AD1 E AP1 2016 2

Prévia do material em texto

Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2016
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 1 - AD1
Questa˜o 1: (2,0pts) Resolva a equac¸a˜o e7−5x = ln 10.
Soluc¸a˜o: Siga as equivaleˆncias
e7−5x = ln 10⇔ ln (e7−5x) = ln (ln 10)
⇔ 7− 5x = ln (ln 10)
⇔ x = 7− ln (ln 10)
5
.
Questa˜o 2: (2,0pts) Considere a func¸a˜o
f(x) =
2x
√
x+ 1− x2
2
√
x+1
x+ 1
.
a) Determine o domı´nio de f(x);
b) Mostre que f(x) = x(3x+4)
2(x+1)
√
x+1
;
c) Encontre (se existirem) os valores de x tais que f(x) > 0.
Soluc¸a˜o: (0,7pt no item a) +0,8 no item b) + 0,5pt no item c)) a) Para que possamos avaliar o
valor de x precisamos que x + 1 6= 0 ⇔ x 6= −1 e simultaneamente x + 1 > 0 ⇔ x > −1. Portanto,
para x ∈ R estar no domı´nio de f devemos exigir que x > −1.
b)
2x
√
x+ 1− x2
2
√
x+1
x+ 1
=
4x(x+1)−x2
2
√
x+1
x+ 1
=
3x2 + 4x
2(x+ 1)
√
x+ 1
.
c) Veja a ana´lise do sinal
Portanto, se x > 0 enta˜o f(x) > 0.
1
Questa˜o 3: (2,0pts) Determine para quais valores λ ∈ R para os quais o polinoˆmio x3+λx2−λx−λ
e´ divis´ıvel por x2 − λ.
Soluc¸a˜o: (1,0pt se dividiu corretamente +1,0pt se concluiu corretamente) Dividindo obtemos
Portanto, para que a divisa˜o seja exata, λ2 − λ = 0 =⇒ λ = 0 ou λ = 1.
Questa˜o 4: (1,0pts) Calcule lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a e limh→0
f(a+ h)− f(a)
h
quando f(x) = x2 − 2x + 4 e
a = 2.
Soluc¸a˜o:
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a = limx→2
x2 − 2x+ 4− 4
x− 2
= lim
x→2
x(x− 2)
x− 2
= lim
x→2
x
= 2.
lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
= lim
h→0
(2 + h)2 − 2(2 + h) + 4− 4
h
= lim
h→0
4 + 4h+ h2 − 4− 2h
h
= lim
h→0
2h+ h2
h
= lim
h→0
h(2 + h)
h
= lim
h→0
2 + h = 2.
Questa˜o 5: (2,0pts) Considere a func¸a˜o f definida por f(x) = |x− 1|+ |x− 2|.
a) Verifique que f(x) =

−2x+ 3 se x ≤ 1
1 se 1 < x < 2
2x− 3 se x ≥ 2
.
2
b) Utilizando a expressa˜o do item a) e g(x) = 3x+ 4 determine a lei de definic¸a˜o de g ◦ f .
Soluc¸a˜o: (cada item vale 1,0pt) Recordando que |x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0 . Enta˜o,
f(x) = |x− 1|+ |x− 2| =
{
x− 1 se x ≥ 1
1− x se x < 1 +
{
x− 2 se x ≥ 2
2− x se x < 2
=

1− x+ 2− x se x < 1
x− 1 + 2− x se 1 ≤ x < 2
x− 1 + x− 2 se x ≥ 2
=

−2x+ 3 se x ≤ 1
1 se 1 < x < 2
2x− 3 se x ≥ 2
b) fazendo as contas
g(f(x)) =

3(−2x+ 3) + 4 se x ≤ 1
7 se 1 < x < 2
3(2x− 3) + 4 se x ≥ 2
=

−6x+ 13 se x ≤ 1
7 se 1 < x < 2
6x− 5 se x ≥ 2
Questa˜o 6: (1,0pts) Determine x ∈ R tal que equac¸a˜o √x+ 3 = x+ 1.
Soluc¸a˜o: (Dar a pontuac¸a˜o total, mesmo que o aluno na˜o tenha retirado a soluc¸a˜o x = −2) Elevando
ao quadrado
x+ 3 = (x+ 1)2 ⇐⇒ x+ 3 = x2 + 2x+ 1⇐⇒ x2 + x− 2 = 0
Resolvendo a equac¸a˜o de grau 2 obtemos x = 1, x = −2.
Observac¸a˜o 1 A definic¸a˜o da raiz quadrada de um nu´mero real positivo x e´ o u´nico nu´mero na˜o
negativo a que, quando multiplicado por si pro´prio, se iguala a x. Neste caso x = −2 na˜o e´ soluc¸a˜o
da equac¸a˜o. Apareceu uma soluc¸a˜o a mais pois ao elevarmos ao quadrado (ou a uma poteˆncia maior
que 2) isso costuma acontecer. E´ costume definir a raiz quadrada desta forma, para que ela seja uma
func¸a˜o.
Observac¸a˜o 2Mesmo assim quando resolvemos a equac¸a˜o de grau 2 sempre levamos em considerac¸a˜o
as duas ra´ızes (a positiva e a negativa), e depois discutimos - se for o caso - qual e´ a mais apropriada.
3