Vetores: Definições e Operações

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 1
Vetores
Muitas grandezas f´ısicas, como velocidade, forc¸a, deslocamento e impulso, para serem
completamente identificadas precisam, ale´m da magnitude, da direc¸a˜o e do sentido. Estas
grandezas sa˜o chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. Geometricamente,
vetores sa˜o representados por segmentos orientados (segmentos de retas com um sentido de
percurso) no plano ou no espac¸o. A ponta da seta do segmento orientado e´ chamada ponto
final ou extremidade e o outro ponto extremo e´ chamado de ponto inicial ou origem do
segmento orientado. A direc¸a˜o e o sentido do segmento orientado identificam a direc¸a˜o e o
sentido do vetor. O comprimento do segmento orientado representa o mo´dulo ou norma
do vetor.
Um vetor poder ser representado por va´rios segmentos orientados. Este fato e´ ana´logo
ao que ocorre com as frac¸o˜es. Duas frac¸o˜es representam o mesmo nu´mero racional se
o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na mesma proporc¸a˜o. Por
exemplo, as frac¸o˜es 1
2
, 2
4
e 3
6
representam o mesmo nu´mero racional. De forma ana´loga,
dizemos que dois segmentos orientados representam o mesmo vetor se possuem o mesmo
comprimento, a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido. A definic¸a˜o de igualdade de vetores
tambe´m e´ ana´loga a igualdade de nu´meros racionais. Dois nu´meros racionais a
b
e c
d
sa˜o
iguais, quando ad = bc. Analogamente, dizemos que dois vetores sa˜o iguais se eles possuem
o mesmo comprimento, a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido.
Utilizaremos o s´ımbolo V3 para indicar o conjunto de vetores. O vetor nulo denotado
por ~0, tem norma zero. E´ o u´nico vetor que na˜o tem direc¸a˜o espec´ıfica.
1.1 Soma de vetores
A soma, ~u+ ~v, de dois vetores ~u e ~v e´ determinada da seguinte forma:
(i) tome um segmento orientado que representa ~u;
(ii) tome um segmento orientado que representa ~v, com origem na extremidade de ~u;
(iii) o vetor ~u + ~v e´ representado pelo segmento orientado que vai da origem de ~u ate´
a extremidade de ~v. Essa definic¸a˜o algumas vezes e´ chamada de Lei do Triaˆngulo.
Algebricamente temos
−→
AC =
−−→
AB +
−−→
BC
5
6
Figura 1.1: Lei do Triaˆngulo e propriedade associativa da soma de vetores
Outro modo de efetuarmos a soma dos vetores ~u e ~v e´ desenhar uma co´pia de ~v com o
mesmo ponto inicial de ~u. Completando o paralelogramo, a soma e´ a diagonal do paralel-
ogramo de lados ~u e ~v. Essa e´ a chamada Lei do Paralelogramo. Facilmente vemos que
~u+ ~v = ~v + ~u.
Figura 1.2: Lei do paralelogramo e propriedade comutativa da soma de vetores
Dados os vetores ~u e ~v, a soma de ~u com o oposto de ~v e´ chamada diferenc¸a entre ~u
e ~v e e´ indicada por ~u− ~v.
Proposic¸a˜o 1.1.1. Sejam ~u, ~v e ~w ∈ V3. Para a adic¸a˜o sa˜o va´lidas as propriedades:
A1. (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) (Propriedade Associativa) Ver Figura 1.1
A2. ~u+ ~v = ~v + ~u (Propriedade Comutativa)
A3. ~u+~0 = ~u = ~0 + ~u (Elemento Neutro)
A4. ~u+ (−~u) = ~0 = −~u+ ~u (Elemento Oposto)
1.2 Soma de um ponto com um vetor
Dado um ponto A e um vetor ~v, existe um u´nico ponto B tal que B − A = ~v. O ponto
B chama-se soma do ponto A com o vetor ~v e se indica por A + ~v. O vetor A + (−~v) se
indica simplesmente por A− ~v. As propriedades sa˜o imediatas:
Proposic¸a˜o 1.2.1. Sejam ~u, ~v ∈ V3 e A e B dois pontos. Temos:
S1. A+~0 = A
7
S2. (A− ~v) + ~v = A
S3. Se A+ ~v = B + ~v, enta˜o A = B.
S4. Se A+ ~u = A+ ~v, enta˜o ~u = ~v.
S5. A+ (B −A) = B
1.3 Multiplicac¸a˜o de um escalar por um vetor
Os nu´meros reais funcionam como fatores de escala, por isso sa˜o chamados escalares.
Assim temos:
Definic¸a˜o 1.3.1. Se α ∈ R e ~v ∈ V3, enta˜o a multiplicac¸a˜o do escalar α pelo vetor ~v e´ o
vetor cujo tamanho e´ |α| vezes o mo´dulo de ~v e cuja direc¸a˜o e´ a mesma de ~v, se α > 0 e,
oposta a ~v, se α < 0. Se α = 0 ou ~v = ~0 enta˜o α~v = ~0.
Figura 1.3: Multiplicac¸a˜o de um escalar por um vetor
Dois vetores na˜o nulos sa˜o paralelos se eles sa˜o mu´ltiplos escalares um do outro. Em
particular o vetor −~v = (−1)~v tem o mesmo comprimento que ~v, mas aponta em sentido
oposto.
Proposic¸a˜o 1.3.1. Sejam ~u,~v ∈ V3 e α, β ∈ R. Temos:
M1. α(β~v) = (αβ)~v
M2. α(~u+ ~v) = α~u+ α~v
M3. (α+ β)~v = α~v + β~v.
M4. 1~v = ~v.
1.4 Componentes
Para alguns propo´sitos e´ melhor introduzir um sistema de coordenadas e tratar os vetores
algebricamente. Se posicionarmos o ponto inicial de um vetor ~v na origem de um sistema
8
de coordenadas irregulares, enta˜o o ponto terminal de ~v tem coordenadas da forma (v1, v2)
ou (v1, v2, v3) dependendo se nosso sistema de coordenadas for em duas ou treˆs dimenso˜es.
Essas coordenadas sa˜o denominadas componentes de ~v e portanto
~v = (v1, v2) ou ~v = (v1, v2, v3).
O vetor ~v = (3, 2) pode ser visto como sendo o vetor com in´ıcio na origem do sistema
cartesiano e extremidade no ponto P = (3, 2), ou seja ~v =
−−→
OP = (3, 2). O mesmo e´
va´lido para treˆs dimenso˜es. Se temos dois pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), o que
podemos dizer do vetor ~v =
−−→
AB que tem origem em A e extremidade em B?
Definic¸a˜o 1.4.1. Dados os pontos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2), o vetor ~v com
representac¸a˜o
−−→
AB e´ dado por
~v = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
(A definic¸a˜o e´ ana´loga para vetores bidimensionais).
Definic¸a˜o 1.4.2. O mo´dulo ou norma de um vetor ~v e´ o comprimento de qualquer uma
de suas representac¸o˜es sendo denotado por ||~v||. Assim se ~v = (x, y, z) enta˜o
||~v|| =
√
x2 + y2 + z2.
Definimos algebricamente a soma de vetores e o produto de um escalar por um vetor
da seguinte maneira:
Definic¸a˜o 1.4.3. Sejam ~u = (x1, y1, z1), ~v = (x2, y2, z2) e α ∈ R, enta˜o
~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e α~u = (αx1, αy1, αz1)
Como consequ¨eˆncia direta, temos ||α~v|| = |α|.||~v||.
Um vetor unita´rio e´ um vetor cujo mo´dulo e´ 1. O versor de um vetor ~v e´ um vetor
unita´rio e que possui mesma direc¸a˜o e sentido que o vetor ~v, ou seja o versor de ~v e´ dado
por ~v||~v|| .
1.5 Exerc´ıcios
(1) Determine o ponto C tal que
−→
AC = 2
−−→
AB sendo A = (0,−2) e B = (1, 0).
(2) Uma reta no plano tem equac¸a˜o y = 2x+ 1. Determine um vetor paralelo a esta reta.
(3) Determine o vetor ~x, tal que 3~x− 2~v = 15(~x− ~u).
(4) Determine os vetores ~x e ~y em func¸a˜o de ~u e ~v tais que
{
6~x− 2~y = ~u
3~x+ ~y = ~u+ ~v
(5) Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o
vetor ~v = (3, 0,−3), sabendo-se que sua origem esta´ no ponto P = (2, 3,−5).
9
(6) Quais sa˜o as coordenadas do ponto P ′, sime´trico do ponto P = (1, 0, 3) em relaca˜o ao
ponto M = (1, 2,−1)? (Sugesta˜o: o ponto P ′ e´ tal que o vetor
−−−→
MP ′ = −
−−→
MP )
(7) Verifique se os pontos dados a seguir sa˜o colineares, isto e´, pertencem a uma mesma
reta:
(a) A = (5, 1,−3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3,−5);
(b) A = (−1, 1, 3), B = (4, 2,−3) e C = (14, 4,−15).
(8) Dados os pontos A = (1,−2,−3), B = (−5, 2,−1) e C = (4, 0,−1). Determine o ponto
D tal que A, B, C e D sejam ve´rtices consecutivos de um paralelogramo.
(9) Verifique se o vetor ~u e´ combinaca˜o linear (soma de mu´ltiplos escalares) de ~v e ~w .
(a) ~v = (9,−12,−6), ~w = (−1, 7, 1) e ~u = (−4,−6, 2);
(b) ~v = (5, 4,−3); ~w = (2, 1, 1) e ~u = (−3,−4, 1).;
(10) Verifique se e´ um paralelogramo o quadrila´tero de ve´rtices (na˜o necessariamente con-
secutivos)
(a) A = (4,−1, 1), B = (9,−4; 2), C = (4, 3, 4) e D = (4,−21,−14)
(b) A = (4,−1, 1), B = (9,−4, 2), C = (4, 3, 4) e D = (9, 0, 5).
(11) Quais dos seguintes vetores sa˜o paralelos ~u = (6,−4,−2), ~v = (−9, 6, 3), ~w =
(15,−10, 5).
Gabarito
Sec¸a˜o 1.5
(1) C = (2, 2)
(2) Tomando dois pontos da reta, digamos P1 = (0, 1) e P2 = (1, 3), temos o vetor ~v =−−−→
P1P2 = (1, 2) que e´ paralelo a` reta.
(5) Q = (5, 3,−8)(6) P ′ = (1, 4,−5)
(7) (a) na˜o-colineares; (b) colineares
(8) D = (10,−4,−3)
(9) (a) ~u = −2
3
~v − 2~w (b) ~u na˜o e´ combinac¸a˜o linear de ~v e ~w
(10) (a) Na˜o e´ um paralelogramo (b) e´ um paralelogramo
(11) Apenas os vetores ~u e ~v sa˜o paralelos.
10
1.6 Dependeˆncia Linear
No estudo da Geometria em treˆs dimenso˜es encontramos com frequ¨eˆncia situac¸o˜es de par-
alelismo entre retas, planos, ou entre retas e planos. Vimos anteriormente que dois vetores
~u e ~v sa˜o paralelos se existe um α ∈ R tal que ~u = α~v. Deste modo temos:
~u = α~v ⇒ ~u− α~v = ~0,
ou seja, e´ poss´ıvel obter uma combinac¸a˜o linear dos vetores ~u e ~v com coeficientes na˜o
nulos que resulte no vetor nulo. Dizemos enta˜o que os vetores ~u e ~v sa˜o linearmente
dependentes.
Definic¸a˜o 1.6.1. (a) Um vetor ~v e´ linearmente dependente se ~v = ~0 e linearmente
independente se ~v 6= ~0.
(b) Um par de vetores ~u, ~v e´ linearmente dependente se ~u e ~v sa˜o paralelos. Caso
contra´rio, esses vetores sa˜o linearmente independentes.
(c) Uma tripla de vetores ~u, ~v e ~w e´ linearmente dependente se esses vetores sa˜o
paralelos a um mesmo plano (coplanares). Caso contra´rio esses vetores sa˜o linearmente
independentes.
(d) Se n ≥ 4, esse conjunto de vetores e´ linearmente dependente. (Lembre-se que
estamos estudando a geometria em treˆs dimenso˜es. Esse conceito na˜o e´ va´lido para espac¸os
vetoriais de dimensa˜o maior do que 3).
Definic¸a˜o 1.6.2. Se ~u = α1~v1 + α2~v2 + . . .+ αn~vn, dizemos que ~u e´ combinac¸a˜o linear
de ~v1, ~v2, . . . , ~vn, ou que ~u e´ gerado por esses vetores. Os escalares α1, α2, . . . , αn sa˜o
chamados coeficientes da combinac¸a˜o linear.
Um exemplo e´ o do vetor nulo, que e´ gerado por quaisquer vetores ~v1, ~v2, . . . , ~vn, uma
vez que ~0 = 0~v1 + 0~v2 + . . .+ 0~vn. Esta expressa˜o e´ conhecida como trivial.
Proposic¸a˜o 1.6.1. Se (~u,~v) e´ LI, enta˜o (~u,~v, ~w) e´ LD se, e somente se, ~w e´ gerado por
~u e ~v.
Demonstrac¸a˜o. Primeira parte: Supondo que (~u,~v, ~w) e´ LD, vamos provar que ~w e´ com-
binac¸a˜o linear de ~u e ~v.
11
(i) Se ~w e´ paralelo a ~u, enta˜o ~w = α~u. Como ~u 6= ~0, pois (~u,~v) e´ LI temos ~w = α~u + 0~v.
De modo ana´logo provamos o resultado caso consideremos ~w paralelo a ~v.
(ii) Se ~w na˜o e´ paralelo nem a ~u e nem a ~v (e consequentemente, ~w 6= ~0), consideremos
os pontos P , A, B e C tais que ~u =
−→
PA, ~v =
−−→
PB e ~w =
−−→
PC. Os vetores ~u, ~v e ~w sa˜o
coplanares pois esses vetores sa˜o LD e ale´m disso P , A e B na˜o sa˜o colineares pois ~u e ~v
sa˜o LI. Pelo ponto C trac¸amos paralelas a PA e PB, determinando os pontos N e M . Os
vetores ~u e
−−→
PM sa˜o paralelos, e o mesmo acontece com ~v e
−−→
PN . Como ~u 6= ~0 e ~v 6= ~0,
existem α e β tais que
−−→
PM = α~u e
−−→
PN = β~v. Portanto,
~w =
−−→
PC =
−−→
PM +
−−→
PN = α~u+ β~v.
Segunda parte: Supondo que ~w seja gerado por ~u e ~v, mostremos que ~u, ~v e ~w sa˜o LD.
Se ~w = ~0 na˜o ha´ nada a fazer. Se na˜o, tomemos os pontos P , A, B, C, M e N tais que
~u =
−→
PA, ~v =
−−→
PB e ~w =
−−→
PC,
−−→
PM = α~u e
−−→
PN = β~v. Se C na˜o pertence a` reta PA nem
a` reta PB, o paralelogramo PMCN esta´ contido no plano determinado por P , A e B.
Conclu´ımos que P , A, B e C sa˜o coplanares e, portanto, (~u,~v, ~w) e´ LD.
Proposic¸a˜o 1.6.2. Se (~u,~v, ~w) e´ LI, enta˜o qualquer vetor ~x e´ combinac¸a˜o linear de ~u, ~v,
~w.
Demonstrac¸a˜o. Sejam P , A, B, C e D pontos tais que ~u =
−→
PA, ~v =
−−→
PB e ~w =
−−→
PC e
~x =
−−→
PD.
(i) A reta paralela a PC por D determina o ponto M no plano PAB.
(ii) As retas por M paralelas a PA e a PB determinam os pontos Q e N nas retas PB e
PA.
(iii) O plano por D paralelo ao plano PAB determina o ponto R na reta PC.
Como
−→
PA e
−−→
PN sa˜o paralelos e
−→
PA e´ na˜o nulo, podemos escrever
−−→
PN = α~u. Analogamente
−−→
PQ = β~v, e
−→
PR = γ ~w. Portanto
~x =
−−→
PD =
−−→
PN +
−−→
PQ+
−→
PR = α~u+ β~v + γ ~w.
1.7 Base
Podemos descrever um vetor na forma nume´rica, ou seja, utilizar nu´meros reais chamados
coordenadas ou componentes. Vamos agora detalhar esse procedimento.
Definic¸a˜o 1.7.1. Uma tripla ordenada de vetores linearmente independentes E = (~e1, ~e2, ~e3)
chama-se base de V3.
Sendo E = (~e1, ~e2, ~e3) uma base, podemos dizer, que todo vetor ~u e´ gerado por ~e1, ~e2, ~e3,
isto e´, existem escalares a1, a2, a3 tais que
~u = a1 ~e1 + a2 ~e2 + a3 ~e3.
A tripla de escalares (a1, a2, a3) e´ a u´nica a satisfazer a igualdade acima. Cada escalar
dessa tripla e´ chamado coordenada de ~u em relac¸a˜o a` base E. Como se trata de uma
tripla ordenada, a ordem e´ importante.
12
Em situac¸o˜es envolvendo va´rios vetores, a omissa˜o do ı´ndice que indica a base pressupo˜e
que todos se referem a` mesma base.
Proposic¸a˜o 1.7.1. Os vetores ~u = (a1, b1, c1)E e ~v = (a2, b2, c2)E sa˜o LD se, e somente
se, a1, b1, c1 e a2, b2, c2 sa˜o proporcionais ou, equivalentemente, os treˆs determinantes∣∣∣∣∣ a1 b1a2 b2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ a1 c1a2 c2
∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣ b1 c1b2 c2
∣∣∣∣∣
sa˜o nulos.
Proposic¸a˜o 1.7.2. Os vetores ~u = (a1, b1, c1)E, ~v = (a2, b2, c2)E e ~w = (a3, b3, c3)E sa˜o
LD se, e somente se, ∣∣∣∣∣∣∣
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Definic¸a˜o 1.7.2. Os vetores na˜o-nulos ~u e ~v sa˜o ortogonais se, e somente se,
||~u+ ~v||2 = ||~u||2 + ||~v||2.
Notac¸a˜o: ~u⊥~v.
Definic¸a˜o 1.7.3. Uma base (~e1, ~e2, ~e3) e´ ortonormal se ~e1, ~e2, ~e3 sa˜o unita´rios e dois a
dois ortogonais.
Proposic¸a˜o 1.7.3. Seja (~e1, ~e2, ~e3) uma base ortonormal. Se ~u = α~e1 + β ~e2 + γ ~e3, enta˜o
||~u|| =
√
α2 + β2 + γ2.
1.8 Mudanc¸a de Base
Muitas vezes, a escolha conveniente de uma base facilita a resoluc¸a˜o de um problema. Ha´
mesmo casos em que, ao escolher uma base inadequada, perdemos recursos importantes
(por exemplo, ao trabalhar com uma base na˜o ortonormal, ficamos impedidos de usar a
fo´rmula do ca´lculo da norma de um vetor). O que fazer quando os vetores envolvidos
forem dados em relac¸a˜o a uma base E = (~e1, ~e2, ~e3) e preferirmos trabalhar com a base
F = (~f1, ~f2, ~f3)? Um bom recurso e´ a mudanc¸a de base, que consiste em calcular as
coordenadas de todos os vetores na base F e deixar de lado os dados originais.
Em primeiro lugar, precisamos saber como se relacionam as duas bases. Vimos que
cada vetor de F se expressa de modo u´nico como combinac¸a˜o linear dos vetores de E:
~f1 = a11 ~e1 + a21 ~e2 + a31 ~e3
~f2 = a12 ~e1 + a22 ~e2 + a32 ~e3
~f3 = a13 ~e1 + a23 ~e2 + a33 ~e3.
(1.1)
Vamos supor conhecidos os nu´meros aij . Dado um vetor ~u, sejam x1, x2, x3, suas
coordenadas na base E e y1, y2, y3, suas coordenadas na base F . Podemos enta˜o escrever:
13
~u = x1 ~e1 + x2 ~e2 + x3 ~e3 = (x1, x2, x3)E (1.2)
~u = y1 ~f1 + y2 ~f2 + y3 ~f3 = (y1, y2, y3)F . (1.3)
Queremos obter relac¸o˜es entre x1, x2, x3, y1, y2, y3. Para isso, usaremos a Equac¸a˜o 1.1
na Equac¸a˜o 1.3, obtendo uma expressa˜o de ~u como combinac¸a˜o linear de ~e1, ~e2, ~e3 que sera´
comparada com a Equac¸a˜o 1.2. Assim:
~u = y1(a11 ~e1 + a21 ~e2 + a31 ~e3) + y2(a12 ~e1 + a22 ~e2 + a32 ~e3) + y3(a13 ~e1 + a23 ~e2 + a33 ~e3) =
= (y1a11 + y2a12 + y3a13)~e1 + (y1a21 + y2a22 + y3a23)~e2 + (y1a31 + y2a32 + y3a33)~e2.
Comparando com a Equac¸a˜o 1.2, obtemos
x1 = a11y1 + a12y2 + a13y3
x2 = a21y1 + a22y2 + a23y3
x3 = a31y1 + a32y2 + a33y3
(1.4)
que sa˜o as relac¸o˜es desejadas. Elas permitem calcular facilmente x1, x2, x3, conhecendo
y1, y2, y3. Para calcular y1, y2, y3 conhecendo x1, x2, x3, basta resolver o sistema das equac¸o˜es
1.4. Dentre os va´rios me´todos dispon´ıveis, vamos optar pelo matricial. Ale´m de pra´tico, ele
nos desobriga de memorizar as relac¸o˜es 1.4, com seus va´rios ı´ndices, o que matricialmente
nos fornece: 
 x1x2x3

 =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33



 y1y2
y3

 .
Indicando por MEF a matriz 3 × 3 do segundo membro, escreveremos esta igualdade,
esquematicamente, assim: 



E
=MEF




F
. (1.5)
A matriz do primeiro membro e´ formada pelas coordenadas de ~u na base E, e a matriz
3× 1 do segundo membro e´ formada pelas coordenadas de ~u na base F .
Definic¸a˜o 1.8.1. Dadas as bases E = (~e1, ~e2, ~e3) e F = (~f1, ~f2, ~f3), consideremos as
coordenadas de ~f1, ~f2 e ~f3 na base E, ou seja, os nu´meros reais aij das equac¸o˜es em 1.1.
A matriz
MEF =

 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33


chama-se matriz de mudanc¸a de base de E para F .
Pensando em E como base antiga e em F como base nova, vamos esclarecer a construc¸a˜o
da matrizMEF . Cada coluna e´ formada pelas coordenadas de um dos vetores da base nova
em relac¸a˜o a` base antiga, respeitadas as ordens dos vetores nas respectivas bases. A seguir
temos um exemplo de tal construc¸a˜o:
Se
~f1 = 2~e1 − 1~e2 + 3~e3
~f2 = 4~e1 + ~e2 + 5~e3
~f3 = 6~e1 − ~e2 + 9~e3
, enta˜o MEF =

 2 4 6−1 1 −1
3 5 9

 .
14
Uma vez que as colunas deMEF sa˜o constitu´ıdas das coordenadas de treˆs vetores LI, seu
determinante e´ diferente de zero. Fica assegurada, portanto, a existeˆncia da matriz inversa
de MEF . Essa inversa e´ a matriz de mudanc¸a de base de F para E, ou seja MFE =M
−1
EF .
Outra propriedade e´ que se E = (~e1, ~e2, ~e3), F = (~f1, ~f2, ~f3) e G = (~g1, ~g2, ~g3) sa˜o bases,
enta˜o
MEF .MFG =MEG.
1.9 Exerc´ıcios
(1) Estude a dependeˆncia linear dos vetores
(a) ~u = (1, 4, 0) e ~v = (3, 12, 1)
(b) ~u = (−14, 91, 56) e ~v = (1,−13
2
,−4)
(c) ~u = (2, 1, 0), ~v = (1
2
, 1,−1) e ~w = (3, 1, 5)
(d) ~u = (2, 4, 6), ~v = (−1, 5, 8) e ~w = (−3, 22, 35)
(e) ~u = (0, 1, 0) e ~v = (1, 0, 1)
(f) ~u = (0, 11, 1) e ~v = (0,−22, 2)
(g) ~u = (0, 1, 1) e ~v = (0, 3, 1)
(h) ~u = (1,−3, 14) e ~v = ( 1
14
, −3
14
, 1)
(i) ~u = (1, 0, 0), ~v = (200, 2, 1) e ~w = (300, 1, 2)
(j) ~u = (1,−1, 2), ~v = (−3, 4, 1) e ~w = (1, 0, 9)
(k) ~u = (1, 2, 1), ~v = (1,−1,−7) e ~w = (4, 5,−4)
(2) Determinar m e n de modo que sejam linearmente dependentes os vetores:
(a) ~u = (3, 5, 1), ~v = (2, 0, 4) e ~w = (1,m, 3)
(b) ~u = (1, 3, 5) e ~v = (2, 1 +m, 10)
(c) ~u = (m, 2, n), ~v = (3,m+ n,m− 1)
(d) ~u = (1,m, n+ 1), ~v = (m,n, 10)
(e) ~u = (m, 1,m+ 1), ~v = (1, 2,m) e ~w = (1, 1, 1)
(f) ~u = (m, 1,m+ 1), ~v = (0, 1,m) e ~w = (0,m, 2m)
(3) Sendo ~u = (1,−1, 3), ~v = (2, 1, 3) e ~w = (−1,−1, 4), verifique se ~u e´ combinac¸a˜o linear
de ~v e ~w.
(4) Escreva ~t = (4, 0, 13) como combinac¸a˜o linear de ~u = (1,−1, 3), ~v = (2, 1, 3) e ~w =
(−1,−1, 4).
(5) O vetor ~u = (1,−1, 3) e´ combinac¸a˜o linear de ~v = (−1, 1, 0) e ~w = (2, 3, 1
3
)?
(6) Verifique se (~f1, ~f2, ~f3) e´ base, sabendo que ~f1 = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~f2 = ~e1 + ~e2, ~f3 = ~e3 e
que (~e1, ~e2, ~e3) e´ base.
(7) Se (~e1, ~e2, ~e3) e´ base, prove que (α1 ~e1, α2 ~e2, α3 ~e3) e´ base se, e somente se, α1, α2 e α3
na˜o sa˜o nulos.
(8) Sejam (~e1, ~e2, ~e3) uma base, ~u = ~e1 + ~e2, ~v = ~e1 + ~e2 + ~e3, ~w = a~e1 + b~e2 + c~e3. Deduza
uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente sobre a, b e c para que (~u,~v, ~w) seja uma base.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] CAMARGO, Ivan de; BOULOS, Paulo. Geometria Anal´ıtica. 3a edic¸a˜o. Sa˜o Paulo:
Prentice Hall, 2005. 543 p.: il.
[2] CAROLI, Ale´sio de; CALLIOLI, Carlos A.; FEITOSA, Miguel. Matrizes, Vetores e
Geometria Anal´ıtica. 12a edic¸a˜o. Sa˜o Paulo: Editora Nobel, 1976. 167 p.: il.
[3] SANTOS, Fabiano Jose´ dos. Geometria Anal´ıtica. Porto Alegre: Bookman, 2009.
216 p.: il.
59