Banco de Questões Cálculo Diferencial e Integral I

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1) Uma indústria de calçados fabrica um certo tipo de sandálias de couro. Após observação, por parte do 
departamento de vendas, conclui-se que o lucro de produção de x unidades deste produto é descrito 
pela função f(x)= -6(x + 3)(x - 67). Para que a fábrica obtenha lucro máximo nas vendas das sandálias, 
podemos afirmar que o total unidades a ser vendido deve ser igual a 
 
213 unidades 
 
185 unidades 
 
169 unidades 
 
210 
 
156 
 
2) Ache a área da região compreendida pelas curvas x = y2 e y = x-2 
 
4/3 
 
9/2 
 
19/6 
 
0 
 
25 
 
3) Podemos afirmar que taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimento x de sua 
aresta é igual a: 
 
A área da superfície do cubo 
 
A metade da área da superfície do cubo 
 
A área do quadrado de lado x 
 
A área do triânculo equilátero de lado x 
 
A área da circunferência de raio x 
 
4) Qual a interpretação geométrica para derivada em um ponto onde x = x0? 
 
é a reta tangente no ponto onde x = x0 
 
é a inclinação da reta tangente no ponto onde x = x0 
 
é a tangente no ponto onde x = x0 
 
é um ponto que tem reta tangente igual a x0 
 
é o próprio ponto onde x = x0 que calculamos a derivada através de uma regra 
 
5) Se f(x) = x2 e g(x) = (x + 1). Encontre a derivada da função composta f ( g(1) ). 
 
2 
 
3 
 
4 
 
5 
 
0 
 
6) Ache a derivada em relação a x da função f(x) = x1/2 , com x > 0 
 √𝒙 𝟐𝒙⁄ 
 
x/2 
 
x1/2 
 
x 
 
x/2 
 
7) Suponha que as equações do movimento de um avião de papel durante os 10 primeiros segundos de 
vôo são: 𝑥 = 𝑡 − 3𝑠𝑒𝑛𝑡 e 𝑦 = 4 − 3 cos 𝑡 (0 ≤ 𝑡 ≤ 10). Quais são os pontos mais alto e mais baixo 
de sua trajetória e quando o avião atinge essas posições? 
 
 Maximo y = 7 nos instantes t = Pi e t = 3Pi 
Minimo y = 1 nos instantes t = 0 e t = 2Pi 
 
Maximo y = 1 nos instantes t = Pi e t = 3Pi 
Minimo y = 7 nos instantes t = 0 e t = 2Pi 
 
Maximo y = 70 nos instantes t = Pi e t = 3Pi 
Minimo y = 10 nos instantes t = 0 e t = 2Pi 
 
Maximo y = 7 nos instantes t = 0 e t = 3Pi 
Minimo y = 1 nos instantes t = 0 e t = Pi 
 
Maximo y = 7 nos instantes t = Pi e t = Pi 
Minimo y = 0 nos instantes t = 0 e t = Pi 
 
 
8) Encontre a área entre a curva y = 1 - x2 e o intervalo [0, 2] no eixo x. 
 
2 
 
1 
 
10 
 
-2/3 
 
0 
 
9) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível. 
 
retângulo de lados x = 10 e y = 12 
 
retângulo de lados x = 10 e y = 20 
 
x= 25 e y = 25 
 
retângulo de lados x = 15 e y = 12 
 
retângulo de lados x = 12 e y = 13 
 
10) Calcule a integral indefinida: ∫
𝑡²−2𝑡4
𝑡4
𝑑𝑡 
 
t-2 -2t +C 
 
t-2 +2t + C 
 
t-1 +2t 
 
t-1 +2t2 + C 
 
t-1 -2t + C 
 
11) Uma população de tâmias se transfere para uma nova região no tempo t = 0. No instante t a 
população é dada por P(t) = 100 (1 + 0,3t + 0,04 t2). Podemos então afirmar que a taxa de crescimento 
da população quando P = 200 é dada por: 
 
30 tâmias por mês 
 
40 tâmias por mês 
 
50 tâmias por mês 
 
60 tâmias por mês 
 
70 tâmias por mês 
 
12) Um teatro cobra na apresentação de uma peça, p reais por ingresso. O preço do ingresso relaciona-se 
com o número x de frequentadores por apresentação pela fórmula, 
p(x) = 100 - 0,5 x 
podemos então afirmar que a receita máxima possível em Reais, por apresentação, é dada por: 
 
5800 
 
5 200 
 
5000 
 
5400 
 
5600 
 
13) Na medida em que uma bola de neve de 12 cm de raio inicial derrete, seu raio decresce a uma taxa 
constante. A bola começa a derreter quando t= 0 hora e leva 12 horas para desaparecer. A taxa de 
variação do volume da bola quando t = 6 horas é dada por: 
 
 - 120 π cm3/s 
 
-130 π cm3/s 
 
- 144 π cm3/s 
 
 -156 π cm3/s 
 
-160 π cm3/s 
 
14) Calcule a integral indefinida: ∫
√𝑒−3𝑥−2
𝑒3𝑥
𝑑𝑥 
 −
𝟐
𝟗
√(𝒆−𝟑𝒙 − 𝟐)𝟑 + 𝑪 
 −√𝑒−3𝑥 − 2 + 𝐶 
 −√𝑒−3𝑥 − 2 
 
−
2
3
√𝑒−3𝑥 − 2 + 𝐶 
 
−
2
3
√(𝑒−3𝑥 − 2) − 1 + 𝐶 
 
15) Calcule a integral: ∫ 5𝑒𝑥𝑑𝑥
ln 3
0
 
 
2 
 
0 
 
16 
 
10 
 
-10 
 
16) Ache a derivada em relação a x da função f(x) = x1/2 
 
 (𝟏 𝟐)𝒙−𝟏 𝟐⁄⁄ 
 
0 
 
1 
 
x 
 
1/2 
 
17) Considere a função f(x) = x4 - 4x3 e marque a alternativa correta 
 
f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem os pontos de máximo e mínimo da função, 
respectivamente. 
 
f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem os pontos de mínimo e máximo da função, 
respectivamente. 
 
 f'(3) = 0 e quando x = 3 ocorre o ponto de máximo da função. 
 
f'(0) = f'(3) = 0 então quando x = 0 e x = 3 ocorrem pontos de inflexão e de mínimo da função, 
respectivamente 
 
f'(0) = 0 e quando x = 0 ocorre o ponto de mínimo da função. 
 
18) A derivada da função f (θ) = tg-1(θ²) é a função 
 
𝑓′(𝜃) =
2𝜃
𝑠𝑒𝑐²(𝜃2)
 
 
𝑓′(𝜃) =
1
2𝜃𝑠𝑒𝑐²(𝜃2)
 
 𝒇′(𝜽) =
𝟐𝜽
𝟏 + 𝜽𝟒
 
 
 𝑓′(𝜃) = 2𝜃𝑠𝑒𝑐²(𝜃2 
 
𝑓′(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐²(2𝜃2) 
 
19) O cálculo da integral definida ∫ 2𝑥²√1 + 𝑥³𝑑𝑥
1
−1
 tem como resultado 
 
892 
 
22 
 
1692 
 
238 
 
328 
 
20) O traçado de uma estrada tem um trecho em curva que une dois pontos de coordenadas A( 0 , 0 
) e B( 2 , 1 ). A curva é determinada por 𝑦 = (
𝑥
2
)
2
3⁄
. Encontre o comprimento deste trecho da 
estrada. 
Obs.: Utilize, se necessário, os valores arredondados com duas casas decimais para o caso de números 
irracionais e dízimas periódicas tais como: 10=3,16; π=3,14; 5=2,24 ; 13 = 1,33 , entre outros. 
 
2,34 u.c. 
 
2,27 u.c. 
 
3,16 u.c. 
 
3,14 u.c. 
 
2,24 u.c. 
 
21) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) O proprietário de um estacionamento de veículos verificou que o preço por dia de estacionamento 
está relacionado com o número de carros que estacionam por dia pela expressão 10 p + 3x = 300. 
Sabendo que p é o preço por dia de estacionamento e x é o número de veículos que estacionam por 
dia podemos afirmar que a receita máxima obtida no dia é de 
 
R$ 480,00 
 
R$ 630,00 
 
R$ 750,00 
 
R$ 720,00 
 
R$ 810,00 
 
23) Encontre a área da região entre as funcões y = x2 e y = 2x - x2 
 
1 
 
10 
 
1/3 
 
5/4 
 
3/2 
 
24) A Diferenciação Logarítmica é uma técnica útil para diferenciar funções compostas de produtos, de 
quocientes e de potências, cuja resolução pela Regra da Cadeia poderia ser exaustiva. 
Entretanto, para que a técnica seja eficiente é necessário aplicarmos as propriedades dos logaritmos e 
explicitarmos y' em função de x. Assim sendo, a derivada de f(x) = xln x é dada por 
 𝒇′(𝒙) =
𝟐
𝒙
𝒙𝐥𝐧𝒙 𝐥𝐧𝒙 
 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥
𝑥ln 𝑥 ln 𝑥 
 𝑓′(𝑥) =
1
2
𝑥ln 𝑥 ln 𝑥 
 𝑓′(𝑥) = (ln 𝑥ln 𝑥)′ =
1/𝑥
𝑥ln 𝑥
 
 𝑓′(𝑥) = (ln 𝑥ln 𝑥)′ = (ln 𝑥)² = 2 ln 𝑥
1
𝑥
 
 
 
25) Conhecendo as derivadas das funções f e g , podemos usá-las para encontrar a derivada da 
composição fog , através de um teorema denominado 
 
Regra de L'Hôpital 
 
Regra da Cadeia 
 
Teorema Fundamental do Cálculo 
 
Derivação Implícita 
 
Teorema do Valor Médio 
 
26) Calcule as inclinações da curva y 2 - x + 1 = 0 nos pontos A ( 2, -1 ) e B ( 2 , 1 ), respectivamente. 
 
mA = 2 e mB = -2mA = mB = 12 
 
mA = mB = -12 
 
mA = 12 e mB = -12 
 
mA = -12 e mB = 12 
 
27) Calcule a área compreendida pelas funções f(x) = x4 e g(x) = x. 
 
1/10 
 
10 
 
5 
 
3/10 
 
3 
 
28) Uma escada com 10 metros de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da 
escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/seg. Quão rápido o topo da escada está 
escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 6 metros da parede? 
 
-3/4 m/seg 
 
2 m/seg 
 
- 3 m/seg 
 
4 m/seg 
 
- 4 m/seg 
 
29) Uma lata cilíndrica é feita para receber 1 litro de óleo. Encontre as dimensões da lata que minimizarão 
o custo do metal para produzir a lata. 
 
raio = 500 cm e altura = diâmetro da lata 
 
raio = (500/Pi)1/3 cm e altura = diâmetro da lata 
 
raio = 500 Pi cm e altura = diâmetro da lata 
 
raio = 500/Pi cm e altura = raio da lata 
 
raio = 250 cm e altura = raio da lata 
 
30) Calcule a área da região compreendida sob a curva f(x) = ln(x)/x e as retas x = 1 e x = e. 
 
1/2 
 
1/4 
 
1/8 
 
2 
 
ln 2 
 
31) Uma cisterna (reservatório inferior de água) tem a forma de um cone circular reto invertido com base 
de diâmetro 4m e altura igual a 4m. Se a cisterna está sendo abastecida de água a uma vazão (taxa) 
de 2m3 /min, encontre a taxa na qual o nível de água está elevando quando este está a 1m da borda 
da cisterna. 
Obs.: Da geometria espacial sabemos que Vc = 13πr2h, sendo Vc = volume do cone, r = raio da 
base e h = altura do cone 
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
32𝜋
9
 
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
9𝜋
4
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
2
3𝜋
 
 
𝒅𝒉
𝒅𝒕
=
𝟖
𝟗𝝅
 
 
𝑑ℎ
𝑑𝑡
=
4
3𝜋
 
 
32) A Regra da Cadeia para derivação de função composta nos permite que, conhecendo as derivadas de 
duas funções f e g, podemos utilizá-las para encontrar a derivada da função composta fog. Se a função 
g for diferenciável no ponto x e a função f for diferenciável no ponto g(x), então a função composta 
fog é diferenciável no ponto x. Além disso, se f e g forem diferenciáveis e f og for a função composta 
definida por f (g(x)) então esta composta é diferenciável e é dada pelo produto f´(g(x))g´(x). A partir 
deste conceito de regra da cadeia, determine a derivada da função composta y=2x+1 
 
12x+1 
 
2x+1 
 
122 
 
122x+1 
 
22x+1 
 
33) Se x2 + y2 = 25, encontre dy/dx 
 
x/y 
 
-x/y 
 
2x/y 
 
y/x 
 
3x/y 
 
34) Encontre derivada da função f (x) = tgh-1(sen x) 
 
sen x 
 
cos x 
 
tg x 
 
sec x 
 
cossec x 
 
35) Encontre a derivada da função g (x) = x + 2.sen x 
 
cos x 
 
tg x - 2 
 
1 + 2.cos x 
 
sen 2x 
 
tg x 
 
36) Encontre a área sob a curva y = ex compreendida entre as retas x = 1 e x = 3 
 
e 
 
1 - e 
 
e3 - e 
 
2e 
 
2 
 
37) As funções y = 5x - x2 e y = x formam uma região no primeiro quadrante. Quais os limites de integração 
compreendidos no eixo x para o cálculo da área 
 
x = 1 a x = 5 
 
x = 1 a x = 2 
 
x = 0 a x = 4 
 
x = 0 a x = 6 
 
x = 1 a x = 4 
 
38) Determinar o raio da base de uma lata de refrigerante cilíndrica de volume 350 ml de modo que o 
material gasto na confecção da lata seja mínimo. Dado 1 ml = 1 cm3. 
 𝑹 = √
𝟏𝟕𝟓
𝝅
𝟑
 
 𝑅 = √
200
𝜋
3
 
 𝑅 = √
175
𝜋
 
 𝑅 = √
175
3𝜋
3
 
 𝑅 = √
175
𝜋
4
 
 
39) Discursiva: Calcule a integral: ∫
√𝑒−3𝑥−2
𝑒3𝑥
𝑑𝑥 
 
40) Discursiva: Encontre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 sabendo que 𝑥4. 𝑦² − ln(√𝑥𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑦
) 
 
41) A figura abaixo é conhecida como cardioide, devido a sua aparência com um coração. Sabendo que 
sua expressão e seu gráfico são dados abaixo. Encontre a equação da reta tangente á curva no ponto 
(0, ½). 
 
43) A curva abaixo é conhecida como bruxa de Agnesi. Seu gráfico e sua expressão estão representados 
abaixo. Encontre a equação da reta tangente ao ponto (2, 1). 
 
 
44) A técnica de completar quadrados torna-se muito útil quando se deseja, de imediato, saber as 
coordenadas do vértice de uma parábola. É, também, utilizada como um dos métodos de 
integração. A forma canônica conhecida é : f(x) = a(x - xv )² - yv , onde xv e yv são as coordenadas do 
vértice. Portanto, aplicando a técnica de completar quadrados, determine as coordenadas da 
parábola: f(x) = x² - 2x + 1 
 
xv = 1 e yv = 1 
 
xv = - 1 e yv = 1 
 
xv = - 1 e yv = - 1 
 
xv = 1 e yv = 0 
 
xv = 1 e yv = - 2 
 
45) Considere a funçãof(x)=x3+4⋅x2-5. Encontre a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto 
de abcissa x=-1. 
 
 5y+2x+9=0 
 y+5x+7=0 
 5y-x+1=0 
 y+5x-3=0 
 5y-x+9=0 
 
46) Encontre a integral indefinida de ∫ 𝑠𝑒𝑛2(𝑥). cos(𝑥) 𝑑𝑥 
 
𝒔𝒆𝒏³(𝒙)
𝟑
+ 𝑪 
 
𝑐𝑜𝑠³(𝑥)
3
+ 𝐶 
 
𝑡𝑔³(𝑥)
3
+ 𝐶 
 
𝑠𝑒𝑐³(𝑥)
3
+ 𝐶 
 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐³(𝑥)
3
+ 𝐶 
 
47) Considere a função f(x)=x² cujo gráfico está abaixo. Determine a equação da reta tangente ao gráfico 
de f , no ponto P(2, 4). 
 
 
y=4x-4 
 
y=4x 
 
y=-4 
 
y=-4x+4 
 
y=4x+4 
 
48) Considere um triângulo T cujos lados são o eixo dos x, a reta x=1 e a reta r tangente ao gráfico de y= x² 
no ponto de abscissa x=a. 
Determine a de forma que o triângulo T tenha a maior área possível. 
 a=2 
 a=4 
 a=1 
 a=12 
 a=13 
 
49) A derivada do produto de duas funções pode ser calculada pela fórmula: (UV)' = UV' + U'V. 
Sejam U = sec(2x) e V = tg(3x). Calcule a derivada do produto dessas duas funções. 
 
sec(2x)tg(3x) + tg(2x)sec(3x) 
 
2sec(2x)tg(2x)tg(3x) + 3sec(2x)sec²(3x) 
 
2sec(3x)tg(3x)tg(2x) + 3sec(3x)tg²(2x) 
 
3sec(3x)tg²(2x) + tg(2x)sec(3x) 
 
2sec(3x)tg(3x)tg(2x) + tg(2x)sec(3x) 
 
50) Considere a função 𝑓(𝑥) = √𝑥. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f , representado 
abaixo, no ponto P( 4,2). 
 
 
y=(14)x+1 
 
y=x+(14) 
 
y=(14)x 
 
y=(14)x+7 
 
y=4x+(12) 
 
51) A equação horária de um móvel é y = t3 + 2t, onde a altura y é dada em metros e o tempo t é dado em 
segundos. A equação da velocidade deste móvel será: 
 
 
v(t)=3t2+2 
 
v(t)=3t+2 
 
v(t)=3 
 
v(t)=t2+2 
 
v(t)=2t2+3 
 
52) A técnica de completar quadrados torna-se muito útil quando se deseja, de imediato, saber as 
coordenadas do vértice de uma parábola. É, também, utilizada como um dos métodos de 
integração. A forma canônica conhecida é : f(x) = a(x - xv )² - yv , onde xv e yv são as coordenadas do 
vértice. Portanto, aplicando a técnica de completar quadrados, determine as coordenadas da 
parábola: f(x) = 2x - x². 
 
xv = -1 e yv = -1 
 
xv = 2 e yv = - 2 
 
xv = 1 e yv = 1 
 
xv = 2 e yv = - 3 
 
xv = - 3 e yv = - 2 
 
53) Seja f(x) = ex.sen(2x). Calcule a derivada de f(x) no ponto onde x = 0. 
 
0 
 
- 1 
 
2 
 
- 2 
 
1 
 
54) Na indústria automobilística, observou-se que a procura de uma determinada marca é de 
(510000+4⋅p2)unidades, desde que ela seja vendida a um preço de p milhares de reais por unidade. 
Que preço maximiza o rendimento desse automóvel ? 
 
20.000 reais 
 
 30.000 reais 
 
 40.000 reais 
 
 50.000 reais 
 
10.000 reais 
 
55) Um problema típico do Cálculo é a determinação da equação da reta tangente a uma função dada. 
Assim, determine a equação da retatangente à função y = x2 + 1, no ponto onde x = 1. 
 
y = 2x + 5 
 
y = x + 1 
 
y = 2x - 3 
 
y = 2x 
 
y = x - 3 
 
56) Supondo que uma função f tenha derivada contínua para a≤x≤b então o comprimento da parte do 
gráfico y=f(x) para a≤x≤b é ∫ab1+[f'(x)]2dx 
Calcule o comprimento do gráfico de y=2⋅(x2+13)32 de x=1 até x=2. 
 7 
 10 
 13 
 14 
 
15 
 
57) Considere as funções f(x) = lnx/ex e g(x) = ( ln x )3. Calcule a derivada da soma f(x) + g(x) no ponto x = 
1. 
 
 1 
 
 4/e 
 
1/e 
 
 e 
 
 0 
 
 
58) Buscar um sonho exige muito trabalho: mental, emocional e físico. Por vezes não é o que se deseja 
fazer, mas para alcançar sonhos precisa-se fazer muitas coisas que não se tem vontade de fazer. 
Assim num programa de televisão " Em busca de um sonho " um candidato à aquisição de sua casa 
própria chegou a última etapa na qual deveria responder a questão: 
"Sua casa terá um jardim em forma de um triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa igual à 4m. 
Calcule o valor máximo que pode alcançar a soma do triplo de um cateto com o outro cateto." 
 O candidato conseguiu alcançar o seu sonho, porque encontrou o valor ... 
 
 
 105 
 
210 
 
 5 
 
3⋅105 
 
2⋅105 
 
59) Determine a área, em função de a, de um triângulo T cujos lados são o eixo dos x , a reta x=1 e a reta r 
tangente ao gráfico de 𝑦 = 𝑥² no ponto de abcissa x=a. 
 
 a3+a2+a4 
 
a34 + a2 + a 
 
4⋅a - a32 
 
4 -2⋅a -2⋅a2+a32 
 
 
a34-a2- a2 
 
60) Qual a área da região delimitada pelas funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3 - x2? 
 
4/3 
 
1/3 
 
10/3 
 
8/3 
 
8 
 
61) Aplicando os conceitos da primeira e segunda derivadas. Qual o gráfico da função definida em R por 
f(x) = x3 - 3x? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62) Um corpo é lançado verticalmente para cima, com velocidade de 40m/s, num local em que g = 10 
m/s2, tem posição s em função do tempo t dada pela função horária s(t) = 40t - 5t2 com t pertencente 
ao intervalo [0, 8]. Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima em relação ao solo? 
 
5 seg 
 
2 seg 
 
8 seg 
 
3 seg 
 
4 seg 
 
63) Considere a função f(x)=x+lnx definida no domínio D = {x∈R|x>0}. Seja g a função inversa de f. 
Utilizando a Regra da Cadeia, encontre g'(x) 
 
 g'(x)=g(x)/(g(x)-1) 
 
 g'(x)=(g(x)+1)/g(x) 
 
 g'(x)=1/g(x) 
 
 g'(x)=g(x)/(g(x)+1) 
 
 g'(x)=x.g(x)/(1+x) 
 
64) Sabendo-se que a variável y é uma função da variável x, considere a função implícita de x descrita pela 
expressão a seguir 
x3+y3=6⋅x⋅y 
Pode-se então afirmar que o valor da derivada de y em relação a x é dada por 
 
y'(x)=x2-2⋅y2⋅x-y2 
 
y'(x)=x2-2⋅y-2⋅x +y2 
 
y'(x)=x2 + 2⋅y2⋅x-y2 
 
y'(x)=2x2-2⋅y2⋅x-y2 
 
y'(x)=x2-2⋅y2⋅x-2y2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere f a função definida pelo gráfico abaixo. 
 Encontre o valor de a+b+c+d sabendo que as retas 
 r: y = ax + b e s : y = cx + d são paralelas e tangentes ao gráfico de f e que f'(1) = 1/2 
(Lembrete: a e c : coeficientes angulares 
 b e d : coeficientes lineares das retas r e s, respectivamente). 
 
 
1 
 
2 
 
3 
 
-3 
 
-2 
 
Para resolver uma integral pelo método de integração por partes deve-se aplicar a fórmula a seguir 
∫f.g'=f.g-∫g.f' 
Considerando que ∫g.f' deve ser mais simples que ∫f.g', pode-se afirmar que a melhor forma de aplicar o 
método para calcular 
∫x2.ln(x)dx 
é considerar 
 
f = x2 e g' = ln(x) 
 
f = x e g ' = x. ln(x) 
 
f = x2 . ln (x) e g ' = 1 
 
f = ln (x) e g ' = x2 
 
f = 1 e g' = x2. ln(x) 
 
Seja m um número positivo. Considere a integral definida dada a seguir 
∫1mxdx=32 
Pode-se afirmar que o valor da integral está correto se m for igual a: 
 
1 
 
4 
 
1/2 
 
3 
 
2 
 
Sabe-se que o custo marginal é dado aproximadamente pela taxa de variação da função custo total em um 
ponto apropriado. Dessa forma, define-se a função custo marginal como sendo a derivada da função custo 
total correspondente. Em outras palavras, se C é a função custo total, então a função custo marginal é 
definida como sendo sua derivada C´. Uma companhia estima que o custo total diário para produzir 
calculadoras é dado por C(x)=0,0001x3-0,08x2+40x+5000 , onde x é igual ao número de calculadoras 
produzidas. Determine a função custo marginal. 
 
C´(x)=0,0003x2-0,16x+40 
 
C´(x)=0,0003x2-0,16x 
 
C´(x)=0,0003x2-0,16x+5040 
 
C´(x)=0,0003x-0,16 
 
C´(x)=0,0003x3-0,16x2+40x 
 
Dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f(x) 
por uma pequena variação de x. Assim, se C(q) é o custo de produção de q unidades de um certo produto, 
então o Custo Marginal, quando q =q1, é dada por C´(q1), caso exista. A função C´ é chamada Função Custo 
Marginal e freqüentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade adicional. 
Considerando que a função custo de determinada mercadoria é expressa por C(x)=5x2+10x+3, podemos 
afirmar que a função custo marginal será expressa por: 
 
C´(x)= 10x+10 
 
C´(x)= 5x 
 
C´(x)=5x+10 
 
C´(x)=10x+3 
 
C´(x)=10x 
 
Uma noção intuitiva para determinar o que é comprimento de uma curva seria o de colocar um barbante 
sobre a curva e medir então o comprimento do barbante. Se f´ for continua em [a,b], então o comprimento da 
curva y=f(x),a≤x≤b é L=∫ab1+[f´(x)]2dx. Calcule o comprimento da curva y=2-3x,-2≤x≤1 
 
 
 
310 
 
 10 
 
 210 
 
3210 
 
2310 
 
Calcule a área da região do plano limitada pelos gráficos das funções : 
 y=x ; y=2 e y=1x. 
 
 
72-2⋅2 
 
 3524 
 
 1 
 
 2 
 
 2 
 
Seja f(x)= lnxx. 
 Determine as equações: 
 da reta r tangente ao gráfico de f em x = e 
 da reta s normal ao gráfico de f em x = 1 
 
 r: y=e 
 s: y=1 -x 
 
 
 
 
 r: y=1e 
 s: y=1 +x 
 
 r: y=e 
 s: y=1-x 
 
 
 
r: y=1e 
s: y=1 -x 
 
 r: y=e 
s: y=1x 
 
Considere duas funções f e g tais que g(x) = f(x2-3⋅x+2) Sabendo-se que a equação da reta tangente ao 
gráfico de f em x = 2 é y=3x - 2 ,determine a equação da reta r, tangente ao gráfico de g em x = 0. 
 
y=4 -9x 
 
y=2x+1 
 
 
 y=3x -6 
 
 
 
 y=4+3x 
 
 
 y=6+4x 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem n: 
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] 
Denomina-se Wronskiano o determinante dessa matriz quadrada formada pelas funções na primeira 
linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-ésima 
derivadas das funções na n-ésima linha.O nome desse determinante deve-se ao matemático polonês Josef 
Wronski e é especialmente aplicado no estudo de equações diferenciais. 
Sejam as funções: f(x)= e2⋅x ; 
 g(x)=senx e 
 h(x)= x2+3⋅x+1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h) em x= 0. 
 
 1 
 
 -1 
 
 2 
 
-2 
 
 7 
 
Qual o valor da integral indefinida da função e5x ? 
 
e + C 
 
(1/5).e5x + C 
 
x +C 
 
e5x + C 
 
ex + C 
 
Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função f (x) = x3 -3x2 + 1 para x pertencente ao intervalo 
fechado [-1/2, 4] 
 
máximo absoluto é f(5) = 17 e valor mínimo absoluto f(3) = -5 
 
máximo absoluto é f(1) = 20 e valor mínimo absoluto f(3) = -3 
 
máximo absoluto é f(4) = 17 e valor mínimo absoluto f(2) = -3 
 
máximo absoluto é f(2) = 17 e valor mínimo absoluto f(1) = -3 
 
máximo absoluto é f(4) = 20 e valor mínimo absoluto f(2) = -1 
 
Encontre os números críticos de f(x) = x3/5(4-x). 
 
3/2 
 
0 
 
1 e 4 
 
0 e 4 
 
3/2 e 0 
 
 
A função x3 + y3 = 6xy é conhecida como fólio de Descartes. Encontre a equação da reta tangente à função no 
ponto (3, 3). 
 
x + y = 6 
 
x - y = 6 
 
2x + y = 7 
 
2x + y = 6 
 
-x + 2y = 6 
 
A posição de uma partícula é dada pela equação s(t) = t3 - 6t2 + 9t. Encontre a distância total percorrida pela 
partícula durante os primeiros cinco segundos. 
 
25 m 
 
40 m 
 
20 m 
 
28 m 
 
35 m 
 
Considere as afirmativas abaixo sendo f uma função derivável e x=c um ponto interior ao domínio de f . 
(i) Se f'(c) = 0 ou f'(c) não existe então f possui um ponto crítico quando x=c 
(ii) Se f'(c) = 0 e f''(c)<0 então f possui um mínimo local quando x=c e Se f'(c) = 
0 e f''(c)>0 então f possui um máximo local quando x=c 
(iii) Se f'(c) = 0 e f''(c)>0 então f possui um mínimo local quando x=c e Se f'(c) = 
0 e f''(c)<0 então f possui um máximo local quando x=c 
(iv) Se f'(c) = 0 e f''(c)= 0 nada se conclui a priori 
 
(i), (iii) e (iv) são verdadeiras; (ii) é falsa. 
 
(i), (ii) e (iv) são verdadeiras; (iii) é falsa. 
 
(i) e (iv) são verdadeiras; (ii) e (iii) são falsas. 
 
(i) é verdadeira; (ii) , (iii) e (iv) são falsas. 
 
(i) e (iii) são verdadeiras; (ii) e (iv) são falsas. 
 
Considere a integral I = ∫03dxx-1 e as afirmativas abaixo: 
(i) I é uma integral imprópria divergente 
(ii) I é uma integral imprópria convergente para L= ln2 
(iii) I é uma integral definida, sendo I = ln2 
 
(i) é verdadeira, (ii) e (iii) são falsas 
 
(i) é falsa, (ii) e (iii) são verdadeiras 
 
(iii) é verdadeira, (i) e (ii) são falsas 
 
(i) e (iii) são verdadeiras, (ii) é falsa. 
 
(ii) é verdadeira, (i) e (iii) são falsas 
 
Um psiculturista tem 120m de rede para cercar um criadouro de peixes em cativeiro de base retangular que 
está na margem de um rio reto, com 100m de largura . A margem será um dos lados do criadouro, não sendo 
necessário colocar rede ao longo desta margem e pretende-se que o criadouro tenha a maior área possível. 
Marque a alternativa com as dimensões da base retangular do criadouro que satisfaz a condição acima. 
 
30mx60m, sendo utilizados 30m da margem do rio como um lados do criadouro. 
 
30mx60m, sendo utilizados 60m da margem do rio como um lados do criadouro. 
 
30mx60m, não importando a metragem da margem do rio usada como um lados do criadouro. 
 
20mx50m, não importando a metragem da margem do rio usada como um lados do criadouro. 
 
35mx50m, sendo utilizados 50m da margem do rio como um lados do criadouro. 
 
Pergunta 
 
 
-cossec(x) + C 
 
-cossec(x) 
 
cos(x) + C 
 
sen(x) + C 
 
-cotg(x) + C 
 
Pergunta 
 
 
1 
 
0 
 
-1/2 
 
(-3.41/3-3)/4 
 
x+1 
 
A integral indefinida ∫ 8xdx9+4x2 tem sua solução através da utilização de uma sustituição para reduzí-la à 
forma padrão. 
Marque a opção correspondente à forma padrão (fórmula) utilizada na resolução desta integral 
 
∫ un du = un+1n+1 + C 
 
∫ dua2+u2 = arc senh (ua) + C 
 
∫ dua2 -u2 = arc sen (ua) + C 
 
∫duu = un+1n+1 + C 
 
∫ dua2+u2 = 1aarc tg (ua) + C 
 
 A integral indefinida ∫
𝑑𝑥
𝑥 cos(ln𝑥)
 tem sua solução através da utilização de uma substituição para reduzí-la à 
forma padrão. 
Marque a opção correspondente à forma padrão (fórmula) utilizada na resolução 
 
∫secu du=ln|secu+tg u|+C 
 
∫cosu du=senu + C 
 
∫duu =ln|u|+C 
 ∫𝑢𝑛𝑑𝑢 =
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 
 
∫ cosec u du= -ln|cosec u+cotg u|+C 
 
 
A reta 8x - y + 3 = 0 é paralela a reta (r) tangente ao gráfico da curva y = 2x2 + 3. Podemos, então, afirmar que a 
equação da reta (r) é dada por: 
 
 
 
y= 8x 
 
y = 8x + 1 
 
y = -8x + 1 
 
y = 8x - 5 
 
y = 8x + 5 
 
O coeficiente angular da reta tangente à curva y = x1-x no ponto ( 0, 0) é dado por 
 
m = y2-y1x2-x1 , sendo ( x1 , y1 ) = ( 0 , 0 ) e ( x2 , y2 ) = ( 2 , -2 ) 
 
f'(0)= 1 
 
f'(0)= 0 
 
m = -2 
 
f'(0)= -1 
 
Em trabalhos científicos, as informações numéricas são resumidas calculando-se algum tipo de média ou valor 
médio dos dados observados. A mais comum é a Média Aritmética de um número finito de dados, porém, este 
conceito pode ser ampliado para calcular a de todos os valores de f(x quando x varia em um intervalo [ a , b 
] pelo Teorema do Valor Médio para Integrais: 
Se f for contínua em [ a , b ] , então o valor médio de f em [ a , b ]é definido por fm = 1b-a∫abf(x)dx 
Desse modo, se a distribuição da temperatura T de um objeto, exposto a uma fonte calor durante o período 
de tempo t, foi aproximada pela função f(x)=x sendo 1≤t≤4, então o instante t em que o objeto atinge a 
temperatura média no intervalo de tempo dado é: 
 
t=149 
 
t=19681 
 
t=169 
 
t=9 
 
t=2,5 
 
Escreva a equação da reta tangente à parábola y = x2 - x no ponto P(2, 2) 
 
y = 3x - 4 
 
y = 3x + 4 
 
y = -3x - 4 
 
y = -3x + 4 
 
y = 2x - 4 
 
Determinando a derivada da função f(x)=x2senx3, obtemos: 
 
2xsenx3+3x4cosx3 
 
2xcosx3 
 
6x3cosx3 
 
2xsenx3cosx3 
 
2x cos3x2 
 
A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido 
resultante. 
 
2/15 
 
1/15 
 
2Pi/15 
 
Pi/15 
 
15 
 
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x3, y = 8 e x = 0 ao redor do eixo y. 
 
96Pi/5 
 
10Pi/5 
 
2Pi/5 
 
Pi/5 
 
1/5 
 
Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma taxa de 100 cm3/seg. 
Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 cm? 
 
25 Pi cm/seg 
 
(25Pi)-1 cm/seg 
 
10 Pi cm/seg 
 
- 30 Pi cm/seg 
 
Pi cm/seg 
 
Encontre a derivada da função f(x) = x1/2, utilizando o conceito de limite. 
 
x 
 
(1/2)x-1/2 
 
1/2 
 
1/2x1/2 
 
0 
 
Encontre dy/dx para sen(y/x) 
 
cos(y/x)[(dy.x/dx)-y] 
 
 
 
dy/dx + sen(x) 
 
cos(x)-sen(x/2) 
 
dy/dx +sen(cos(x)) 
 
Um fabricante de móveis em madeira produz pés de apoio para móveis a partir de blocos de madeira que 
serão torneados por uma serra de fita que segue o traçado de uma curva determinada por y = x , de 
x=1 até x=4 . 
Os pés de apoio são obtidos quando a região sob a curva é girada em torno do eixo x. Encontre o 
volume V de cada pé de apoio produzido por este método. 
 
V = 15 π2 u.v. 
 
V = 15 u.v. 
 
V = 3 π2 u.v. 
 
V = 2π u.v. 
 
V = 152 u.v. 
 
Considere f uma função contínua em [a , b] e diferenciável em (a , b) . 
Se f'' (x) > 0 para todo x em (a , b) então 
 
 
f é crescente em [a , b] 
 
f é decrescente em [a , b] 
 
f é constante em [a , b] 
 
f é crescente em (a , b), nadapodendo-se afirmar sobre o comportamento da função nos 
extremos x=a e x=b 
 
f é decrescente em (a , b), nada podendo-se afirmar sobre o comportamento da função nos 
extremos x=a e x=b 
 
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece duas relações básicas entre as integrais definida e indefinida, 
através da diferenciação e integração. 
Uma parte deste teorema tem como interpretação geométrica o cálculo de áreas, enquanto a outra parte 
fornece um método para o cáculo de integrais definidas diretamente a partir de primitivas. Esta segunda parte 
pode ser enunciada na forma: 
Se f for contínua em [a , b] e se F for uma primitiva de f em [a , b] , então 
 
 ∫ f(x)dx=F(x)+C 
 
∫ab f(x)dx=F(a)-F(b) 
 
 ∫ab f(x)dx=F(b)-F(a) 
 
∫abf(x)dx=∫acf(x)dx + ∫cbf(x)dx sendo c um ponto interior de [a , b] 
 
∫abf(x)dx= f(c)(b - a) sendo c um ponto interior de [a , b] 
 
Um tanque com tampa em forma de cilindro tem um volume de 250 m3 . Se o raio da base do cilindro é r 
,pergunta-se qual é a altura h desse tanque para que seja mínima sua área total . 
(Lembrete: Volume do cilindro V = π.r2.h 
 Área total = 2π.r2+2πr.h) 
 
h = 10π 
 
h = 5π3 
 
h = 5π3 
 
h = 10π3 
 
h =5π 
 
Um ponto de tangente horizontal ao gráfico de y = f(x) é tal que a derivada de f em relação a x é igual a zero, 
isto é, f '(x) = 0. Considerando a função 
y=x+1x 
é possível afirmar que 
 
 O único ponto de tangente horizontal ao gráfico da função possui coordenadas iguais a (1, 2). 
 
O único ponto de tangente horizontal ao gráfico da função possui coordenadas iguais a (-1, -2). 
 
Os pontos de tangente horizontal ao gráfico da função possuem coordenadas iguais a (1, 2) e (-1, -2). 
 
Existem três pontos de tangente horizontal ao gráfico da função. 
 
O gráfico da função não possui pontos de tangente horizontal 
 
Sabendo que f é uma função definida pelo gráfico abaixo tal que f' (-2) = 3/5 e f (3) = 8/5 e r é uma reta 
tangente ao gráfico de f em x = -2 e x = 3, determine f' (3)/f (-2) 
 
 
 7/3 
 
 -3/7 
 
3/5 
 
 -3/5 
 
 1 
 
Escreva a equação para reta tangente à parábola y = x2- x, no ponto P(2, 2). 
 
3x - 4 
 
- 3x - 4 
 
- 3x + 4 
 
3x + 4 
 
3x 
 
Sejam u e v funções da variável x. Considere as seguintes regras de derivação: 
[uv]'=v.u'-u.v'v2 e [e u ]' = e u . u' 
Seja a função 
y=ex / (1 + e x ). 
 Utilizando as regras estabelecidas pode-se afirmar que a derivada de y em relação a variável x no ponto x = 0 é 
igual a 
 
y'(0) = 1 
 
y'(0) = 1/2 
 
y'(0) = 1/4 
 
y'(0) = 0 
 
y'(0) = 2/3 
 
Você faz parte da equipe de planejamento de vendas. Suponha que a receita de venda de uma mercadoria seja 
dada por meio de uma função r(t) = -t2/100 + 8t + 200, na qual t é o tempo medido em meses. Quanto se 
arrecadou após 2 anos? 
 
R$ 50.257,92 
 
R$ 40.257,92 
 
R$ 30.257,92 
 
R$ 70.257,92 
 
R$ 60.257,92 
 
Calcule a derivada da função f(x) = 5x10 - 3x8 + x4. 
 
f(x)=50x-24x7 + 4x3 
 
f(x)=50x9 - 24x7 + 4x3 
 
f(x)=50x9 - 24x7 + 4x 
 
f(x)=50x9 - 24x6 + 4x3 
 
f(x)=9x9 - 7x7 + 4x3 
 
Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma tela de 16 metros de 
comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como fundo de galinheiro, determine as dimensões 
do mesmo para que sua área seja máxima. 
 
x = 3 m e y = 10 m 
 
x = 2 m e y = 12 m 
 
x = 5 m e y = 6 m 
 
x = 4 m e y = 8 m 
 
x = 1 m e y = 14 m 
 
Considere a função f cujo gráfico é dado na figura abaixo. 
Sabendo que as retas r e s são tangentes ao gráfico da função f nos pontos 
 x = -3 e x=1 respectivamente, e que f' (-3) = - 3/2. Determine a equação da reta s 
 
 
y = 4 x - 4 
 
y = 4,5 x + 4,5 
 
y = 1,5 x - 4 
 
y = - 1,5 x - 4 
 
y = 4,5 x - 4 
 
Encontre a área limitada pela reta y = x - 1 e a curva y2 = 2x + 6 
 
18 
 
10 
 
5 
 
23 
 
21 
 
Qual a área sob a curva f(x) = sen x para o intervalo fechado [-Pi; Pi]? 
 
0 
 
2 
 
4 
 
-2 
 
sen(2) 
 
Sabendo-se que f é uma função da variável x e que ln( f ) representa o logaritmo na base natural da função f, 
considere a seguinte regra de derivação: 
 
[ ln(f )]' = ( f '/ f ) 
Observando a regra estabelecida podemos afirmar que a derivada da função y = ln (x3 + x) em relação a 
variável x no ponto x =1 é igual a 
 
y'(1)= 1 
 
y'(1) = 2 
 
y'(1) = 0 
 
y'(1) = - 2 
 
y'(2) = ln 2 
 
Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da outra seja máximo. 
 
60 e 60 
 
50 e 70 
 
80 e 40 
 
100 e 20 
 
30 e 90 
 
Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo. 
 
12 e 8 
 
10 e 10 
 
15 e 5 
 
11 e 9 
 
16 e 4 
 
Sejam f e g funções da variável x. Considere as seguintes regras de derivação: 
 (fg)'=g.f'-f.g'g2 e (fn)'=n.fn-1.f' 
Utilizando as regras de derivação dadas podemos afirmar que a derivada em relação a x da função 
y=[x1+ x2 ]5/3 
 calculada no ponto x = 1 é dada por 
 
y'(1) = 0 
 
y'(1) = 1 
 
y'(1) = 5/3 
 
y'(1) = -1 
 
y'(1) = 1/3