Seja F:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3} transfonnação linear definida por F(0,1,1)=(0,0,2) F(0,0,1)= (0.0.1) F(1,0,0)=(1,2.0). Determinar um...

Para determinar uma base de cada um dos subespaços vetoriais, podemos utilizar o Teorema da Dimensão, que afirma que a dimensão de um subespaço vetorial é igual à dimensão do seu núcleo somada à dimensão da sua imagem. 1) Base do núcleo de F: Para encontrar a base do núcleo de F, precisamos resolver a equação F(x,y,z) = (0,0,0). Substituindo os valores dados, temos: F(x,y,z) = (0,0,0) F(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) = (0,0,0) x = 0 y = 0 z = 0 Portanto, o núcleo de F é o subespaço vetorial {0}, que possui apenas o vetor nulo como base. 2) Base da imagem de F: Para encontrar a base da imagem de F, podemos utilizar os vetores imagem das bases canônicas de R³. Temos: F(1,0,0) = (1,2,0) F(0,1,0) = (0,0,0) F(0,0,1) = (0,0,1) Assim, a imagem de F é o subespaço vetorial gerado pelos vetores (1,2,0) e (0,0,1). Portanto, uma base para a imagem de F é {(1,2,0), (0,0,1)}. 3) Base da interseção entre o núcleo e a imagem de F: Como o núcleo de F é {0} e a imagem de F é gerada pelos vetores (1,2,0) e (0,0,1), a interseção entre eles é o subespaço vetorial {0}. Portanto, a base da interseção entre o núcleo e a imagem de F é o vetor nulo. 4) Base da soma entre o núcleo e a imagem de F: A soma entre o núcleo e a imagem de F é o próprio espaço vetorial R³, pois todo vetor em R³ pode ser escrito como a soma de um vetor no núcleo de F e um vetor na imagem de F. Portanto, uma base para a soma entre o núcleo e a imagem de F é a base canônica de R³: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.