Derivadas

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cálculo i
DerivadaS
 “O objetivo é um sonho com prazo fixo.”
Leo B. Helzer
Introdução:
No material anterior, vimos como encontrar uma equação para a reta tangente a uma curva, usando intuitivamente a noção de limites. Agora, veremos a definição precisa de reta tangente a uma curva num ponto Para determinarmos a inclinação da reta que tangencia uma curva em um ponto devemos considerar um ponto na curva que seja distinto de P e calcularmos a inclinação da reta que passa por P e Q, chamada de reta secante (ver figura 1).
A inclinação da reta coincide com a tangente do ângulo 
 que possui vértice em P, na figura. Então, 
Se fizermos Q ficar mais e mais próximo de P, isto é, se a reta secante por P e Q atingir alguma posição limite quando consideraremos esse limite como a inclinação da reta tangente em P (ver figura 2).
Assim, temos a seguinte definição.
Definição: 
 Suponhamos que a pertença ao domínio da função f. A reta tangente à curva no ponto é a reta de equação
, onde
Sempre que existir o limite.
Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, muito utilizada. Essa expressão é obtida quando consideramos 
. Daí, temos que 
INTERPRETAÇÃO DE DERIVADA: 
A derivada de uma função em um número a é a inclinação da reta tangente que passa pelo ponto (a, f (a)), ou seja, a derivada de uma função f (x) em um número a é dada por:
.
Portanto, reescrevendo a equação da reta tangente, num ponto desta reta, teremos: 
Exemplo:
Seja a parábola , encontre:
A inclinação da reta tangente a curva, no ponto P(1,1);
A equação da reta tangente a curva, no ponto P(1,1).
Velocidades
Estudamos anteriormente, o movimento de uma bola deixada cair de cima de uma torre, e sua velocidade foi definida como sendo o valor limite das velocidades médias em períodos de tempo cada vez menores.
Suponha um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo com a equação 
, onde 
 é o deslocamento do objeto a partir da origem do instante 
. A função 
que descreve o movimento é chamada função posição do objeto. No intervalo de tempo entre 
 e 
 a variação na posição será de 
 (figura 5, tirada do livro texto). A velocidade média nesse intervalo é:
Que é exatamente a inclinação da reta tangente 
 na figura 6 (tirada do livro texto)
Suponha que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores 
. Em outras palavras, fazendo 
 tender a zero. Como no exemplo da queda da bola, definimos velocidade (ou velocidade instantânea) 
 no instante 
como sendo o limite das velocidades médias:
Isto significa que a velocidade no instante 
é igual à inclinação da reta tangente em 
.
Usaremos o exemplo visto no material anterior, sobre limites (pág.3)
Ex.: Suponha que uma bola foi deixada cair do posto de observação da torre, 450 m acima do solo.
Qual a velocidade em t = 5 segundos?
Com qual velocidade a bola chega ao solo?
Obs. Vamos utilizar a equação do movimento 
:
Derivada
	A função definida por:
É chamada derivada de f em relação à x. O domínio de é formado pelos x do domínio de f para os quais existe o limite. 
 	
DEFINIÇÃO: Uma função 
 é diferenciável em 
 se 
 existir. É diferenciável em um intervalo aberto 
 [ou 
 ou 
 ou 
] se for diferenciável em cada número do intervalo.
Se usarmos a notação tradicional 
 para indicar que a variável independente é 
 enquanto que 
 é a variável dependente, então algumas notações alternativas para a derivada são como se segue:
	
REGRAS DE DERIVAÇÃO
Derivada de uma função constante
 
Exemplos: Derive as funções:
	a) 
	b) 
Regra da potência
Se n for um número real qualquer
 
 O tipo mais simples de função potência é , onde 
 Derivar as funções:
	a) 
	b) 
	Calcular:
	a) 
	b) 
	c) 
Regra do múltiplo constante
Se f for diferenciável e c uma constante real
 
 
Regra da soma
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
 
Regra da diferença
Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
 
 
Exemplo: Calcule as derivadas das seguintes funções:
a) 
	b) 
Regra do produto
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
 
Ou
 
�� EMBED Equation.3 
Exemplo: Se 
, encontre 
.
Regra do quociente
	
 Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
 
Ou
 
Exemplo: Se 
, encontre 
.
Derivada das funções trigonométricas	
 
Exemplos: Derive as funções:
	a) 
 
	
b) 
 
Derivada da função exponencial natural
Exemplos: Derivar a função
	a) 
Problemas de Derivação e Diferenciação
INTRODUÇÃO 
Se 
 variar de 
 a 
, então a variação em 
 é dada por 
, e a variação em 
 correspondente é 
. O quociente dessa diferença 
 é a taxa média da variação de 
 em relação a 
 sobre o intervalo 
 e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante 
. Seu limite quando 
 é a derivada 
, que pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea de 
 em relação a 
. Usando a notação de Leibniz, podemos escrever
Algumas aplicações da taxa de variação (livro texto)
A posição de uma partícula é dada pela equação, onde 
 é medido em segundos e 
 em metros.
Encontre a velocidade no instante 
.
Qual é a velocidade depois de 2s? Depois de 4s?
Quando a partícula está em repouso?
Quando a partícula está se movendo para frente (isto é, no sentido positivo)?
Faça um diagrama para representar o movimento da partícula.
Encontre a distância total percorrida pela partícula durante os primeiros cinco segundos.
Como poderíamos encontrar uma fórmula que nos fornecesse a aceleração dessa partícula?
A taxa média de crescimento de uma população é dada por 
, onde 
 é uma função que descreve o numero de indivíduos (
) em função do tempo 
. 
	A taxa de crescimento instantâneo é dada por: 
.
 
 Exemplo:
O crescimento populacional de uma população de bactérias é dado pela fórmula 
. Qual a função que expressa a taxa de variação instantânea desta população? 
Regra da Cadeia
INTRODUÇÃO 
Quanto vale a derivada da função 
?
As fórmulas que possuímos não nos permitem calcular esta derivada. O que acontece, é que na verdade possuímos duas funções que formam uma única. Chamamos de função composta. Consideremos 
 e 
. Temos que 
, ou seja, 
.
Geralmente chamamos o argumento da função de 
. Com isso ficamos com 
, onde 
. Desta maneira, poderemos analisar melhor uma das mais importantes regras de diferenciação, que é a famosa regra da cadeia.
	
DEFINIÇÃO: Se 
 e 
forem diferenciáveis e 
 for uma função composta definida por 
, então 
 é diferenciável e 
 é dada pelo produto:
Na notação de Leibniz, se 
 e 
 forem duas funções diferenciáveis, então 
.
Exercícios:
Derivar as seguintes funções:
a) 
	 	 b) 
 c) 
				
d) 
		e) 
			f) 
PONTO DE MÁXIMO e ponto de mínimo
Observe o gráfico da função abaixo definida por 
, 
.
DEFINIÇÃO: Uma função tem um máximo absoluto (ou máximo global) em 
 se 
 para todo 
 em 
, onde 
 é o domínio de 
. O número 
 é chamado de valor máximo de 
 em 
. Analogamente, 
 tem um mínimo absoluto em 
 se 
 para todo 
 em 
 e o número 
 é chamado de valor mínimo de 
 em 
. Os valores máximos e mínimos de 
 são chamados de valores extremos de 
.
DEFINIÇÃO: Uma função tem um máximo local (ou máximo relativo) em 
 se 
 quando 
 estiver numa proximidadede 
. [Isto significa que 
 para todo 
 em um intervalo aberto contendo 
]. Analogamente 
 tem um mínimo local em 
 se 
 quando 
 estiver nas proximidades de 
TEOREMA DO VALOR EXTREMO: Se 
 for contínua em um intervalo fechado 
então 
 assume um valor máximo absoluto 
 e um valor mínimo absoluto 
 em algum número 
 e 
 em 
.
TEOREMA DE FERMAT: Se 
tiver um ponto de máximo ou mínimo local em 
, e 
 existir, então 
.
DEFINIÇÃO: Um número crítico em uma função 
 é um número 
 no domínio de 
 onde ou 
 ou 
 não existe.
Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, então c é um número crítico de f.
Exercícios: 
1- Encontre os pontos críticos das funções abaixo:
a) 
b) 
COMO AS DERIVADAS AFETAM O GRÁFICO
Lembrando que a derivada primeira nos dá a taxa de variação, o que podemos dizer sobre a função sabendo que sua taxa de variação em determinado ponto é positiva?
CONDIÇÃO DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO:
Se 
 sobre um intervalo, então 
 é crescente nele.
Se 
 sobre um intervalo, então 
 é decrescente nele.
Exercícios
No (exercício 1b) acima, você encontrou como pontos críticos x=1 e x=2. Utilize a derivada da função para deduzir se os intervalos entre os pontos críticos são crescentes ou decrescentes (os intervalos são 
, 
 e 
). 
Encontre os pontos críticos da função 
 e classifique os intervalos em crescente e decrescente, usando a derivada primeira da função.
TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA: suponha que 
 seja um número crítico de uma função contínua 
.
Se o sinal de 
 mudar de positivo para negativo em 
, então 
 tem um máximo local em 
.
Se o sinal de 
 mudar de negativo para positivo em 
, então 
 tem um mínimo local em 
.
Se 
 não mudar de sinal em 
então 
 não tem um máximo ou mínimo locais em 
.
Exemplo: Usando o teste da derivada primeira, classifique os pontos de extremo da seguinte função: 
MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS EM UM INTERVALO FECHADO
Para encontrarmos os valores máximos e mínimos absolutos de uma função f em um intervalo fechado [a; b]:
Encontre os valores de f nos números críticos de f em (a; b);
Encontre os valores de f nos extremos do intervalo;
O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto e o menor é o mínimo absoluto.
Exemplo:
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
, no intervalo [-2; 3].
DEFINIÇÃO: Um ponto 
 sobre a curva f(x) é chamado de ponto de inflexão se f é contínua no ponto e a curva mudar de côncava para cima para côncava para baixo ou vice-versa em 
.
Como calcular o ponto de inflexão? Basta calcularmos a segunda derivada da função e igualarmos a zero, isto é 
.
TESTE DA CONCAVIDADE: 
Se 
 para todo 
 em um intervalo, então o gráfico de 
 é côncavo para cima nesse intervalo.
Se 
 para todo 
 em um intervalo, então o gráfico de 
 é côncavo para baixo nesse intervalo.
Exercício:
Examine a curva 
 em relação à concavidade, pontos de inflexão. Use as informações para esboçar a curva.
Veremos, abaixo, que existe outra maneira de classificarmos os pontos críticos em máximo e mínimo relativos.
TESTE DA DERIVADA SEGUNDA: Suponha que
seja contínua na proximidade de 
Se 
 e 
, então 
 tem um mínimo local em 
.
Se 
 e 
, então 
 tem um máximo local em 
.
Exercícios: 
Examine as curvas abaixo em relação à concavidade, pontos de inflexão, mínimo e máximo local e intervalo crescente e decrescente. Use as informações para esboçar a curva.
 a) 
b) 
PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Aplicações de ponto crítico, ponto de máximo e ponto de mínimo
Encontre as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível.
Uma caixa deve ser feita com folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados, conforme figura abaixo. Qual é o tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?
Um fazendeiro tem 2400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo que tem maior área?
Se 1200 cm2 de material estiverem disponíveis para fazer uma caixa com base quadrada e sem tampa, encontre o maior volume possível da caixa.
Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de R$ 200,00 por unidade. O custo total de produção para 
 unidades é de 
. Qual a quantidade que maximiza o lucro?
Para as funções custo e receita abaixo, encontre o nível de produção que maximizará o lucro
 e 
 e 
 
Suponhamos que o custo de produção de uma empresa é dado pela função 
, onde 
 é a quantidade produzida. Qual a quantidade que maximiza o custo?
FORMAS INDETERMINADAS E REGRA DE L’HÔPITAL
Já aprendemos a resolver 
 e também do tipo 
.
	No primeiro caso encontramos a forma indeterminada 
 e no segundo caso obtemos a forma indeterminada 
.Observe agora os limites: e
Como devemos proceder? 
Para resolver tais situações (inclusive as que já conhecíamos) existe uma regra, chamada Regra de L’Hôpital que pode ser aplicada para indeterminações do tipo 
 ou 
.
	REGRA DE L’HÔPITAL: Suponha que 
 e 
 são diferenciáveis e 
 próximo a 
(exceto possivelmente em 
). Suponha que 
 e 
Ou que 
 e 
(Em outras palavras, temos uma forma indeterminada do tipo 
 ou 
). Então
Se o limite do lado direito existir (ou é 
 ou é 
)
Agora, temos condições de resolver os limites,
 =
 = 
FORMAS INDETERMINADAS DO TIPO 
, 
, 
, 
.
	Quando temos um limite do tipo 
 que resulta num dos casos 
, 
, 
, 
, devemos escrever o produto 
 como um quociente:
 ou 
Exemplo:
a) 
=
FORMA INDETERMINADA DO TIPO 
	Tentaremos converter a diferença em um quociente para podermos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Exemplo:
FORMAS INDETERMINADAS DO TIPO 
, 
, 
	Várias formas indeterminadas surgem do limite 
.
	Nestes casos, solucionamos o problema chamando o limite 
 de 
 e aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade. Para ficar mais claro, vamos a um exemplo.
� EMBED Equation.3 ���
�PAGE �4�
�PAGE �18�
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