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Equações Diferenciais Parciais - Rodney (EDB)

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Notas de Aula
Equac¸o˜es Diferenciais Parciais
Lineares
Rodney Josue´ Biezuner 1
Departamento de Matema´tica
Instituto de Cieˆncias Exatas (ICEx)
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
Notas de aula da disciplina Equac¸o˜es Diferenciais B do Ciclo Ba´sico do ICEx.
23 de novembro de 2010
1E-mail: rodney@mat.ufmg.br; homepage: http://www.mat.ufmg.br/∼rodney.
Suma´rio
0 Introduc¸a˜o: Conduc¸a˜o do Calor em uma Barra 4
0.1 Modelagem F´ısica e Matema´tica do Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.1.1 A Equac¸a˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equac¸a˜o do Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.1.3 Condic¸a˜o Inicial e Condic¸a˜o de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.2 Soluc¸a˜o do Modelo Matema´tico: Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . 10
0.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1 Se´ries de Fourier 15
1.1 Propriedades das Func¸o˜es Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.3 Produto Interno no Espac¸o das Func¸o˜es Quadrado-Integra´veis . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Func¸o˜es Cont´ınuas por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 O Teorema de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Se´ries de Fourier de Func¸o˜es Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Func¸o˜es Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Extenso˜es Perio´dicas Pares e I´mpares de Func¸o˜es Definidas em Intervalos . . . . . . . 30
1.5 Estimativa dos Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 Equac¸a˜o do Calor Unidimensional 40
2.1 Condic¸a˜o de Dirichlet homogeˆnea: extremidades mantidas a` temperatura zero . . . . . . . . . 40
2.1.1 Existeˆncia de soluc¸a˜o para o problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1.2 Princ´ıpio do ma´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1.3 Unicidade e estabilidade de soluc¸o˜es para o problema de Dirichlet geral . . . . . . . . 45
2.2 Condic¸a˜o de Dirichlet na˜o homogeˆnea: soluc¸a˜o de estado estaciona´rio . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Condic¸a˜o de Neumann homogeˆnea: extremidades termicamente isoladas . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Condic¸a˜o de Robin homogeˆnea: condic¸o˜es de fronteira mistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Equac¸a˜o do calor na˜o-homogeˆnea: equac¸a˜o de reac¸a˜o-difusa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.5.1 Fonte independente do tempo: me´todo da soluc¸a˜o de estado estaciona´rio . . . . . . . . 54
2.5.2 Fonte dependente do tempo: me´todo de variac¸a˜o dos paraˆmetros . . . . . . . . . . . . 56
2.5.3 O problema geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Alguns problemas espec´ıficos de conduc¸a˜o do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.1 Problema da barra com convecc¸a˜o de calor em um extremo . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.2 Condic¸o˜es de fronteira de Robin gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6.3 Problema do anel circular fino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1
Rodney Josue´ Biezuner 2
2.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Equac¸a˜o da Onda Unidimensional 65
3.1 Modelo Matema´tico da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Vibrac¸o˜es Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Condic¸o˜es Iniciais e de Fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.3 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.4 Outros Tipos de Vibrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Soluc¸a˜o pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 A Soluc¸a˜o de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.1 Soluc¸a˜o Geral da Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.2 Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.3 Soluc¸a˜o da Corda Vibrante com Extremidades Fixas pelo Me´todo de D’Alembert . . . 75
3.4 Harmoˆnicos, Energia da Corda e Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . 78
3.4.1 Harmoˆnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.2 Energia da Corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.3 Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o da Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.6 Apeˆndice 1: A Equac¸a˜o da Onda de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6.1 Lei de Conservac¸a˜o Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.6.2 Relac¸o˜es Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.6.3 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o do Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7 Apeˆndice 2: Corda Suspensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Equac¸a˜o do Calor e da Onda em Domı´nios Retangulares 93
4.1 Se´ries de Fourier Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 Definic¸a˜o e Ca´lculo dos Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.2 Func¸o˜es de Duas Varia´veis Pares e I´mpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Lei de Conservac¸a˜o no Espac¸o Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.2.1 Relac¸o˜es Constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3 A Equac¸a˜o do Calor em Domı´nios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.1 Soluc¸a˜o do problema da conduc¸a˜o do calor na chapa retangular com margens mantidas
a` temperatura zero por separac¸a˜o de varia´veis e se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2 Soluc¸a˜o do problema da conduc¸a˜o do calor na chapa retangular termicamente isolada
por separac¸a˜o de varia´veis e se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4 A Equac¸a˜o da Onda em Domı´nios Retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.1 Problema da Membrana Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4.2 Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Vibrante pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis
e Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.3 Linhas Nodais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 104
5 A Equac¸a˜o de Laplace 106
5.1 A Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.1.1 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace no Retaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2 O Princ´ıpio do Ma´ximo e Unicidade de Soluc¸a˜o para a Equac¸a˜o de Laplace . . . . . . 109
5.2 A Equac¸a˜o de Laplace no Disco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.2 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace no Disco pelo Me´todo de Separac¸a˜o de Varia´veis e
Se´ries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 A Equac¸a˜o de Helmholtz: Autovalores e Autofunc¸o˜es do Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 A Equac¸a˜o de Poisson: o Me´todo de Expansa˜o em Autofunc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Rodney Josue´ Biezuner 3
6 A Equac¸a˜o da Onda no Disco: Vibrac¸o˜es de uma Membrana Circular 117
6.1 A Membrana Circular Vibrante: Vibrac¸o˜es Radiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.1 Soluc¸a˜o Geral da Equac¸a˜o de Bessel: Func¸o˜es de Bessel do Primeiro Tipo . . . . . . . 118
6.2.2 Soluc¸a˜o Geral da Equac¸a˜o de Bessel: Func¸o˜es de Bessel do Segundo Tipo . . . . . . . 121
6.2.3 Apeˆndice: A Func¸a˜o Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Se´ries de Func¸o˜es de Bessel e a Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Circular Vibrante . . . . 122
6.3.1 Ortogonalidade das Func¸o˜es de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.2 Se´ries de Bessel de ordem p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.3.3 Soluc¸a˜o do Problema da Membrana Circular Vibrante Radial . . . . . . . . . . . . . . 123
6.4 A Membrana Circular Vibrante: Vibrac¸o˜es Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4.1 Uso do Princ´ıpio de Superposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7 Equac¸a˜o de Laplace em Domı´nios Tridimensionais Sime´tricos 128
7.1 A Equac¸a˜o de Laplace em um Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Cil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.2 Soluc¸a˜o de um Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.1.3 Func¸o˜es de Bessel Modificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.1.4 Soluc¸a˜o de outro Problema de Laplace no Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.2 A Equac¸a˜o de Laplace em uma Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.1 A Equac¸a˜o de Laplace em Coordenadas Esfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.2.2 A Equac¸a˜o de Legendre e Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.2.3 Se´ries de Polinoˆmios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.2.4 Soluc¸a˜o da Equac¸a˜o de Laplace na Bola com Simetria Radial . . . . . . . . . . . . . . 137
8 Transformada de Fourier 139
8.1 A Integral de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.2 A Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2.2 Propriedades Operacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
8.2.3 Transformada de Fourier da Func¸a˜o Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2.4 Tabela de Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 O Me´todo da Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.3.1 A Equac¸a˜o do Calor para uma Barra Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.3.2 A Equac¸a˜o da Onda em uma Corda Infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3.3 A Equac¸a˜o de Laplace em um Semiplano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.3.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Cap´ıtulo 0
Introduc¸a˜o: Conduc¸a˜o do Calor em
uma Barra
0.1 Modelagem F´ısica e Matema´tica do Problema
0.1.1 A Equac¸a˜o do Calor
Considere uma barra uniforme de comprimento L, feita de material homogeˆneo condutor de calor. Por
barra uniforme entendemos que a sua sec¸a˜o transversal e´ sempre igual a uma determinada figura geome´trica
plana e portanto tem a´rea constante, que denotaremos por A; ale´m disso, a barra pode ser imaginada
como sendo formada atrave´s da translac¸a˜o desta figura na direc¸a˜o perpendicular ao seu plano (em outras
palavras, um cilindro reto cuja base pode ser qualquer figura geome´trica, como por exemplo um disco [cilindro
circular reto], uma elipse [cilindro el´ıptico reto], um triaˆngulo [prisma reto], um retaˆngulo [paralelep´ıpedo
reto], ou qualquer outra figura geome´trica plana). Suponha que a superf´ıcie lateral da barra esteja isolada
termicamente, de modo a na˜o permitir transfereˆncias de calor atrave´s dela com o ambiente. Transfereˆncias
de calor, se e´ que ocorrem, podem ocorrer apenas atrave´s das extremidades da barra.
A uniformidade da barra, a homogeneidade do material e o isolamento te´rmico lateral implicam que o
fluxo de calor acontece somente na direc¸a˜o longitudinal, isto e´, ao longo do comprimento da barra. Portanto,
este e´ um problema de conduc¸a˜o de calor unidimensional. Em outras palavras, as varia´veis f´ısicas sa˜o
constantes em cada sec¸a˜o transversal da barra, podendo variar apenas de uma sec¸a˜o para outra.
Consideremos a barra posicionada no eixo x, com uma das extremidades na origem x = 0; a outra
extremidade ocupa portanto a posic¸a˜o x = L. Queremos determinar como a temperatura em cada ponto
da barra varia a` medida que o tempo passa. Para isso, vamos analisar o fluxo de calor ao longo da barra.
Inicialmente, considere duas sec¸o˜es transversais da barra, localizadas em x e x+∆x, delimitando uma fatia
da barra (veja a Figura 0.1 na pa´gina seguinte). Atrave´s destas sec¸o˜es, calor flui (entra ou sai) para esta
fatia. Denotaremos o fluxo de calor, isto e´, a quantidade de calor por unidade de tempo fluindo para a
direita por unidade de a´rea, por φ(x, t); no S.I., o fluxo de calor tem como unidades Joules/m2s.
φ(x, t) = fluxo de calor (quantidade de calor por unidade de tempo
fluindo para a direita por unidade de a´rea).
Se φ(x, t) < 0, o calor esta´ fluindo para a esquerda. A quantidade total de calor que entra na fatia por
unidade de tempo e´ dada pela diferenc¸a entre a quantidade de calor que entra pela sec¸a˜o transversal em x
e a quantidade de calor que sai pela sec¸a˜o transversal em x+∆x, isto e´,
φ(x, t)A− φ(x+∆x, t)A.
4
Rodney Josue´ Biezuner 5
E´ claro que calor pode sair da fatia pela sec¸a˜o transversal em x (se φ(x, t) < 0), assim como calor pode
entrar na fatia pela sec¸a˜o transversal em x + ∆x (se φ(x + ∆x, t) < 0); se a diferenc¸a acima for negativa,
enta˜o o resultado final e´ que calor sai da fatia.
Figura 0.1
Esta quantidade de calor total que entra ou sai da fatia por instante de tempo pode ser calculada em
func¸a˜o das temperaturas nas sec¸o˜es transversais que delimitam a fatia atrave´s da Lei de Conduc¸a˜o do Calor
de Fourier (esta leifoi empiricamente observada por Fourier no in´ıcio do se´culo XIX):
Lei de Conduc¸a˜o do Calor de Fourier. Sejam P1 e P2 duas placas formadas de um mesmo material
e de mesma a´rea igual a A, mantidas respectivamente a temperaturas constantes T1 e T2. Se elas
forem colocadas paralelamente a uma distaˆncia d uma da outra, havera´ passagem de calor da placa
mais quente para a placa mais fria e a quantidade de calor transferida de uma placa para a outra por
unidade de tempo (ou seja, a taxa de transfereˆncia de calor, medida em Joules/s) e´ dada por
Φ = kA
|T2 − T1|
d
,
onde k e´ uma constante espec´ıfica do material entre as placas, chamada condutividade te´rmica do
material.
Denotemos
u(x, t) = temperatura do ponto x da barra no instante de tempo t.
As sec¸o˜es transversais da barra, localizadas em x e x+∆x, fazem o papel das duas placasP1 e P2. Denote
as temperaturas nestas sec¸o˜es no instante de tempo t por T1 = u(x, t) e T2 = u(x+∆x, t). Enta˜o, pela Lei
de Fourier, o fluxo de calor na direc¸a˜o positiva do eixo x que passa pela sec¸a˜o transversal localizada em x e´
dado por (lembre-se que o fluxo de calor e´ definido por unidade de a´rea)
φ(x, t) = − lim
∆x→0
k
u(x+∆x, t)− u(x, t)
∆x
= −kux(x, t),
de modo que quando a temperatura cresce com x, ux e´ positivo, mas o calor flui para a esquerda, portanto φ
e´ negativo; se a temperatura decresce com x, ux e´ negativo e o calor flui para a direita, portanto φ e´ positivo.
Rodney Josue´ Biezuner 6
Agora fixe um segmento qualquer da barra entre as posic¸o˜es x = a e x = b. Vamos calcular a quantidade
total de calor Q que entra neste segmento no per´ıodo de tempo que vai de t0 ate´ t1. Esta e´ a diferenc¸a entre
o calor que entra na sec¸a˜o transversal que ocupa a posic¸a˜o x = a e o calor que sai pela sec¸a˜o transversal que
ocupa a posic¸a˜o x = b durante o per´ıodo de tempo considerado:
Q =
∫ t1
t0
φ(a, t)Adt−
∫ t1
t0
φ(b, t)Adt
=
∫ t1
t0
kA[ux(b, t)− ux(a, t)] dt.
Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, podemos escrever
ux(b, t)− ux(a, t) =
∫ b
a
uxx(x, t) dx.
Logo, como k e´ constante (pois assumimos que a barra e´ feita de um u´nico material homogeˆneo), temos
Q = kA
∫ t1
t0
∫ b
a
uxx(x, t) dxdt. (1)
Por outro lado, tambe´m e´ observado experimentalmente que a quantidade de calor absorvida por uma
substaˆncia em um per´ıodo de tempo e´ diretamente proporcional a` massa desta substaˆncia e a` variac¸a˜o me´dia
de sua temperatura durante o intervalo de tempo considerado:
Q = cm∆u.
A constante de proporcionalidade, denotada por c, depende de cada substaˆncia e e´ chamada o calor espec´ıfico
da substaˆncia; em outras palavras, o calor espec´ıfico nada mais e´ que a quantidade de calor necessa´ria para
elevar em um grau a temperatura de uma unidade de massa da substaˆncia; no S.I., o calor espec´ıfico tem
como unidades Joules/kgK. Embora o calor espec´ıfico de uma substaˆncia em geral varie com a temperatura
em que ela se encontra (isto e´, c = c(u)), para diferenc¸as de temperaturas na˜o muito grandes o calor espec´ıfico
e´ aproximadamente constante.
Aplicamos esta lei emp´ırica novamente a um segmento qualquer da barra entre as posic¸o˜es x = a e x = b.
A variac¸a˜o me´dia da temperatura neste segmento da barra no intervalo de tempo que vai de t0 ate´ t1 e´
obtida tomando-se a me´dia das variac¸o˜es me´dias das temperaturas de todos os pontos da barra, ou seja
∆u =
1
b− a
∫ b
a
[u(x, t1)− u(x, t0)] dx.
Pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo segue que
∆u =
1
b− a
∫ b
a
[∫ t1
t0
ut(x, t) dt
]
dx.
Logo, a quantidade de calor absorvida por este segmento e´ dada por
Q = cm∆u =
cm
b− a
∫ b
a
∫ t1
t0
ut(x, t) dt dx.
sendo m a massa deste segmento e c o calor espec´ıfico do material que constitui a barra. Escrevendo
m = ρA(b− a), onde ρ e´ a densidade da barra, e trocando a ordem dos limites de integrac¸a˜o, obtemos
Q = cρA
∫ t1
t0
∫ b
a
ut(x, t) dxdt. (2)
Rodney Josue´ Biezuner 7
Igualando as duas expresso˜es obtidas em (1) e (2) para a quantidade total de calor Q que entra no
segmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 ate´ t1, obtemos a equac¸a˜o do calor em sua forma
integral:
cρ
∫ t1
t0
∫ b
a
ut(x, t) dxdt = k
∫ t1
t0
∫ b
a
uxx(x, t) dxdt.
Mas a, b, t0, t1 sa˜o arbitra´rios, logo os integrandos sa˜o necessariamente iguais e assim obtemos a equac¸a˜o do
calor na sua forma diferencial
ut = Kuxx, (3)
onde K =
k
cρ
e´ chamada a difusividade te´rmica do material. A equac¸a˜o (3) e´ chamada simplesmente
a equac¸a˜o do calor e representa a lei de variac¸a˜o da temperatura u(x, t) de uma barra uniforme com
superf´ıcie lateral termicamente isolada. Ela descreve como o calor se espalha ou se difunde com o passar do
tempo, um processo f´ısico conhecido como difusa˜o. Outras quantidades f´ısicas tambe´m se difundem seguindo
esta mesma equac¸a˜o diferencial parcial (em situac¸o˜es unidimensionais), como por exemplo a concentrac¸a˜o de
substaˆncias qu´ımicas, tais como perfumes ou polutantes, e por este motivo a equac¸a˜o (3) tambe´m e´ chamada
mais geralmente de equac¸a˜o de difusa˜o.
Observac¸a˜o: A forma diferencial da equac¸a˜o do calor tambe´m pode ser obtida mais diretamente. De fato,
diferenciando a lei de Fourier
φ(x, t) = −kux(x, t)
em relac¸a˜o a x obtemos
φx = −kuxx. (4)
Por outro lado, vimos acima que
Q = −
∫ t1
t0
[φ(b, t)− φ(a, t)]Adt = cρA
∫ b
a
∫ t1
t0
ut(x, t) dt dx.
Agora, ao inve´s de usar a lei de Fourier na integral do lado esquerdo como fizemos acima para obter (1),
usamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo para escreveˆ-la na forma∫ t1
t0
[φ(b, t)− φ(a, t)]Adt =
∫ t1
t0
[∫ b
a
φx(x, t) dx
]
Adt.
Logo,
−
∫ b
a
∫ t1
t0
φx(x, t) dt dx = cρ
∫ b
a
∫ t1
t0
ut(x, t) dt dx.
Como a, b, t0, t1 sa˜o arbitra´rios, os integrandos devem ser iguais e portanto obtemos a equac¸a˜o
φx = −cρut. (5)
Igualando as expresso˜es (4) e (5) para φx, obtemos novamente a equac¸a˜o do calor. No entanto, e´ sempre
prefer´ıvel obter a formulac¸a˜o integral, como fizemos anteriormente, e a partir dela obter a formulac¸a˜o difer-
encial. A formulac¸a˜o integral tem a vantagem de valer mesmo em situac¸o˜es em que u na˜o e´ diferencia´vel, ou
mesmo descont´ınua.
Rodney Josue´ Biezuner 8
0.1.2 Algumas Formas mais Gerais para a Equac¸a˜o do Calor
Pode acontecer que a condutividade te´rmica ao longo da barra na˜o seja constante, mas dependa de x. Esta
situac¸a˜o pode ocorrer, por exemplo, se tivermos uma barra formada por va´rias barras, cada uma delas
constitu´ıda por um material diferente. Neste caso, usando a lei de Fourier como fizemos para obter (1),
desta vez segue que
Q =
∫ t1
t0
A[k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t)] dt,
e usamos o Teorema Fundamental do Ca´lculo para escrever
k(b)ux(b, t)− k(a)ux(a, t) =
∫ b
a
[k(x)ux(x, t)]x dx,
de modo que
Q = A
∫ t1
t0
∫ b
a
[k(x)ux(x, t)]x dxdt.
Do mesmo modo, pode ocorrer que o calor espec´ıfico do material que constitui a barra varie com x, assim
como a sua densidade (o que certamente ocorrera´ na situac¸a˜o dada acima como exemplo). Logo,
Q = A
∫ t1
t0
∫ b
a
c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt
Portanto, nesta situac¸a˜o, a equac¸a˜o do calor que descreve a variac¸a˜o da temperatura da barra com o passar
do tempo se torna
c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x, (6)
Esta equac¸a˜o e´ chamada a equac¸a˜o do calor na forma divergente.
Pode tambe´m ocorrer que exista uma fonte interna de calor em regio˜es da barra, devida por exemplo a
reac¸o˜es qu´ımicas, nucleares ou aquecimento ele´trico. Denotemos
q(x, t) = quantidade de calor gerada por unidade de volume por unidade de tempo.
A` quantidade total de calor Q que entra no segmento da barra entre x = a e x = b no per´ıodo de t0 ate´ t1
devido ao fenoˆmeno de conduc¸a˜odo calor ao longo da barra, deve ser somada a quantidade de calor gerada
internamente no segmento durante este per´ıodo, antes de igualar a` expressa˜o obtida em (2) (isso nada mais
e´ que a lei de conservac¸a˜o do calor, um caso particular da lei de conservac¸a˜o da energia). Pela definic¸a˜o de
q(x, t), este calor gerado internamente e´ dado por∫ t1
t0
∫ b
a
q(x, t)Adxdt.
Portanto, temos que ∫ t1
t0
∫ b
a
[kuxx(x, t) + q(x, t)] dxdt = cρ
∫ t1
t0
∫ b
a
ut(x, t) dxdt
e da´ı obtemos a equac¸a˜o
ut = Kuxx + q(x, t). (7)
Esta equac¸a˜o e´ um exemplo de uma equac¸a˜o de reac¸a˜o-difusa˜o.
E´ claro que nada impede que as duas situac¸o˜es acima ocorram simultaneamente. Neste caso, a equac¸a˜o
completa que descreve o fenoˆmeno da conduc¸a˜o de calor na barra sera´
c(x)ρ(x)ut = [k(x)ux]x + q(x, t). (8)
Rodney Josue´ Biezuner 9
0.1.3 Condic¸a˜o Inicial e Condic¸a˜o de Fronteira
A equac¸a˜o do calor (3) tem um nu´mero infinito de soluc¸o˜es. Por exemplo, qualquer func¸a˜o constante
u(x, t) = C ou afim u(x, t) = Ax + B, onde A,B,C sa˜o quaisquer constantes reais, satisfaz (3). Um
problema fisico real, no caso obter a distribuic¸a˜o de temperaturas em uma barra, deve ter uma soluc¸a˜o
u´nica. Portanto, e´ necessa´rio impor restric¸o˜es adicionais sobre o problema, de modo que possamos obter
uma soluc¸a˜o u´nica para a equac¸a˜o do calor.
Intuitivamente, parece o´bvio que a distribuic¸a˜o de temperaturas na barra ao longo do tempo depende da
distribuic¸a˜o inicial de temperaturas, chamada a condic¸a˜o inicial do problema:
u(x, 0) = f(x).
Esta e´ a u´nica condic¸a˜o inicial necessa´ria. Matematicamente, esta necessidade e´ expressa pelo fato da equac¸a˜o
diferencial parcial (3) possuir uma derivada parcial em relac¸a˜o ao tempo de primeira ordem (como no caso de
equac¸o˜es diferenciais ordina´rias de primeira ordem, em que e´ necessa´rio saber apenas uma condic¸a˜o inicial,
o valor da func¸a˜o no instante inicial, para se conhecer a soluc¸a˜o u´nica da equac¸a˜o).
Ale´m disso, a distribuic¸a˜o de temperaturas na barra ao longo do tempo tambe´m deve depender do que
se passa nas extremidades da barra, que podem na˜o estar isoladas termicamente e portanto podem permitir
a entrada ou sa´ıda de calor, influindo na distribuic¸a˜o de temperaturas da barra com o passar do tempo. As
condic¸o˜es nas extremidades da barra sa˜o chamadas de condic¸o˜es de fronteira. Matematicamente, isso se
deve ao fato da equac¸a˜o diferencial parcial (3) depender tambe´m da varia´vel x. Podemos imaginar va´rios
tipos de condic¸o˜es de fronteira para o problema da barra:
1. Extremidades mantidas a temperaturas constantes:
u(0, t) = T1 e u(L, t) = T2.
2. Temperaturas nas extremidades variando com o tempo de acordo com func¸o˜es conhecidas:
u(0, t) = g1(t) e u(L, t) = g2(t).
3. Extremidades isoladas termicamente (ou seja, o fluxo de calor atrave´s das extremidades e´ nulo e a
barra esta´ completamente isolada):
ux(0, t) = ux(L, t) = 0.
4. Fluxo de calor atrave´s das extremidades e´ conhecido:
ux(0, t) = h1(t) e ux(L, t) = h2(t).
5. Combinac¸a˜o de quaisquer duas das condic¸o˜es acima:
u(0, t) = 0 e ux(L, t) = 0.
Com uma condic¸a˜o inicial e qualquer uma destas condic¸o˜es de fronteira o problema matema´tico esta´
bem posto, admitindo uma u´nica soluc¸a˜o, conforme veremos em detalhes em um cap´ıtulo posterior. Uma
condic¸a˜o do tipo 1 ou 2, em que sa˜o dados valores para a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial parcial na fronteira,
e´ chamada uma condic¸a˜o de Dirichlet. Uma condic¸a˜o do tipo 3 ou 4, em que sa˜o dados valores para a
derivada da soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial parcial na fronteira em relac¸a˜o a` varia´vel espacial, e´ chamada
uma condic¸a˜o de Neumann. Uma condic¸a˜o mista, envolvendo tanto o valor da soluc¸a˜o como o de sua
derivada espacial na fronteira, exemplificada pela condic¸a˜o do tipo 5, e´ chamada uma condic¸a˜o de Robin.
Rodney Josue´ Biezuner 10
Observac¸a˜o: O fato da equac¸a˜o do calor (3) ter uma derivada parcial em relac¸a˜o a` varia´vel x de segunda
ordem na˜o tem nada a ver com o fato de precisarmos de duas condic¸o˜es de fronteira. Este fato e´ simples-
mente uma consequ¨eˆncia da fronteira de um segmento ser formada por dois pontos (no caso, a fronteira do
segmento [0, L] e´ formada pelos pontos 0 e L). Na verdade, essencialmente temos apenas uma condic¸a˜o de
fronteira; o que ocorre e´ que, no caso de um segmento, a fronteira e´ desconexa e esta condic¸a˜o de fronteira
e´ mais facilmente expressa por duas sentenc¸as. Este conceito ficara´ mais claro quando estudarmos equac¸o˜es
diferenciais parciais em regio˜es do plano e do espac¸o.
Uma condic¸a˜o de fronteira de grande interesse pra´tico ocorre quando a barra esta´ em contato com um
fluido em movimento, como ar ou a´gua. Como exemplo desta situac¸a˜o, imagine uma barra quente em
contato com ar mais frio em movimento. Calor deixa a barra, aquecendo o ar, que leva o calor embora,
sendo substituido por ar mais frio, no conhecido processo de convecc¸a˜o. Experimentos mostram que o fluxo
do calor que deixa a barra e´ proporcional a` diferenc¸a de temperatura entre a barra e a temperatura exterior:
Kux(0, t) = H[u(0, t)− T ];
T e´ a temperatura externa e a constante de proporcionalidade H e´ chamada o coeficiente de transfereˆncia de
calor ou coeficiente de convecc¸a˜o. Esta e´ a chamada lei de resfriamento de Newton. Note que esta condic¸a˜o
de fronteira envolve uma combinac¸a˜o linear entre u e ux e e´ uma condic¸a˜o de Robin. Como pela lei de
Fourier o fluxo de calor e´ dado por φ = −kux, temos que φ(0, t) = −kH[u(0, t)−T ], de modo que se a barra
esta´ mais quente que o ambiente exterior (u(0, t) > T ), o fluxo e´ negativo, isto e´, na direc¸a˜o negativa do eixo
x, saindo da extremidade da barra localizada em x = 0 para o ambiente externo, e vice-versa. Por causa
disso, no caso da outra extremidade, localizada no ponto x = L, a lei de resfriamento de Newton deve enta˜o
ser escrita na forma
Kux(L, t) = −H[u(L, t)− T ].
A constanteH depende do material que forma a barra e das propriedades do fluido (tais como sua velocidade).
0.2 Soluc¸a˜o do Modelo Matema´tico: Me´todo de Separac¸a˜o de
Varia´veis e Se´ries de Fourier
O modelo matema´tico que obtivemos para a distribuic¸a˜o de temperaturas em uma barra cuja superf´ıcie
lateral esta´ isolada termicamente com o passar do tempo e´ uma equac¸a˜o diferencial parcial com condic¸a˜o
inicial e condic¸a˜o de fronteira. Vamos tentar resolver o problema espec´ıfico em que as extremidades da
barra esta˜o mantidas a` temperatura constante igual a 0 (correspondente a` condic¸a˜o de Dirichlet 1 da sec¸a˜o
anterior, chamada de condic¸a˜o de Dirichlet homogeˆnea): ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L,
u(0, t) = u(L, t) = 0. se t > 0.
(9)
Tentaremos resolver este problema pelo chamado me´todo de separac¸a˜o de varia´veis. No me´todo de
separac¸a˜o de varia´veis, supomos que a soluc¸a˜o u(x, t) do problema pode ser escrita como o produto de duas
func¸o˜es de uma varia´vel, uma dependendo apenas de x e a outra dependendo apenas de t:
u(x, t) = F (x)G(t). (10)
Esta e´ apenas uma suposic¸a˜o, que pode ou na˜o ser correta (na verdade, veremos que em geral esta suposic¸a˜o
esta´ errada, mas ainda assim ela nos ajudara´ a encontrar a soluc¸a˜o correta para o problema). A vantagem
de fazer esta suposic¸a˜o e´ que ela simplifica consideravelmente o problema, transformando um problema de
resolver uma equac¸a˜o diferencial parcial, que na˜o sabemos como fazer, em um problema de resolver uma
Rodney Josue´ Biezuner 11
equac¸a˜o diferencial ordina´ria, que sabemos como fazer. De fato, substituindo (10) na equac¸a˜o do calor,
obtemos
F (x)G′(t) = KF ′′(x)G(t)
donde
F ′′(x)
F (x)
=
1
K
G′(t)
G(t)
.
Note que o lado esquerdo desta equac¸a˜o depende apenas de x, enquanto que o lado direitodepende apenas
de t. Isso so´ pode ser poss´ıvel se na verdade ambos os lados forem independentes de x e t, isto e´,
F ′′(x)
F (x)
= σ e
1
K
G′(t)
G(t)
= σ
onde σ ∈ R e´ uma constante. Portanto o problema se reduz a resolver duas equac¸o˜es diferenciais ordina´rias:
• A equac¸a˜o diferencial de segunda ordem
F ′′(x)− σF (x) = 0 (11)
para 0 < x < L.
• A equac¸a˜o diferencial de primeira ordem
G′(t)− σKG(t) = 0 (12)
para t > 0.
Vamos resolver primeiro (11). Fazemos isso, apesar dela ser uma equac¸a˜o mais complexa que (12), porque
as condic¸o˜es de fronteira de (9) implicam que F satisfaz as condic¸o˜es
F (0) = F (L) = 0. (13)
De fato, a condic¸a˜o de fronteira u(0, t) = 0 implica que F (0)G(t) = 0 para todo t > 0, o que por sua vez
implica que F (0) = 0 (a menos que G(t) = 0 para todo t, o que significaria que u ≡ 0, uma soluc¸a˜o que na˜o
nos interessa, exceto no caso raro em que a condic¸a˜o inicial seja tambe´m f ≡ 0); similarmente a condic¸a˜o
de fronteira u(L, t) = F (L)G(t) = 0 implica que F (L) = 0. A condic¸a˜o (13) restringe as soluc¸o˜es de (11), o
que ultimamente limitara´ os valores poss´ıveis de σ. Em princ´ıpio, ha´ treˆs soluc¸o˜es poss´ıveis, dependendo do
sinal de σ:
1. σ > 0 : Neste caso, a soluc¸a˜o geral de (11) e´ da forma
F (x) = c1e
√
σx + c2e
−√σx.
Logo, a condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{
c1 + c2 = 0
c1e
√
σL + c2e
−√σL = 0
.
Mas a u´nica soluc¸a˜o deste sistema e´ c1 = c2 = 0, o que levaria a F ≡ 0 e portanto u ≡ 0, soluc¸a˜o que
na˜o nos interessa.
2. σ = 0 : A soluc¸a˜o geral de (11) neste caso e´ da forma
F (x) = c1x+ c2.
A condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{
c2 = 0
c1L+ c2 = 0
.
cuja u´nica soluc¸a˜o tambe´m e´ c1 = c2 = 0 e novamente F ≡ 0, o que na˜o nos interessa.
Rodney Josue´ Biezuner 12
3. σ < 0 : Denotando λ =
√−σ, a soluc¸a˜o geral de (11) neste u´ltimo caso e´ da forma
F (x) = c1 cosλx+ c2 senλx.
A condic¸a˜o (13) implica que as constantes reais c1, c2 devem satisfazer o sistema{
c1 = 0
c2 senλL = 0
.
Como na˜o queremos c2 = 0, devemos ter senλL = 0, o que implica λL = npi, onde n ∈ N pode ser um
inteiro positivo qualquer.
Portanto, para cada valor de n uma soluc¸a˜o na˜o nula para o problema (11), (13) e´ da forma
Fn(x) = sen
npi
L
x, (14)
por este motivo chamada uma autofunc¸a˜o para o problema (11),(13) associada ao autovalor
−σ = λ2n =
n2pi2
L2
. (15)
A equac¸a˜o (12) e´ imediatamente resolvida atrave´s de uma integrac¸a˜o simples. A soluc¸a˜o de (12) e´ da
forma
G(t) = ceσKt,
onde c ∈ R e´ uma constante real. Como os valores de σ para que o problema (9) tenha soluc¸o˜es na˜o nulas
sa˜o os dados em (15), segue que para cada valor de n temos uma soluc¸a˜o relevante de (12) dada por (a menos
da constante)
Gn(x) = e
−n2pi2
L2
Kt. (16)
Segue que para cada n = 1, 2, 3, . . ., temos uma func¸a˜o
un(x, t) = e
−n2pi2
L2
Kt sen
npi
L
x
que e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o diferencial parcial do problema (9) satisfazendo a`s suas condic¸o˜es de
fronteira.
Por outro lado, precisamos de uma soluc¸a˜o que tambe´m satisfac¸a a` condic¸a˜o inicial u(x, 0) = f(x). Logo,
as soluc¸o˜es que encontramos so´ funcionam se a func¸a˜o f(x) tem uma forma muito particular, ou seja, se
f(x) for um mu´ltiplo escalar da func¸a˜o seno. Por exemplo,
se f(x) = 3 sen
pi
L
x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 3u1;
se f(x) = 17 sen
5pi
L
x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 17u5.
E´ o´bvio que isso raramente ocorre.
Na verdade, pore´m, ainda podemos obter soluc¸o˜es para o problema (9) a partir destas soluc¸o˜es se f(x)
for apenas uma combinac¸a˜o linear de senos. Por exemplo,
se f(x) = 3 sen
pi
L
x+ 25 sen
9pi
L
x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 3u1 + 25u9;
se f(x) = 4 sen
2pi
L
x− 2
3
sen
22pi
L
x+
√
5 sen
901pi
L
x, enta˜o (9) tem soluc¸a˜o u(x, t) = 4u2 − 2
3
u22 +
√
5u901.
Isso e´ verdade porque a equac¸a˜o do calor e´ uma equac¸a˜o linear, o que significa que combinac¸o˜es lineares
de soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial sa˜o tambe´m soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial e, ale´m disso, as condic¸o˜es
Rodney Josue´ Biezuner 13
de fronteira de (9) sa˜o homogeˆneas, logo combinac¸o˜es lineares de soluc¸o˜es que satisfazem as condic¸o˜es
de fronteira continuam satisfazendo as condic¸o˜es de fronteira (isso pode ser imediatamente verificado e e´
deixado para o leitor se convencer). Assim, qualquer expressa˜o da forma (isto e´, qualquer combinac¸a˜o linear
de soluc¸o˜es)
u(x, t) =
N∑
n=1
cnun(x, t)
e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o do calor satisfazendo as condic¸o˜es de fronteira em (9). Em particular, se
f(x) =
N∑
n=1
cn sen
npi
L
x,
segue que
u(x, t) =
N∑
n=1
cne
−n2pi2
L2
Kt sen
npi
L
x (17)
e´ uma soluc¸a˜o do problema (9).
Mas, na maioria dos casos, f na˜o e´ uma combinac¸a˜o linear de senos. Enta˜o Fourier teve a ide´ia brilhante
de tomar “combinac¸o˜es lineares infinitas”, isto e´, se´ries infinitas, assumindo que toda func¸a˜o pode ser escrita
como uma se´rie infinita de senos. Em outras palavras, assumindo que podemos escrever toda func¸a˜o f na
forma
f(x) =
∞∑
n=1
cn sen
npi
L
x
para certos coeficientes bem determinados cn, o que atualmente chamamos a se´rie de Fourier de f , enta˜o o
candidato para soluc¸a˜o do problema de valor inicial e de condic¸a˜o de fronteira (9) seria a func¸a˜o
u(x, t) =
∞∑
n=1
cne
−n2pi2
L2
Kt sen
npi
L
x. (18)
Isso nos leva imediatamente a`s seguintes indagac¸o˜es:
1. Sera´ que toda func¸a˜o f(x) realmente pode ser escrita como uma se´rie de Fourier?
2. Se a resposta a` pergunta anterior for negativa, quais sa˜o as func¸o˜es que possuem se´ries de Fourier?
Sera´ que elas formam uma classe suficientemente grande para abranger todas ou uma quantidade
significativa das func¸o˜es que surgem nos problemas pra´ticos?
3. Mesmo que f(x) possa ser representada por uma se´rie de Fourier, sera´ que a se´rie definida acima para
u(x, t) converge para uma func¸a˜o diferencia´vel em t e duas vezes diferencia´vel em x que e´ a soluc¸a˜o de
(9)?
Estas perguntas mostram a necessidade de se desenvolver uma teoria para as se´ries de Fourier. Faremos isso
no pro´ximo cap´ıtulo.
Observac¸a˜o: Note que nem o candidato a` soluc¸a˜o (18), e nem mesmo a soluc¸a˜o (17), sa˜o produtos de duas
func¸o˜es de uma varia´vel, uma dependendo apenas de x e outra dependendo apenas de t (elas sa˜o na realidade
somas de produtos de func¸o˜es de uma varia´vel, soma finita em um caso, soma infinita no outro). Portanto a
suposic¸a˜o inicial de que partimos no me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e´ errada para a maioria das condic¸o˜es
iniciais, a na˜o ser que elas sejam mu´ltiplos de sen(npix/L). Mas, usando a linearidade da equac¸a˜o do calor,
pudemos usar as soluc¸o˜es obtidas atrave´s do me´todo de separac¸a˜o de varia´veis e a partir delas construir a
soluc¸a˜o para o problema geral. Este e´ um me´todo frequentemente usado em cieˆncias exatas: simplificar um
problema complexo atrave´s de uma suposic¸a˜o simplificadora que em geral na˜o e´ va´lida, mas, a partir da
soluc¸a˜o para o problema simplificado, construir a soluc¸a˜o correta para o problema complicado.
Rodney Josue´ Biezuner 14
0.3 Exerc´ıcios
1. Mostre que a equac¸a˜o do calor e´ linear, isto e´, se u1(x, t) e u2(x, t) sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial
parcial ut = Kuxx, enta˜o au1(x, t) + bu2(x, t) tambe´m e´, quaisquer que sejam a, b ∈ R. Ale´m disso, se
elas satisfazem as condic¸o˜es de fronteira homogeˆneas u(0, t) = u(L, t) = 0, enta˜o au1(x, t) + bu2(x, t)
tambe´m satisfaz.
2. Mostre que a equac¸a˜o mais geral do calor, c(x)ρ(x)ut = [K(x)ux]x + q(x, t), tambe´m e´ uma equac¸a˜o
linear.
3. Procedacomo fizemos no texto e encontre um candidato a` soluc¸a˜o para o seguinte problema de valor
inicial com condic¸a˜o de fronteira de Neumann homogeˆnea: ut = Kuxx se 0 < x < L e t > 0,ux(0, t) = ux(L, t) = 0 se t > 0,
u(x, 0) = f(x) se 0 6 x 6 L.
Cap´ıtulo 1
Se´ries de Fourier
Para determinar a possibilidade de uma determinada func¸a˜o poder ser expressa como uma se´rie de Fourier,
bem como para obter os coeficientes da se´rie de Fourier da func¸a˜o quando isso ocorrer, precisamos estudar
certas propriedades das func¸o˜es seno e cosseno.
1.1 Propriedades das Func¸o˜es Seno e Cosseno
1.1.1 Periodicidade
1.1 Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o f : R −→ R e´ perio´dica se existe T ∈ R, T 6= 0, tal que f(x+ T ) = f(x) para
todo x ∈ R. O nu´mero real T e´ chamado um per´ıodo para a func¸a˜o f .
Claramente, se T e´ um per´ıodo para a func¸a˜o f , enta˜o qualquer mu´ltiplo inteiro de T tambe´m e´ um per´ıodo
para f : 2T , −2T , 3T , −3T , 4T , −4T , etc. Por exemplo,
f(x+ 3T ) = f((x+ 2T ) + T ) = f(x+ 2T ) = f((x+ T ) + T ) = f(x+ T ) = f(x).
1.2 Definic¸a˜o. O menor per´ıodo positivo de uma func¸a˜o perio´dica f e´ chamado o per´ıodo fundamental
de f .
Em geral, o per´ıodo fundamental de uma func¸a˜o perio´dica e´ chamado simplesmente de o per´ıodo da func¸a˜o.
1.3 Exemplo. a) As func¸o˜es seno e cosseno sa˜o perio´dicas e ambas teˆm per´ıodo 2pi.
b) Func¸o˜es constantes sa˜o func¸o˜es perio´dicas que na˜o possuem per´ıodo fundamental, pois qualquer
nu´mero real na˜o nulo e´ um per´ıodo para a func¸a˜o constante, logo na˜o existe um menor per´ıodo positivo.
Do mesmo modo, a func¸a˜o
f(x) =
{
1 se x e´ racional,
0 se x e´ irracional,
e´ uma func¸a˜o perio´dica que na˜o possui per´ıodo fundamental, pois todo nu´mero racional na˜o nulo e´ um
per´ıodo para f (mas observe que nu´meros irracionais na˜o sa˜o per´ıodos para f).
c) A func¸a˜o f(x) = x − [x], onde [x] e´ a func¸a˜o piso, isto e´, [x] e´ maior inteiro menor que ou igual a
x, e´ perio´dica de per´ıodo 1.
15
Rodney Josue´ Biezuner 16
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 1.1. f(x) = x− [x].
d) Podemos encontrar uma infinidade de exemplos de func¸o˜es perio´dicas, simplesmente definindo uma
func¸a˜o em um intervalo de comprimento T e declarando que ela e´ perio´dica de per´ıodo T , desta forma
definindo ela na reta toda. Ou seja, suponha que a func¸a˜o f foi inicialmente definida no intervalo I
de comprimento T ; dado x ∈ R, se x /∈ I determine um inteiro k tal que x+ kT ∈ I (k e´ positivo se x
esta´ localizado a` esquerda do intervalo I e negativo se x esta´ a` direita de I) e defina
f(x) = f(x+ kT ).
Desta forma, definimos uma func¸a˜o f na reta toda que e´ automaticamente perio´dica de per´ıodo T . Por
exemplo, podemos definir uma func¸a˜o g por
g(x) =
{ −x se − L 6 x < 0,
x se 0 6 x < L,
e declara´-la perio´dica de per´ıodo 2L.
−6 −4 −2 0 2 4 6
−1
0
1
2
3
Figura 1.2. L = 2.
Para que a definic¸a˜o desta extensa˜o perio´dica seja consistente, observe que o intervalo I deve ser fechado
em um extremo e aberto no outro ou, se o intervalo I for fechado nos dois extremos, a func¸a˜o deve ter
os mesmos valores nestes extremos. �
Com relac¸a˜o aos per´ıodos das func¸o˜es que constituem a se´rie de Fourier, fazemos a seguinte importante
observac¸a˜o:
1.4 Proposic¸a˜o. As func¸o˜es sen
npix
L
e cos
npix
L
teˆm per´ıodo fundamental igual a
2L
n
.
Prova. De fato, na verdade vale a seguinte afirmac¸a˜o mais geral: para qualquer valor α ∈ R, α 6= 0,
senαx e cosαx teˆm per´ıodo fundamental igual a
2pi
α
.
Rodney Josue´ Biezuner 17
Isso pode ser determinado atrave´s do argumento a seguir. Queremos encontrar o menor valor positivo de T
para o qual vale
senα(x+ T ) = senαx para todo x ∈ R,
ou seja,
senαx cosαT + cosαx senαT = senαx para todo x ∈ R.
Para determinar αT , o que consequentemente determinara´ T , basta obter os valores de senαT e cosαT ,
pois um aˆngulo fica completamente determinado quando se conhece os valores de seu seno e de seu cosseno,
a menos de mu´ltiplos de 2pi. Para isso, observamos que a equac¸a˜o acima e´ va´lida para qualquer valor de x.
Em particular, substituindo o valor x = 0 na expressa˜o acima, obtemos (ja´ que sen 0 = 0 e cos 0 = 1)
senαT = 0,
e conclu´ımos que αT deve ser um mu´ltiplo de pi. Agora, substituindo o valor x =
pi
2α
na expressa˜o acima,
obtemos (ja´ que sen
pi
2
= 1 e cos
pi
2
= 0)
cosαT = 1.
Logo, αT e´ necessariamente um mu´ltiplo de 2pi. Como queremos o menor valor positivo de T , segue que
αT = 2pi
e, portanto,
T =
2pi
α
.
A mesma conclusa˜o vale para a func¸a˜o cosαx, ja´ que a func¸a˜o cosseno nada mais e´ que a func¸a˜o seno defasada
pi/2. �
1.5 Corola´rio. As func¸o˜es sen
npix
L
e cos
npix
L
teˆm um per´ıodo em comum, igual a 2L.
Prova. Como qualquer mu´ltiplo inteiro do per´ıodo fundamental e´ um per´ıodo, segue do resultado anterior
que n · 2L
n
= 2L e´ um per´ıodo comum para sen
npix
L
e cos
npix
L
. �
sin(x)
sin(2*x)
sin(3*x)
1 2 3 4 5 6
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
cos(x)
cos(2*x)
cos(3*x)
1 2 3 4 5 6
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
x
y
Figura 1.3. Gra´ficos de sennx e cosnx para n = 1, 2, 3 (L = pi).
Rodney Josue´ Biezuner 18
1.1.2 Relac¸o˜es de Ortogonalidade
Para o ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier de uma func¸a˜o (quando existir), as seguintes relac¸o˜es de
ortogonalidade entre as func¸o˜es sen
npix
L
e cos
npix
L
desempenham um papel fundamental:
∫ L
−L
cos
npix
L
sen
mpix
L
dx = 0 para todos n,m;∫ L
−L
cos
npix
L
cos
mpix
L
dx =
{
L se n = m,
0 se n 6= m;∫ L
−L
sen
npix
L
sen
mpix
L
dx =
{
L se n = m,
0 se n 6= m.
Estas relac¸o˜es podem ser obtidas atrave´s de integrac¸a˜o direta e uso das identidades trigonome´tricas. Por
exemplo, se n 6= m, escrevemos∫ L
−L
sen
npix
L
sen
mpix
L
dx =
1
2
∫ L
−L
[
cos
(n−m)pix
L
− cos (n+m)pix
L
]
dx
=
1
2
1
pi
[
1
n−m sen
(n−m)pix
L
− 1
n+m
sen
(n+m)pix
L
∣∣∣∣L
−L
= 0.
Se n = m, escrevemos∫ L
−L
sen
npix
L
sen
mpix
L
dx =
∫ L
−L
(
sen
npix
L
)2
dx =
1
2
∫ L
−L
[
1− cos 2npix
L
]
dx
=
1
2
[
x− L
2npi
sen
2npix
L
∣∣∣∣L
−L
= L.
1.1.3 Produto Interno no Espac¸o das Func¸o˜es Quadrado-Integra´veis
O nome relac¸o˜es de ortogonalidade deve-se ao fato de que as expresso˜es acima significam que as func¸o˜es
sen
npix
L
e cos
npix
L
sa˜o ortogonais no espac¸o vetorial das func¸o˜es quadrado-integra´veis definidas no intervalo
[−L,L]. De fato, no espac¸o
L2([a, b]) =
{
u : [a, b] −→ R :
∫ b
a
u2(x) dx <∞
}
das func¸o˜es definidas no intervalo [a, b] cujo quadrado e´ integra´vel, podemos definir um produto interno por
〈u, v〉 =
∫ b
a
u(x)v(x) dx.
Porque as func¸o˜es sa˜o quadrado-integra´veis, a integral acima esta´ bem definida e e´ finita. De fato, como
para quaisquer A,B ∈ R vale a desigualdade 2AB 6 A2 +B2, segue que∫ b
a
u(x)v(x) dx 6 1
2
∫ b
a
u2(x) dx+
1
2
∫ b
a
v2(x) dx <∞.
Rodney Josue´ Biezuner 19
Como o aˆngulo entre dois vetores e´ definido por
](u, v) = arccos 〈u, v〉‖u‖ ‖v‖ ,
segue que duas func¸o˜es sa˜o ortogonais se ∫ b
a
u(x)v(x) dx = 0.
1.2 Ca´lculo dos coeficientes da se´rie de Fourier
Suponha que possamos expressar uma func¸a˜o f : R→ R na forma
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sen
npix
L
)
, (1.1)
ou seja, que a se´rie no lado direito seja convergente e convirja para a func¸a˜o f em todo ponto x ∈ R. O
lado direito da expressa˜o acima e´ chamado a se´rie de Fourier de f . [O motivo de termos escritoa02 ao
inve´s de simplesmente a0 ficara´ claro a seguir.] Em particular, f tem que ser perio´dica com per´ıodo 2L,
pois este e´ o per´ıodo comum das func¸o˜es sen
npix
L
e cos
npix
L
; portanto, func¸o˜es definidas na reta toda que
na˜o satisfazem esta condic¸a˜o na˜o possuem se´ries de Fourier. Suponha, ale´m disso, que a func¸a˜o f seja
integra´vel no intervalo [−L,L] e que a se´rie do lado direito possa ser integrada termo a termo. Das relac¸o˜es
de ortogonalidade (observando que a func¸a˜o identicamente 1 corresponde a cos
npix
L
para n = 0) segue que∫ L
−L
f(x) dx =
a0
2
∫ L
−L
dx+
∞∑
n=1
(
an
∫ L
−L
cos
npix
L
dx+ bn
∫ L
−L
sen
npix
L
dx
)
= a0L,
donde
a0 =
1
L
∫ L
−L
f(x) dx. (1.2)
Os outros coeficientes tambe´m podem ser obtidos facilmente explorando as relac¸o˜es de ortogonalidade. Mul-
tiplicando ambos os lados da equac¸a˜o (1.1) por cos
npix
L
e integrando de −L a L, obtemos∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx =
a0
2
∫ L
−L
cos
npix
L
dx+
∞∑
m=1
(
am
∫ L
−L
cos
mpix
L
cos
npix
L
dx+ bm
∫ L
−L
sen
mpix
L
cos
npix
L
dx
)
= anL,
donde
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx. (1.3)
[Por este motivo escrevemos o termo constante da se´rie de Fourier na forma a02 : deste modo, a fo´rmula para
os coeficientes an e´ a mesma, independente se n = 0 ou n 6= 0.] Analogamente, multiplicando ambos os lados
da equac¸a˜o (1.1) por sen
npix
L
e integrando de −L a L, obtemos
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx. (1.4)
Rodney Josue´ Biezuner 20
1.6 Exemplo. Admitindo que existe uma se´rie de Fourier que convirja para a func¸a˜o abaixo, calcule os seus
coeficientes.
f(x) =
 −x se − L 6 x 6 0,x se 0 6 x < L,
e´ perio´dica de per´ıodo 2L.
Soluc¸a˜o. Temos
a0 =
1
L
∫ L
−L
f(x) dx =
1
L
[
−
∫ 0
−L
x dx+
∫ L
0
x dx
]
=
1
L
(
L2
2
+
L2
2
)
= L.
Os outros coeficientes podem ser calculados atrave´s de integrac¸a˜o por partes. Temos
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx =
1
L
[
−
∫ 0
−L
x cos
npix
L
dx+
∫ L
0
x cos
npix
L
dx
]
=
1
L
[(
− L
npi
x sen
npix
L
∣∣∣∣0
−L
+
L
npi
∫ 0
−L
sen
npix
L
dx
)
+
(
L
npi
x sen
npix
L
∣∣∣∣L
0
− L
npi
∫ L
0
sen
npix
L
dx
)]
=
1
L
[
− L
2
n2pi2
cos
npix
L
∣∣∣∣0
−L
+
L2
n2pi2
cos
npix
L
∣∣∣∣L
0
]
=
1
L
[
− L
2
n2pi2
+
L2
n2pi2
cosnpi +
L2
n2pi2
cosnpi − L
2
n2pi2
]
=
2L
n2pi2
(cosnpi − 1)
=
{
0 se n e´ par,
− 4L
n2pi2
se n e´ ı´mpar.
e
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx =
1
L
[
−
∫ 0
−L
x sen
npix
L
dx+
∫ L
0
x sen
npix
L
dx
]
=
1
L
[(
L
npi
x cos
npix
L
∣∣∣∣0
−L
− L
npi
∫ 0
−L
cos
npix
L
dx
)
+
(
− L
npi
x cos
npix
L
∣∣∣∣L
0
+
L
npi
∫ L
0
cos
npix
L
dx
)]
=
1
L
[
L2
npi
cosnpi − L
2
n2pi2
sen
npix
L
∣∣∣∣0
−L
− L
2
npi
cosnpi +
L2
n2pi2
sen
npix
L
∣∣∣∣L
0
]
= 0.
Portanto,
f(x) =
L
2
− 4L
pi2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 cos
(2n− 1)pix
L
.
Observe que a se´rie do lado direito e´ convergente em todo ponto x, ja´ que os coeficientes diminuem na
raza˜o de
1
(2n− 1)2 ,
∣∣∣∣cos (2n− 1)pixL
∣∣∣∣ 6 1 e a se´rie ∑∞n=1 1n2 e´ sabidamente convergente.
Veja na Figura 1.3 a seguir os gra´ficos das somas parciais da se´rie de Fourier de f desde n = 1 ate´
n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 e 10. Observe como a convergeˆncia e´ bastante ra´pida. Para k = 10 a soma
parcial da se´rie de Fourier de f e´ virtualmente indistinguivel de f dentro da resoluc¸a˜o utilizada.
Rodney Josue´ Biezuner 21
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
k = 1
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
k = 2
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
k = 3
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
k = 4
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
k = 5
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
k = 10
Figura 1.4. Somas parciais da se´rie de Fourier da func¸a˜o f .
Por outro lado, a convergeˆncia e´ mais lenta nas quinas, isto e´, nos pontos onde f na˜o e´ diferencia´vel.
Para perceber isso melhor, considere x = L = pi, de modo
pi =
pi
2
− 4
pi
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 cos(2n− 1)pi
ou
pi2
8
=
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 = 1 +
1
9
+
1
25
+
1
49
+ . . .
Rodney Josue´ Biezuner 22
Enquanto que pi = 3.1415926536 e´ uma aproximac¸a˜o para pi com 10 casas decimais, temos:√√√√8 k∑
n=1
1
(2n− 1)2 =
 3.141274327 se k = 1000,3.141589470 se k = 100000,
3.141592335 se k = 1000000.
�
1.3 Teorema de Fourier
Vamos determinar condic¸o˜es suficientes para que uma func¸a˜o f possua uma se´rie de Fourier e para que esta
convirja para f na maioria dos pontos de seu domı´nio.
Primeiramente, a condic¸a˜o para que a se´rie de Fourier de f exista (mesmo que ela possa na˜o convergir
para f em nenhum ponto). Considere uma func¸a˜o f : R −→ R perio´dica de per´ıodo 2L e absolutamente
integra´vel no intervalo [−L,L]. Enta˜o os coeficientes de Fourier de f
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx, n = 1, 2, . . . ,
esta˜o bem definidos, pois ∫ L
−L
|f(x)| dx <∞
e ∣∣∣∣∣
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx
∣∣∣∣∣ 6
∫ L
−L
|f(x)|
∣∣∣cos npix
L
∣∣∣ dx < ∫ L
−L
|f(x)| dx <∞,∣∣∣∣∣
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx
∣∣∣∣∣ 6
∫ L
−L
|f(x)|
∣∣∣sen npix
L
∣∣∣ dx < ∫ L
−L
|f(x)| dx <∞.
Podemos portanto formalmente construir a se´rie
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sen
npix
L
)
.
A pro´xima questa˜o e´ saber para que pontos x esta se´rie converge e se nestes pontos ela converge para o valor
f(x).
1.3.1 Func¸o˜es Cont´ınuas por Partes
1.7 Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o real f e´ cont´ınua por partes no intervalo [a, b] se existir um nu´mero finito
de pontos a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b tais que
(i) f e´ cont´ınua em cada subintervalo [xi−1, xi], i = 1, . . . , n;
(ii) existem os limites laterais a` esquerda e a` direita nos extremos de cada subintervalo.
1.8 Exemplo. a) A func¸a˜o
f(x) =
 −1 se n < x < n+ 1 e n e´ ı´mpar,0 se x = n ∈ Z,
1 se n < x < n+ 1 e n e´ par.
Rodney Josue´ Biezuner 23
e´ cont´ınua por partes em qualquer intervalo fechado da reta. Seus pontos de descontinuidade sa˜o os
pontos com valores inteiros e os limites laterais nestes pontos sa˜o −1 e 1.
−3 −2 −1 1 2 3
−1.0
−0.5
0.5
1.0
x
y
Figura 1.5
b) A func¸a˜o
g(x) =

1 se x < 0,
0 se x = 0,
sen
1
x
se x > 0,
na˜o e´ cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1] pois na˜o existe o limite lateral a` direita em x = 0.
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
Figura 1.6
c) Similarmente, a func¸a˜o
h(x) =

1
|x| se x < 0,
0 se x = 0,
1 se x > 0,
na˜o e´ cont´ınua por partes no intervalo [−1, 1], pois na˜o existe o limite lateral a` esquerda em x = 0.
Rodney Josue´ Biezuner 24
−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
Figura 1.7
�
1.3.2 O Teorema de Fourier1.9 Teorema. (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L, tal que f e f ′
sa˜o cont´ınuas por partes no intervalo [−L,L]. Enta˜o a se´rie de Fourier de f
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sen
npix
L
)
onde
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx, n = 1, 2, . . . ,
converge para f(x) se f e´ cont´ınua em x e para a me´dia dos limites laterais
f(x+) + f(x−)
2
se f e´
descont´ınua em x.
Observe que se f e´ cont´ınua em x, enta˜o a me´dia dos limites laterais de f em x e´ exatamente igual a f(x); o
teorema poderia ter sido enunciado em uma forma mais compacta simplesmente afirmando que se f satisfaz
as condic¸o˜es do enunciado, enta˜o a se´rie de Fourier de f converge sempre para a me´dia dos limites laterais
f(x+) + f(x−)
2
.
1.10 Exemplo. a) Defina
f(x) =
{
x2 sen
1
x
se x 6= 0,
0 se x = 0.
Observe que f e´ cont´ınua ( lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0), mas f ′ na˜o e´ cont´ınua por partes, pois apesar da derivada
existir em x = 0, na˜o existe nenhum dos limites laterais da derivada em x = 0:
f ′(x) =
{
2x sen
1
x
− cos 1
x
se x 6= 0,
0 se x = 0.
Rodney Josue´ Biezuner 25
−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3
−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
x
y
−0.3 −0.2 −0.1 0.1 0.2 0.3
−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
Figura 1.8: Gra´ficos de f (acima) e f ′ (abaixo).
b) (Onda quadrada) Defina f : R −→ R por
f(x) =
{
0 se − L < x < 0,
L se 0 < x < L,
e f perio´dica de per´ıodo 2L. Observe que f satisfaz as hipo´teses do teorema de Fourier, ja´ que sua
derivada e´ a func¸a˜o identicamente nula, exceto nos pontos mu´ltiplos de L, onde a derivada na˜o existe.
Rodney Josue´ Biezuner 26
−3 −2 −1 0 1 2 3
0.5
1.0
x
y
Figura 1.9: L = 1.
Vamos calcular a se´rie de Fourier de f . Temos
a0 =
1
L
∫ L
−L
f(x) dx =
∫ L
0
dx = L,
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx =
∫ L
0
cos
npix
L
dx =
L
npi
sen
npix
L
∣∣∣L
0
= 0,
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx =
∫ L
0
sen
npix
L
dx = − L
npi
cos
npix
L
∣∣∣L
0
=
L
npi
(1− cosnpi)
=
{
0 se n e´ par,
2L
npi
se n e´ ı´mpar.
Portanto,
f(x) =
L
2
+
2L
pi
∞∑
n=1
1
2n− 1 sen
(2n− 1)pix
L
.
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
x
y
Figura 1.10: Gra´fico das somas parciais desde n = 1 ate´ n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = pi).
Rodney Josue´ Biezuner 27
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
x
y
Figura 1.11: Gra´fico da soma parcial desde n = 1 ate´ n = 10 (L = pi).
Para os valores de descontinuidade (x = kL, k ∈ Z), os senos se anulam e a se´rie de Fourier de f tem
valor igual a L/2, exatamente a me´dia dos limites laterais nestes pontos. Nos demais pontos, a se´rie
de Fourier converge para f , mas com uma convergeˆncia lenta, ja´ que os seus coeficientes sa˜o da ordem
de 1/(2n− 1).
c) (Onda triangular) Defina g : R −→ R por
g(x) =
{ −x se − L 6 x < 0,
x se 0 6 x < L,
e g perio´dica de per´ıodo 2L. Observe que g e´ cont´ınua e diferencia´vel por partes (isto e´, g′ e´ cont´ınua
por partes), logo a se´rie de Fourier de g converge para g em todo ponto. A se´rie de Fourier de g foi
calculada no Exemplo 1.6. �
1.4 Se´ries de Fourier de Func¸o˜es Pares e I´mpares
1.4.1 Func¸o˜es Pares e I´mpares
Func¸o˜es pares e func¸o˜es ı´mpares teˆm se´ries de Fourier mais simples que as de outras func¸o˜es.
1.11 Definic¸a˜o. Uma func¸a˜o real f : R −→ R e´ par se f(−x) = f(x); f e´ ı´mpar se f(−x) = −f(x).
1.12 Exemplo. a) As func¸o˜es constantes, |x|, x2, x4, x2n e cos npix
L
para qualquer n ∈ N, ex2 , sa˜o func¸o˜es
pares.
b) As func¸o˜es x, x3, x2n+1 e sen
npix
L
para qualquer n ∈ N, sa˜o func¸o˜es ı´mpares.
c) As func¸o˜es ex, x2 + x+ 1 na˜o sa˜o nem pares, nem ı´mpares. �
1.13 Proposic¸a˜o. (Propriedades elementares das func¸o˜es pares e ı´mpares)
(i) A soma de duas func¸o˜es pares e´ uma func¸a˜o par; a soma de duas func¸o˜es ı´mpares e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
(ii) A soma de uma func¸a˜o par e uma func¸a˜o ı´mpar na˜o e´ par, nem ı´mpar (a na˜o ser que uma delas seja a
func¸a˜o nula).
(iii) O produto de duas func¸o˜es pares e´ uma func¸a˜o par; o produto de duas func¸o˜es ı´mpares e´ uma func¸a˜o
par.
Rodney Josue´ Biezuner 28
(iv) O produto de uma func¸a˜o par e uma func¸o˜es ı´mpar e´ uma func¸a˜o ı´mpar.
Prova: A verificac¸a˜o destas propriedades e´ muito fa´cil: por exemplo, se f e g sa˜o ı´mpares, enta˜o
(f + g)(−x) = f(−x) + g(−x) = −f(x) + (−g(x)) = −(f + g)(x),
(fg)(−x) = f(−x)g(−x) = (−f(x))(−g(x)) = f(x)g(x) = (fg)(x).
As demais propriedades sa˜o deixadas para o leitor verificar. �
1.14 Proposic¸a˜o. (Integrac¸a˜o de func¸o˜es pares e ı´mpares)
(a) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o par, integra´vel em qualquer intervalo limitado. Enta˜o, para todo L ∈ R
vale ∫ L
−L
f(x) dx = 2
∫ L
0
f(x) dx.
(b) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o ı´mpar, integra´vel em qualquer intervalo limitado. Enta˜o, para todo L ∈ R
vale ∫ L
−L
f(x) dx = 0.
Prova: Temos ∫ L
−L
f(x) dx =
∫ 0
−L
f(x) dx+
∫ L
0
f(x) dx.
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel t = −x na primeira integral, se f for par temos∫ L
−L
f(x) dx =
∫ 0
L
f(−t) (−dt) +
∫ L
0
f(x) dx = −
∫ 0
L
f(t) dt+
∫ L
0
f(x) dx
=
∫ L
0
f(t) dt+
∫ L
0
f(x) dx = 2
∫ L
0
f(x) dx,
e se f for ı´mpar temos∫ L
−L
f(x) dx =
∫ 0
L
f(−t) (−dt) +
∫ L
0
f(x) dx =
∫ 0
L
f(t) dt+
∫ L
0
f(x) dx
= −
∫ L
0
f(t) dt+
∫ L
0
f(x) dx = 0.
�
Como consequ¨eˆncia destas duas proposic¸o˜es, obtemos que a se´rie de Fourier para uma func¸a˜o par e´ uma
se´rie de cossenos, enquanto que a se´rie de Fourier para uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma se´rie de senos:
1.15 Proposic¸a˜o. (Se´ries de Fourier de func¸o˜es pares e ı´mpares)
(a) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o par que satisfaz as hipo´teses do Teorema de Fourier. Enta˜o,
an =
2
L
∫ L
0
f(x) cos
npix
L
dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
bn = 0 para todo n,
logo
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
npix
L
.
Rodney Josue´ Biezuner 29
(b) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o ı´mpar que satisfaz as hipo´teses do Teorema de Fourier. Enta˜o,
an = 0 para todo n,
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
npix
L
dx, n = 1, 2, . . . ,
logo
f(x) =
∞∑
n=1
bn sen
npix
L
.
1.16 Exemplo. (Onda em dente de serra) Considere a func¸a˜o f(x) = x, se −L < x < L, f(−L) = f(L) =
0, perio´dica de per´ıodo 2L.
−3 −2 −1 1 2 3
−1.0
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
y
Figura 1.12
Como f e´ ı´mpar, temos an = 0 e
bn =
2
L
∫ L
0
f(x) sen
npix
L
dx =
2
L
∫ L
0
x sen
npix
L
dx =
2
L
[
− L
npi
x cos
npix
L
∣∣∣L
0
+
L
npi
∫ L
0
cos
npix
L
dx
]
=
2
npi
[
−L cosnpi + L
npi
sen
npix
L
∣∣∣L
0
]
= −2L
npi
cosnpi
=
2L
npi
(−1)n+1,
logo a se´rie de Fourier de f e´ a se´rie de senos
f(x) =
2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
npix
L
.
Rodney Josue´ Biezuner 30
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.13: Gra´fico das somas parciais desde n = 1 ate´ n = k para k = 1, 2, 3, 4, 5 (L = pi).
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
x
y
Figura 1.14: Gra´fico da soma parcial desde n = 1 ate´ n = 10 (L = pi).
�
1.4.2 Extenso˜es Perio´dicas Pares e I´mpares de Func¸o˜es Definidas em Intervalos
Dada uma func¸a˜o f : [0, L] −→ R definida em um intervalo fechado, diferencia´vel por partes,podemos obter
va´rias se´ries de Fourier diferentes para f . De fato, para obter uma se´rie de Fourier para f , precisamos
extender f a uma func¸a˜o definida na reta toda e que seja perio´dica, de per´ıodo 2L. No entanto, esta
extensa˜o pode ser realizada de uma infinidade de maneiras diferentes, desde que a func¸a˜o resultante satisfac¸a
as hipo´teses do Teorema de Fourier. As extenso˜es mais utilizadas na pra´tica sa˜o as extenso˜es de f a uma
func¸a˜o par, de modo que a se´rie de Fourier de f e´ uma se´rie exclusivamente de cossenos, e de f a uma func¸a˜o
ı´mpar, de modo que a se´rie de Fourier de f e´ uma se´rie exclusivamente de senos. Qual delas e´ escolhida
depende da aplicac¸a˜o pra´tica que se tem em mente, como veremos mais tarde, embora a`s vezes a escolha
tambe´m e´ ditada pela diferenc¸a da velocidade de convergeˆncia entre as se´ries obtidas (veja o exemplo a
seguir).
1. Extensa˜o perio´dica par de f :
Defina f(x) = f(−x) para x ∈ [−L, 0] e declare f perio´dica de per´ıodo 2L.
Rodney Josue´ Biezuner 31
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−20
20
40
60
80
100
x
y
Figura 1.15: Extensa˜o par.
2. Extensa˜o perio´dica ı´mpar de f :
Defina f(x) = −f(−x) para x ∈ [−L, 0) e declare f perio´dica de per´ıodo 2L.
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−100
−80
−60
−40
−20
20
40
60
80
100
x
y
Figura 1.16: Extensa˜o ı´mpar.
1.17 Exemplo. Considere a func¸a˜o f(x) = x se 0 6 x 6 L. Se tomarmos a extensa˜o perio´dica par de f ,
obteremos a func¸a˜o
f(x) =
{ −x se − L 6 x < 0,
x se 0 6 x < L,
f(x) = f(x+ 2L),
que e´ a onda triangular, cuja se´rie de Fourier e´ a se´rie de cossenos que ja´ obtivemos anteriormente:
f(x) =
L
2
− 4L
pi2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 cos
(2n− 1)pix
L
.
Por outro lado, se tomarmos a extensa˜o perio´dica ı´mpar de f (redefinindo f(L) = 0), obteremos a
func¸a˜o
f(x) = x se − L < x < L,
f(x) = f(x+ 2L), f(−L) = f(L) = 0,
Rodney Josue´ Biezuner 32
que e´ a onda em dente de serra, cuja se´rie de Fourier e´ a se´rie de senos calculada acima:
f(x) =
2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
npix
L
.
Os coeficientes de Fourier da se´rie de cossenos de f decrescem na ordem de
1
n2
, enquanto que os
coeficientes de Fourier da se´rie de senos de f decrescem na ordem de
1
n
. Portanto, a convergeˆncia da
expansa˜o em cossenos de f e´ muito mais ra´pida do que a convergeˆncia da expansa˜o em senos de f . Isso
se deve ao fato de que a extensa˜o de f a uma func¸a˜o par e´ uma func¸a˜o cont´ınua na reta toda, enquanto
que a extensa˜o de f a uma func¸a˜o ı´mpar e´ uma func¸a˜o que possui descontinuidades nos pontos da
forma x = 2kL, k ∈ Z. Em geral, como veremos na sec¸a˜o a seguir, quanto maior a regularidade de f ,
mais ra´pida e´ a convergeˆncia da sua se´rie de Fourier. �
1.5 Estimativa dos Coeficientes de Fourier
A rapidez da convergeˆncia da se´rie de Fourier depende dos coeficientes de Fourier. Seja f perio´dica de
per´ıodo 2L. Suponha que
1. f e´ absolutamente integra´vel em [−L,L].
Neste caso, podemos obter a seguinte estimativa simples para os coeficientes de Fourier:
|an| =
∣∣∣∣∣ 1L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx
∣∣∣∣∣ 6 1L
∫ L
−L
|f(x)|
∣∣∣cos npix
L
∣∣∣ dx 6 1
L
∫ L
−L
|f(x)| dx,
|bn| =
∣∣∣∣∣ 1L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx
∣∣∣∣∣ 6 1L
∫ L
−L
|f(x)|
∣∣∣sen npix
L
∣∣∣ dx 6 1
L
∫ L
−L
|f(x)| dx.
Definindo a constante
M0 =
1
L
∫ L
−L
|f(x)| dx,
obtemos portanto as seguintes estimativas para os coeficientes de Fourier:
|an| , |bn| 6M0 para todo n. (1.5)
Como a func¸a˜o e´ apenas integra´vel, tudo o que conseguimos obter e´ que os coeficientes de Fourier sa˜o
limitados. A se´rie de Fourier pode nem mesmo convergir. Suponha agora que
2. f e´ cont´ınua e sua derivada f ′ e´ absolutamente integra´vel em [−L,L].
Desta vez podemos integrar por partes para obter
an =
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx =
1
npi
f(x) sen
npix
L
∣∣∣L
−L
− 1
npi
∫ L
−L
f ′(x) sen
npix
L
dx
de modo que
an = − 1
npi
∫ L
−L
f ′(x) sen
npix
L
dx. (1.6)
Analogamente,
bn =
1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx = − 1
npi
f(x) cos
npix
L
∣∣∣L
−L
+
1
npi
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx
= − 1
npi
(f(L) cosnpi − f(−L) cos(−npi)) + 1
npi
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx
Rodney Josue´ Biezuner 33
de modo que
bn =
1
npi
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx. (1.7)
Denotando os coeficientes de Fourier da derivada f ′ de f por
a′n =
1
L
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx,
b′n =
1
L
∫ L
−L
f ′(x) sen
npix
L
dx,
segue que
an = − L
npi
b′n, (1.8)
bn =
L
npi
a′n.
Como ja´ vimos antes (no passo 1), temos que
|a′n| , |b′n| 6 M̂1 para todo n, (1.9)
onde
M̂1 =
1
L
∫ L
−L
|f ′(x)| dx. (1.10)
Portanto, se M1 =
L
pi
M̂1, segue que
|an| , |bn| 6 M1
n
para todo n 6= 0. (1.11)
Desta vez, com as hipo´teses adicionais sobre f (f mais regular, mais suave), obtivemos que os coeficientes
de Fourier convergem para zero quando n tende a infinito. Isso ainda na˜o assegura que a se´rie de Fourier
converge, e´ claro. Suponha agora que
3. f e f ′ sa˜o cont´ınuas e a derivada segunda f ′′ e´ absolutamente integra´vel em [−L,L].
Usando o passo 2 acima, temos
a′n = −
L
npi
b′′n,
b′n =
L
npi
a′′n,
donde
an = − L
npi
b′n = −
L
npi
(
L
npi
a′′n
)
= − L
n2pi2
a′′n, (1.12)
bn =
L
npi
a′n =
L
npi
(
− L
npi
b′′n
)
= − L
n2pi2
b′′n.
Do passo 1, temos que
|a′′n| , |b′′n| 6 M̂2 para todo n 6= 0, (1.13)
onde
M̂2 =
1
L
∫ L
−L
|f ′′(x)| dx. (1.14)
Rodney Josue´ Biezuner 34
Portanto, se M2 =
L2
pi2
M̂2, segue que
|an| , |bn| 6 M2
n2
para todo n 6= 0. (1.15)
Nestas condic¸o˜es, sem usar o Teorema de Fourier conclu´ımos pelo teste da comparac¸a˜o que a se´rie de Fourier
converge, pois a se´rie
∞∑
n=1
1
n2
e´ convergente (mas e´ claro que isso na˜o permite concluir que a se´rie de Fourier
converge para f). Ale´m disso, a velocidade de convergeˆncia e´ relativamente ra´pida, de ordem quadra´tica.
Procedendo por induc¸a˜o, vemos que quanto mais regular ou suave f for, mais rapidamente os coeficientes
de Fourier convergem para zero e, consequentemente, maior sera´ a velocidade de convergeˆncia da se´rie de
Fourier.
Os ca´lculos acima mostram tambe´m que e´ poss´ıvel calcular os coeficientes de Fourier das derivadas de
uma func¸a˜o a partir dos coeficientes de Fourier da pro´pria func¸a˜o.
Todos estes resultados sa˜o resumidos no teorema a seguir:
1.18 Teorema. (Coeficientes de Fourier das derivadas de uma func¸a˜o) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o
perio´dica de per´ıodo 2L, k vezes diferencia´vel, tal que f, f ′, f ′′, ..., f (k−1) sa˜o cont´ınuas em R e f (k) e´
absolutamente integra´vel em [−L,L]. Enta˜o, se a(j)n , b(j)n denotam os coeficientes de Fourier de f (j),
temos para 2 6 j 6 k
a′n =
npi
L
bn b
′
n = −
npi
L
an
a′′n = −
n2pi2
L2
an b
′′
n = −
n2pi2
L2
bn
a′′′n = −
n3pi3
L3
bn, b
′′′
n =
n3pi3
L3
an,
a
(4)
n =
n4pi4
L4
an, b
(4)
n =
n4pi4
L4
bn,
...
...
a
(j)
n =

σj
njpij
Lj
an se n e´ par,
σj
njpij
Lj
bn se n e´ ı´mpar,
b
(j)
n =

σj+1
njpij
Lj
bn se n e´ par,
σj+1
njpij
Lj
an se n e´ ı´mpar,
onde
σj =
{
1 se j = 0mod 4 ou j = 1mod 4,
−1 se j = 2mod 4 ou j = 3mod 4.
Ale´m disso, existe uma constante Mk > 0 tal que
|an| , |bn| 6 Mk
nk
para todo n 6= 0.
Prova: Dos resultados que obtivemos acima segue que
an = − 1
npi
∫ L
−L
f ′(x) sen
npix
L
dx = − L
npi
1
L
∫ L
−L
f ′(x) sen
npix
L
dx = − L
npi
b′n,
bn =
1
npi
∫ L
−L
f′(x) cos
npix
L
dx =
L
npi
1
L
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx =
L
npi
a′n.
Rodney Josue´ Biezuner 35
donde
a′n =
npi
L
bn e b
′
n = −
npi
L
an.
O resultado geral segue por induc¸a˜o:
a′′n =
npi
L
b′n =
npi
L
(
−npi
L
an
)
= −n
2pi2
L2
an,
b′′n = −
npi
L
a′n = −
npi
L
(npi
L
bn
)
= −n
2pi2
L2
bn,
a′′′n =
npi
L
b′′n =
npi
L
(
−n
2pi2
L2
bn
)
= −n
3pi3
L3
bn,
b′′′n = −
npi
L
a′′n = −
npi
L
(
−n
2pi2
L2
an
)
=
n3pi3
L3
an,
a(4)n =
npi
L
b′′′n =
npi
L
(
n3pi3
L3
an
)
=
n4pi4
L4
an,
b(4)n = −
npi
L
a′′′n = −
npi
L
(
−n
3pi3
L3
bn
)
=
n4pi4
L4
bn,
a(5)n =
npi
L
b(4)n =
npi
L
(
n4pi4
L4
bn
)
=
n5pi5
L5
bn,
b(5)n = −
npi
L
a(4)n = −
npi
L
(
n4pi4
L4
an
)
= −n
5pi5
L5
bn,
e assim por diante.
A constante Mk e´ dada por
Mk =
Lk
pik
(
1
L
∫ L
−L
∣∣∣f (k)(x)∣∣∣ dx) .
�
1.6 Diferenciac¸a˜o e Integrac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier
Quando formos resolver equac¸o˜es diferenciais parciais atrave´s de se´ries de Fourier, sera´ importante poder
diferenciar as se´ries de Fourier termo a termo (por exemplo, para calcular uxx para o candidato a` soluc¸a˜o da
equac¸a˜o do calor obtida na Introduc¸a˜o), portanto e´ necessa´rio saber em que condic¸o˜es isso pode ser feito:
1.19 Teorema. (Diferenciac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica
de per´ıodo 2L, tal que f e´ cont´ınua em R e f ′ e f ′′ sa˜o cont´ınuas por partes, de modo que vale o
Teorema de Fourier e a se´rie de Fourier de f e´ dada por
f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sen
npix
L
)
.
Enta˜o a se´rie de Fourier de f ′ e´ a se´rie obtida derivando termo a termo a se´rie de Fourier de f :
f ′(x) =
∞∑
n=1
(
−npi
L
an sen
npix
L
+
npi
L
bn cos
npix
L
)
.
Prova: Pelo Teorema de Fourier, sabemos que f ′ possui uma se´rie de Fourier que converge para f ′ nos
pontos de continuidade de f ′ e para a me´dia dos limites laterais de f ′ nos pontos de descontinuidade:
f ′(x) =
A0
2
+
∞∑
n=1
(
An cos
npix
L
+Bn sen
npix
L
)
.
Rodney Josue´ Biezuner 36
Para provar este teorema, basta provar que
A0 = 0,
An =
npi
L
bn,
Bn = −npi
L
an.
Temos
A0 =
1
L
∫ L
−L
f ′(x) dx =
1
L
(f(L)− f(−L)) = 0
porque f tem per´ıodo 2L, logo f(L) = f(−L). Assumindo, para simplificar a demonstrac¸a˜o, que f ′ e´
cont´ınua, podemos integrar por partes para obter os outros coeficientes:
An =
1
L
∫ L
−L
f ′(x) cos
npix
L
dx =
1
L
[
L
npi
f(x) cos
npix
L
∣∣∣L
−L
+
L
npi
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx
]
=
L
npi
[
1
L
(f(L) cosnpi − f(−L) cos(−npi)) + 1
L
∫ L
−L
f(x) sen
npix
L
dx
]
=
L
npi
bn.
Bn =
1
L
∫ L
−L
f ′(x) sen
npix
L
dx =
1
L
[
L
npi
f(x) sen
npix
L
∣∣∣L
−L
− L
npi
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx
]
= − L
npi
[
1
L
∫ L
−L
f(x) cos
npix
L
dx
]
= − L
npi
an.
�
1.20 Exemplo. Se f e´ descont´ınua, enta˜o a conclusa˜o deste teorema falha: mesmo que f possua uma se´rie
de Fourier que converge para f em seus pontos de continuidade, na˜o podemos derivar a se´rie de Fourier
de f termo a termo para encontrar a se´rie de Fourier de f ′. Por exemplo, se f : R −→ R e´ a onda em
dente de serra, isto e´, a func¸a˜o perio´dica de per´ıodo 2L definida no intervalo fechado [−L,L] por
f(x) =
{
x se − L < x < L,
0 se x = L,−L,
enta˜o a se´rie de Fourier de f e´ a se´rie de senos dada por
f(x) =
2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
npix
L
,
como vimos anteriormente. Como f ′ satisfaz tambe´m as hipo´teses do Teorema de Fourier, sabemos
que f ′ tambe´m possui uma se´rie de Fourier que converge para f ′ nos pontos de continuidade e para a
me´dia dos limites laterais nos pontos de descontinuidade. No entanto, como f na˜o e´ cont´ınua, ocorre
que esta se´rie de Fourier na˜o pode ser obtida atrave´s da derivac¸a˜o termo a termo da se´rie de Fourier
de f . De fato, a derivada termo a termo da se´rie de Fourier de f
2
∞∑
n=1
(−1)n+1 cos npix
L
Rodney Josue´ Biezuner 37
na˜o e´ nem mesmo uma se´rie convergente em nenhum ponto, divergindo tanto nos pontos de descon-
tinuidade como em pontos de continuidade de f . Por exemplo, no ponto x = 0, a se´rie e´
2
∞∑
n=1
(−1)n+1 = 2(1− 1 + 1− 1 + ...)
que oscila entre os valores 2 e 0, enquanto que no ponto x = L, a se´rie e´
2
∞∑
n=1
(−1)n+1 = 2(−1 + 1− 1 + 1− ...)
que oscila entre os valores −2 e 0. Em geral, a se´rie diverge em qualquer ponto porque
lim
n→∞ cosnx 6= 0
para todo x ∈ R. Para provar isso, suponha por absurdo que lim
n→∞ cosnx = 0 para algum x. Isso
implica evidentemente que lim
n→∞ cos
2 nx = 0 tambe´m, pois lim
n→∞ cos
2 nx =
(
lim
n→∞ cosnx
)2
. Tambe´m
segue que lim
n→∞ cos 2nx = 0, pois {cos 2nx} e´ uma subsequ¨eˆncia de {cosnx}. Mas enta˜o, tomando o
limite quando n→∞ em ambos os lados da identidade trigonome´trica
cos2 nx =
1 + cos 2nx
2
,
obteremos o absurdo 0 = 1/2. Isso prova que lim
n→∞ cosnx 6= 0 para todo x ∈ R e portanto a se´rie
diverge em todos os pontos.
Podemos calcular a se´rie de Fourier de f ′ diretamente a partir da definic¸a˜o de f ′: temos que f ′(x) = 1
se −L < x < L, f ′ na˜o esta´ definida nos pontos mu´ltiplos de L (mas podemos redefinir nestes pontos
como valendo 1) e e´ perio´dica de per´ıodo 2L, logo seus coeficientes de Fourier (note que f ′ e´ par) sa˜o
a0 =
1
L
∫ 2L
0
f(x) dx =
1
L
∫ 2L
0
dx = 2,
an =
1
L
∫ 2L
0
cos
npix
L
dx = 0,
bn = 0,
e sua se´rie de Fourier e´, portanto,
f ′(x) ≡ 1.
Poder´ıamos ter chegado a este resultado imediatamente, sem precisar de calcular os coeficientes de
Fourier de f ′, porque a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o definida na reta e´ u´nica.
No caso da questa˜o de se e´ permitido integrar termo a termo a se´rie de Fourier de f , as hipo´teses sobre
f para que isso seja poss´ıvel sa˜o muito mais fracas. Podemos integrar a se´rie de Fourier de f termo a termo
para obter a integral de f mesmo quando a se´rie de Fourier de f na˜o converge uniformemente para f . De fato,
podemos integrar a se´rie de Fourier de f mesmo quando a se´rie de Fourier de f na˜o converge pontualmente
para f , e mesmo quando ela na˜o e´ uma se´rie convergente! Para mostrarmos isso, necessitaremos do seguinte
resultado elementar:
1.21 Proposic¸a˜o. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T . Enta˜o, para qualquer a ∈ R vale∫ T
0
f(x) dx =
∫ a+T
a
f(x) dx.
Rodney Josue´ Biezuner 38
Prova: Definindo uma func¸a˜o F : R −→ R por
F (a) =
∫ a+T
a
f(x) dx,
basta provar que F e´ constante. Para isso, mostraremos que F ′ ≡ 0. De fato, escrevendo
F (a) =
∫ 0
a
f(x) dx+
∫ a+T
0
f(x) dx = −
∫ a
0
f(x) dx+
∫ a+T
0
f(x) dx
segue do teorema fundamental do ca´lculo que
F ′(a) = −f(a) + f(a+ T ) = 0.
�
Em outras palavras, este resultado diz que a integral de uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T tem o mesmo
valor em qualquer intervalo de comprimento T .
1.22 Teorema. (Integrac¸a˜o Termo a Termo da Se´rie de Fourier) Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de
per´ıodo 2L, tal que f e´ cont´ınua por partes. Enta˜o, mesmo se a se´rie de Fourier de f
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npix
L
+ bn sen
npix
L
)
na˜o for convergente, ainda assim temos∫ t
0
f(x) dx =
a0
2
t+
L
pi
∞∑
n=1
[
an
n
sen
npit
L
− bn
n
(
cos
npit
L
− 1
)]
para todo t ∈ R.

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