Lista 1 Variáveis Complexas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA´
Varia´veis Complexas CM068
Prof. Cleber
Primeira lista de exerc´ıcios de Varia´veis Complexas - 04/03/2015
Exerc´ıcios do livro: Ca´lculo em uma Varia´vel Complexa, Ma´rcio G. Soares, IMPA.
Pa´ginas 13 a 15: 1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 15
Exerc´ıcios adicionais:
1. Encontre a parte real e a parte imagina´ria
(a)
1
z
(b)
z − a
z + a
, a ∈ R
(c) z3
(d)
(−1 + i√3
2
)3 (e) i
n, n ∈ N
(f)
( i+ 1√
2
)n
, 2 ≤ n ≤ 8.
2. Escreva cada nu´mero complexo na forma a+ ib com a, b ∈ R.
(a)
4 + i
6− 3i (b)
(
i− 1
2i+ 6
)3
(c) 1 + 2i+ 3i2 + 4i3 + 5i4 + 6i5
3. Represente graficamente os nu´meros complexos z1, z2, z1 · z2 e z1
z2
nos seguintes casos:
(a) z1 = 3 + 4i e z2 =
1−i
5
√
2
(b) z1 = 1 + 2i e z2 = 2− i
4. Escreva os nu´meros abaixo na forma polar.
(a)
√
3 + i (b) −6 + 6i
(c)
−1 + i√3
2
(d) -2 (e) −3i
5. Determine todas as soluc¸o˜es das equac¸o˜es abaixo.
(a) z2 = −1
(b) z3 = −1
(c) z2 = i
(d) z6 = 2 + i
(e) z4 − 1 = 0
(f) z2 = |z|
(g) iz + 2z + 1− i = 0.
6. Determine todos os valores a ∈ R, para que
a+ i
1 + ai
,
seja um nu´mero real.
7. Mostre que o conjunto soluc¸a˜o da igualdade |z − 2| = |z − 3| e´ uma reta.
8. Seja p(z) = a0 + a1z + · · · anzn um polinoˆmio com coeficientes reais. Prove que se z0 e´ tal que p(z0) = 0 enta˜o
p(z0) = 0. Deˆ um contra exemplo em que esta afirmac¸a˜o e´ falsa se os coeficientes na˜o sa˜o todos reais.