Exercícios de integrais

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Lista de Exercicios – Integrais 
 
Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição: 
Exercício Resposta 
a) ∫ − dx)2x3( 3 
 
 
b) ∫ − dx 2x3 
 
c) dx
x
 
23
1
∫
−
 
 
d) dx
x∫ −
 )23(
1
2 
e) ∫ ⋅ dx sen x 2x 
 
 
f) dxx∫ ⋅
2xe 
 
 
g) dxx∫ ⋅
3x2 e 
 
 
h) ∫ dxx 5sen 
 
 
i) dxxx∫ ⋅ 43 cos 
 
 
 
j) ∫ dxx 6cos 
 
 
 
k) dxxsenx cos3 ⋅∫ 
 
 
 
l) ∫ ⋅ dxxxsen cos5 
m) dx
x
 
3
2
∫ +
 
n) dx
x
 
34
5
∫ +
 
o) dx
x
x
 
41 2∫ +
 
 
p) dx
x
x
∫ +
 
65
3
2 
 
q) dx
x
x
 )41( 22∫ + 
 
r) dxxx 31 2∫ +⋅ 
 
s) ∫ +⋅ dxee xx 1 
a) k
12
)2x3( 4
+
−
 
b) k)2x3(
9
2 3 +− 
c) k2x3ln
3
1
+− 
d) k)2x3(3
1
+
−
− 
e) kxcos
2
1 2 +− 
f) ke
2
1 2x + 
g) ke
3
1 3x + 
h) kx5cos
5
1
+− 
i) kxsen
4
1 4 + 
j) kx6sen
6
1
+ 
 
 
k) kxcos
4
1 4 +− 
 
 
l) kxsen
6
1 6 + 
 
m) k3xln2 ++ 
 
n) k3x4ln
4
5
++ 
o) k)x41ln(
8
1 2 ++ 
p) k)x65ln(
4
1 2 ++ 
q) k
x
+
+
− )41(8
1
2 
r) k)x31(
9
1 32 ++ 
 
s) ke x ++ 3)1(
3
2
 
t) ∫
−
dx)1x(
1
3 
 
u) dx
x
x
 
cos
sen
2∫ 
 
 
v) ∫ ⋅ dx e 
2
-xx 
t) k)1x(2
1
2 +
−
− 
u) k
xcos
1
+ 
v) ke
2
1 2x +− − 
 
 
Sabemos que: 
• [ sen x ] ’ = cos x 
• [ cos x ] ’ = - sen x 
• [ tg x ] ’ = sec2 x 
• [ cotg x] ’ = - cossec2 x 
• [ sec x ] ’ = sec x . tg x 
• [ cossec x ] ’ = - cossec x . tg x 
 
Assim, 
• ∫ +−= kxdxx cos sen 
• ∫ += kxdxx sen cos 
• ∫ += kxtgdxx sec
2
 
• ∫ +−= kxgdxx cot seccos
2
 
• ∫ +=⋅ kxdx sec x tg x sec 
• ∫ +−=⋅ kxdxx seccos x cotg seccos 
 
 
Mostre, utilizando derivadas, que ∫ +−= kxdx | cos|ln x tg 
(caso i) cos x > 0 
[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (cos x) + k] ’ = xtg
x
x
x
 
cos
sen
cos
(-sen x)
==− 
(caso ii) cos < 0 
[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (- cos x) + k] ’ = xtg
xx
 
cos
sen x
cos
sen x
==
−
− 
∴ ∫ +−= kxdx | cos|ln x tg 
 
Nota de revisão: 



<−
≥
=
0 xse ,
0 xse , 
 ||
x
x
x , logo: | x | = x se x ≥ 0 e | x | = - x se x < 0 
 
• Mostre, utilizando derivadas, que ∫ ++= kxdx | tg x sec|ln x sec 
(caso i) sec x + tg x > 0 
[ ln | sec x + tg x | + k]’ = [ ln (sec x + tg x) + k]’ = 
 x tg x sec
sec x tg x sec 2
+
+⋅ x
 = 
x
x
 sec xtg
) sec x tg( x sec
+
+
 = sec x 
(caso ii) sec x + tg x < 0 
[ln | sec x + tg x | + k]’=[ ln (- (sec x + tg x)) + k]’ =
 x) tg x (sec-
sec x tg x sec- 2
+
−⋅ x
 = 
x
x
 sec xtg
) sec x tg( x sec
+
+
= sec x 
∴ ∫ ++= kxdx | tg x sec|ln x sec 
 
• ∫ ∫ +−== kxxdxdx tg 1)- x(sec x tg 22 
Nota de revisão: 
sen 2 x + cos 2 x = 1 e 1 + tg 2 x = sec 2 x , pois: 
x
xx
xx
x
x 2
22
22
2
2
sec
cos
1
cos
sencos
cos
sen1 ==+=+ 
 
• ∫ ∫ ++=++=





+= kkdxdxos 
4
2xsen 
2
x
 
2
2xsen 
.
2
1
x
2
1
 2x cos
2
1
2
1
 x c 2 
Nota de revisão: 
cos 2x = cos (x + x) = cos x . cos x - sen x . sen x = cos2 x - sen2 x = cos2 x - (1 - cos2 x) 
= 2 cos2 x - 1, logo cos 2x = 2 cos2 x - 1 ⇒ cos2 x = x2cos
2
1
2
1
+ 
 
• ∫ ∫ +−=+





+== kkdxcdx 
4
2xsen 
2
x
 
4
2xsen 
2
x
- x x)os-(1 x sen 22 
 
• ∫ =+ dxxx )cos(sen 2 ... = k
x
x +−
2
2cos
 (Sugestão: θθθ cos22 ⋅⋅= sensen ) 
 
• ∫ =+ dxxx )cos(sen 2 ... = kxx +− 2cos 
 
• ∫ =+ dxxx )cos(sen 2 ... = kxsenx ++ 2 
 
• ∫ =dxx
x
 
2cos
4sen
... = - cos 2x + k (Sugestão: θθθ cos22 ⋅⋅= sensen ) 
 
• ∫ =+⋅ dxxxsen )cos1( 2 ... = k
x
+
+
−
3
)cos1( 3
 
 
• dx
xgx
 
 cot cos
1
∫
⋅
= dx
xgx
 
 cot 
1
cos
1
∫ 





⋅ = ( )dxtgxx sec∫ ⋅ = sec x + k 
 
Nota de revisão: 
x
x
cos
1
sec = ;
x
x
sen
1
seccos = ;
x
x
xtg
cos
sen
 = ;
xtg
xg
 
1
 cot = 
 
• Mostre, utilizando mudança de variável, que ∫ +−= kxdx | cos|ln x tg 
Solução: 
k | xcos|ln- k |u|-lndu 1
1-
du
 
1dx 
cos
1dx 
cos
dx 
*
+=+=−==⋅== ∫∫∫∫∫ uu
senx
xx
senx
xtg 
* u = cos x ⇒ x
dx
du
sen−= ⇒ dxxdu sen
1
=
−
 
 
• Mostre, utilizando mudança de variável, que ∫ += kxdx | sen|ln x cotg 
Solução: 
k |sen x|ln k |u|lndu 1du 1dx cos1dx cosdx cot * +=+===⋅== ∫∫∫∫∫ uuxsenxsenx
x
xg 
* u = sen x ⇒ x
dx
du
cos= ⇒ dxxdu cos= 
 
• kxsdxx +==⋅∫ 2
)(en 
... )(x cos
2
2
 
 
• kxdx
x
x
+==∫ sen2... 
cos
 (Dica: 
xdx
du
xu
2
1
=⇒= ) 
 
• kxdx +−==⋅∫ 20
5cos
... 5x)sen 5x (cos
4
3
 (Dica: x
dx
du
xu 5sen55cos −=⇒= ) 
 
 
 
 
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Suponhamos f e g funções definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I. Temos, 
pela regra do produto: 
 
[ f(x).g(x)] ' = f ' (x).g(x) + f(x).g ' (x) 
ou 
 
f(x).g ' (x) = [ f(x).g(x)] ' – f ' (x).g(x) 
 
Supondo, então, que f ' (x).g(x) admita primitiva em I e observando que f(x).g(x) é uma 
primitiva de [f(x).g(x)] ' , então f(x).g ' (x) também admitirá primitiva em I e 
 
∫∫ ⋅⋅=⋅ dx )()('- g(x)f(x) dx )(')( xgxfxgxf (1) 
 
 
que é a regra de integração por partes. 
 
Fazendo u = f(x) e v = g(x), teremos du = f ' (x) dx e dv = g ' (x) dx, o que nos permite 
escrever a regra (1) na seguinte forma usual: 
 
∫∫ ⋅⋅=⋅ - vu duvdvu 
 
Suponha, agora, que se tenha que calcular ∫ ⋅ dxxx )()( βα . Se você perceber que, 
multiplicando a derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, 
chega-se a uma função que possui primitiva imediata, então aplique a regra de 
integração por partes. 
 
 
Exemplos: Calcule as seguintes integrais: 
 
∫ ⋅ dx x cosx = ... = kxxx ++ cossen. 
 
 
∫ ⋅ dx x senx = ... = kxxx ++− sencos. 
 
 
∫ ⋅ dx x cos
2x = ...= kxxxxx +−+ sen2cos.2sen.2 
 
 
∫ ⋅ dx x senx
2
= ...= kxxxxx +++− cos2sen.2cos.2 
 
 
∫ ⋅ dx x cos
xe = ... = kxxe
x
++ )cos(sen
2
 
 
 
∫ ⋅ dx x sen
xe = ... = kxxe
x
+− )cos(sen
2
 
 
Sabendo que ∫ += kxdxx
 ||ln 1 , mostre que: ∫ dxln x = x. (ln x – 1) + k 
Resposta: fazendo: f = ln x e g ’ = 1 ⇒ ∫ dxln x = kxx +−⋅ )1(ln 
 
Sabendo que: ∫ +=+
karcdx
x
 x tg 
1
1
2 , mostre que: 
∫ dx x tgarc = =++−⋅=++−⋅ kxxkxx
22 1ln x tgarc )1ln(
2
1
 x tgarc 
 
Sabendo que: ∫ +=
−
karcdx
x
sen x 
1
1
2
, mostre que: 
∫ dxsen x arc = x
.arc sen x + 21 x− + k 
 
 
∫ dx x cos
2
 = ... = kxx ++
4
2sen
2
 
 
 
∫ dx x sen
2
 = ... = kxx +−
4
2sen
2
 
 
 
Sabendo que ∫ ++= ktgxdxx |sec|lnsec e xxtg 22 sec1 =+ mostre que 
k ] | x tg x sec|ln x tg x[sec
2
1
sec3 +++⋅=∫ x . 
 
Mostre, por integração por partes, que: kbxsenabxb
ba
edxbxsene
ax
ax ++−
+
=∫ ]cos[22 , 
com 0, ≠ba . 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Calcule as integrais indefinidas: 
a) dx e x∫ ⋅x Resposta: (x – 1) ex + k 
b) dx e x2∫ ⋅x Resposta: ex (x2 – 2x + 2) + k 
c) ∫ ⋅ dxln x x Resposta: fazendo u = ln x e dv = xdx => k2
1
xln
2
x2
+





− 
d) ∫ ⋅ dxln x 2x Resposta: fazendo: u = ln x e dv = x2dx ⇒ k3
1
xlnx
3
1 3 +





− 
e) ∫ ⋅ dx x sec 2x Resposta: fazendo: u = x e dv = sec 2 x dx ⇒ x tg x + ln| cos x | 
+ k 
f) ∫ ⋅ dx (ln x) 2x Resposta: k2
1
xln)x(ln
2
x 2
2
+





+− 
g) ∫ dx (ln x) 2 Resposta: x (ln x)2 – 2x (ln x – 1) + k 
h) dx .e 2x∫ x Resposta: k2
1
xe 
2
1 2x +





− 
i) dxsen x e -2x∫ ⋅ Resposta: k)xsen2x(cose 5
1 2x- ++− 
j) dx e 2x3∫ ⋅x Resposta: fazendo: u = x2 e dv dxex x
2
⋅= ⇒ ke )1x(
2
1 2x2 +− 
k) dx xcos 23∫ ⋅x Resposta: fazendo: u = x2 e dv = x.cos x2 dx ⇒
k)xcosxsenx(
2
1 222 ++ 
l) dx2x cos e -x∫ ⋅ Resposta: fazendo: u = e-x e dv = cos 2x dx ⇒ 
k)x2cosx2sen2(
5
e x
+−
−
 
m) ∫ ⋅ dxln x nx Resposta: knxn
x n
+





+
−
+
+
1
1ln
1
1
 ( 1−≠n ) 
 
2) Calcule as integrais definidas: Nota: resolva este exercício após a definição de 
integral definida. 
a) dxx 10 e x ⋅∫ Resposta: 1 
b) ∫ dx x ln 21 Resposta: 2 ln 2 – 1 
c) ∫ ⋅ dx x cose x20
pi
 Resposta: 






−1e
2
1 2
pi
 
d) ∫
2
1
0
dxsen x arc Resposta: 1
2
3
 
2
1
sen rc
2
1
−+a = 1
2
3
12
−+
pi
 
 
e) ∫ ⋅
t
dxxx
1
 ln Resposta: 
4
1
4
ln
2
22
+−
t
t
t
 
1) Mostre, por integração por partes, que: 
kbxsenabxb
ba
edxbxsene
ax
ax ++−
+
=∫ ]cos[22 , com 0, ≠ba . 
 
2) Mostre, por integração por partes, que: 
kbxsenbbxa
ba
edxbxe
ax
ax ++
+
=∫ ]cos[cos 22 , com 0, ≠ba .