Lista 3 - Espaços e subespaços vetoriais (Álgebra Linear)

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA - UFRPE
PROFESSOR: Adriano Regis Rodrigues
A´lgebra Vetorial e Linear para Computac¸a˜o
2013.2
Turmas: LC1 e BC3
Lista III - Espac¸os e subespac¸os vetoriais
1. Em cada caso abaixo, determine se o conjunto V =
{(x1, x2);x1, x2 ∈ R} e´ ou na˜o um espac¸o vetorial
com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o definidas
conforme as regras indicadas.
(a) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, 0),
α(x1, x2) = (αx1, αx2).
(b) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),
α(x1, x2) = (αx1, 0).
(c) (x1, x2) + (y1, y2) = (|x1 + y1|, |x2 + y2|),
α(x1, x2) = (|αx1|, |αx2|)
(d) (x1, x2) + (y1, y2) = (x1, x2 + y2),
α(x1, x2) = (αx1, αx2).
2. Quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os
vetoriais
(a) O conjunto X ⊂ R3 formado pelos vetores v =
(x, y, z) tais que z = 3x e x = 2y.
(b) O conjunto Y ⊂ R3 dos vetores w = (x, y, z) tais
que xy = 0.
(c) O conjunto Z das matrizes 2×3 nas quais alguma
coluna e´ formada por elementos iguais.
(d) O conjunto L ⊂ Rn dos vetores v =
(x, 2x, ..., nx), onde x ∈ R e´ arbitra´rio.
(e) O conjunto dos vetores v ∈ R5 que teˆm duas ou
mais entradas nulas.
(f) O conjunto dos vetores de R3 que teˆm pelo menos
uma coordenada ≥ 0.
(g) O conjunto dos vetores v ∈ R5 que teˆm as duas
primeiras entradas nulas.
(h) O conjunto W ⊂ R3 de vetores v = (x, y, z) tais
que cosx = 0.
3. Seja P o espac¸o vetorial dos polinoˆmios. Verifique se
o conjunto dos polinoˆmios que possuem 1 e 2 como
ra´ızes e´ subespac¸o de P.
4. Verifique se os conjuntos W abaixo sa˜o ou na˜o
subespac¸os vetoriais de Mn×n, espac¸o das matrizes
reais quadradas de ordem n.
(a) W e´ o conjunto das matrizes sime´tricas, W =
{A ∈Mn×n;AT = A};
(b) W = {A ∈ Mn×n;AB = BA} onde B ∈ Mn×n e´
uma matriz fixa.
(c) W e´ o conjunto das matrizes anti sime´tricas,
W = {A ∈Mn×n;AT = −A}
(d) W e´ o conjunto das matrizes invers´ıveis.
(e) W =
{(
a b
−b a+ b
)
∈M2×2; a, b ∈ R
}
,
quando n = 2.
(f) W e´ o conjunto das matrizes de trac¸o nulo,
W = {A ∈Mn×n; tr(A) = 0}.
(g) W e´ o conjunto das matrizes triangulares inferior,
W = {A = (aij)n×n; aij = 0, se i < j}
5. Seja V = {v ∈ R; v > 0}. Considere a operac¸a˜o de
soma definida por u+w = uw,∀u,w ∈ V e a operac¸a˜o
de produto por escalar definida por αu = uα, ∀α ∈ R.
Verifique se V e´ um espac¸o vetorial.
6. Considere o espac¸o vetorial V . Demonstre as
propriedades abaixo (justifique cada passagem por
meio dos axiomas de espac¸o vetorial).
(a) 0 · u = ~0, para todo u ∈ V.
(b) λ ·~0 = ~0, para todo λ ∈ R.
(c) λ · u = ~0 se, e somente se, λ = 0 ou u = ~0.
(d) (−1) · u = −u, ∀u ∈ V
7. Sejam a1, a2, ..., an nu´meros reais. Mostre que o
conjunto H de todas as n-uplas (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn
tais que
a1x1 + a2x2 + ...+ anxn = 0,
e´ um subespac¸o de Rn. (Quando ai 6= 0, para algum
i ∈ {1, 2, ..., n}, H e´ chamado de hiperplano de Rn.)
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8. Seja V um espac¸o vetorial. Mostre que
(a) A intersec¸a˜o de dois subespac¸o de V e´ ainda
subespac¸o de V.
(b) A unia˜o de dois subespac¸os de V e´ tambe´m
subespac¸o de V se, e somente se, um esta´ contido
no outro.
9. Prove que o conjunto soluc¸a˜o de um sistema de
equac¸o˜es lineares homogeˆneo, com m equac¸o˜es e n
inco´gnitas, e´ um subspac¸o vetorial de Rn.
10. Quais sa˜o os subespac¸os (reais) do espac¸o vetorial R1?
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