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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Aula 4 – Gradiente Derivada direcional Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Conteúdo Programático desta aula Regra da cadeia; Derivadas parciais de segunda ordem; Gradiente; Curvas de nível; Derivada direcional Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivada de funções compostas (Regra da Cadeia) Seja a função f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t). A derivada desta função em relação a “t” é Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivada de funções compostas (Regra da Cadeia) Exemplo: Calcular a derivada da função F(x,y) = x2 + 3y –5, onde x(t) = et e y(t) = t3. Temos que a derivadas parciais são: Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivadas parciais de segunda ordem Se f é uma função de duas variáveis x e y, suas derivadas parciais são fx=∂f /∂x e fY= ∂f/∂y . Se derivarmos essas derivadas mais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem, que são representadas por Quando a função e suas derivadas são contínuas, as derivadas cruzadas são iguais , ou seja fxy = fyx . Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivadas parciais de segunda ordem Exemplo: Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y Temos Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Gradiente Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se por grad f ou ∇f, a expressão: O gradiente é um vetor e i, j, k são os vetores unitários. Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Propriedades Algébricas do Vetor Gradiente Vejamos algumas propriedades relacionadas ao cálculo do gradiente: Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Curvas de Nível Uma outra forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método semelhante ao da representação de uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Vamos supor que a superfície z=f(x,y) seja interceptada por um plano z=k, e a curva de intersecção seja projetada no plano xOy. Essa curva tem equação f(x,y)=k e é chamada de curva de nível (ou curva de contorno) da função f em k . Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Curvas de Nível Na figura podemos observar as vinhas na região do Douro, em que as videiras foram dispostas em linhas segundo as curvas de nível, para evitar problemas de erosão e para melhorar a exposição solar Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Curvas de Nível As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no plano xOy de equações da forma f(x,y)=k . O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. Todos os pontos (x,y) que estão na mesma curva de nível têm a mesma imagem z. Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Curvas de Nível (Exemplos) Seja a função dada por z = x2 + y2. As curvas de nível para z = 0, z =1, z = 2 e z = 4 são: As curvas de nível nunca se interceptam Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Curvas de Nível (Exemplos) Seja a função dada por z = x2 + y2. Como todas as curvas de nível são círculos com centros em (0,0) concluímos que o gráfico de f(x,y) é uma superfície de revolução em torno de OZ. Concluímos que o gráfico é um parabolóide de revolução. Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivada direcional Suponha estarmos numa ladeira de uma montanha e desejamos determinar a inclinação da montanha na direção do eixo dos z. Se a montanha fosse representada pelo gráfico da função z = f(x,y), então, já saberíamos determinar a inclinação em duas direções diferentes, a saber, na direção do eixo dos x utilizando e na direção do eixo dos y utilizando Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivada direcional Neste momento veremos como utilizar derivada para determinar a inclinação em qualquer direção; para isto definimos um novo tipo de derivada chamada direcional. Este conceito generaliza o de derivada parcial, isto é, as derivadas parciais de uma função podem ser obtidas como casos particulares das derivadas direcionais. Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivada direcional Sejam A ⊂ Rn aberto, f: A ⊂ Rn→ R uma função, x ∈ A e v um vetor unitário em R . A derivada direcional de f no ponto x e na direção v é denotada por: e definida por se o limite existir. Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivada direcional Se n=3, A ⊂ R3 aberto, f:A ⊂ R3 →R uma função, x = (x,y,z)∈A e v = (v1,v2,v3) um vetor unitário em R. A derivada direcional de f no ponto (x,y,z) e na direção v é denotada por: é definida por se o limite existe. Analogamente para n = 2: Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivada direcional (Exemplo) Calcule a derivada direcional de f(x,y) = x2 + y2 na direção (2,2). O vetor (2, 2) não é unitário. Logo Assim sendo, Portanto, Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Derivada direcional (Exemplo) Calcule a derivada direcional de f(x,y) = x2 + y2 na direção (2,2). O vetor (2, 2) não é unitário. Logo Assim sendo, Portanto, Finalizando, temos Tema da Apresentação NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Gradiente Derivada direcional Tema da Apresentação
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