Teoria+ +Transformada+de+Laplace

Prévia do material em texto

TRANSFORMADA DE LAPLACE
Histórico:
 Pierre Simon de Laplace (1749-1827), matemático francês, desenvolveu os 
Fundamentos da Teoria do Potencial e fez importantes contribuições à mecânica 
celeste e à teoria das probabilidades. Em sua obra “Theórie Analitique”(1812) 
apresenta a transformação que leva o seu nome, isto é, a Transformada de Laplace. 
Objetivo: Resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada.
Aplicações: Circuitos elétricos; Condução de calor; Flexão de vigas; Problemas 
econômicos.
ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA ATRAVÉS DA TRANSFORMADA 
DE LAPLACE
Equação diferencial em t Solução da equação diferencial em t
 Aplico a Transf. de Laplace Aplico a Transf. Inversa de Laplace
 Equação algébrica em s Solução para f(s)
Vantagem de aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais 
é que encontramos a solução particular, sem determinarmos a solução geral, pois as 
condições iniciais são incorporadas inicialmente na resolução da equação.
Definição: Seja F(t) uma função real definida para todos valores positivos de t. Se a 
integral ( ) ( )f s e F t dtst= −∞∫ 0 existe, onde s x yj= + é uma variável complexa, a função 
1
f(s) é chamada de “Transformada de Laplace da função F(t)” e é representada por 
( )( )L F t . Exemplo: F(t) = 1 então ( )( )L F t =L(1) = 1
s
. 
Demonstração:
 
( )
( ) ]
( ) ]
( )
( )
( )
s
L
ss
L
eses
L
es
L
e
s
L
dteL
ss
st
st
st
11
11011
11111
111
11
11
0
0
0
0
=



⋅−−


⋅−=



⋅−−


⋅−=
⋅−=
−=
⋅=
⋅∞⋅
∞
∞
−
∞
−∫
Propriedades:
1ª) ( )( ) ( )( )L aF t aL F t= 
Exemplos: ( ) ( )tLtL 33 =
 ( ) ( )155 LL =
 ( ) ( )tt etLetL 5252 33 −− =
2ª) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )L F t G t L F t L G t+ = +
Exemplos: ( ) ( ) ( )L t e L t L et tcos cos+ = +3 3
 ( ) ( ) ( )tt teLtLtLtettL 3232 )(3sen()3sen( −+=−+
3ª) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )L aF t bG t aL F t bL G t+ = + Teorema da Linearidade
Exemplos: ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )L e t t L e L t L t Lt t3 4 2 6 5 3 4 2 6 5 15 5− + − = − + −sen sen( )
( )( ) ( ) ( ) ( )14) 3sen(534 3sen53 22 LtLtLttL −−=−−
2
( )( ) ( )( ) ( ) ( )152 2cos452 2cos4 432432 LetLteLetteL tttt ++=++ −−
TRANSFORMADAS DE LAPLACE
F(t) f(s)
1 0 0
3
2 1 s
1
3
t
2
1
s
4
1−nt
ns
n )!1( −
5
ate
as −
1
6
atn et 1− nas
n
)(
)!1(
−
−
7 )sen(at 22 as
a
+
8 )cos(at 22 as
s
+
9 )sen(atebt 22)( abs
a
+−
10 )cos(atebt 22)( abs
bs
+−
−
11 )senh(at 22 as
a
−
12 )cosh(at 22 as
s
−
13 )senh(atebt
22)( abs
a
−−
14 )cosh(atebt 22)( abs
bs
−−
−
CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ATRAVÉS DA 
UTILIZAÇÃO DA TABELA E DO TEOREMA DA LINEARIDADE.
Ex: 1: 5)(3)( += ttF ?) )( ( =tFL
4
 5)(3t L ) (t) F ( +=L
Aplicando o Teorema da Linearidade, temos:
  
2
)1(5
3
3L(t)) (t) F (
F
L
F
L +=
Assim: 
ss
sf 1.51.3)( 2 +=
ss
sf 53)( 2 +=
Ex. 2: tetttF 32 456)( +−=
 )]45L[(6t ) F(t) ( 32 tetL +−=
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
 
F5
)3tL(e 4
3
)( 5 
4
)2L(t 6 ) F(t) ( +−=
F
tL
F
L
 )L(t )L(t 1-n2 = onde 3n 21 =⇒=−n
 )L(e )L(e at3t = onde 3=a
Assim:
 
3-s
1 . 415- 
s
2!.6)( 23 +⋅= s
sf
 3
4512)( 23
−
+−=
sss
sf
Ex. 3: (3t) cos 2 5)( 4 += − tettF
 ]) (3t) cos 25t L[( ) F(t) ( 4 += − teL
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
5

8
)3( (cos 2
6
)4t-eL(t 5 (F(t))
F
tL
F
L +=
 ). 1-n4 att- eL(t) L(t e = onde -4a e 2n 11 ==⇒=−n
 (at)) L(t)) (L( cos3cos = onde 3=a
Assim:
 232 3s
s2. 
))4((
!1.5))((
+
+
−−
=
s
tFL
 9
2
)4(
5)( 22 +
+
+
=
s
s
s
sf
 ↓
Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 4: t)3(sen 6 .)( 52 −= tettF
 t))] ( . e L[( tL(F(t)) t 3sen652 −=
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:

7
) 3( (sen 6
6
5 (F(t)) 2
F
tL
F
)t eL(t L −=
 ).e L(t) eL(t atn-t 152 = onde 5a e 3n 21 ==⇒=−n
 (at)) L( t)) (L( sen3sen = onde 3=a
Assim:
 ( )223 3
36
5
2))((
+
−
−
=
s
. 
)(s
 !tFL
 
3
36
)5(
2)( 23 +
−
−
=
ss
sf
6
Ex. 5: ( ) 4 t5)( tsenhtF +=
 ( ) ]5senh 4 t t L[L(F(t)) +=
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
( ) 
4
)( 
11
) t5L( ) F(t) ( 4
F
tL
F
senhL += 
( ) ) )(atL(senh ) t5L( =senh onde 5=a
 5n 41 onde )()L(t 14 =⇒=−= − ntL n
 
Assim:
 522 s
! 4 
)5(
5))(( +
−
=
s
tFL
 
52
24
5
5)(
ss
sf +
−
=
Ex. 6: tt etetF 32 6)4sen(.)( += −
 ] L[ ) F(t) tt eteL 32 6)4sen(.( += −
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
  
5
)(6 
9
))4sen(.L( ) F(t) ( 32
F
eL
F
teL tt += −
) )(at.sen L(e )4(.L( bt2 =− tsene t onde 4 e 2 =−= ab
 3a onde )()L(e 3t == ateL
 
Assim:
 3-s
16. 
4))2((
4)( 22 ++−−
=
s
sF
7
 3
6
16)2(
4)( 2
−
+
++
=
ss
sf
Ex. 7: t)7cosh(5)2cos(.)( 4 −= tetF t
 t)]7cosh(5)2cos(.L[ ) F(t) ( 4 −= teL t
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
  
12
)t)7(cosh( 5- 
10
))2cos(.L( ) F(t) ( 4
F
L
F
teL t=
)cos(.()2cos(.4 )L( ateLte btt = onde 2 e 4 == ab
 a onde t)7( L(cosh 7))(cos() == atL
 
Assim:
 2222 7)(-s
75. 
)2()4(
4))(( −
+−
−
=
s
stFL
 
7
75
2)4(
4)( 22
−
−
+−
−
=
ss
ssf
 ↓
Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 8: 25 9)3cosh(..10)( ttetF t += −
 ]9)3cosh(..10L[ ) F(t) ( 25 tteL t += −
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
  
4
)t( 9 
14
))3cosh(.L( 10. ) F(t) ( 25
F
L
F
teL t += −
)cos(.())3cosh(.5 )L( ateLte btt =− onde 3 e 5 =−= ab
 3n e 21-n onde )()L(t 12 === −ntL
8
 
Assim:
 322 s
!29. 
3))5((
)5(10))(( +
−−−
−−
=
s
stFL
 32
18
9)5(
5010)(
ss
ssf +
−+
+
=
Ex. 9: )5senh(..4)8sen(5)( tettF t−−=
 ]L[ ) F(t) )5senh(..4)8sen(5( tetL t−−=
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
  
13
t))5.senh(( 4- 
7
)8L(s 5 ) F(t) ( -t
F
eL
F
tenL =
)(sen()8( )L(s atLten = onde 8=a
 5a e b onde L(e t- =−== 1))5sen(.())5senh(. teLt bt
 
Assim:
 2222 )5((-1))-(s
54.- 
)8(
8.5))((
−
+
=
s
tFL
 
5)1(
54
8
85)( 22
−+
−
+
=
ss
sf
 ↓
 Não precisa desenvolver o quadro.
Ex. 10: )cosh(5)cos(264)( ttetF t −+−−= −
 ]L[ ) F(t) )cosh(5)cos(264( tteL t −+−−= −
Aplicando o teorema da Linearidade, temos:
9
 
12
))(cosh(5
8
))(cos(2
5
)t-( 6- 
2
)L(14 ) F(t) ( tL
F
tL
F
eL
F
L −+−=
)() ateL=t-L(e onde 1−=a
 1a onde ))(cos())(L(cos == atLt
 1a onde ))(cos())(L(cos == atLt 
Assim:
 2222 1
15
1
2
1
1614
−
−
+
+
−−
−=
s
.
ss.
)(s
. -
s
.L(F(t))
 
1
5
1
2
1
64)(
22
−
−
+
+
+
−−=
ss
s
ss
sf
A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Se ( )L F t f s( ) ( )= então a inversa de f(s) é F(t). Representamos por ( )L f s F t− =1 ( ) ( ) .
Exemplo: ( )L e
s
t5 1
5
=
−
 logo L
s
e t−
−



 =1 5
1
5
Propriedades:
1ª) ( )L af s aL f s− −=1 1( ) ( ( ))
2ª) L f s g s L f s L g s− − −+ = +1 1 1( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ))
3ª) L af s bg s aL f s bL g s− − −+ = +1 1 1( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) Teorema da Linearidade
TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE
f(s) F(t)
1 0 0
10
2 s
1
1
3 2
1
s t
4
ns
1
 para n = 1, 2, 3, ... ( )!1
1
−
−
n
t n
 0! = 1 
5
as −
1 ate
6
nas )(
1
−
 para n = 1, 2, 3, ... ( )!1
1
−
−
n
et atn
 0! = 1 
7
22
1
as + a
at)sen(
8
22 as
s
+ )cos(at
9
22)(
1
abs +− a
atebt )sen(
10
22)( abs
bs
+−
− )cos(atebt
11
22
1
as − a
at)senh(
12
22 as
s
−
)cosh(at
13
22)(
1
abs −− a
atebt )senh(
14
22)( abs
bs
−−
− )cosh(atebt
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
INVERSA IMEDIATA
EXEMPLO 1: ( )
5
8
2
3
2 +
−
+
=
ss
sf ( ) ?=tF
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
11
( )( ) 


+
−


+
=
−−−
5
8
2
3
2
111
s
L
s
LsfL
( )( ) 


+
−


+
=
−−−
5
18
2
1.3 2
111
s
L
s
LsfL 
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas: 
ate
as
L =


−
−
11 onde no nosso exemplo 
 →=− 2a 2−=a 
e 
( )
a
atsen
as
L =


+
−
22
1 1 onde no nosso exemplo 552 = →= aa
Logo a função ( )tF procurada é:
( ) ( )
5
 583 2 tsenetF t −= −
EXEMPLO 2: ( ) ( )32 5
6
7
4
−
+
+
=
ss
ssf ( ) ?=tF
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( )( ) ( ) 



−
+


+
=
−−−
3
1
2
11
5
6
7
4
s
L
s
sLsfL 
( )( ) ( ) 



−
+


+
=
−−−
3
1
2
11
5
1.6
7
.4
s
L
s
sLsfL 
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
( )at
as
sL cos22
1
=


+
− onde no nosso exemplo 772 = →= aa 
e
( ) ( )!1
1 11
−
=



−
−
−
n
et
as
L
atn
n onde no nosso exemplo 55 = →−=− aa 3=n
12
Logo a Função ( )tF procurada é: 
 ( ) ( ) ( ) .!13.6 7cos.4
513 tetttF
−
+=
−
 ou ( ) ( ) tetttF 52.3 7cos.4 +=
EXEMPLO 3: ( )
2
354
22
−
+−=
sss
sf ( ) ?=tF
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( )( ) +


−


=
−−−
s
L
s
LsfL 54 12
11 


−
−
2
3
2
1
s
L
( )( ) +


−


=
−−−
s
L
s
LsfL 1.51.4 12
11 


−
−
2
1.3 2
1
s
L
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
t
s
L =


−
2
1 1 1
11
=


−
s
L e 
( )
a
atsenh
as
L =


−
−
22
1 1 onde o nosso exemplo 222 aa  →= 
Logo a função ( )tF procurada é: 
 ( ) ( )tttF 2senh.
2
254 +−=
EXEMPLO 4: ( )
96
4
2 +−
=
ss
sf ( ) ?=tF
O denominador da ( )sf é um trinômio quadrado perfeito, portanto 962 +− ss ( ) 23−= s
Assim ( )sf ( ) 23
4
−
=
s
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
13
( )( ) ( ) 



−
=
−−
2
11
3
4
s
LsfL 
( )( ) ( ) 



−
=
−−
2
11
3
1.4
s
LsfL
Podemos aplicar a fórmula:
( ) ( )!1
1 11
−
⋅
=



−
−
−
n
et
as
L
atn
n onde no nosso exemplo 33 = →−=− aa 2=n
Logo a função ( )tF procurada é:
( )tF = ( )!12
4 312
−
⋅
− tet
 ou ( ) ttetF 34=
EXEMPLO 5: ( )
9
54
2 +
+
=
s
ssf ou ( )
9
5
9
4
22 +
+
+
=
ss
ssf ( ) ?=tF
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( )( ) 


+
+
+
=
−−
9
5
9
4
22
11
ss
sLsfL 
 Aplicando o Teorema da Linearidade, temos:
( )( ) 


+
⋅+


+
⋅=
−−−
9
15
9
4 2
1
2
11
s
L
s
sLsfL
Podemos aplicar, respectivamente, as fórmulas:
( )at
as
sL cos22
1
=


+
− onde no nosso exemplo 392 = →= aa 
e
( )
a
atsen
as
L =


+
−
22
1 1 onde no nosso exemplo 392 = →= aa
14
Logo a função ( )tF procurada é:
3
)3sen(5)3cos(4)( tttF +=
ou
 
 )3sen(
3
5)3cos(4)( tttF +=
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO E SUA REESCRITA
Sabemos que:
1.) ( ) 222 2 aassas ++=+ ⇒ ( ) 222 2 asaass +=++
15
2.) ( ) 222 2 aassas +−=− ⇒ ( ) 222 2 asaass −=+−
Exemplo 1:
( ) 963323 2222 ++=+⋅+=+ sssss ⇒ ( ) 22 396 +=++ sss , pois, 
 ss =2 , 39 = e ss 632 =⋅⋅
Exemplo 2:
( ) 963323 2222 +−=+⋅−=− sssss ⇒ ( ) 22 396 −=+− sss , pois, 
 ss =2 , 39 = e ss 632 =⋅⋅
Vejamos agora o seguinte:
Exemplo 1: ?1462 =++ ss
O termo s6 é resultado de ssa 62 =⋅⋅ logo 326 =÷ , Assim teremos:
kssss +++=++ 222 36146
Mas 1432 =+ k
Logo 914 −=k ⇒ 5=k
Assim 536146 222 +++=++ ssss
Ou podemos escrever ( ) 53146 22 ++=++ sss
Exemplo 2: ?862 =++ ss
O termo s6 é resultado de ssa 62 =⋅⋅ logo 326 =÷ , Assim teremos:
kssss +++=++ 222 3686
Mas 832 =+ k
16
Logo 98 −=k ⇒ 1−=k
Assim 136146 222 −++=++ ssss
Ou podemos escrever ( ) 13146 22 −+=++ sss
Exemplo 3: ?852 =+− ss
O termo s5 é resultado de ssa 52 =⋅⋅ logo 
2
525 =÷ , Assim teremos:
kssss +


+−=+−
2
22
2
5585
Mas 8
2
5 2
=+

 k
Logo 
4
258 −=k ⇒ 
4
2532 −
=k ⇒ 
4
7
=k
Assim 
4
7
2
5585
2
22 +


+−=+− ssss
Ou podemos escrever 
4
7
2
585
2
2 +


−=+− sss
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
MÉTODO: COMPLEMENTAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
EXEMPLO 1: 
2910
3)( 2 ++
=
ss
sf ( )( ) ?1 =− sfL
O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio 
quadrado perfeito
17
sas 102 = ⇒ 5=a 
kssss +++=++ 222 5102910 Mas 2925 =+ k ⇒ 4=k
Logo ( ) 452910 22 ++=++ sss
Portanto ( ) 45
3)( 2 ++
=
s
sf 
Mas ( ) 



++
=
−−
45
3)( 2
1
)(
1
s
LfL s
Então ( ) ( ) 



++
⋅=



++
−−
45
13
45
3
2
1
2
1
s
L
s
L 
A qual é possível aplicar a fórmula ( ) 



+− 22
1
abs
 cuja inversa é a função 
a
atetF
bt )sen()( ⋅=
No exemplo acima temos como 5=− b ⇒ 5−=b e 42 =a ⇒ 2=a
Assim ( ) 



++
⋅=
−−
45
13)( 2
1
)(
1
s
LfL s onde a função procurada é :
2
)2sen(3)(
5 tetF
t
⋅
⋅=
−
 ou )2sen(
2
3)( 5 tetF t ⋅⋅= −
EXEMPLO 2: 
258
5)( 2 +−
=
ss
ssf ( )( ) ?1 =− sfL
O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio 
quadrado perfeito
sas 82 = ⇒4=a 
kssss ++−=+− 222 48258 Mas 2516 =+ k ⇒ 9=k
18
Logo ( ) 94258 22 +−=+− sss
Portanto ( ) 94
5)( 2 +−
=
s
ssf 
Mas ( ) 



+−
=
−−
94
5)( 2
1
)(
1
s
sLfL s
Então ( ) ( ) 



+−
⋅=



+−
−−
94
5
94
5
2
1
2
1
s
sL
s
sL 
A qual parece ser possível aplicar a fórmula:
( ) 



+−
−
22 abs
bs
 cuja inversa é a função )cos()( atetF bt ⋅=
Porém para aplicarmos a referida fórmula, precisamos aplicar um artifício matemático 
no numerador, isto é, acrescentar e tirar o valor corresponde a b . Neste caso 
acrescentaremos 4 e diminuiremos 4.
Assim ( ) ( ) 



+−
+−
⋅=



+−
−−
94
445
94
5
2
1
2
1
s
sL
s
sL
 ( )
( )
( ) 



+−
+−
⋅=



+−
−−
94
445
94
5
2
1
2
1
s
sL
s
sL 
Separando em duas frações, temos:
( )
( )
( ) ( ) 







+−
+



+−
−
⋅=



+−
−−−
94
4
94
45
94
5
2
1
2
1
2
1
s
L
s
sL
s
sL 
ou ainda multiplicando por 5, temos:
( )
( )
( ) ( ) 



+−
⋅⋅+



+−
−
⋅=



+−
−−−
94
145
94
45
94
5
2
1
2
1
2
1
s
L
s
sL
s
sL
Agora poderemos aplicar as fórmulas:
19
 ( ) 



+−
−
22 abs
bs
 cuja inversa é a função )cos()( atetF bt ⋅= 
e
( ) 



+− 22
1
abs
 cuja inversa é a função cuja inversa é a função 
a
atetF
bt )sen()( ⋅= 
No exemplo acima temos como 4−=− b ⇒ 4=b e 92 =a ⇒ 3=a
Assim ( )
( )
( ) ( ) 



+−
⋅+



+−
−
⋅=



+−
−−−
94
120
94
45
94
5
2
1
2
1
2
1
s
L
s
sL
s
sL 
 onde a função procurada é 
3
)3sen(20)3cos(5)(
4
4 tetetF
t
t ⋅
⋅+⋅⋅= ou )3sen(
3
20)3cos(5)( 44 tetetF tt ⋅⋅+⋅⋅=
EXEMPLO 3: 
2012
7)( 2 ++
=
ss
sf ( )( ) ?1 =− sfL
O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio 
quadrado perfeito
sas 122 = ⇒ 6=a 
kssss +++=++ 222 6122012 Mas 2036 =+ k ⇒ 16−=k
Logo ( ) 1662012 22 −+=++ sss
Portanto ( ) 166
7)( 2
−+
=
s
sf 
20
Mas ( ) 



−+
=
−−
166
7)( 2
1
)(
1
s
LfL s
Então ( ) ( ) 



−+
⋅=



−+
−−
166
17
166
7
2
1
2
1
s
L
s
L 
A qual é possível aplicar a fórmula ( ) 



−−
22
1
abs
 cuja inversa é a função 
a
atetF
bt )senh()( ⋅=
No exemplo acima temos como 6=− b ⇒ 6−=b e 162 =a ⇒ 4=a
Assim ( ) 



−+
⋅=
−−
166
17)( 2
1
)(
1
s
LfL s onde a função procurada é :
 
4
)4sen(7)(
6 tetF
t
⋅
⋅=
−
 ou )4sen(
4
7)( 6 tetF t ⋅⋅= −
EXEMPLO 4: 
78
2)( 2 +−
=
ss
ssf ( )( ) ?1 =− sfL
O denominador da )(sf pode ser escrito da seguinte forma, completando o trinômio 
quadrado perfeito
sas 82 = ⇒ 4=a
kssss ++−=+− 222 4878 Mas 716 =+ k ⇒ 9−=k
Logo ( ) 9478 22 −−=+− sss
Portanto ( ) 94
2)( 2
−−
=
s
ssf 
Mas ( ) 



−−
=
−−
94
2)( 2
1
)(
1
s
sLfL s
Então ( ) ( ) 



−−
⋅=



−−
−−
94
2
94
2
2
1
2
1
s
sL
s
sL 
21
A qual parece ser possível aplicar a fórmula:
( ) 



−−
−
22 abs
bs
 cuja inversa é a função )cosh()( atetF bt ⋅=
Porém para aplicarmos a referida fórmula, precisamos aplicar um artifício matemático 
no numerador, isto é, acrescentar e tirar o valor corresponde a b . Neste caso 
acrescentaremos 4 e diminuiremos 4.
Assim ( ) ( ) 



−−
+−
⋅=



−−
−−
94
442
94
2
2
1
2
1
s
sL
s
sL
 ( )
( )
( ) 



−−
+−
⋅=



−−
−−
94
442
94
2
2
1
2
1
s
sL
s
sL 
Separando em duas frações, temos:
( )
( )
( ) ( ) 







−−
+



−−
−
⋅=



−−
−−−
94
4
94
42
94
2
2
1
2
1
2
1
s
L
s
sL
s
sL 
ou ainda multiplicando por 2, temos:
( )
( )
( ) ( ) 



−−
⋅⋅+



−−
−
⋅=



−−
−−−
94
142
94
42
94
2
2
1
2
1
2
1
s
L
s
sL
s
sL
Agora poderemos aplicar as fórmulas:
 ( ) 



−−
−
22 abs
bs
 cuja inversa é a função )cosh()( atetF bt ⋅= 
e
( ) 



−−
22
1
abs
 cuja inversa é a função cuja inversa é a função 
a
atetF
bt )senh()( ⋅= 
22
No exemplo acima temos como 4−=− b ⇒ 4=b e 92 =a ⇒ 3=a
Assim ( )
( )
( ) ( ) 



−−
⋅+



−−
−
⋅=



−−
−−−
94
18
94
42
94
2
2
1
2
1
2
1
s
L
s
sL
s
sL 
 onde a função procurada é 
 
3
)3senh(8)3cosh(2)(
4
4 tetetF
t
t ⋅
⋅+⋅⋅= 
 
 ou 
 )3senh(
3
8)3cosh(2)( 44 tetetF tt ⋅⋅+⋅⋅=
IMPORTANTÍSSIMO:
SEMPRE QUE USARMOS O ARTIFÍCIO MATEMÁTICO DE 
ACRESCENTAR E DIMINUIR O MESMO NÚMERO, SÉRÁ POSSÍVEL 
APLICAR AS FÓRMULAS: 
23
( ) 



+−
−
22 abs
bs
 cuja inversa é a função )cos()( atetF bt ⋅=
e
( ) 



+− 22
1
abs
 cuja inversa é a função cuja inversa é a função 
a
atetF
bt )sen()( ⋅=
(Sempre ambas ao mesmo tempo)
OU AINDA :
( ) 



−−
−
22 abs
bs
 cuja inversa é a função )cosh()( atetF bt ⋅=
e
( ) 



−−
22
1
abs
 cuja inversa é a função cuja inversa é a função 
a
atetF
bt )senh()( ⋅=
(Sempre ambas ao mesmo tempo)
FRAÇÕES PARCIAIS ALGÉBRICAS
Para representar uma fração algébrica sob forma de uma soma de frações 
algébricas mais simples, deveremos considerar:
1º) a classificação das raízes do denominador, as quais podem ser:
• Reais e não repetidas;
Exemplos:
24
a) )2(
1
+ss Para que 
0)2( =+ss , temos que as raízes do denominador são: 
2 e 0 −== ss , as quais são reais e não repetidas.
b) ( )5)4(
10
2
−− ss
s
 Para que ( ) 05)4( 2 =−− ss , temos que as raízes do denominador 
são: 5 e 2 ,2 =−== sss , as quais são reais e não repetidas.
• Reais e repetidas n vezes;
Exemplos:
a) 32 )2(
1
+ss Para que 0)2(
32
=+ss , temos que as raízes do denominador são: 
2 e 0 −== ss , as quais são reais e repetidas duas e três vezes, respectivamente.
b) ( ) 422 5)4(
10
−− ss
s
 Para que ( ) 05)4( 422 =−− ss , temos que as raízes do denominador 
são: 5 e 2 ,2 =−== sss , as quais são reais e repetidas duas, duas e quatro vezes, 
respectivamente.
• Complexas e não repetidas;
a) ( ) )4(3
21
22 ++
−
ss
s
 Para que ( ) 0)4(3 22 =++ ss , temos que as raízes do denominador 
são: isis 2 e 3 ±=±= , as quais são complexas e não repetidas.
b) ( ) )9(1
3
22
2
++ ss
s
 Para que ( ) 0)9(1 22 =++ ss , temos que as raízes do denominador são: 
isis 3 e ±=±= , as quais são complexas e nãorepetidas.
• Complexas e repetidas n vezes.
a) ( ) 3222 )4(3
21
++
−
ss
s
 Para que ( ) 0)4(3 3222 =++ ss , temos que as raízes do denominador 
são: isis 2 e 3 ±=±= , as quais são complexas e repetidas duas e três vezes.
25
b) ( ) 2242
2
)9(1
3
++ ss
s
 Para que ( ) 0)9(1 2242 =++ ss , temos que as raízes do denominador 
são:
 isis 3 e ±=±= , as quais são complexas e repetidas quatro e duas vezes.
2º) o número de frações parciais dependerá do tipo de raízes que possuir o 
denominador, que poderemos escrever da seguinte forma:
• Raízes reais e não repetidas:
ns
N
cs
C
bs
B
as
A
sg
sf
−
++
−
+
−
+
−
= ...
)(
)(
 (tantas frações quanto for o número de raízes)
Exemplo:
a) ( ) 220)2(
1
+
+=
−−
+
−
=
+ s
B
s
A
s
B
s
A
ss
b) ( ) ( ) 5225225)4(
10
2
−
+
+
+
−
=
−
+
−−
+
−
=
−− s
C
s
B
s
A
s
C
s
B
s
A
ss
s
• Raízes reais e repetidas n vezes:
( ) ( ) ( ) nas
N
as
C
as
B
as
A
sg
sf
−
++
−
+
−
+
−
= ...
)(
)(
32 (tantas frações quanto for o número de 
vezes que a raiz se repete)
Exemplo:
a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 32232 22200)2(
1
−−
+
−−
+
−−
+
−
+
−
=
+ s
E
s
D
s
C
s
B
s
A
ss
b) ( ) ( ) ( ) 32232 222)2(
1
+
+
+
+
+
++=
+ s
E
s
D
s
C
s
B
s
A
ss
• Complexas e não repetidas; kssg += 2)(
ks
BsA
sg
sf
+
+
= 2)(
)(
 (o denominador da fração parcial será o termo que possui raízes 
complexas)
Exemplo:
a) ( ) 43)4(3
21
2222 +
+
+
+
+
=
++
−
s
DsC
s
BsA
ss
s
26
b) ( ) 91)9(1
3
2222
2
+
+
+
+
+
=
++ s
DsC
s
BsA
ss
s
• Complexas e repetidas n vezes.
( ) ( )nks
NsM
ks
DsC
ks
BsA
sg
sf
+
+
++
+
+
+
+
+
=
2222
...
)(
)(
 (o denominador da fração parcial será o termo 
que possui raízes complexas e será repetido tantas vezes quanto indicar o seu 
expoente)
Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( )322222223222 44433)4(3
21
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
++
−
s
JsI
s
HsG
s
FsE
s
DsC
s
BsA
ss
s
As constantes ,...,,, DCBA do numerador determinamos através da resolução de 
um sistema de equações lineares.
EXEMPLOS COMPLETOS
Exemplo 1: A fração algébrica ( )4
1
2 +ss pode ser expressa numa soma de frações 
parciais algébricas mais simples da seguinte forma:
• As raízes do denominador são 0=s , que é real e não repetida e o termo 42 +s 
possui raízes complexas e também não repetidas. Desta forma, temos que:
( ) 404
1
22 +
+
+
−
=
+ s
CsB
s
A
ss
( ) 444
1
222 +
+
+
+=
+ s
Cs
s
B
s
A
ss
• Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos que o ( )4M 2 += ssMC
( )
( )
( )4
4
4
1
2
2
2 +
+++
=
+ ss
CssBssA
ss
( ) ( )4
4
4
1
2
22
2 +
+++
=
+ ss
CsBsAAs
ss
Como os denominadores são iguais trabalharemos somente com os numeradores, para 
que possamos determinar os valores das constantes A, B e C.
27
• Agrupando os termos semelhantes, temos:
( ) ( ) ( )AsBsCA 41 2 +++=
• Para que tenhamos uma igualdade os coeficientes dos termos do 1º membro devem 
ser iguais aos respectivos coeficientes dos termos do 2º membro. Assim teremos o 
seguinte sistema de equações lineares:



=⇒=
=
−=⇒=+
4
1 14
0
4
1 0
AA
B
CCA
• Retomando a fração inicial, temos:
( ) 444
1
222 +
+
+
+=
+ s
Cs
s
B
s
A
ss
( ) 44
1
4
04
1
4
1
222 +
+
+
+
−
=
+ s
s
ssss
Reescrevendo, temos a seguinte igualdade:
 ( ) 44
11
4
1
4
1
22 +
⋅+⋅−=
+ s
s
sss
Exemplo 2: A fração algébrica ( )4
10
22 +ss
s
 pode ser expressa numa soma de frações 
parciais algébricas mais simples da seguinte forma:
• As raízes do denominador são 0=s , que é real e não repetida e o termo 42 +s 
possui raízes complexas e também não repetidas. Desta forma, temos que:
( ) ( ) 4004
10
2222 +
+
+
−
+
−
=
+ s
DsC
s
B
s
A
ss
s
( ) 444
10
22222 +
+
+
++=
+ s
Ds
s
C
s
B
s
A
ss
s
• Reduzindo as frações ao mesmo denominador, temos que o ( )4M 22 += ssMC
( )
( ) ( )
( )4
44
4
10
22
2222
22 +
+++++
=
+ ss
DssCssBsAs
ss
s
28
( ) ( )4
44
4
10
22
3223
22 +
+++++
=
+ ss
DsCsBBsAsAs
ss
s
Como os denominadores são iguais trabalharemos somente com os numeradores, para 
que possamos determinar os valores das constantes A, B, C e D.
• Agrupando os termos semelhantes, temos:
( ) ( ) ( ) ( )BsAsCBsDAs 4410 23 +++++=
• Para que tenhamos uma igualdade os coeficientes dos termos do 1º membro devem 
ser iguais aos respectivos coeficientes dos termos do 2º membro. Assim teremos o 
seguinte sistema de equações lineares:







=⇒=
==⇒=
=⇒=+
−=⇒=+
0 04
2
5
4
10 104
0 0
2
5 0
BB
AA
CCB
DDA
• Retomando a fração inicial, temos:
( ) 444
10
22222 +
+
+
++=
+ s
Ds
s
C
s
B
s
A
ss
s
( ) 42
5
4
002
5
4
10
22222 +
−
+
+
++=
+ s
s
sssss
s
Reescrevendo, temos a seguinte igualdade:
 ( ) 42
51
2
5
4
10
222 +
⋅−⋅=
+ s
s
sss
s
FORMULÁRIO INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Método para determinar L-1(f(s)): 
29
Método das Frações Parciais Algébricas
1º caso: O denominador da f(s) possui n raízes reais e não repetidas:
ns
N
cs
C
bs
B
as
A
sg
shsf
−
++
−
+
−
+
−
== ...
)(
)()( 
(tantas frações quanto for o número de raízes)
2º caso: O denominador da f(s) possui raízes reais e repetidas n vezes:
( ) ( ) ( ) nas
N
as
C
as
B
as
A
sg
shsf
−
++
−
+
−
+
−
== ...
)(
)()( 32 
(tantas frações quanto for o número de vezes que a raiz se repetir)
3º caso: O denominador da f(s) possui raízes complexas e não repetidas; 
o denominador é do tipo kssg += 2)( ou kmsssg ++= 2)(
ks
BsA
sg
shsf
+
+
== 2)(
)()( ou 
kmss
BsA
sg
shsf
++
+
== 2)(
)()( 
(o denominador da fração parcial será o termo que possui raízes complexas)
DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
)())((1 tFsfL =−
30
MÉTODO DAS FRAÇÕES PARCIAIS ALGÉBRICAS.
EXEMPLO 1: ( )sf ( )5
3 2 +
=
ss
 ( ) ?=tF
Precisamos escrever a função ( )sf acima sob forma de uma soma de frações mais 
simples, cujas inversas sejam imediatas.
O número de frações dependerá do tipo de raízes e do número de vezes que ela 
aparece no denominador da ( )sf .
As raízes do denominador da ( )sf são: ( ) 05.2 =+ss
Para o 1º fator temos, 0 02 =⇒= ss raiz real e repetida duas vezes.
Logo trata-se do 2º caso do nosso formulário:
( ) ( ) 22 00 −+−⇒−+− s
B
s
A
as
B
as
A
 
Para o 2º fator temos, 5 05 −=⇒=+ ss raiz real e não repetida.
Logo trata-se do 1º caso do nosso formulário:
5)5(
 
+
=
−−
⇒
− s
A
s
A
as
A
mas como já utilizamos A e B então ficará 
5+s
C
Portanto 
( ) ( ) 505
3
22 +
+
−
+
−
=
+ s
C
os
B
s
A
ss ou 
( ) 55
3
22 +
++=
+ s
C
s
B
s
A
ss
Para determinarmos os valores das constantes A, B e C deveremos efetuar asoma das 
frações parciais, reduzindo-as inicialmente ao mesmo denominador, o qual deverá ser 
sempre igual ao denominador da ( )sf dada inicialmente.
 ( ) ( )5.5 e ,m.m.c 22 +=+ sssss
Assim ( )
( ) ( )
( )5
55
5
3
2
2
2 +
++++
=
+ ss
CssBsAs
ss
31
Como os denominadores são iguais, trabalharemos somente com os numeradores.
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
22 553 CsBBsAsAs ++++=
Agrupando os termos semelhantes, temos:
( ) ( ) ( )BsBAsCA 553 2 ++++=
Igualmente os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro, respectivamente, 
temos:



=
=+
=+
35
05
0
B
BA
CA
 Resolvendo o sistema, temos:
6,0 12,0 =−= BA 12,0=C
Sabemos que:
( ) 55
3
22 +
++=
+ s
C
s
B
s
A
ss
Substituindo as constantes A,B e C pelos valores encontrados, temos:
( ) 5
12,06,012,0
5
3
22 +
++
−
=
+ sssss
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( ) =



+
−
5
3
2
1
ss
L 


+
⋅+


⋅+


⋅−
−−−
5
112,016,0112,0 12
11
s
L
s
L
s
L
Aplicando as fórmulas F2, F3, F5, respectivamente, do nosso formulário temos que a 
função ( )tF procurada é:
 ( ) tettF 512,06,0112,0 −⋅+⋅+⋅−= ou ( ) tettF 512,06,012,0 −⋅+⋅+−=
EXEMPLO 2: ( ) ( ) ( )94
5
2 +−
=
ss
ssf ( ) ?=tF
32
Precisamos escrever a função ( )sf acima sob forma de uma soma de frações mais 
simples, cujas inversas sejam imediatas.
O número de frações dependerá do tipo de raízes e do número de vezes que ela 
aparece no denominador da função ( )sf .
As raízes do denominador da função ( )sf são: ( ) ( ) 09.4 2 =+− ss 
Para o 1º fator temos 4 04 =⇒=− ss raiz real e não repetida.
Logo trata-se do 1º caso do nosso formulário: 
4−
⇒
− s
A
as
A
Para o 2º fator temos:
9 9 09 22 −±=⇒−=⇒=+ sss raízes complexas e não repetidas.
Logo trata-se do 3º caso do nosso formulário:
9222 +
+
⇒
+
+
s
BsA
as
BsA
Mas como já utilizamos A então ficará .
92 +
+
s
CsB
Portanto
( ) ( ) 94945 22 +++−=+− s CsBs Ass s
Ou 
( ) ( ) 994945 222 ++++−=+− s Css Bs Ass s
Para determinarmos os valores das constantes A, B e C deveremos efetuar a soma das 
frações parciais, reduzindo-as inicialmente ao mesmo denominador, o qual deverá ser 
sempre igual ao denominador da ( )sf dada inicialmente.
 ( ) ( ) ( )949 e 4m.m.c 22 +⋅−=+− ssss
Assim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )94 44994 5 2
2
2 +⋅−
−+−++
=
+⋅− ss
sCssBsA
ss
s
Como os denominadores são iguais, trabalharemos somente com os numeradores.
Aplicando a propriedade distributiva, temos:
CsCsBBsAAss 4495 22 −+−++=
Agrupando os termos semelhantes, temos:
33
( ) ( ) ( )BAsCBsCAs 4945 2 −+−++=
Igualmente os coeficientes do 1º membro com os do 2º membro, respectivamente, 
temos:



=−
=−
=+
049
54
0
BA
CB
CA
 Resolvendo o sistema, temos:
8,1 8,0 == BA 8,0−=C
Sabemos que:
( ) ( ) 994945 222 ++++−=+− s Css Bs Ass s
Substituindo as constantes A, B e C pelos valores encontrados, temos:
( ) ( ) 98,098,148,0945 222 + ⋅−+++−=+− s sssss s
Aplicando a inversa da Transformada de Laplace a ambos os membros, temos:
( ) ( ) =



+−
−
94
5
2
1
ss
sL 


+
−


+
+


−
−−−
9
.8,0
9
1.8,1
4
1.8,0 2
1
2
11
s
sL
s
L
s
L
Aplicando as fórmulas F5, F7 e F8, respectivamente, do nosso formulário temos que a 
função ( )tF procurada :
 
 ( ) )3cos(8,0
3
)3sen(.8,1.8,0 4 ttetF t −+= ou 
 ( ) )3cos(8,0)3sen(6,08,0 4 ttetF t ⋅−⋅+⋅=
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
34
1ª) Calcule a Transformada de Laplace ( )( )tFL , sendo:
a) ( ) ( ) 33 78sen52 ttetF t +−= − 
b) ( ) ( )tetF t 4cos2 6−= + ( )te t 3sen4 5− 
c) ( ) ( ) 104cos64 52 −+= tettF t 
d) ( ) ( ) 46 26cos45 ttetF t −+= 
e) ( ) ( ) 98sen43 65 +−= − tettF t 
2ª) Calcule a inversa da Transformada de Laplace ( )( )sfL 1− , sendo:
a) ( )
5
2
9
86
23
−
+
+
−=
sss
sf b) ( ) ( ) 32 6
5
81
43
+
+
+
+=
ss
s
s
sf
c) ( ) ( )1
42
2 +
+
=
ss
ssf d) ( ) ( )5
1013
2 +
+−
=
ss
ssf e) ( ) ( )1
23
2 +
−
=
ss
ssf
f) ( )
9
4
49
38
2
−
−
+
+=
ss
s
s
sf g) ( ) ( ) 36
7
7
32
245 +
+
−
−=
sss
sf
h) ( ) 


+−
−
=
256
2
2 ss
ssf i) ( ) 


++
−
=
10012
2
2 ss
ssf 
J) ( ) 


++
=
40122 ss
ssf k) ( ) 


+−
=
2582 ss
ssf
3ª) Resolva as seguintes equações diferenciais, através de Laplace:
a) 06' =− yy onde ( ) 50 =y ; b) 08' =− yy onde ( ) 70 =y ;
c) 04'' =+ yy onde ( ) 40 =y e ( ) 40' =y ;
d) ( )tyy 3cos30' =− onde ( ) 00 =y ; e) ( )tyy 2cos15' =+ onde ( ) 00 =y ;
f) 09'' =+ yy onde ( ) 30 =y e ( ) 30' =y ;
g) teyy 3'' 5016 =+ onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y ;
h) tyyy 3632 ''' =−− onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y ;
i) ( )tyyy 2cos252 ''' =+− onde ( ) 00 =y e ( ) 00' =y .
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
35
1ª) a) f(s) = 4
42
643
2
ss
+
++ 2s
40- 
 b) f(s) = ( ) ( ) 9+5+s
12
+
16+6+s
12+s2
22
 c) f(s) = ( ) s
10
-
16+s
s6
+
5-s
8
23 
 d) f(s) = 52 s
48
-
36+s
s4
+
6-s
5
 e) f(s) = ( ) s
9
+
64+s
32
-
6+s
360
26
2ª) a) F(t) = 3t2 - 
3
8 sen(3t) + 2e5t b) F(t) = 3 + 4 cos(9t) + 
2
5 t2e-6t
 c) F(t) = 4 – 4 cos(t) +2 sen(t) d) F(t) = -3 +2t + 3 e-5t
 e) F(t) = -2 +2 cos(t) +3 sen(t) f) F(t) = 8 + 3 cos(7t) –4e9t
 g) F(t) = )t6sen(
6
7
+et
2
1
-
12
t t73
4
 h) F(t) = )t4sen(e
4
1
+)t4cos(e t3t3
i) F(t) = e-6tcos(8t) – e-6tsen(8t) j) F(t) = e-6tcos(2t) – 3e-6tsen(2t)
k) F(t) = e4tcos(3t) + 
3
4 e4tsen(3t)
3ª) a) y(t) = 5e6t b) y(t) = 7e8t c) y(t) = 4cos(2t) + 2sen(2t)
 d) y(t) = -10cos(3t) + 30sen(3t) + 10et
 e) y(t) = 3cos(2t) + 6sen(2t) – 3e-t f) y(t) = 3cos(3t) + sen(3t)
 g) y(t) = 2e3t – 2cos(4t) - 2
3 sen(4t) h) y(t) = 8 – 12t + e3t – 9e-t
 i) tt teet)(t)-(-y(t) 532sen42cos3 ++=
36
	TRANSFORMADA DE LAPLACE
	TRANSFORMADAS DE LAPLACE
	F(t)
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ATRAVÉS DA UTILIZAÇÃO DA TABELA E DO TEOREMA DA LINEARIDADE.
	A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
	TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE
	f(s)
	F(t)
	þÿ
	þÿ
	 para n = 1, 2, 3, ...
	 0! = 1
	þÿ
	þÿ
	 para n = 1, 2, 3, ...
	 0! = 1
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	þÿ
	DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
	INVERSA IMEDIATA
	TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO E SUA REESCRITA
	DETERMINAÇÃO DA INVERSA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
	MÉTODO: COMPLEMENTAÇÃO DO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
	EXEMPLOS COMPLETOS
	Método das Frações Parciais Algébricas