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1 LISTA DE EXERCÍCIOS – FUNÇÕES NOÇÕES GERAIS 1) Quais dos diagramas abaixo se encaixam na definição de função de A em B, onde A= {a,b,c} e B={1,2,3}? 2) Quais dos diagramas abaixo não representam uma função de A em B, onde A= {a,b,c} e B={1,2,3}? Justifique a resposta. 3) As funções f e g são dadas por mxxf 23)( += e 12)( +−= xxg . Calcule o valor de m, sabendo que ( ) ( ) 310 =− gf . DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DISCIPLINA: MAT 220 - INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA 2 4) Explicite o domínio das funções reais definidas por: a) 6 1)( − = x xf b) 9 )( 2 − = x x xf c) 54 1)( 2 −+ = xx xf d) xxf −= 5)( e) x xf − = 8 1)( f) 3 2)( − − = x x xf FUNÇÃO AFIM 5) Encontre a equação da reta: a) que passa por (2, -3) e tem coeficiente angular -4; b) que passa por (-4,2) e (3, -1); c) que passa por (2, -4) e é paralela ao eixo x; d) que passa por (4, -2) e é paralela a reta x + 3y = 7 e) que passa por (5, 3) e é perpendicular a y + 7 = 2x. 6) A cetesb detectou uma certa companhia jogando ácido sulfúrico no Rio Tiete, multou-a em $ 125.000,00, mais $ 1.000,00 por dia até que a companhia se ajustasse às normas legais que regulamentam os índices de poluição. Expresse o total de multa como função em numero de dias em que a companhia continuou violando as normas. 7) As funções consumo e poupança de um operário de renda variável y são, respectivamente, C = 100 + 0,6y e S = 0,4y – 100. a. Qual o seu consumo e sua poupança se ele ganhar R$ 480,00? b. Qual o seu consumo se sua renda for nula? Como você explica a existência de consumo com uma renda nula? c. Qual a sua poupança se sua renda for nula? Como você explica a existência de poupança negativa? 8) Para que valores de k, a função afim dada por f(x) = (12 – 4k)x + 2 é crescente. 9) A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(2) = 4 e f(1) = 3. Determine o valor de f(-1). 10) Dada a função f: Z → Z definida por f(x)= -2x + 3 , calcule x para que: a) f(x) = - 6 b) f(x) = 9 3 11) Encontre a interseção dos gráficos das funções y = 3x + 4 e y = -2x + 9. 12) O lucro pela venda de um determinado produto é dado pela função afim f(x) = 3x – 90. Estude para que valores de x teremos: lucro, prejuízo e lucro zero. FUNÇÃO QUADRÁTICA 13) Esboce os gráficos das funções, dê as coordenadas dos vértices, a imagem, encontre os intervalos onde ela é crescente ou decrescente e estude o sinal. a) y = x² - 6x + 5 b) y = - x² + 4x - 4 c) y = -2x² + x – 1 d) y = (x-3)² 14) (UFOP-MG - adaptada) Em relação ao gráfico da função f(x) = - x² + 4x – 3 classifiquem em V (verdadeiro) ou F (falso) as sentenças a seguir: a) é uma parábola de concavidade voltada para cima. b) seu vértice é o ponto V (-2, 1). c) a parábola tem ponto de máximo igual a (2, 1). d) o valor máximo é 2. 15) Ao chutar uma lata, um cientista observou que sua trajetória seguiu a lei matemática h(t) = 6 + 4t – t² , na qual h é a altura, em metros, atingida pela lata em função do tempo t, em segundos, após o chute. Com base nesta situação e analisando as afirmativas a seguir: I. O gráfico que traduz a função acima descrita é uma parábola com concavidade voltada para cima. II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10m. É correto afirmar que: a) todas as afirmativas são verdadeiras b) todas as afirmativas são falsas c) somente a afirmativa I é falsa d) somente a afirmativa II é verdadeira e) somente a afirmativa III é verdadeira 16) Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = mx² + (2m - 1)x + (m - 2) tenha zeros reais e distintos. 4 17) Obtenha os pontos em comum aos gráficos de y = x² + 2x e y = x + 2. Esboce as funções no mesmo sistema de coordenadas, indicando a interseção. 18) Determine a função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos (1, 8), (0, 3) e (2, -1). MÁXIMOS E MÍNIMOS 19) Com 80 m de corda, um fazendeiro deseja cercar uma área retangular junto a um rio, para confinar alguns animais. Quais devem ser as medidas do retângulo, para que a área cercada seja a maior possível. 20) Determine o retângulo de área máxima localizado no 1º quadrante, com dois lados nos eixos coordenados e vértice na reta y = -4x + 5. 21) É dada uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máxima. 22) Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo. FUNÇÃO EXPONENCIAL 23) Resolver as seguintes equações exponenciais a) 2� � 128 b) 2� � �� c) � � � 125 d) �√2� �� � 8 e) 9� � 27 5 24) Construir os gráficos cartesianos das seguintes funções exponenciais e determinar seu conjunto imagem. a) � � 3� b) � � ���� � c) � � 2 − 2� d) y = 10�� e) y = ���� � f) ��� = 2!��� g) f�x = 2� + 1 25) (Fuvest - SP) Sejam ��� = �!� � e %�� = � � � . a) Usando o mesmo par de eixos, esboce os gráficos de f e de g. b) Decida, a seguir, qual dos números é o maior: �!� & ' ou �� ( � . 26) A população de uma cidade, em 2005, era de 60 000 habitantes. Se a taxa de crescimento anual ficar em torno de 2%, qual será a população aproximada no ano de 2015? a) Faça um gráfico para mostrar o crescimento dessa população. b) Como o gráfico auxilia a perceber a tendência de crescimento dessa população nas condições do problema? FUNÇÃO LOGARITMICA 27) Construir o gráfico das funções a) ��� = log� � b) ��� = log& � � c) f�x = log x d) f�x = log & &, x e) ��� = log& ( � + 2 28) Determine o domínio da função f�x = log�-� 2x² − 5x + 2 29) (Unicamp – SP 1991) Considere que certo país troque de moeda cada vez que a inflação acumulada atinge 900%. A nova moeda vale sempre 1 000 vezes a antiga. Com uma inflação de 25% ao mês, em quanto tempo esse país trocará de moeda? (Use log 2 = 0,301). 6 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA 30) (Santa Casa-SP) Seja a função f, de IR em IR definida por f(x) = 1 + 4 sen x. O conjunto imagem dessa função é o intervalo: a)[-3, 5] b) [3,5] c) [-3, 4] d) [3, 4] e) [-1, 1] 31) (Mack-SP) O período da função dada por y = sen �2� − π.� é: a) pi b) 2pi c) π. d) π! e) π/ 32) A figura a seguir mostra parte do gráfico da função: a) 2 cos x b) 2 sen (x/2) c) 2 sen x 7 d) 2 sen 2x e) 2 cos 2x 33) A figura abaixo é parte do gráfico da função: a) f(x) = 2 sen �! b) f(x) = 2 sen 2x c) f(x) = 1 + sen 2x d) f(x) = 2 cos �! e) f(x) = 2 cos 2x 34) (PUC-SP) Dos gráficos abaixo, assinale aquele que melhor representa o gráfico da função y = 1 + 2 sen �� − π.�: a) 8 b) c) d) FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA SENTENÇA Algumas funções são definidas por mais de uma sentença. Por exemplo, o Imposto de Rendade um contribuinte é calculado a depender da sua faixa de renda. O preço de uma ligação em um telefone celular depende da hora e para qual operadora se liga. 35) Esboce o gráfico das funções a seguir: 9 a) ≥+ <+ = 0 x se , 1 x 0 xse , 2x )x(f 2 b) ≥ <− = 1 x se , 1-x 1 xse , 1x)x(f 2 c) > = <+ = 1 x se , x 1 1 x se , 2 1 xse , 1x2 )x(f d) >+ ≤+ = 0 xse ; 1 x 0 xse ;x x f(x) 2 e) <+ ≤ = x1 se ; 12x 1 xse ; x f(x) 2 f) ≤ < = x 0 se ; x 0 xse ; x- f(x) 2 g) <+ = ≠≥ = 1 x se ; 1 x- 2 xse ; 1 2 x e 1 xse ; 1-x f(x) 2 h) ≤< = <≤+ −<+ = 5 x 1 se ; 1-x 1 x se ; 2 1 x1- se ; 1x- 1 x se ; 1x )f(x 2 i) ≤ <<+ = ≠≤ = x6 se ;3 6 x 2 se ; 1 2-x 1 0 xse ; 1 0 x e 2 xse ; 2x-x f(x) 2 j) < ≤≤ <≤ < = x1 se ; x 1 1 x 0 se ;x 2 0 x2- se ; x -2 xse ; 2 f(x) 2 GABARITO 1) b 2) b 3) m = 1 4) a) D(f) = {� ∈ 1; � ≠ 6} b) D(f) = {� ∈ 1; � ≠ ±3} c) D(f) = {� ∈ 1; � ≠ 1 6 � ≠ −5} d) D(f) = {� ∈ 1; � ≤ 5} e) D(f) = {� ∈ 1; � < 8} f) D(f) = {� ∈ 1; � ≥ 2 6 � ≠ 3} 10 5) a) y = -4x + 5 b) 3x + 7y = 2 c) y = -4 d) x + 3y + 2 = 0 e) x + 2y = 11 6) M = 125000 + 1000t 7) a) C = 388 S = 92 b) C = 100 c) S = -100 8) : < 3 9) a = 1 e b = 2 10) a) x = 9/2 b) x =-3 11) x = 1 e y = 7 12) lucro: � > 30 prejuízo: x < 30 lucro zero: x = 30 14) F, F, V, F 15) d 16) m > −1/4 17) (1, 3) e (-2, 0) 18) y = -7x² + 12x + 3 19) Quadrado de lado 20m 20) x = 5/8 e y = 5/2 21) x = 4 e y = 3 11 22) x = 3 e y = 2 23) a) x = 7 b) x = -4 c) x = -3 d) x = 9 e) x = 3/2 25) b) !� & ' 26) P = 60000�1,02 ? 28) D(f) = {� ∈ 1; −1 < � < − �!@A � > 2} 29) B = !CDE����CDE! 30) a 31) a 32) b 33) a 34) d
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