 * O mesmo aplica-se ao quociente elevado a um certo expoente. ( )a b a bn n÷ = ÷ n ou a b a b n n n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = , b ≠ 0 Exemplo: ( ) ( ) 4 3 3 4 3 4 9 16 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 6 4 x b b x b x b x ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = = − ATENÇÃO Não cometa mais estes erros: x x − = 1 3 3 1 ERRADO x x x − = = 1 3 1 3 3 1 1 CERTO x x x x x+ = +2 2 3 ERRADO x x x x x x x x+ = + = +2 2 2 3( ) 4 2 2 CERTO ( )x y x y+ = +2 2 ERRADO CERTO ( )x y x xy y+ = + +2 2 2 x y x y+ = + ERRADO x y x y⋅ = ⋅ CERTO 7 RADICIAÇÃO a apq p q= , sendo q ≥ 2 aq , se q é par então a ≥ 0 se q é ímpar então a ∈ R • DECOMPOSIÇÃO DO RADICANDO: Exemplos: 325 = Fatorando-se 32, temos: 2 2 2 2 2 25⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Simplificando o índice da raiz com o expoente do radicando: 255 = 2. 8 = Fatorando o 8, temos: =22 2 2⋅ ⋅ 3 Simplificando o índice da raiz com o expoente do radicando: 2 23 2= ⋅2 = 2 2 Daí, temos: a ann = • SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS: Simplifica-se o índice e o expoente pelo máximo divisor comum aos dois. Exemplos: 246 = 24 26 2 ÷÷ = 223 • PRODUTO DE RADICAIS: Exemplo: 4 25⋅ = 4 ⋅ 25 = 2 . 5 = 10 Daí, temos: a bn ⋅ = an ⋅ bn • DIVISÃO DE RADICAIS: 25 9 = 25 9 = 5 3 Logo, temos: a b = a b • POTENCIAÇÃO DE RADICAIS: Conserva-se o índice e eleva-se o radicando e o coeficiente (caso exista) na potência correspondente. Exemplos: 1) ( 27 )5 = 257 2) (2 235 )2 = 22 ⋅ = 4265 265 = 8 25 8 Logo, temos: ( x ma )n = ( x m na . ) • RADICIAÇÃO DE RADICAIS: Para extrair a raiz de um radical, multiplicam-se os índices e conservam-se os radicandos. Exemplos: a3 = a3 2⋅ = a6 a a 35 = a a2 35 . = a 510 = a5 Logo: anm = am n⋅ Observação: Para introduzir um termo numa raiz eleva-se o número na potência correspondente ao índice da raiz onde ele será introduzido. • RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES: Racionalizar denominadores é transformar os números irracionais dos denominadores em números racionais. Primeiro Caso: O denominador é formado somente pelo radical. Exemplos: 1) 3 2 7 = 3 2 7 . 7 7 = 3 7 2 7. = 3 7 14 2) 1 23 = 1 23 . 2 2 23 23 = 4 2 3 Segundo Caso: O denominador é a soma de dois termos, sendo ao menos um deles um radical. Sugestão: Lembre os casos de fatoração. Exemplos: 1) 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 3 2 3+ = + ⋅ − − = − + − = − − = −( )( ) 2) 3 2 5 1 3 2 5 1 2 5 1 2 5 1 6 5 3 4 5 1 6 5 3 19+ = + ⋅ − − = − ⋅ − = − ATENÇÃO Não cometa mais este erro: x y x y+ = + ERRADO ( )x y x y+ = + 12 CERTO 9 INEQUAÇÕES Resolver uma inequação consiste em determinar os valores que satisfazem a inequação em questão. Vejamos algumas propriedades das inequações: 1. a > b ∧ b > c → a > c Seja a > b : 2. c > 0 → a ⋅ c > b ⋅ c 3. c < 0 → a ⋅ c < b ⋅ c 4. a > b → a + c > b + c 5. a > b ∧ c > d → a + c > b + d VALOR ABSOLUTO O valor absoluto de um número real é a distância entre ele e a origem, independentemente do sentido. x se x se x = ≥− < ⎧⎨⎩ x x , , 0 0 x -x 0 x 0 x Propriedades : 1) | x | < a , -a < x < a 2) | x | > a , x > a ou x < -a 3) | a + b | ≤ | a | + | b | 4) | a ⋅ b | = | a | ⋅ | b | 5) | a | = b, b > 0 ↔ a = b ou a = -b Exemplos: 1) | x - 3 | < 1 2 − < − <1 2 3 1 2 x Propriedade 1 (valor absoluto) − + < − + < +1 2 3 3 3 1 2 3x Propriedade 4 (inequações) 5 2 7 2 < <x 2) | -2x - 7 | ≥ 3 10 11 3− − ≥2 7x ou − − ≤ −2 7 3x Propriedade 2 (valor absoluto) − − + ≥ +2 7 7 3 7x − − + ≤ − +2 7 7 3 7x Propriedade 4 (inequações) − ⋅ − ≤ ⋅ −2 1 2 10 1 2 x − ⋅ Propriedade 3 (inequações) − ≥ ⋅−2 1 2 4 1 2 x x ≤ −5 x ≥ −2 3) 5 1 + − x x < 0 Analisando o sinal das funções y = x - 1 e y = x + 5, temos: - - - - - - - - - - - + + + + + + + y = x - 1 1 - - - - - - + + + + + + + + + + + y = x + 5 -5 + + + + - - - - - + + + + + + + -5 1 Solução: (-5 ; 1) ou S={x ∈ R / -5 < x <1} 4) x 0822 ≥−− x Serão feitas duas resoluções diferentes: Primeira Utilizando a fatoração, transforma-se a expressão no produto (x – 4)(x + 2) e analisa-se o sinal de cada uma das funções y = x – 4 e y = x + 2. 822 −− xx - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + y = x - 4 4 - - - - + + + + + + + + + + + + + y = x + 2 -2 + + + - - - - - - - - - - + + + + + y = (x -4)(x + 2) -2 4 Solução: (-∞ ; -2] ∪ [4 ; +∞) Segunda Analisa-se o sinal da função y = (parábola). 822 −− xx Solução: (-∞ ; -2] ∪ [4 ; +∞) + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + + -2 4 y x x = −+ 1 5 VARIÁVEL DEPENDENTE EVARIÁVEL INDEPENDENTE 1) y x − + =2 5 0 x e y estão relacionados, mas a dependência não é explícita 2) y x − = −2 5 3) y x Da forma como é apresentada a função, sabendo-se x, y fica = −2 5 automaticamente definido , ou seja, y depende de x. x → variável independente y → variável dependente 4) x y= + 5 ou x y= − + 5 Observe que as funções também podem ser apresentadas nesta forma, mudando assim, a relação de dependência. y → variável independente x → variável dependente FUNÇÃO Dados os conjuntos A e B, uma função definida em A e com valores em B é uma lei ou regra que a cada elemento em A faz corresponder um único elemento de B. Exemplos: y = x2 y = 2x (x-3)2+(y-2)2=9 É função É função 2 3 Não é função DOMÍNIO 12 Conjunto de todos os valores possíveis da variável independente (x) que fazem a função estar definida. Exemplo: y = x2 + 3 Dom f : R Deve-se ter cuidado ao analisar-se uma função, pois algumas vezes seu domínio possui restrições, como nos exemplos a seguir: 1) g t t( ) = + 3 t + 3 ≥ 0 ( ver radiciação ) t ≥ -3 Dom f: [-3 ; +∞) ou Dom = {t ∈ R / t ≥ -3} 2) f x x x ( ) = −− 2 3 2 x - 2 ≠ 0 ( ver frações ) x ≠ 2 Dom f: R - {2} ou Dom = {x ∈ R / x ≠ 2} 3) g x x ( ) = − 2 92 x2 9 0− > ( ver radiciação e inequações ) x < − >3 x 3ou Dom f: (-∞ ; -3) ∪ (3 ; +∞) ou Dom = { x ∈ R / x < − >3 x 3ou } Alguns exemplos de gráficos: y x= −2 2 Dom: R f x x( ) = + 2 Dom: [-2 ; +∞) g x x ( ) = − 1 1 Dom: R - {1} IMAGEM 13 Conjunto dos valores de f(x) que estão associados a algum valor de x de acordo com a lei da função. Exemplos: 14 1 1) f x x( ) = −2 Dom f: R Im f: R 2) g t t( ) = + 2 Dom f: [-2 ; +∞) Im f: [0 ; +∞) 3) h x x( ) = −2 2 Dom f: R Im f: [-2 ; +∞) ( ver gráficos ) 4) x x x x x + ≤ − + < ≤ − + > ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ 4 0 4 4 0 2 12 4 2 , , , se x se se x 4 Dom f: R Im f: ( -∞ ; 4 ] CONTINUIDADE Entende-se por função contínua aquelas onde seu gráfico se apresenta como uma linha contínua, isto é, uma linha que não possua “furos” ou “saltos”. f(x) = x2 Contínua f(x) = x3 Contínua f(x) = 1 x Esta função é descontínua, pois no ponto x = 0, a função não existe. f(x) = 2 , x ≠ 1 Esta função é descontínua, pois no ponto x = 1, a função não existe OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Supondo que h(x) = x2 + x, podemos ver que para cada x, h(x) é dado pela soma dos valores da funções f(x) = x2 e g(x) = x, isto é, para cada número real x : h(x) = f(x) + g(x) Em geral, se f e g são funções reais definimos as funções: (i) soma f + g, dada por (f + g) (x) = f(x) + g(x) (ii) produto f⋅g, dada por (fg)(x) = f(x) . g(x) (iii) quociente f/g, dada por (f/g)(x) = f(x)/g(x) Sabemos que f e g são funções contínuas, de onde concluímos que h também será uma função contínua. Caso f e/ou g fossem descontínuas, h seria descontínua. Em relação ao domínio de cada uma dessas funções, mantemos a definição que já conhecemos: o domínio é o conjunto dos números reais para os quais a regra que define a função faz sentido. Assim, tanto o domínio da soma f + g, quanto o domínio do produto f⋅g, é o conjunto dos números que estão na Intersecção dos domínios de f e g. Já o domínio do quociente não contém os valores de x para os quais g(x) = 0. 15 Além das funções que podem ser obtidas de outras através das operações com números reais, já vimos que se f e g são funções reais podemos definir a composta fog e que se f é uma função inversível, então f determina uma outra função, sua inversa f -1. • OPERAÇÕES DE TRANSLAÇÃO: NA IMAGEM: Observe os gráficos abaixo: f(x) = x2 f(x) = x2 + 2 f(x) = x2 - 2 Observando os gráficos, nota-se que somando-se uma constante positiva à imagem da função o gráfico desta desloca-se para cima, bem como ao subtrairmos uma constante positiva este desloca-se para baixo. f(x) = x2 f(x) = 2x2 f(x) = x 2 2 Nestes gráficos, nota-se que ao multiplicar a função por uma constante maior que 1 o gráfico desta “espicha”, bem como ao dividi-la por uma constante maior que 1 este torna-se mais “achatado”. NO ARGUMENTO: Observe os gráficos abaixo: 16 f(x) = x2 f(x) = (x + 2)2 f(x) = (x - 2)2 Observando-se os gráficos, nota-se que ao somar uma constante positiva (k) no argumento da função o gráfico desta se deslocará para esquerda k unidades, bem como ao subtrair uma constante positiva (k) este se deslocará para a direita k unidades. f(x) = (2x)2 f(x) = x 2 2⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ Observando-se os gráficos, nota-se que ao multiplicar uma constante maior que 1 no argumento da função o gráfico desta “afina”, bem como ao dividir a função por uma constante maior que 1 este torna-se mais largo. REVENDO GRÁFICOS CARTESIANOS 17 1) y = k É uma reta paralela ao eixo x: Esse gráfico representa uma função constante. Ex: y = 1 2) x = k y 18 É uma reta paralela ao eixo y: Esse gráfico não representa uma função. Ex: x = 3 0 1 2 3 x 3) y = kx É uma reta que passa pela origem. Ex: y = 2x Duas grandezas são proporcionais ou diretamente proporcionais quando seus valores y e x são tais que y = kx , sendo k uma constante positiva. Neste caso, a constante k é chamada de constante de proporcionalidade. Reciprocamente, se duas grandezas são representadas por uma reta que passa pela origem (nem vertical, nem horizontal), então elas são proporcionais. 4) y = mx + n, m 0 ≠ É uma reta não-paralela aos eixos coordenados: θ θ tgθ = m Note que: m > 0 tg⇒ θ >0. Logo, θ é agudo e a reta é crescente. m < 0 ⇒ tgθ <0. Logo, θ é obtuso é decrescente. 5) y = ax2+bx+c, a 0 ≠ É uma parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y. Há seis possibilidades de gráficos: Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 a > 0 a > 0 a > 0 Δ > 0 a < 0 Δ = 0 a < 0 Δ < 0 a < 0 Para construir o gráfico de uma parábola, é fundamental conhecer o vértice. A abcissa x do vértice é dada pela fórmula xv = − ba2 Duas grandezas são inversamente proporcionais quando seus valores correspondentes y e x são tais que y = K x , sendo K uma constante positiva. Nesse caso, a constante é chamada de constante de proporcionalidade inversa. Reciprocamente, se duas grandezas são representadas por uma hipérbole,como na figura anterior, então elas são inversamente proporcionais. Exemplos de gráficos de algumas funções: y = ax 0 < a < 1 a > 1 y = loga x 0 < a < 1 a > 1 19 y = x , x 0 ≥ y = x3 y = k x , k > 0 20 Frações.....................................................................................................................................4 FATORAÇÃO Primeira Segunda
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