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Notas de Aula Equac¸o˜es Diferenciais Parciais Lineares Rodney Josue´ Biezuner 1 Departamento de Matema´tica Instituto de Cieˆncias Exatas (ICEx) Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) Notas de aula da disciplina Equac¸o˜es Diferenciais B do Ciclo Ba´sico do ICEx. 23 de novembro de 2010 1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney. Suma´rio 0 Introduc¸a˜o: Conduc¸a˜o do Calor em uma Barra 4 0.1 Modelagem F´ısica e Matema´tica do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.1.1 A Equac¸a˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equac¸a˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0.1.3 Condic¸a˜o Inicial e Condic¸a˜o de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0.2 Soluc¸a˜o do Modelo Matema´tico: Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . 10 0.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1 Se´ries de Fourier 15 1.1 Propriedades das Func¸o˜es Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.1 Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.3 Produto Interno no Espac¸o das Func¸o˜es Quadrado-Integra´veis . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3 Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Func¸o˜es Cont´ınuas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 O Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Se´ries de Fourier de Func¸o˜es Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.1 Func¸o˜es Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2 Extenso˜es Perio´dicas Pares e I´mpares de Func¸o˜es Definidas em Intervalos . . . . . . . 30 1.5 Estimativa dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Equac¸a˜o do Calor Unidimensional 40 2.1 Condic¸a˜o de Dirichlet homogeˆnea: extremidades mantidas a` temperatura zero . . . . . . . . . 40 2.1.1 Existeˆncia de soluc¸a˜o para o problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.2 Princ´ıpio do ma´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.3 Unicidade e estabilidade de soluc¸o˜es para o problema de Dirichlet geral . . . . . . . . 45 2.2 Condic¸a˜o de Dirichlet na˜o homogeˆnea: soluc¸a˜o de estado estaciona´rio . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Condic¸a˜o de Neumann homogeˆnea: extremidades termicamente isoladas . . . . . . . . . . . . 49 2.4 Condic¸a˜o de Robin homogeˆnea: condic¸o˜es de fronteira mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Equac¸a˜o do calor na˜o-homogeˆnea: equac¸a˜o de reac¸a˜o-difusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.5.1 Fonte independente do tempo: me´todo da soluc¸a˜o de estado estaciona´rio . . . . . . . . 54 2.5.2 Fonte dependente do tempo: me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros . . . . . . . . . . . . 56 2.5.3 O problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6 Alguns problemas espec´ıficos de conduc¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6.1 Problema da barra com convecc¸a˜o de calor em um extremo . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6.2 Condic¸o˜es de fronteira de Robin gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6.3 Problema do anel circular fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1 Rodney Josue´ Biezuner 2 2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3 Equac¸a˜o da Onda Unidimensional 65 3.1 Modelo Matema´tico da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.1 Vibrac¸o˜es Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.2 Condic¸o˜es Iniciais e de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.3 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1.4 Outros Tipos de Vibrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2 Soluc¸a˜o pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.3 A Soluc¸a˜o de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.1 Soluc¸a˜o Geral da Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3.2 Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.3 Soluc¸a˜o da Corda Vibrante com Extremidades Fixas pelo Me´todo de D’Alembert . . . 75 3.4 Harmoˆnicos, Energia da Corda e Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . 78 3.4.1 Harmoˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.4.2 Energia da Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.4.3 Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.6 Apeˆndice 1: A Equac¸a˜o da Onda de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6.1 Lei de Conservac¸a˜o Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6.2 Relac¸o˜es Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.6.3 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o do Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.7 Apeˆndice 2: Corda Suspensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4 Equac¸a˜o do Calor e da Onda em Domı´nios Retangulares 93 4.1 Se´ries de Fourier Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.1 Definic¸a˜o e Ca´lculo dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.1.2 Func¸o˜es de Duas Varia´veis Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2 Lei de Conservac¸a˜o no Espac¸o Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2.1 Relac¸o˜es Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 A Equac¸a˜o do Calor em Domı´nios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3.1 Soluc¸a˜o do problema da conduc¸a˜o do calor na chapa retangular com margens mantidas a` temperatura zero por separac¸a˜o de varia´veis e se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . 98 4.3.2 Soluc¸a˜o do problema da conduc¸a˜o do calor na chapa retangular termicamente isolada por separac¸a˜o de varia´veis e se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.4 A Equac¸a˜o da Onda em Domı´nios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4.1 Problema da Membrana Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.4.2 Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Vibrante pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.4.3 Linhas Nodais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 104 5 A Equac¸a˜o de Laplace 106 5.1 A Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.1 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace no Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.2 O Princ´ıpio do Ma´ximo e Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . 109 5.2 A Equac¸a˜o de Laplace no Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.2.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.2.2 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace no Disco pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.3 A Equac¸a˜o de Helmholtz: Autovalores e Autofunc¸o˜es do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4 A Equac¸a˜o de Poisson: o Me´todo de Expansa˜o em Autofunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Rodney Josue´ Biezuner 3 6 A Equac¸a˜o da Onda no Disco: Vibrac¸o˜es de uma Membrana Circular 117 6.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibrac¸o˜es Radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 6.2 Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.2.1 Soluc¸a˜o Geral da Equac¸a˜o de Bessel: Func¸o˜es de Bessel do Primeiro Tipo . . . . . . . 118 6.2.2 Soluc¸a˜o Geral da Equac¸a˜o de Bessel: Func¸o˜es de Bessel do Segundo Tipo . . . . . . . 121 6.2.3 Apeˆndice: A Func¸a˜o Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.3 Se´ries de Func¸o˜es de Bessel e a Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Circular Vibrante . . . . 122 6.3.1 Ortogonalidade das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.3.2 Se´ries de Bessel de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.3.3 Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial . . . . . . . . . . . . . . 123 6.4 A Membrana Circular Vibrante: Vibrac¸o˜es Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.4.1 Uso do Princ´ıpio de Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7 Equac¸a˜o de Laplace em Domı´nios Tridimensionais Sime´tricos 128 7.1 A Equac¸a˜o de Laplace em um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.2 Soluc¸a˜o de um Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.1.3 Func¸o˜es de Bessel Modificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.1.4 Soluc¸a˜o de outro Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.2 A Equac¸a˜o de Laplace em uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.2.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.2.2 A Equac¸a˜o de Legendre e Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.2.3 Se´ries de Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 7.2.4 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace na Bola com Simetria Radial . . . . . . . . . . . . . . 137 8 Transformada de Fourier 139 8.1 A Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.2.2 Propriedades Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.2.3 Transformada de Fourier da Func¸a˜o Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 8.2.4 Tabela de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 8.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.3 O Me´todo da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.3.1 A Equac¸a˜o do Calor para uma Barra Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.3.2 A Equac¸a˜o da Onda em uma Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 8.3.3 A Equac¸a˜o de Laplace em um Semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Cap´ıtulo 0 Introduc¸a˜o: Conduc¸a˜o do Calor em uma Barra 0.1 Modelagem F´ısica e Matema´tica do Problema 0.1.1 A Equac¸a˜o do Calor Considere uma barra uniforme de comprimento L, feita de material homogeˆneo condutor de calor. Por barra uniforme entendemos que a sua sec¸a˜o transversal e´ sempre igual a uma determinada figura geome´trica plana e portanto tem a´rea constante, que denotaremos por A; ale´m disso, a barra pode ser imaginada como sendo formada atrave´s da translac¸a˜o desta figura na direc¸a˜o perpendicular ao seu plano (em outras palavras, um cilindro reto cuja base pode ser qualquer figura geome´trica, como por exemplo um disco [cilindro circular reto], uma elipse [cilindro el´ıptico reto], um triaˆngulo [prisma reto], um retaˆngulo [paralelep´ıpedo reto], ou qualquer outra figura geome´trica plana). Suponha que a superf´ıcie lateral da barra esteja isolada termicamente, de modo a na˜o permitir transfereˆncias de calor atrave´s dela com o ambiente. Transfereˆncias de calor, se e´ que ocorrem, podem ocorrer apenas atrave´s das extremidades da barra. A uniformidade da barra, a homogeneidade do material e o isolamento te´rmico lateral implicam que o fluxo de calor acontece somente na direc¸a˜o longitudinal, isto e´, ao longo do comprimento da barra. Portanto, este e´ um problema de conduc¸a˜o de calor unidimensional. Em outras palavras, as varia´veis f´ısicas sa˜o constantes em cada sec¸a˜o transversal da barra, podendo variar apenas de uma sec¸a˜o para outra. Consideremos a barra posicionada no eixo x, com uma das extremidades na origem x = 0; a outra extremidade ocupa portanto a posic¸a˜o x = L. Queremos determinar como a temperatura em cada ponto da barra varia a` medida que o tempo passa. Para isso, vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra. Inicialmente, considere duas sec¸o˜es transversais da barra, localizadas em x e x+∆x, delimitando uma fatia da barra (veja a Figura 0.1 na pa´gina seguinte). Atrave´s destas sec¸o˜es, calor flui (entra ou sai) para esta fatia. Denotaremos o fluxo de calor, isto e´, a quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a direita por unidade de a´rea, por φ(x, t); no S.I., o fluxo de calor tem como unidades Joules/m2s. φ(x, t) = fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a direita por unidade de a´rea). Se φ(x, t) < 0, o calor esta´ fluindo para a esquerda. A quantidade total de calor que entra na fatia por unidade de tempo e´ dada pela diferenc¸a entre a quantidade de calor que entra pela sec¸a˜o transversal em x e a quantidade de calor que sai pela sec¸a˜o transversal em x+∆x, isto e´, φ(x, t)A− φ(x+∆x, t)A. 4 Rodney Josue´ Biezuner 5 E´ claro que calor pode sair da fatia pela sec¸a˜o transversal em x (se φ(x, t) < 0), assim como calor pode entrar na fatia pela sec¸a˜o transversal em x + ∆x (se φ(x + ∆x, t) < 0); se a diferenc¸a acima for negativa, enta˜o o resultado final e´ que calor sai da fatia. Figura 0.1 Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada em func¸a˜o das temperaturas nas sec¸o˜es transversais que delimitam a fatia atrave´s da Lei de Conduc¸a˜o do Calor de Fourier (esta leifoi empiricamente observada por Fourier no in´ıcio do se´culo XIX): Lei de Conduc¸a˜o do Calor de Fourier. Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo material e de mesma a´rea igual a A, mantidas respectivamente a temperaturas constantes T1 e T2. Se elas forem colocadas paralelamente a uma distaˆncia d uma da outra, havera´ passagem de calor da placa mais quente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra por unidade de tempo (ou seja, a taxa de transfereˆncia de calor, medida em Joules/s) e´ dada por Φ = kA |T2 − T1| d , onde k e´ uma constante espec´ıfica do material entre as placas, chamada condutividade te´rmica do material. Denotemos u(x, t) = temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t. As sec¸o˜es transversais da barra, localizadas em x e x+∆x, fazem o papel das duas placasP1 e P2. Denote as temperaturas nestas sec¸o˜es no instante de tempo t por T1 = u(x, t) e T2 = u(x+∆x, t). Enta˜o, pela Lei de Fourier, o fluxo de calor na direc¸a˜o positiva do eixo x que passa pela sec¸a˜o transversal localizada em x e´ dado por (lembre-se que o fluxo de calor e´ definido por unidade de a´rea) φ(x, t) = − lim ∆x→0 k u(x+∆x, t)− u(x, t) ∆x = −kux(x, t), de modo que quando a temperatura cresce com x, ux e´ positivo, mas o calor flui para a esquerda, portanto φ e´ negativo; se a temperatura decresce com x, ux e´ negativo e o calor flui para a direita, portanto φ e´ positivo. Rodney Josue´ Biezuner 6 Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posic¸o˜es x = a e x = b. Vamos calcular a quantidade total de calor Q que entra neste segmento no per´ıodo de tempo que vai de t0 ate´ t1. Esta e´ a diferenc¸a entre o calor que entra na sec¸a˜o transversal que ocupa a posic¸a˜o x = a e o calor que sai pela sec¸a˜o transversal que ocupa a posic¸a˜o x = b durante o per´ıodo de tempo considerado: Q = ∫ t1 t0 φ(a, t)Adt− ∫ t1 t0 φ(b, t)Adt = ∫ t1 t0 kA[ux(b, t)− ux(a, t)] dt. Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, podemos escrever ux(b, t)− ux(a, t) = ∫ b a uxx(x, t) dx. Logo, como k e´ constante (pois assumimos que a barra e´ feita de um u´nico material homogeˆneo), temos Q = kA ∫ t1 t0 ∫ b a uxx(x, t) dxdt. (1) Por outro lado, tambe´m e´ observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por uma substaˆncia em um per´ıodo de tempo e´ diretamente proporcional a` massa desta substaˆncia e a` variac¸a˜o me´dia de sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado: Q = cm∆u. A constante de proporcionalidade, denotada por c, depende de cada substaˆncia e e´ chamada o calor espec´ıfico da substaˆncia; em outras palavras, o calor espec´ıfico nada mais e´ que a quantidade de calor necessa´ria para elevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substaˆncia; no S.I., o calor espec´ıfico tem como unidades Joules/kgK. Embora o calor espec´ıfico de uma substaˆncia em geral varie com a temperatura em que ela se encontra (isto e´, c = c(u)), para diferenc¸as de temperaturas na˜o muito grandes o calor espec´ıfico e´ aproximadamente constante. Aplicamos esta lei emp´ırica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posic¸o˜es x = a e x = b. A variac¸a˜o me´dia da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de t0 ate´ t1 e´ obtida tomando-se a me´dia das variac¸o˜es me´dias das temperaturas de todos os pontos da barra, ou seja ∆u = 1 b− a ∫ b a [u(x, t1)− u(x, t0)] dx. Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo segue que ∆u = 1 b− a ∫ b a [∫ t1 t0 ut(x, t) dt ] dx. Logo, a quantidade de calor absorvida por este segmento e´ dada por Q = cm∆u = cm b− a ∫ b a ∫ t1 t0 ut(x, t) dt dx. sendo m a massa deste segmento e c o calor espec´ıfico do material que constitui a barra. Escrevendo m = ρA(b− a), onde ρ e´ a densidade da barra, e trocando a ordem dos limites de integrac¸a˜o, obtemos Q = cρA ∫ t1 t0 ∫ b a ut(x, t) dxdt. (2) Rodney Josue´ Biezuner 7 Igualando as duas expresso˜es obtidas em (1) e (2) para a quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 ate´ t1, obtemos a equac¸a˜o do calor em sua forma integral: cρ ∫ t1 t0 ∫ b a ut(x, t) dxdt = k ∫ t1 t0 ∫ b a uxx(x, t) dxdt. Mas a, b, t0, t1 sa˜o arbitra´rios, logo os integrandos sa˜o necessariamente iguais e assim obtemos a equac¸a˜o do calor na sua forma diferencial ut = Kuxx, (3) onde K = k cρ e´ chamada a difusividade te´rmica do material. A equac¸a˜o (3) e´ chamada simplesmente a equac¸a˜o do calor e representa a lei de variac¸a˜o da temperatura u(x, t) de uma barra uniforme com superf´ıcie lateral termicamente isolada. Ela descreve como o calor se espalha ou se difunde com o passar do tempo, um processo f´ısico conhecido como difusa˜o. Outras quantidades f´ısicas tambe´m se difundem seguindo esta mesma equac¸a˜o diferencial parcial (em situac¸o˜es unidimensionais), como por exemplo a concentrac¸a˜o de substaˆncias qu´ımicas, tais como perfumes ou polutantes, e por este motivo a equac¸a˜o (3) tambe´m e´ chamada mais geralmente de equac¸a˜o de difusa˜o. Observac¸a˜o: A forma diferencial da equac¸a˜o do calor tambe´m pode ser obtida mais diretamente. De fato, diferenciando a lei de Fourier φ(x, t) = −kux(x, t) em relac¸a˜o a x obtemos φx = −kuxx. (4) Por outro lado, vimos acima que Q = − ∫ t1 t0 [φ(b, t)− φ(a, t)]Adt = cρA ∫ b a ∫ t1 t0 ut(x, t) dt dx. Agora, ao inve´s de usar a lei de Fourier na integral do lado esquerdo como fizemos acima para obter (1), usamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo para escreveˆ-la na forma∫ t1 t0 [φ(b, t)− φ(a, t)]Adt = ∫ t1 t0 [∫ b a φx(x, t) dx ] Adt. Logo, − ∫ b a ∫ t1 t0 φx(x, t) dt dx = cρ ∫ b a ∫ t1 t0 ut(x, t) dt dx. Como a, b, t0, t1 sa˜o arbitra´rios, os integrandos devem ser iguais e portanto obtemos a equac¸a˜o φx = −cρut. (5) Igualando as expresso˜es (4) e (5) para φx, obtemos novamente a equac¸a˜o do calor. No entanto, e´ sempre prefer´ıvel obter a formulac¸a˜o integral, como fizemos anteriormente, e a partir dela obter a formulac¸a˜o difer- encial. A formulac¸a˜o integral tem a vantagem de valer mesmo em situac¸o˜es em que u na˜o e´ diferencia´vel, ou mesmo descont´ınua. Rodney Josue´ Biezuner 8 0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equac¸a˜o do Calor Pode acontecer que a condutividade te´rmica ao longo da barra na˜o seja constante, mas dependa de x. Esta situac¸a˜o pode ocorrer, por exemplo, se tivermos uma barra formada por va´rias barras, cada uma delas constitu´ıda por um material diferente. Neste caso, usando a lei de Fourier como fizemos para obter (1), desta vez segue que Q = ∫ t1 t0 A[k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t)] dt, e usamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo para escrever k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t) = ∫ b a [k(x)ux(x, t)]x dx, de modo que Q = A ∫ t1 t0 ∫ b a [k(x)ux(x, t)]x dxdt. Do mesmo modo, pode ocorrer que o calor espec´ıfico do material que constitui a barra varie com x, assim como a sua densidade (o que certamente ocorrera´ na situac¸a˜o dada acima como exemplo). Logo, Q = A ∫ t1 t0 ∫ b a c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt Portanto, nesta situac¸a˜o, a equac¸a˜o do calor que descreve a variac¸a˜o da temperatura da barra com o passar do tempo se torna c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x, (6) Esta equac¸a˜o e´ chamada a equac¸a˜o do calor na forma divergente. Pode tambe´m ocorrer que exista uma fonte interna de calor em regio˜es da barra, devida por exemplo a reac¸o˜es qu´ımicas, nucleares ou aquecimento ele´trico. Denotemos q(x, t) = quantidade de calor gerada por unidade de volume por unidade de tempo. A` quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 ate´ t1 devido ao fenoˆmeno de conduc¸a˜odo calor ao longo da barra, deve ser somada a quantidade de calor gerada internamente no segmento durante este per´ıodo, antes de igualar a` expressa˜o obtida em (2) (isso nada mais e´ que a lei de conservac¸a˜o do calor, um caso particular da lei de conservac¸a˜o da energia). Pela definic¸a˜o de q(x, t), este calor gerado internamente e´ dado por∫ t1 t0 ∫ b a q(x, t)Adxdt. Portanto, temos que ∫ t1 t0 ∫ b a [kuxx(x, t) + q(x, t)] dxdt = cρ ∫ t1 t0 ∫ b a ut(x, t) dxdt e da´ı obtemos a equac¸a˜o ut = Kuxx + q(x, t). (7) Esta equac¸a˜o e´ um exemplo de uma equac¸a˜o de reac¸a˜o-difusa˜o. E´ claro que nada impede que as duas situac¸o˜es acima ocorram simultaneamente. Neste caso, a equac¸a˜o completa que descreve o fenoˆmeno da conduc¸a˜o de calor na barra sera´ c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x + q(x, t). (8) Rodney Josue´ Biezuner 9 0.1.3 Condic¸a˜o Inicial e Condic¸a˜o de Fronteira A equac¸a˜o do calor (3) tem um nu´mero infinito de soluc¸o˜es. Por exemplo, qualquer func¸a˜o constante u(x, t) = C ou afim u(x, t) = Ax + B, onde A,B,C sa˜o quaisquer constantes reais, satisfaz (3). Um problema fisico real, no caso obter a distribuic¸a˜o de temperaturas em uma barra, deve ter uma soluc¸a˜o u´nica. Portanto, e´ necessa´rio impor restric¸o˜es adicionais sobre o problema, de modo que possamos obter uma soluc¸a˜o u´nica para a equac¸a˜o do calor. Intuitivamente, parece o´bvio que a distribuic¸a˜o de temperaturas na barra ao longo do tempo depende da distribuic¸a˜o inicial de temperaturas, chamada a condic¸a˜o inicial do problema: u(x, 0) = f(x). Esta e´ a u´nica condic¸a˜o inicial necessa´ria. Matematicamente, esta necessidade e´ expressa pelo fato da equac¸a˜o diferencial parcial (3) possuir uma derivada parcial em relac¸a˜o ao tempo de primeira ordem (como no caso de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem, em que e´ necessa´rio saber apenas uma condic¸a˜o inicial, o valor da func¸a˜o no instante inicial, para se conhecer a soluc¸a˜o u´nica da equac¸a˜o). Ale´m disso, a distribuic¸a˜o de temperaturas na barra ao longo do tempo tambe´m deve depender do que se passa nas extremidades da barra, que podem na˜o estar isoladas termicamente e portanto podem permitir a entrada ou sa´ıda de calor, influindo na distribuic¸a˜o de temperaturas da barra com o passar do tempo. As condic¸o˜es nas extremidades da barra sa˜o chamadas de condic¸o˜es de fronteira. Matematicamente, isso se deve ao fato da equac¸a˜o diferencial parcial (3) depender tambe´m da varia´vel x. Podemos imaginar va´rios tipos de condic¸o˜es de fronteira para o problema da barra: 1. Extremidades mantidas a temperaturas constantes: u(0, t) = T1 e u(L, t) = T2. 2. Temperaturas nas extremidades variando com o tempo de acordo com func¸o˜es conhecidas: u(0, t) = g1(t) e u(L, t) = g2(t). 3. Extremidades isoladas termicamente (ou seja, o fluxo de calor atrave´s das extremidades e´ nulo e a barra esta´ completamente isolada): ux(0, t) = ux(L, t) = 0. 4. Fluxo de calor atrave´s das extremidades e´ conhecido: ux(0, t) = h1(t) e ux(L, t) = h2(t). 5. Combinac¸a˜o de quaisquer duas das condic¸o˜es acima: u(0, t) = 0 e ux(L, t) = 0. Com uma condic¸a˜o inicial e qualquer uma destas condic¸o˜es de fronteira o problema matema´tico esta´ bem posto, admitindo uma u´nica soluc¸a˜o, conforme veremos em detalhes em um cap´ıtulo posterior. Uma condic¸a˜o do tipo 1 ou 2, em que sa˜o dados valores para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial parcial na fronteira, e´ chamada uma condic¸a˜o de Dirichlet. Uma condic¸a˜o do tipo 3 ou 4, em que sa˜o dados valores para a derivada da soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial parcial na fronteira em relac¸a˜o a` varia´vel espacial, e´ chamada uma condic¸a˜o de Neumann. Uma condic¸a˜o mista, envolvendo tanto o valor da soluc¸a˜o como o de sua derivada espacial na fronteira, exemplificada pela condic¸a˜o do tipo 5, e´ chamada uma condic¸a˜o de Robin. Rodney Josue´ Biezuner 10 Observac¸a˜o: O fato da equac¸a˜o do calor (3) ter uma derivada parcial em relac¸a˜o a` varia´vel x de segunda ordem na˜o tem nada a ver com o fato de precisarmos de duas condic¸o˜es de fronteira. Este fato e´ simples- mente uma consequ¨eˆncia da fronteira de um segmento ser formada por dois pontos (no caso, a fronteira do segmento [0, L] e´ formada pelos pontos 0 e L). Na verdade, essencialmente temos apenas uma condic¸a˜o de fronteira; o que ocorre e´ que, no caso de um segmento, a fronteira e´ desconexa e esta condic¸a˜o de fronteira e´ mais facilmente expressa por duas sentenc¸as. Este conceito ficara´ mais claro quando estudarmos equac¸o˜es diferenciais parciais em regio˜es do plano e do espac¸o. Uma condic¸a˜o de fronteira de grande interesse pra´tico ocorre quando a barra esta´ em contato com um fluido em movimento, como ar ou a´gua. Como exemplo desta situac¸a˜o, imagine uma barra quente em contato com ar mais frio em movimento. Calor deixa a barra, aquecendo o ar, que leva o calor embora, sendo substituido por ar mais frio, no conhecido processo de convecc¸a˜o. Experimentos mostram que o fluxo do calor que deixa a barra e´ proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre a barra e a temperatura exterior: Kux(0, t) = H[u(0, t)− T ]; T e´ a temperatura externa e a constante de proporcionalidade H e´ chamada o coeficiente de transfereˆncia de calor ou coeficiente de convecc¸a˜o. Esta e´ a chamada lei de resfriamento de Newton. Note que esta condic¸a˜o de fronteira envolve uma combinac¸a˜o linear entre u e ux e e´ uma condic¸a˜o de Robin. Como pela lei de Fourier o fluxo de calor e´ dado por φ = −kux, temos que φ(0, t) = −kH[u(0, t)−T ], de modo que se a barra esta´ mais quente que o ambiente exterior (u(0, t) > T ), o fluxo e´ negativo, isto e´, na direc¸a˜o negativa do eixo x, saindo da extremidade da barra localizada em x = 0 para o ambiente externo, e vice-versa. Por causa disso, no caso da outra extremidade, localizada no ponto x = L, a lei de resfriamento de Newton deve enta˜o ser escrita na forma Kux(L, t) = −H[u(L, t)− T ]. A constanteH depende do material que forma a barra e das propriedades do fluido (tais como sua velocidade). 0.2 Soluc¸a˜o do Modelo Matema´tico: Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier O modelo matema´tico que obtivemos para a distribuic¸a˜o de temperaturas em uma barra cuja superf´ıcie lateral esta´ isolada termicamente com o passar do tempo e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial com condic¸a˜o inicial e condic¸a˜o de fronteira. Vamos tentar resolver o problema espec´ıfico em que as extremidades da barra esta˜o mantidas a` temperatura constante igual a 0 (correspondente a` condic¸a˜o de Dirichlet 1 da sec¸a˜o anterior, chamada de condic¸a˜o de Dirichlet homogeˆnea): ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L, u(0, t) = u(L, t) = 0. se t > 0. (9) Tentaremos resolver este problema pelo chamado me´todo de separac¸a˜o de varia´veis. No me´todo de separac¸a˜o de varia´veis, supomos que a soluc¸a˜o u(x, t) do problema pode ser escrita como o produto de duas func¸o˜es de uma varia´vel, uma dependendo apenas de x e a outra dependendo apenas de t: u(x, t) = F (x)G(t). (10) Esta e´ apenas uma suposic¸a˜o, que pode ou na˜o ser correta (na verdade, veremos que em geral esta suposic¸a˜o esta´ errada, mas ainda assim ela nos ajudara´ a encontrar a soluc¸a˜o correta para o problema). A vantagem de fazer esta suposic¸a˜o e´ que ela simplifica consideravelmente o problema, transformando um problema de resolver uma equac¸a˜o diferencial parcial, que na˜o sabemos como fazer, em um problema de resolver uma Rodney Josue´ Biezuner 11 equac¸a˜o diferencial ordina´ria, que sabemos como fazer. De fato, substituindo (10) na equac¸a˜o do calor, obtemos F (x)G′(t) = KF ′′(x)G(t) donde F ′′(x) F (x) = 1 K G′(t) G(t) . Note que o lado esquerdo desta equac¸a˜o depende apenas de x, enquanto que o lado direitodepende apenas de t. Isso so´ pode ser poss´ıvel se na verdade ambos os lados forem independentes de x e t, isto e´, F ′′(x) F (x) = σ e 1 K G′(t) G(t) = σ onde σ ∈ R e´ uma constante. Portanto o problema se reduz a resolver duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias: • A equac¸a˜o diferencial de segunda ordem F ′′(x)− σF (x) = 0 (11) para 0 < x < L. • A equac¸a˜o diferencial de primeira ordem G′(t)− σKG(t) = 0 (12) para t > 0. Vamos resolver primeiro (11). Fazemos isso, apesar dela ser uma equac¸a˜o mais complexa que (12), porque as condic¸o˜es de fronteira de (9) implicam que F satisfaz as condic¸o˜es F (0) = F (L) = 0. (13) De fato, a condic¸a˜o de fronteira u(0, t) = 0 implica que F (0)G(t) = 0 para todo t > 0, o que por sua vez implica que F (0) = 0 (a menos que G(t) = 0 para todo t, o que significaria que u ≡ 0, uma soluc¸a˜o que na˜o nos interessa, exceto no caso raro em que a condic¸a˜o inicial seja tambe´m f ≡ 0); similarmente a condic¸a˜o de fronteira u(L, t) = F (L)G(t) = 0 implica que F (L) = 0. A condic¸a˜o (13) restringe as soluc¸o˜es de (11), o que ultimamente limitara´ os valores poss´ıveis de σ. Em princ´ıpio, ha´ treˆs soluc¸o˜es poss´ıveis, dependendo do sinal de σ: 1. σ > 0 : Neste caso, a soluc¸a˜o geral de (11) e´ da forma F (x) = c1e √ σx + c2e −√σx. Logo, a condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{ c1 + c2 = 0 c1e √ σL + c2e −√σL = 0 . Mas a u´nica soluc¸a˜o deste sistema e´ c1 = c2 = 0, o que levaria a F ≡ 0 e portanto u ≡ 0, soluc¸a˜o que na˜o nos interessa. 2. σ = 0 : A soluc¸a˜o geral de (11) neste caso e´ da forma F (x) = c1x+ c2. A condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{ c2 = 0 c1L+ c2 = 0 . cuja u´nica soluc¸a˜o tambe´m e´ c1 = c2 = 0 e novamente F ≡ 0, o que na˜o nos interessa. Rodney Josue´ Biezuner 12 3. σ < 0 : Denotando λ = √−σ, a soluc¸a˜o geral de (11) neste u´ltimo caso e´ da forma F (x) = c1 cosλx+ c2 senλx. A condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{ c1 = 0 c2 senλL = 0 . Como na˜o queremos c2 = 0, devemos ter senλL = 0, o que implica λL = npi, onde n ∈ N pode ser um inteiro positivo qualquer. Portanto, para cada valor de n uma soluc¸a˜o na˜o nula para o problema (11), (13) e´ da forma Fn(x) = sen npi L x, (14) por este motivo chamada uma autofunc¸a˜o para o problema (11),(13) associada ao autovalor −σ = λ2n = n2pi2 L2 . (15) A equac¸a˜o (12) e´ imediatamente resolvida atrave´s de uma integrac¸a˜o simples. A soluc¸a˜o de (12) e´ da forma G(t) = ceσKt, onde c ∈ R e´ uma constante real. Como os valores de σ para que o problema (9) tenha soluc¸o˜es na˜o nulas sa˜o os dados em (15), segue que para cada valor de n temos uma soluc¸a˜o relevante de (12) dada por (a menos da constante) Gn(x) = e −n2pi2 L2 Kt. (16) Segue que para cada n = 1, 2, 3, . . ., temos uma func¸a˜o un(x, t) = e −n2pi2 L2 Kt sen npi L x que e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial parcial do problema (9) satisfazendo a`s suas condic¸o˜es de fronteira. Por outro lado, precisamos de uma soluc¸a˜o que tambe´m satisfac¸a a` condic¸a˜o inicial u(x, 0) = f(x). Logo, as soluc¸o˜es que encontramos so´ funcionam se a func¸a˜o f(x) tem uma forma muito particular, ou seja, se f(x) for um mu´ltiplo escalar da func¸a˜o seno. Por exemplo, se f(x) = 3 sen pi L x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 3u1; se f(x) = 17 sen 5pi L x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 17u5. E´ o´bvio que isso raramente ocorre. Na verdade, pore´m, ainda podemos obter soluc¸o˜es para o problema (9) a partir destas soluc¸o˜es se f(x) for apenas uma combinac¸a˜o linear de senos. Por exemplo, se f(x) = 3 sen pi L x+ 25 sen 9pi L x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 3u1 + 25u9; se f(x) = 4 sen 2pi L x− 2 3 sen 22pi L x+ √ 5 sen 901pi L x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 4u2 − 2 3 u22 + √ 5u901. Isso e´ verdade porque a equac¸a˜o do calor e´ uma equac¸a˜o linear, o que significa que combinac¸o˜es lineares de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial sa˜o tambe´m soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial e, ale´m disso, as condic¸o˜es Rodney Josue´ Biezuner 13 de fronteira de (9) sa˜o homogeˆneas, logo combinac¸o˜es lineares de soluc¸o˜es que satisfazem as condic¸o˜es de fronteira continuam satisfazendo as condic¸o˜es de fronteira (isso pode ser imediatamente verificado e e´ deixado para o leitor se convencer). Assim, qualquer expressa˜o da forma (isto e´, qualquer combinac¸a˜o linear de soluc¸o˜es) u(x, t) = N∑ n=1 cnun(x, t) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o do calor satisfazendo as condic¸o˜es de fronteira em (9). Em particular, se f(x) = N∑ n=1 cn sen npi L x, segue que u(x, t) = N∑ n=1 cne −n2pi2 L2 Kt sen npi L x (17) e´ uma soluc¸a˜o do problema (9). Mas, na maioria dos casos, f na˜o e´ uma combinac¸a˜o linear de senos. Enta˜o Fourier teve a ide´ia brilhante de tomar “combinac¸o˜es lineares infinitas”, isto e´, se´ries infinitas, assumindo que toda func¸a˜o pode ser escrita como uma se´rie infinita de senos. Em outras palavras, assumindo que podemos escrever toda func¸a˜o f na forma f(x) = ∞∑ n=1 cn sen npi L x para certos coeficientes bem determinados cn, o que atualmente chamamos a se´rie de Fourier de f , enta˜o o candidato para soluc¸a˜o do problema de valor inicial e de condic¸a˜o de fronteira (9) seria a func¸a˜o u(x, t) = ∞∑ n=1 cne −n2pi2 L2 Kt sen npi L x. (18) Isso nos leva imediatamente a`s seguintes indagac¸o˜es: 1. Sera´ que toda func¸a˜o f(x) realmente pode ser escrita como uma se´rie de Fourier? 2. Se a resposta a` pergunta anterior for negativa, quais sa˜o as func¸o˜es que possuem se´ries de Fourier? Sera´ que elas formam uma classe suficientemente grande para abranger todas ou uma quantidade significativa das func¸o˜es que surgem nos problemas pra´ticos? 3. Mesmo que f(x) possa ser representada por uma se´rie de Fourier, sera´ que a se´rie definida acima para u(x, t) converge para uma func¸a˜o diferencia´vel em t e duas vezes diferencia´vel em x que e´ a soluc¸a˜o de (9)? Estas perguntas mostram a necessidade de se desenvolver uma teoria para as se´ries de Fourier. Faremos isso no pro´ximo cap´ıtulo. Observac¸a˜o: Note que nem o candidato a` soluc¸a˜o (18), e nem mesmo a soluc¸a˜o (17), sa˜o produtos de duas func¸o˜es de uma varia´vel, uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t (elas sa˜o na realidade somas de produtos de func¸o˜es de uma varia´vel, soma finita em um caso, soma infinita no outro). Portanto a suposic¸a˜o inicial de que partimos no me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e´ errada para a maioria das condic¸o˜es iniciais, a na˜o ser que elas sejam mu´ltiplos de sen(npix/L). Mas, usando a linearidade da equac¸a˜o do calor, pudemos usar as soluc¸o˜es obtidas atrave´s do me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e a partir delas construir a soluc¸a˜o para o problema geral. Este e´ um me´todo frequentemente usado em cieˆncias exatas: simplificar um problema complexo atrave´s de uma suposic¸a˜o simplificadora que em geral na˜o e´ va´lida, mas, a partir da soluc¸a˜o para o problema simplificado, construir a soluc¸a˜o correta para o problema complicado. Rodney Josue´ Biezuner 14 0.3 Exerc´ıcios 1. Mostre que a equac¸a˜o do calor e´ linear, isto e´, se u1(x, t) e u2(x, t) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial parcial ut = Kuxx, enta˜o au1(x, t) + bu2(x, t) tambe´m e´, quaisquer que sejam a, b ∈ R. Ale´m disso, se elas satisfazem as condic¸o˜es de fronteira homogeˆneas u(0, t) = u(L, t) = 0, enta˜o au1(x, t) + bu2(x, t) tambe´m satisfaz. 2. Mostre que a equac¸a˜o mais geral do calor, c(x)ρ(x)ut = [K(x)ux]x + q(x, t), tambe´m e´ uma equac¸a˜o linear. 3. Procedacomo fizemos no texto e encontre um candidato a` soluc¸a˜o para o seguinte problema de valor inicial com condic¸a˜o de fronteira de Neumann homogeˆnea: ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t > 0, u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L. Cap´ıtulo 1 Se´ries de Fourier Para determinar a possibilidade de uma determinada func¸a˜o poder ser expressa como uma se´rie de Fourier, bem como para obter os coeficientes da se´rie de Fourier da func¸a˜o quando isso ocorrer, precisamos estudar certas propriedades das func¸o˜es seno e cosseno. 1.1 Propriedades das Func¸o˜es Seno e Cosseno 1.1.1 Periodicidade 1.1 Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o f : R −→ R e´ perio´dica se existe T ∈ R, T 6= 0, tal que f(x+ T ) = f(x) para todo x ∈ R. O nu´mero real T e´ chamado um per´ıodo para a func¸a˜o f . Claramente, se T e´ um per´ıodo para a func¸a˜o f , enta˜o qualquer mu´ltiplo inteiro de T tambe´m e´ um per´ıodo para f : 2T , −2T , 3T , −3T , 4T , −4T , etc. Por exemplo, f(x+ 3T ) = f((x+ 2T ) + T ) = f(x+ 2T ) = f((x+ T ) + T ) = f(x+ T ) = f(x). 1.2 Definic¸a˜o. O menor per´ıodo positivo de uma func¸a˜o perio´dica f e´ chamado o per´ıodo fundamental de f . Em geral, o per´ıodo fundamental de uma func¸a˜o perio´dica e´ chamado simplesmente de o per´ıodo da func¸a˜o. 1.3 Exemplo. a) As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o perio´dicas e ambas teˆm per´ıodo 2pi. b) Func¸o˜es constantes sa˜o func¸o˜es perio´dicas que na˜o possuem per´ıodo fundamental, pois qualquer nu´mero real na˜o nulo e´ um per´ıodo para a func¸a˜o constante, logo na˜o existe um menor per´ıodo positivo. Do mesmo modo, a func¸a˜o f(x) = { 1 se x e´ racional, 0 se x e´ irracional, e´ uma func¸a˜o perio´dica que na˜o possui per´ıodo fundamental, pois todo nu´mero racional na˜o nulo e´ um per´ıodo para f (mas observe que nu´meros irracionais na˜o sa˜o per´ıodos para f). c) A func¸a˜o f(x) = x − [x], onde [x] e´ a func¸a˜o piso, isto e´, [x] e´ maior inteiro menor que ou igual a x, e´ perio´dica de per´ıodo 1. 15 Rodney Josue´ Biezuner 16 −3 −2 −1 0 1 2 3 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Figura 1.1. f(x) = x− [x]. d) Podemos encontrar uma infinidade de exemplos de func¸o˜es perio´dicas, simplesmente definindo uma func¸a˜o em um intervalo de comprimento T e declarando que ela e´ perio´dica de per´ıodo T , desta forma definindo ela na reta toda. Ou seja, suponha que a func¸a˜o f foi inicialmente definida no intervalo I de comprimento T ; dado x ∈ R, se x /∈ I determine um inteiro k tal que x+ kT ∈ I (k e´ positivo se x esta´ localizado a` esquerda do intervalo I e negativo se x esta´ a` direita de I) e defina f(x) = f(x+ kT ). Desta forma, definimos uma func¸a˜o f na reta toda que e´ automaticamente perio´dica de per´ıodo T . Por exemplo, podemos definir uma func¸a˜o g por g(x) = { −x se − L 6 x < 0, x se 0 6 x < L, e declara´-la perio´dica de per´ıodo 2L. −6 −4 −2 0 2 4 6 −1 0 1 2 3 Figura 1.2. L = 2. Para que a definic¸a˜o desta extensa˜o perio´dica seja consistente, observe que o intervalo I deve ser fechado em um extremo e aberto no outro ou, se o intervalo I for fechado nos dois extremos, a func¸a˜o deve ter os mesmos valores nestes extremos. � Com relac¸a˜o aos per´ıodos das func¸o˜es que constituem a se´rie de Fourier, fazemos a seguinte importante observac¸a˜o: 1.4 Proposic¸a˜o. As func¸o˜es sen npix L e cos npix L teˆm per´ıodo fundamental igual a 2L n . Prova. De fato, na verdade vale a seguinte afirmac¸a˜o mais geral: para qualquer valor α ∈ R, α 6= 0, senαx e cosαx teˆm per´ıodo fundamental igual a 2pi α . Rodney Josue´ Biezuner 17 Isso pode ser determinado atrave´s do argumento a seguir. Queremos encontrar o menor valor positivo de T para o qual vale senα(x+ T ) = senαx para todo x ∈ R, ou seja, senαx cosαT + cosαx senαT = senαx para todo x ∈ R. Para determinar αT , o que consequentemente determinara´ T , basta obter os valores de senαT e cosαT , pois um aˆngulo fica completamente determinado quando se conhece os valores de seu seno e de seu cosseno, a menos de mu´ltiplos de 2pi. Para isso, observamos que a equac¸a˜o acima e´ va´lida para qualquer valor de x. Em particular, substituindo o valor x = 0 na expressa˜o acima, obtemos (ja´ que sen 0 = 0 e cos 0 = 1) senαT = 0, e conclu´ımos que αT deve ser um mu´ltiplo de pi. Agora, substituindo o valor x = pi 2α na expressa˜o acima, obtemos (ja´ que sen pi 2 = 1 e cos pi 2 = 0) cosαT = 1. Logo, αT e´ necessariamente um mu´ltiplo de 2pi. Como queremos o menor valor positivo de T , segue que αT = 2pi e, portanto, T = 2pi α . A mesma conclusa˜o vale para a func¸a˜o cosαx, ja´ que a func¸a˜o cosseno nada mais e´ que a func¸a˜o seno defasada pi/2. � 1.5 Corola´rio. As func¸o˜es sen npix L e cos npix L teˆm um per´ıodo em comum, igual a 2L. Prova. Como qualquer mu´ltiplo inteiro do per´ıodo fundamental e´ um per´ıodo, segue do resultado anterior que n · 2L n = 2L e´ um per´ıodo comum para sen npix L e cos npix L . � sin(x) sin(2*x) sin(3*x) 1 2 3 4 5 6 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 x y cos(x) cos(2*x) cos(3*x) 1 2 3 4 5 6 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 x y Figura 1.3. Gra´ficos de sennx e cosnx para n = 1, 2, 3 (L = pi). Rodney Josue´ Biezuner 18 1.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade Para o ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier de uma func¸a˜o (quando existir), as seguintes relac¸o˜es de ortogonalidade entre as func¸o˜es sen npix L e cos npix L desempenham um papel fundamental: ∫ L −L cos npix L sen mpix L dx = 0 para todos n,m;∫ L −L cos npix L cos mpix L dx = { L se n = m, 0 se n 6= m;∫ L −L sen npix L sen mpix L dx = { L se n = m, 0 se n 6= m. Estas relac¸o˜es podem ser obtidas atrave´s de integrac¸a˜o direta e uso das identidades trigonome´tricas. Por exemplo, se n 6= m, escrevemos∫ L −L sen npix L sen mpix L dx = 1 2 ∫ L −L [ cos (n−m)pix L − cos (n+m)pix L ] dx = 1 2 1 pi [ 1 n−m sen (n−m)pix L − 1 n+m sen (n+m)pix L ∣∣∣∣L −L = 0. Se n = m, escrevemos∫ L −L sen npix L sen mpix L dx = ∫ L −L ( sen npix L )2 dx = 1 2 ∫ L −L [ 1− cos 2npix L ] dx = 1 2 [ x− L 2npi sen 2npix L ∣∣∣∣L −L = L. 1.1.3 Produto Interno no Espac¸o das Func¸o˜es Quadrado-Integra´veis O nome relac¸o˜es de ortogonalidade deve-se ao fato de que as expresso˜es acima significam que as func¸o˜es sen npix L e cos npix L sa˜o ortogonais no espac¸o vetorial das func¸o˜es quadrado-integra´veis definidas no intervalo [−L,L]. De fato, no espac¸o L2([a, b]) = { u : [a, b] −→ R : ∫ b a u2(x) dx <∞ } das func¸o˜es definidas no intervalo [a, b] cujo quadrado e´ integra´vel, podemos definir um produto interno por 〈u, v〉 = ∫ b a u(x)v(x) dx. Porque as func¸o˜es sa˜o quadrado-integra´veis, a integral acima esta´ bem definida e e´ finita. De fato, como para quaisquer A,B ∈ R vale a desigualdade 2AB 6 A2 +B2, segue que∫ b a u(x)v(x) dx 6 1 2 ∫ b a u2(x) dx+ 1 2 ∫ b a v2(x) dx <∞. Rodney Josue´ Biezuner 19 Como o aˆngulo entre dois vetores e´ definido por ](u, v) = arccos 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ , segue que duas func¸o˜es sa˜o ortogonais se ∫ b a u(x)v(x) dx = 0. 1.2 Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier Suponha que possamos expressar uma func¸a˜o f : R→ R na forma f(x) = a0 2 + ∞∑ n=1 ( an cos npix L + bn sen npix L ) , (1.1) ou seja, que a se´rie no lado direito seja convergente e convirja para a func¸a˜o f em todo ponto x ∈ R. O lado direito da expressa˜o acima e´ chamado a se´rie de Fourier de f . [O motivo de termos escritoa02 ao inve´s de simplesmente a0 ficara´ claro a seguir.] Em particular, f tem que ser perio´dica com per´ıodo 2L, pois este e´ o per´ıodo comum das func¸o˜es sen npix L e cos npix L ; portanto, func¸o˜es definidas na reta toda que na˜o satisfazem esta condic¸a˜o na˜o possuem se´ries de Fourier. Suponha, ale´m disso, que a func¸a˜o f seja integra´vel no intervalo [−L,L] e que a se´rie do lado direito possa ser integrada termo a termo. Das relac¸o˜es de ortogonalidade (observando que a func¸a˜o identicamente 1 corresponde a cos npix L para n = 0) segue que∫ L −L f(x) dx = a0 2 ∫ L −L dx+ ∞∑ n=1 ( an ∫ L −L cos npix L dx+ bn ∫ L −L sen npix L dx ) = a0L, donde a0 = 1 L ∫ L −L f(x) dx. (1.2) Os outros coeficientes tambe´m podem ser obtidos facilmente explorando as relac¸o˜es de ortogonalidade. Mul- tiplicando ambos os lados da equac¸a˜o (1.1) por cos npix L e integrando de −L a L, obtemos∫ L −L f(x) cos npix L dx = a0 2 ∫ L −L cos npix L dx+ ∞∑ m=1 ( am ∫ L −L cos mpix L cos npix L dx+ bm ∫ L −L sen mpix L cos npix L dx ) = anL, donde an = 1 L ∫ L −L f(x) cos npix L dx. (1.3) [Por este motivo escrevemos o termo constante da se´rie de Fourier na forma a02 : deste modo, a fo´rmula para os coeficientes an e´ a mesma, independente se n = 0 ou n 6= 0.] Analogamente, multiplicando ambos os lados da equac¸a˜o (1.1) por sen npix L e integrando de −L a L, obtemos bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen npix L dx. (1.4) Rodney Josue´ Biezuner 20 1.6 Exemplo. Admitindo que existe uma se´rie de Fourier que convirja para a func¸a˜o abaixo, calcule os seus coeficientes. f(x) = −x se − L 6 x 6 0,x se 0 6 x < L, e´ perio´dica de per´ıodo 2L. Soluc¸a˜o. Temos a0 = 1 L ∫ L −L f(x) dx = 1 L [ − ∫ 0 −L x dx+ ∫ L 0 x dx ] = 1 L ( L2 2 + L2 2 ) = L. Os outros coeficientes podem ser calculados atrave´s de integrac¸a˜o por partes. Temos an = 1 L ∫ L −L f(x) cos npix L dx = 1 L [ − ∫ 0 −L x cos npix L dx+ ∫ L 0 x cos npix L dx ] = 1 L [( − L npi x sen npix L ∣∣∣∣0 −L + L npi ∫ 0 −L sen npix L dx ) + ( L npi x sen npix L ∣∣∣∣L 0 − L npi ∫ L 0 sen npix L dx )] = 1 L [ − L 2 n2pi2 cos npix L ∣∣∣∣0 −L + L2 n2pi2 cos npix L ∣∣∣∣L 0 ] = 1 L [ − L 2 n2pi2 + L2 n2pi2 cosnpi + L2 n2pi2 cosnpi − L 2 n2pi2 ] = 2L n2pi2 (cosnpi − 1) = { 0 se n e´ par, − 4L n2pi2 se n e´ ı´mpar. e bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen npix L dx = 1 L [ − ∫ 0 −L x sen npix L dx+ ∫ L 0 x sen npix L dx ] = 1 L [( L npi x cos npix L ∣∣∣∣0 −L − L npi ∫ 0 −L cos npix L dx ) + ( − L npi x cos npix L ∣∣∣∣L 0 + L npi ∫ L 0 cos npix L dx )] = 1 L [ L2 npi cosnpi − L 2 n2pi2 sen npix L ∣∣∣∣0 −L − L 2 npi cosnpi + L2 n2pi2 sen npix L ∣∣∣∣L 0 ] = 0. Portanto, f(x) = L 2 − 4L pi2 ∞∑ n=1 1 (2n− 1)2 cos (2n− 1)pix L . Observe que a se´rie do lado direito e´ convergente em todo ponto x, ja´ que os coeficientes diminuem na raza˜o de 1 (2n− 1)2 , ∣∣∣∣cos (2n− 1)pixL ∣∣∣∣ 6 1 e a se´rie ∑∞n=1 1n2 e´ sabidamente convergente. Veja na Figura 1.3 a seguir os gra´ficos das somas parciais da se´rie de Fourier de f desde n = 1 ate´ n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 e 10. Observe como a convergeˆncia e´ bastante ra´pida. Para k = 10 a soma parcial da se´rie de Fourier de f e´ virtualmente indistinguivel de f dentro da resoluc¸a˜o utilizada. Rodney Josue´ Biezuner 21 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 k = 1 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 k = 2 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 k = 3 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 k = 4 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 k = 5 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 k = 10 Figura 1.4. Somas parciais da se´rie de Fourier da func¸a˜o f . Por outro lado, a convergeˆncia e´ mais lenta nas quinas, isto e´, nos pontos onde f na˜o e´ diferencia´vel. Para perceber isso melhor, considere x = L = pi, de modo pi = pi 2 − 4 pi ∞∑ n=1 1 (2n− 1)2 cos(2n− 1)pi ou pi2 8 = ∞∑ n=1 1 (2n− 1)2 = 1 + 1 9 + 1 25 + 1 49 + . . . Rodney Josue´ Biezuner 22 Enquanto que pi = 3.1415926536 e´ uma aproximac¸a˜o para pi com 10 casas decimais, temos:√√√√8 k∑ n=1 1 (2n− 1)2 = 3.141274327 se k = 1000,3.141589470 se k = 100000, 3.141592335 se k = 1000000. � 1.3 Teorema de Fourier Vamos determinar condic¸o˜es suficientes para que uma func¸a˜o f possua uma se´rie de Fourier e para que esta convirja para f na maioria dos pontos de seu domı´nio. Primeiramente, a condic¸a˜o para que a se´rie de Fourier de f exista (mesmo que ela possa na˜o convergir para f em nenhum ponto). Considere uma func¸a˜o f : R −→ R perio´dica de per´ıodo 2L e absolutamente integra´vel no intervalo [−L,L]. Enta˜o os coeficientes de Fourier de f an = 1 L ∫ L −L f(x) cos npix L dx, n = 0, 1, 2, . . . , bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen npix L dx, n = 1, 2, . . . , esta˜o bem definidos, pois ∫ L −L |f(x)| dx <∞ e ∣∣∣∣∣ ∫ L −L f(x) cos npix L dx ∣∣∣∣∣ 6 ∫ L −L |f(x)| ∣∣∣cos npix L ∣∣∣ dx < ∫ L −L |f(x)| dx <∞,∣∣∣∣∣ ∫ L −L f(x) sen npix L dx ∣∣∣∣∣ 6 ∫ L −L |f(x)| ∣∣∣sen npix L ∣∣∣ dx < ∫ L −L |f(x)| dx <∞. Podemos portanto formalmente construir a se´rie a0 2 + ∞∑ n=1 ( an cos npix L + bn sen npix L ) . A pro´xima questa˜o e´ saber para que pontos x esta se´rie converge e se nestes pontos ela converge para o valor f(x). 1.3.1 Func¸o˜es Cont´ınuas por Partes 1.7 Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o real f e´ cont´ınua por partes no intervalo [a, b] se existir um nu´mero finito de pontos a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b tais que (i) f e´ cont´ınua em cada subintervalo [xi−1, xi], i = 1, . . . , n; (ii) existem os limites laterais a` esquerda e a` direita nos extremos de cada subintervalo. 1.8 Exemplo. a) A func¸a˜o f(x) = −1 se n < x < n+ 1 e n e´ ı´mpar,0 se x = n ∈ Z, 1 se n < x < n+ 1 e n e´ par. Rodney Josue´ Biezuner 23 e´ cont´ınua por partes em qualquer intervalo fechado da reta. Seus pontos de descontinuidade sa˜o os pontos com valores inteiros e os limites laterais nestes pontos sa˜o −1 e 1. −3 −2 −1 1 2 3 −1.0 −0.5 0.5 1.0 x y Figura 1.5 b) A func¸a˜o g(x) = 1 se x < 0, 0 se x = 0, sen 1 x se x > 0, na˜o e´ cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1] pois na˜o existe o limite lateral a` direita em x = 0. −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x y Figura 1.6 c) Similarmente, a func¸a˜o h(x) = 1 |x| se x < 0, 0 se x = 0, 1 se x > 0, na˜o e´ cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1], pois na˜o existe o limite lateral a` esquerda em x = 0. Rodney Josue´ Biezuner 24 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 2 4 6 8 10 12 14 16 x y Figura 1.7 � 1.3.2 O Teorema de Fourier1.9 Teorema. (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L, tal que f e f ′ sa˜o cont´ınuas por partes no intervalo [−L,L]. Enta˜o a se´rie de Fourier de f a0 2 + ∞∑ n=1 ( an cos npix L + bn sen npix L ) onde an = 1 L ∫ L −L f(x) cos npix L dx, n = 0, 1, 2, . . . , bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen npix L dx, n = 1, 2, . . . , converge para f(x) se f e´ cont´ınua em x e para a me´dia dos limites laterais f(x+) + f(x−) 2 se f e´ descont´ınua em x. Observe que se f e´ cont´ınua em x, enta˜o a me´dia dos limites laterais de f em x e´ exatamente igual a f(x); o teorema poderia ter sido enunciado em uma forma mais compacta simplesmente afirmando que se f satisfaz as condic¸o˜es do enunciado, enta˜o a se´rie de Fourier de f converge sempre para a me´dia dos limites laterais f(x+) + f(x−) 2 . 1.10 Exemplo. a) Defina f(x) = { x2 sen 1 x se x 6= 0, 0 se x = 0. Observe que f e´ cont´ınua ( lim x→0 x2 sen 1 x = 0), mas f ′ na˜o e´ cont´ınua por partes, pois apesar da derivada existir em x = 0, na˜o existe nenhum dos limites laterais da derivada em x = 0: f ′(x) = { 2x sen 1 x − cos 1 x se x 6= 0, 0 se x = 0. Rodney Josue´ Biezuner 25 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 x y −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x y Figura 1.8: Gra´ficos de f (acima) e f ′ (abaixo). b) (Onda quadrada) Defina f : R −→ R por f(x) = { 0 se − L < x < 0, L se 0 < x < L, e f perio´dica de per´ıodo 2L. Observe que f satisfaz as hipo´teses do teorema de Fourier, ja´ que sua derivada e´ a func¸a˜o identicamente nula, exceto nos pontos mu´ltiplos de L, onde a derivada na˜o existe. Rodney Josue´ Biezuner 26 −3 −2 −1 0 1 2 3 0.5 1.0 x y Figura 1.9: L = 1. Vamos calcular a se´rie de Fourier de f . Temos a0 = 1 L ∫ L −L f(x) dx = ∫ L 0 dx = L, an = 1 L ∫ L −L f(x) cos npix L dx = ∫ L 0 cos npix L dx = L npi sen npix L ∣∣∣L 0 = 0, bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen npix L dx = ∫ L 0 sen npix L dx = − L npi cos npix L ∣∣∣L 0 = L npi (1− cosnpi) = { 0 se n e´ par, 2L npi se n e´ ı´mpar. Portanto, f(x) = L 2 + 2L pi ∞∑ n=1 1 2n− 1 sen (2n− 1)pix L . −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 1 2 3 x y Figura 1.10: Gra´fico das somas parciais desde n = 1 ate´ n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = pi). Rodney Josue´ Biezuner 27 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 1 2 3 x y Figura 1.11: Gra´fico da soma parcial desde n = 1 ate´ n = 10 (L = pi). Para os valores de descontinuidade (x = kL, k ∈ Z), os senos se anulam e a se´rie de Fourier de f tem valor igual a L/2, exatamente a me´dia dos limites laterais nestes pontos. Nos demais pontos, a se´rie de Fourier converge para f , mas com uma convergeˆncia lenta, ja´ que os seus coeficientes sa˜o da ordem de 1/(2n− 1). c) (Onda triangular) Defina g : R −→ R por g(x) = { −x se − L 6 x < 0, x se 0 6 x < L, e g perio´dica de per´ıodo 2L. Observe que g e´ cont´ınua e diferencia´vel por partes (isto e´, g′ e´ cont´ınua por partes), logo a se´rie de Fourier de g converge para g em todo ponto. A se´rie de Fourier de g foi calculada no Exemplo 1.6. � 1.4 Se´ries de Fourier de Func¸o˜es Pares e I´mpares 1.4.1 Func¸o˜es Pares e I´mpares Func¸o˜es pares e func¸o˜es ı´mpares teˆm se´ries de Fourier mais simples que as de outras func¸o˜es. 1.11 Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o real f : R −→ R e´ par se f(−x) = f(x); f e´ ı´mpar se f(−x) = −f(x). 1.12 Exemplo. a) As func¸o˜es constantes, |x|, x2, x4, x2n e cos npix L para qualquer n ∈ N, ex2 , sa˜o func¸o˜es pares. b) As func¸o˜es x, x3, x2n+1 e sen npix L para qualquer n ∈ N, sa˜o func¸o˜es ı´mpares. c) As func¸o˜es ex, x2 + x+ 1 na˜o sa˜o nem pares, nem ı´mpares. � 1.13 Proposic¸a˜o. (Propriedades elementares das func¸o˜es pares e ı´mpares) (i) A soma de duas func¸o˜es pares e´ uma func¸a˜o par; a soma de duas func¸o˜es ı´mpares e´ uma func¸a˜o ı´mpar. (ii) A soma de uma func¸a˜o par e uma func¸a˜o ı´mpar na˜o e´ par, nem ı´mpar (a na˜o ser que uma delas seja a func¸a˜o nula). (iii) O produto de duas func¸o˜es pares e´ uma func¸a˜o par; o produto de duas func¸o˜es ı´mpares e´ uma func¸a˜o par. Rodney Josue´ Biezuner 28 (iv) O produto de uma func¸a˜o par e uma func¸o˜es ı´mpar e´ uma func¸a˜o ı´mpar. Prova: A verificac¸a˜o destas propriedades e´ muito fa´cil: por exemplo, se f e g sa˜o ı´mpares, enta˜o (f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) + (−g(x)) = −(f + g)(x), (fg)(−x) = f(−x)g(−x) = (−f(x))(−g(x)) = f(x)g(x) = (fg)(x). As demais propriedades sa˜o deixadas para o leitor verificar. � 1.14 Proposic¸a˜o. (Integrac¸a˜o de func¸o˜es pares e ı´mpares) (a) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o par, integra´vel em qualquer intervalo limitado. Enta˜o, para todo L ∈ R vale ∫ L −L f(x) dx = 2 ∫ L 0 f(x) dx. (b) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o ı´mpar, integra´vel em qualquer intervalo limitado. Enta˜o, para todo L ∈ R vale ∫ L −L f(x) dx = 0. Prova: Temos ∫ L −L f(x) dx = ∫ 0 −L f(x) dx+ ∫ L 0 f(x) dx. Fazendo a mudanc¸a de varia´vel t = −x na primeira integral, se f for par temos∫ L −L f(x) dx = ∫ 0 L f(−t) (−dt) + ∫ L 0 f(x) dx = − ∫ 0 L f(t) dt+ ∫ L 0 f(x) dx = ∫ L 0 f(t) dt+ ∫ L 0 f(x) dx = 2 ∫ L 0 f(x) dx, e se f for ı´mpar temos∫ L −L f(x) dx = ∫ 0 L f(−t) (−dt) + ∫ L 0 f(x) dx = ∫ 0 L f(t) dt+ ∫ L 0 f(x) dx = − ∫ L 0 f(t) dt+ ∫ L 0 f(x) dx = 0. � Como consequ¨eˆncia destas duas proposic¸o˜es, obtemos que a se´rie de Fourier para uma func¸a˜o par e´ uma se´rie de cossenos, enquanto que a se´rie de Fourier para uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma se´rie de senos: 1.15 Proposic¸a˜o. (Se´ries de Fourier de func¸o˜es pares e ı´mpares) (a) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o par que satisfaz as hipo´teses do Teorema de Fourier. Enta˜o, an = 2 L ∫ L 0 f(x) cos npix L dx, n = 0, 1, 2, . . . , bn = 0 para todo n, logo f(x) = a0 2 + ∞∑ n=1 an cos npix L . Rodney Josue´ Biezuner 29 (b) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o ı´mpar que satisfaz as hipo´teses do Teorema de Fourier. Enta˜o, an = 0 para todo n, bn = 2 L ∫ L 0 f(x) sen npix L dx, n = 1, 2, . . . , logo f(x) = ∞∑ n=1 bn sen npix L . 1.16 Exemplo. (Onda em dente de serra) Considere a func¸a˜o f(x) = x, se −L < x < L, f(−L) = f(L) = 0, perio´dica de per´ıodo 2L. −3 −2 −1 1 2 3 −1.0 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x y Figura 1.12 Como f e´ ı´mpar, temos an = 0 e bn = 2 L ∫ L 0 f(x) sen npix L dx = 2 L ∫ L 0 x sen npix L dx = 2 L [ − L npi x cos npix L ∣∣∣L 0 + L npi ∫ L 0 cos npix L dx ] = 2 npi [ −L cosnpi + L npi sen npix L ∣∣∣L 0 ] = −2L npi cosnpi = 2L npi (−1)n+1, logo a se´rie de Fourier de f e´ a se´rie de senos f(x) = 2L pi ∞∑ n=1 (−1)n+1 n sen npix L . Rodney Josue´ Biezuner 30 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 x y Figura 1.13: Gra´fico das somas parciais desde n = 1 ate´ n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = pi). −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 x y Figura 1.14: Gra´fico da soma parcial desde n = 1 ate´ n = 10 (L = pi). � 1.4.2 Extenso˜es Perio´dicas Pares e I´mpares de Func¸o˜es Definidas em Intervalos Dada uma func¸a˜o f : [0, L] −→ R definida em um intervalo fechado, diferencia´vel por partes,podemos obter va´rias se´ries de Fourier diferentes para f . De fato, para obter uma se´rie de Fourier para f , precisamos extender f a uma func¸a˜o definida na reta toda e que seja perio´dica, de per´ıodo 2L. No entanto, esta extensa˜o pode ser realizada de uma infinidade de maneiras diferentes, desde que a func¸a˜o resultante satisfac¸a as hipo´teses do Teorema de Fourier. As extenso˜es mais utilizadas na pra´tica sa˜o as extenso˜es de f a uma func¸a˜o par, de modo que a se´rie de Fourier de f e´ uma se´rie exclusivamente de cossenos, e de f a uma func¸a˜o ı´mpar, de modo que a se´rie de Fourier de f e´ uma se´rie exclusivamente de senos. Qual delas e´ escolhida depende da aplicac¸a˜o pra´tica que se tem em mente, como veremos mais tarde, embora a`s vezes a escolha tambe´m e´ ditada pela diferenc¸a da velocidade de convergeˆncia entre as se´ries obtidas (veja o exemplo a seguir). 1. Extensa˜o perio´dica par de f : Defina f(x) = f(−x) para x ∈ [−L, 0] e declare f perio´dica de per´ıodo 2L. Rodney Josue´ Biezuner 31 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −20 20 40 60 80 100 x y Figura 1.15: Extensa˜o par. 2. Extensa˜o perio´dica ı´mpar de f : Defina f(x) = −f(−x) para x ∈ [−L, 0) e declare f perio´dica de per´ıodo 2L. −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −100 −80 −60 −40 −20 20 40 60 80 100 x y Figura 1.16: Extensa˜o ı´mpar. 1.17 Exemplo. Considere a func¸a˜o f(x) = x se 0 6 x 6 L. Se tomarmos a extensa˜o perio´dica par de f , obteremos a func¸a˜o f(x) = { −x se − L 6 x < 0, x se 0 6 x < L, f(x) = f(x+ 2L), que e´ a onda triangular, cuja se´rie de Fourier e´ a se´rie de cossenos que ja´ obtivemos anteriormente: f(x) = L 2 − 4L pi2 ∞∑ n=1 1 (2n− 1)2 cos (2n− 1)pix L . Por outro lado, se tomarmos a extensa˜o perio´dica ı´mpar de f (redefinindo f(L) = 0), obteremos a func¸a˜o f(x) = x se − L < x < L, f(x) = f(x+ 2L), f(−L) = f(L) = 0, Rodney Josue´ Biezuner 32 que e´ a onda em dente de serra, cuja se´rie de Fourier e´ a se´rie de senos calculada acima: f(x) = 2L pi ∞∑ n=1 (−1)n+1 n sen npix L . Os coeficientes de Fourier da se´rie de cossenos de f decrescem na ordem de 1 n2 , enquanto que os coeficientes de Fourier da se´rie de senos de f decrescem na ordem de 1 n . Portanto, a convergeˆncia da expansa˜o em cossenos de f e´ muito mais ra´pida do que a convergeˆncia da expansa˜o em senos de f . Isso se deve ao fato de que a extensa˜o de f a uma func¸a˜o par e´ uma func¸a˜o cont´ınua na reta toda, enquanto que a extensa˜o de f a uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma func¸a˜o que possui descontinuidades nos pontos da forma x = 2kL, k ∈ Z. Em geral, como veremos na sec¸a˜o a seguir, quanto maior a regularidade de f , mais ra´pida e´ a convergeˆncia da sua se´rie de Fourier. � 1.5 Estimativa dos Coeficientes de Fourier A rapidez da convergeˆncia da se´rie de Fourier depende dos coeficientes de Fourier. Seja f perio´dica de per´ıodo 2L. Suponha que 1. f e´ absolutamente integra´vel em [−L,L]. Neste caso, podemos obter a seguinte estimativa simples para os coeficientes de Fourier: |an| = ∣∣∣∣∣ 1L ∫ L −L f(x) cos npix L dx ∣∣∣∣∣ 6 1L ∫ L −L |f(x)| ∣∣∣cos npix L ∣∣∣ dx 6 1 L ∫ L −L |f(x)| dx, |bn| = ∣∣∣∣∣ 1L ∫ L −L f(x) sen npix L dx ∣∣∣∣∣ 6 1L ∫ L −L |f(x)| ∣∣∣sen npix L ∣∣∣ dx 6 1 L ∫ L −L |f(x)| dx. Definindo a constante M0 = 1 L ∫ L −L |f(x)| dx, obtemos portanto as seguintes estimativas para os coeficientes de Fourier: |an| , |bn| 6M0 para todo n. (1.5) Como a func¸a˜o e´ apenas integra´vel, tudo o que conseguimos obter e´ que os coeficientes de Fourier sa˜o limitados. A se´rie de Fourier pode nem mesmo convergir. Suponha agora que 2. f e´ cont´ınua e sua derivada f ′ e´ absolutamente integra´vel em [−L,L]. Desta vez podemos integrar por partes para obter an = 1 L ∫ L −L f(x) cos npix L dx = 1 npi f(x) sen npix L ∣∣∣L −L − 1 npi ∫ L −L f ′(x) sen npix L dx de modo que an = − 1 npi ∫ L −L f ′(x) sen npix L dx. (1.6) Analogamente, bn = 1 L ∫ L −L f(x) sen npix L dx = − 1 npi f(x) cos npix L ∣∣∣L −L + 1 npi ∫ L −L f ′(x) cos npix L dx = − 1 npi (f(L) cosnpi − f(−L) cos(−npi)) + 1 npi ∫ L −L f ′(x) cos npix L dx Rodney Josue´ Biezuner 33 de modo que bn = 1 npi ∫ L −L f ′(x) cos npix L dx. (1.7) Denotando os coeficientes de Fourier da derivada f ′ de f por a′n = 1 L ∫ L −L f ′(x) cos npix L dx, b′n = 1 L ∫ L −L f ′(x) sen npix L dx, segue que an = − L npi b′n, (1.8) bn = L npi a′n. Como ja´ vimos antes (no passo 1), temos que |a′n| , |b′n| 6 M̂1 para todo n, (1.9) onde M̂1 = 1 L ∫ L −L |f ′(x)| dx. (1.10) Portanto, se M1 = L pi M̂1, segue que |an| , |bn| 6 M1 n para todo n 6= 0. (1.11) Desta vez, com as hipo´teses adicionais sobre f (f mais regular, mais suave), obtivemos que os coeficientes de Fourier convergem para zero quando n tende a infinito. Isso ainda na˜o assegura que a se´rie de Fourier converge, e´ claro. Suponha agora que 3. f e f ′ sa˜o cont´ınuas e a derivada segunda f ′′ e´ absolutamente integra´vel em [−L,L]. Usando o passo 2 acima, temos a′n = − L npi b′′n, b′n = L npi a′′n, donde an = − L npi b′n = − L npi ( L npi a′′n ) = − L n2pi2 a′′n, (1.12) bn = L npi a′n = L npi ( − L npi b′′n ) = − L n2pi2 b′′n. Do passo 1, temos que |a′′n| , |b′′n| 6 M̂2 para todo n 6= 0, (1.13) onde M̂2 = 1 L ∫ L −L |f ′′(x)| dx. (1.14) Rodney Josue´ Biezuner 34 Portanto, se M2 = L2 pi2 M̂2, segue que |an| , |bn| 6 M2 n2 para todo n 6= 0. (1.15) Nestas condic¸o˜es, sem usar o Teorema de Fourier conclu´ımos pelo teste da comparac¸a˜o que a se´rie de Fourier converge, pois a se´rie ∞∑ n=1 1 n2 e´ convergente (mas e´ claro que isso na˜o permite concluir que a se´rie de Fourier converge para f). Ale´m disso, a velocidade de convergeˆncia e´ relativamente ra´pida, de ordem quadra´tica. Procedendo por induc¸a˜o, vemos que quanto mais regular ou suave f for, mais rapidamente os coeficientes de Fourier convergem para zero e, consequentemente, maior sera´ a velocidade de convergeˆncia da se´rie de Fourier. Os ca´lculos acima mostram tambe´m que e´ poss´ıvel calcular os coeficientes de Fourier das derivadas de uma func¸a˜o a partir dos coeficientes de Fourier da pro´pria func¸a˜o. Todos estes resultados sa˜o resumidos no teorema a seguir: 1.18 Teorema. (Coeficientes de Fourier das derivadas de uma func¸a˜o) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L, k vezes diferencia´vel, tal que f, f ′, f ′′, ..., f (k−1) sa˜o cont´ınuas em R e f (k) e´ absolutamente integra´vel em [−L,L]. Enta˜o, se a(j)n , b(j)n denotam os coeficientes de Fourier de f (j), temos para 2 6 j 6 k a′n = npi L bn b ′ n = − npi L an a′′n = − n2pi2 L2 an b ′′ n = − n2pi2 L2 bn a′′′n = − n3pi3 L3 bn, b ′′′ n = n3pi3 L3 an, a (4) n = n4pi4 L4 an, b (4) n = n4pi4 L4 bn, ... ... a (j) n = σj njpij Lj an se n e´ par, σj njpij Lj bn se n e´ ı´mpar, b (j) n = σj+1 njpij Lj bn se n e´ par, σj+1 njpij Lj an se n e´ ı´mpar, onde σj = { 1 se j = 0mod 4 ou j = 1mod 4, −1 se j = 2mod 4 ou j = 3mod 4. Ale´m disso, existe uma constante Mk > 0 tal que |an| , |bn| 6 Mk nk para todo n 6= 0. Prova: Dos resultados que obtivemos acima segue que an = − 1 npi ∫ L −L f ′(x) sen npix L dx = − L npi 1 L ∫ L −L f ′(x) sen npix L dx = − L npi b′n, bn = 1 npi ∫ L −L f′(x) cos npix L dx = L npi 1 L ∫ L −L f ′(x) cos npix L dx = L npi a′n. Rodney Josue´ Biezuner 35 donde a′n = npi L bn e b ′ n = − npi L an. O resultado geral segue por induc¸a˜o: a′′n = npi L b′n = npi L ( −npi L an ) = −n 2pi2 L2 an, b′′n = − npi L a′n = − npi L (npi L bn ) = −n 2pi2 L2 bn, a′′′n = npi L b′′n = npi L ( −n 2pi2 L2 bn ) = −n 3pi3 L3 bn, b′′′n = − npi L a′′n = − npi L ( −n 2pi2 L2 an ) = n3pi3 L3 an, a(4)n = npi L b′′′n = npi L ( n3pi3 L3 an ) = n4pi4 L4 an, b(4)n = − npi L a′′′n = − npi L ( −n 3pi3 L3 bn ) = n4pi4 L4 bn, a(5)n = npi L b(4)n = npi L ( n4pi4 L4 bn ) = n5pi5 L5 bn, b(5)n = − npi L a(4)n = − npi L ( n4pi4 L4 an ) = −n 5pi5 L5 bn, e assim por diante. A constante Mk e´ dada por Mk = Lk pik ( 1 L ∫ L −L ∣∣∣f (k)(x)∣∣∣ dx) . � 1.6 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier Quando formos resolver equac¸o˜es diferenciais parciais atrave´s de se´ries de Fourier, sera´ importante poder diferenciar as se´ries de Fourier termo a termo (por exemplo, para calcular uxx para o candidato a` soluc¸a˜o da equac¸a˜o do calor obtida na Introduc¸a˜o), portanto e´ necessa´rio saber em que condic¸o˜es isso pode ser feito: 1.19 Teorema. (Diferenciac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L, tal que f e´ cont´ınua em R e f ′ e f ′′ sa˜o cont´ınuas por partes, de modo que vale o Teorema de Fourier e a se´rie de Fourier de f e´ dada por f(x) = a0 2 + ∞∑ n=1 ( an cos npix L + bn sen npix L ) . Enta˜o a se´rie de Fourier de f ′ e´ a se´rie obtida derivando termo a termo a se´rie de Fourier de f : f ′(x) = ∞∑ n=1 ( −npi L an sen npix L + npi L bn cos npix L ) . Prova: Pelo Teorema de Fourier, sabemos que f ′ possui uma se´rie de Fourier que converge para f ′ nos pontos de continuidade de f ′ e para a me´dia dos limites laterais de f ′ nos pontos de descontinuidade: f ′(x) = A0 2 + ∞∑ n=1 ( An cos npix L +Bn sen npix L ) . Rodney Josue´ Biezuner 36 Para provar este teorema, basta provar que A0 = 0, An = npi L bn, Bn = −npi L an. Temos A0 = 1 L ∫ L −L f ′(x) dx = 1 L (f(L)− f(−L)) = 0 porque f tem per´ıodo 2L, logo f(L) = f(−L). Assumindo, para simplificar a demonstrac¸a˜o, que f ′ e´ cont´ınua, podemos integrar por partes para obter os outros coeficientes: An = 1 L ∫ L −L f ′(x) cos npix L dx = 1 L [ L npi f(x) cos npix L ∣∣∣L −L + L npi ∫ L −L f(x) sen npix L dx ] = L npi [ 1 L (f(L) cosnpi − f(−L) cos(−npi)) + 1 L ∫ L −L f(x) sen npix L dx ] = L npi bn. Bn = 1 L ∫ L −L f ′(x) sen npix L dx = 1 L [ L npi f(x) sen npix L ∣∣∣L −L − L npi ∫ L −L f(x) cos npix L dx ] = − L npi [ 1 L ∫ L −L f(x) cos npix L dx ] = − L npi an. � 1.20 Exemplo. Se f e´ descont´ınua, enta˜o a conclusa˜o deste teorema falha: mesmo que f possua uma se´rie de Fourier que converge para f em seus pontos de continuidade, na˜o podemos derivar a se´rie de Fourier de f termo a termo para encontrar a se´rie de Fourier de f ′. Por exemplo, se f : R −→ R e´ a onda em dente de serra, isto e´, a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L definida no intervalo fechado [−L,L] por f(x) = { x se − L < x < L, 0 se x = L,−L, enta˜o a se´rie de Fourier de f e´ a se´rie de senos dada por f(x) = 2L pi ∞∑ n=1 (−1)n+1 n sen npix L , como vimos anteriormente. Como f ′ satisfaz tambe´m as hipo´teses do Teorema de Fourier, sabemos que f ′ tambe´m possui uma se´rie de Fourier que converge para f ′ nos pontos de continuidade e para a me´dia dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. No entanto, como f na˜o e´ cont´ınua, ocorre que esta se´rie de Fourier na˜o pode ser obtida atrave´s da derivac¸a˜o termo a termo da se´rie de Fourier de f . De fato, a derivada termo a termo da se´rie de Fourier de f 2 ∞∑ n=1 (−1)n+1 cos npix L Rodney Josue´ Biezuner 37 na˜o e´ nem mesmo uma se´rie convergente em nenhum ponto, divergindo tanto nos pontos de descon- tinuidade como em pontos de continuidade de f . Por exemplo, no ponto x = 0, a se´rie e´ 2 ∞∑ n=1 (−1)n+1 = 2(1− 1 + 1− 1 + ...) que oscila entre os valores 2 e 0, enquanto que no ponto x = L, a se´rie e´ 2 ∞∑ n=1 (−1)n+1 = 2(−1 + 1− 1 + 1− ...) que oscila entre os valores −2 e 0. Em geral, a se´rie diverge em qualquer ponto porque lim n→∞ cosnx 6= 0 para todo x ∈ R. Para provar isso, suponha por absurdo que lim n→∞ cosnx = 0 para algum x. Isso implica evidentemente que lim n→∞ cos 2 nx = 0 tambe´m, pois lim n→∞ cos 2 nx = ( lim n→∞ cosnx )2 . Tambe´m segue que lim n→∞ cos 2nx = 0, pois {cos 2nx} e´ uma subsequ¨eˆncia de {cosnx}. Mas enta˜o, tomando o limite quando n→∞ em ambos os lados da identidade trigonome´trica cos2 nx = 1 + cos 2nx 2 , obteremos o absurdo 0 = 1/2. Isso prova que lim n→∞ cosnx 6= 0 para todo x ∈ R e portanto a se´rie diverge em todos os pontos. Podemos calcular a se´rie de Fourier de f ′ diretamente a partir da definic¸a˜o de f ′: temos que f ′(x) = 1 se −L < x < L, f ′ na˜o esta´ definida nos pontos mu´ltiplos de L (mas podemos redefinir nestes pontos como valendo 1) e e´ perio´dica de per´ıodo 2L, logo seus coeficientes de Fourier (note que f ′ e´ par) sa˜o a0 = 1 L ∫ 2L 0 f(x) dx = 1 L ∫ 2L 0 dx = 2, an = 1 L ∫ 2L 0 cos npix L dx = 0, bn = 0, e sua se´rie de Fourier e´, portanto, f ′(x) ≡ 1. Poder´ıamos ter chegado a este resultado imediatamente, sem precisar de calcular os coeficientes de Fourier de f ′, porque a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o definida na reta e´ u´nica. No caso da questa˜o de se e´ permitido integrar termo a termo a se´rie de Fourier de f , as hipo´teses sobre f para que isso seja poss´ıvel sa˜o muito mais fracas. Podemos integrar a se´rie de Fourier de f termo a termo para obter a integral de f mesmo quando a se´rie de Fourier de f na˜o converge uniformemente para f . De fato, podemos integrar a se´rie de Fourier de f mesmo quando a se´rie de Fourier de f na˜o converge pontualmente para f , e mesmo quando ela na˜o e´ uma se´rie convergente! Para mostrarmos isso, necessitaremos do seguinte resultado elementar: 1.21 Proposic¸a˜o. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T . Enta˜o, para qualquer a ∈ R vale∫ T 0 f(x) dx = ∫ a+T a f(x) dx. Rodney Josue´ Biezuner 38 Prova: Definindo uma func¸a˜o F : R −→ R por F (a) = ∫ a+T a f(x) dx, basta provar que F e´ constante. Para isso, mostraremos que F ′ ≡ 0. De fato, escrevendo F (a) = ∫ 0 a f(x) dx+ ∫ a+T 0 f(x) dx = − ∫ a 0 f(x) dx+ ∫ a+T 0 f(x) dx segue do teorema fundamental do ca´lculo que F ′(a) = −f(a) + f(a+ T ) = 0. � Em outras palavras, este resultado diz que a integral de uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T tem o mesmo valor em qualquer intervalo de comprimento T . 1.22 Teorema. (Integrac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L, tal que f e´ cont´ınua por partes. Enta˜o, mesmo se a se´rie de Fourier de f a0 2 + ∞∑ n=1 ( an cos npix L + bn sen npix L ) na˜o for convergente, ainda assim temos∫ t 0 f(x) dx = a0 2 t+ L pi ∞∑ n=1 [ an n sen npit L − bn n ( cos npit L − 1 )] para todo t ∈ R.
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