lista 1 de EA monitoria

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CAMPUS ARAPIRACA - MATEMA´TICA
Estruturas Alge´bricas I
Prof. Eben Silva Lista de exerc´ıcios 1 - monitoria 2014.2
Conteu´do: Grupos. Subgrupos. Teorema de Lagrange.
1. Sejam S um conjunto, G um grupo e f : S −→ G uma aplicac¸a˜o bijetiva. Para cada x, y ∈ S defina
o produto
x · y = f−1(f(x)f(y)).
Mostre que essa multiplicac¸a˜o define uma estrutura de grupo sobre S.
2. Construa a ta´bua de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6, sabendo que:
(i) G e´ abeliano; (ii) o elemento neutro e´ e; (iii) a ∗ d = b ∗ c = f ; (iv) a ∗ c = b ∗ b = d;
(v) a ∗ f = b ∗ d = e; (vi) c ∗ d = a.
3. Prove que, se H1 e H2 sa˜o subgrupos de um grupo G, enta˜o H1∪H2 e´ subgrupo de G se, e somente
se, H1 ⊂ H2 ou H2 ⊂ H1.
4. Seja G um grupo de ordem pn, em que p e´ um nu´mero primo e n > 1. Mostre que a ordem de um
elemento qualquer de G e´ uma poteˆncia de p.
5. Mostre que, se G e´ um grupo multiplicativo finito com nu´mero par de elementos, enta˜o existe um
elemento x ∈ G diferente do elemento neutro tal que x = x−1.
DICA: Fac¸a G = A ∪B, onde A = {x ∈ G : x 6= x−1} e B = {x ∈ G : x = x−1}.
6. Seja G um grupo finito de ordem p, onde p e´ nu´mero primo. Enta˜o G e´ c´ıclico e os u´nicos subgrupos
de G sa˜o os triviais, ou seja, {e} e G.
7. Seja G um grupo. Mostre que se H1 CG e H2 CG enta˜o H1 ∩H2 CG.
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