24ª Aula Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear

Prévia do material em texto

Álgebra Linear
Assunto: Núcleo e Imagem de uma Transformação
Linear
Universidade Federal Rural do Semi-Árido - UFERSA
Campus Pau dos Ferros-RN
12 de maio de 2016
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 1 / 23
NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Sabendo o que é uma transformação linear podemos caracterizá-la. As-
sim como sua ”essência” é uma função:
Definião 1:
Dizemos que uma transformação linear L : V →W é injetora se for
uma função injetora, isto é,
v1 6= v2 ⇒ L(v1) 6= L(v2) ou L(v1) = L(v2) ⇒ v1 = v2.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 1 / 23
Por exemplo,
seja L : R2 → R2 definida por
L
([
u1
u2
])
=
[
u1 + u2
u1 − u2
]
e vejamos se é injetora.
Se L(v1) = L(v2), fazemos v1 =
[
x1
x2
]
, v2 =
[
y1
y2
]
e então
[
x1 + x2
x1 − x2
]
=
[
y1 + y2
y1 − y2
]
.
Daí, 2x1 = 2y1, implicando x1 = y1 e x2 = y2. Logo, v1 = v2 e L é
injetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 2 / 23
Por exemplo,
seja L : R2 → R2 definida por
L
([
u1
u2
])
=
[
u1 + u2
u1 − u2
]
e vejamos se é injetora.
Se L(v1) = L(v2), fazemos v1 =
[
x1
x2
]
, v2 =
[
y1
y2
]
e então
[
x1 + x2
x1 − x2
]
=
[
y1 + y2
y1 − y2
]
.
Daí, 2x1 = 2y1, implicando x1 = y1 e x2 = y2. Logo, v1 = v2 e L é
injetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 2 / 23
Também temos transformações que não são injetoras,
Por exemplo,
seja L : R3 → R2 definida por
L


u1
u2
u3

 =
[
u1
u2
]
e vejamos que não é injetora.
Se L


x1
x2
x3

 = L


y1
y2
y3

, então
[
x1
x2
]
=
[
y1
y2
]
. Daí, v1 6= v2
para x3 6= y3. Logo, L não é injetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 3 / 23
Mas temos outros meios de concluirmos se uma transformação é inje-
tora, para isso precisamos saber que:
Definição 2:
Seja L : V →W uma transformação linear. O núcleo de L é o
subconjunto de V que consiste de todos os elementos de V que são
associado ao vetor nulo de W , ou seja,
kerL = {v ∈ V |L(v) = 0W }.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 4 / 23
Observação
(a) kerL 6= ∅, pois
L(0V ) = 0W , donde 0V ∈ kerL.
(b) kerL é um subespaço de V , pois L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2) = 0W
e L(rv) = rL(v) = 0W ;
Por exemplo,
seja L : R3 → R2 definida por
L


u1
u2
u3

 =
[
u1
u2
]
.
Encontremos o kerL.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 5 / 23
Observação
(a) kerL 6= ∅, pois L(0V ) = 0W , donde 0V ∈ kerL.
(b) kerL é um subespaço de V , pois
L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2) = 0W
e L(rv) = rL(v) = 0W ;
Por exemplo,
seja L : R3 → R2 definida por
L


u1
u2
u3

 =
[
u1
u2
]
.
Encontremos o kerL.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 5 / 23
Observação
(a) kerL 6= ∅, pois L(0V ) = 0W , donde 0V ∈ kerL.
(b) kerL é um subespaço de V , pois L(v1 + v2) = L(v1) + L(v2) = 0W
e L(rv) = rL(v) = 0W ;
Por exemplo,
seja L : R3 → R2 definida por
L


u1
u2
u3

 =
[
u1
u2
]
.
Encontremos o kerL.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 5 / 23
Como
L


u1
u2
u3

 =
[
0
0
]
⇒
[
u1
u2
]
=
[
0
0
]
,
segue que u1 = 0 e u2 = 0, donde
kerL =
v =

u1
u2
u3
 ∈ R3
∣∣∣∣∣L(v) = 0W
 =


0
0
u3

∣∣∣∣∣u3 ∈ R
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 6 / 23
E com o seguinte resultado podemos ver que:
Teorema 1:
A transformação linear L : V →W é injetora se, e somente se,
kerL = {0V }.
Demonstração.
Se v ∈ kerL e L é injetora, então obtemos L(v) = 0W = L(0V ), donde
v = 0V , pois L(v) = L(w) implica v = w para todo v, w ∈ V . Logo,
kerL = {0V }.
Se kerL = {0V }, então L(v) = L(w), implica L(v)− L(w) = 0W , donde
L(v − w) = 0W e assim, v − w = 0V . Logo, v = w e L é injetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 7 / 23
No exemplo anterior obtermos que
kerL =


0
0
u3

∣∣∣∣∣u3 ∈ R
 6=


0
0
0

 ,
donde L não é injetora
Observação
(a) Também poderíamos anunciar esse teorema dizendo que L é
injetora se, e somente se, dimkerL = 0;
(b) E ter como consequência que se L(x) = b e L(y) = b, então
x− y ∈ kerL.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 8 / 23
IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Agora passamos a outra característica:
Definição 2:
Seja L : V →W uma transformação linear. A imagem de L é o
subconjunto de W que consiste de todos os elementos de W que são
associado por L a algum vetor de V , ou seja,
im L = {w ∈W |L(v) = w, para algum v ∈ V }.
Também dizemos que w é imagem de v por L e que L é sobrejetora
se im L =W .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 9 / 23
Por exemplo,
a projeção L : R3 → R2 definida por
L


u1
u2
u3

 =
[
u1
u2
]
é sobrejetora.
Pois, dado w ∈ R2 qualquer tem-se w =
[
a
b
]
. Assim, existe v =
a
b
u3
 ∈ R3, tal que L(v) = L


a
b
u3

 =
[
a
b
]
= w.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 10 / 23
Por exemplo,
a projeção L : R3 → R2 definida por
L


u1
u2
u3

 =
[
u1
u2
]
é sobrejetora.
Pois, dado w ∈ R2 qualquer tem-se w =
[
a
b
]
. Assim, existe v =
a
b
u3
 ∈ R3, tal que L(v) = L


a
b
u3

 =
[
a
b
]
= w.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 10 / 23
Observação
(a) A im L é um subespaço de W ;
(b) E para dizer se uma transformação linear é injetora ou
sobrejetora temos de resolver um sistema linear.
Esses também são importantes para determinar uma base de qualquer
subespaço, em particular do kerL e da im L.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 11 / 23
Por exemplo,
seja L : R3 → R3 definida por
L


u1
u2
u3

 =

u1 + u3
u1 + u2
u2 − u3
 .
Determinemos a dimkerL e dim im L.
Como L


u1
u2
u3

 =

0
0
0
 implica

u1 + u3
u1 + u2
u2 − u3
 =

0
0
0
, segue que
u1 + u3 = 0
u1 + u2 = 0
u2 − u3 = 0
. Daí,
u1 = −u3
u2 = u3
u3 = r
, r ∈ R. Assim,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 12 / 23
kerL =


−r
r
r

∣∣∣∣∣r ∈ R
 ,
donde,

−1
1
1
 gera o kerL e, portanto, dimkerL = 1 e portanto L não
é injetora.
Agora para im L como
u1 + u3
u1 + u2
u2 − u3
 = u1

1
1
0
+ u2

0
1
1
+ u3

1
0
−1

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 13 / 23
temos que im L = ger


1
1
0
 ,

0
1
1
 ,

1
0
−1

, assim, resta ver se
são L.I. fazendo
a1

1
1
0
+ a2

0
1
1
+ a3

1
0
−1
 =

0
0
0
 .
Daí, escalonando a matriz aumentada desse sistema obtemos,
1 0 1 p 0
0 1 −1 p 0
0 0 0 p 0

(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 14 / 23
Portanto,


1
1
0
 ,

0
1
1

 é uma base de im L e dim im L = 2.
Mas, temos um resultado que facilita esse trabalho:
Teorema 2:(do Núcleoe da Imagem)
Se L : V →W é uma transformação linear de uma espaço vetorial V de
dimensão n em um espaço vetorial W , então
dimkerL+ dim im L = dimV.
Assim, precisamos saber apenas a dimensão do núcleo ou da imagem de
L.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 15 / 23
Portanto,


1
1
0
 ,

0
1
1

 é uma base de im L e dim im L = 2.
Mas, temos um resultado que facilita esse trabalho:
Teorema 2:(do Núcleo e da Imagem)
Se L : V →W é uma transformação linear de uma espaço vetorial V de
dimensão n em um espaço vetorial W , então
dimkerL+ dim im L = dimV.
Assim, precisamos saber apenas a dimensão do núcleo ou da imagem de
L.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 15 / 23
Observação
A dimensão do kerL é também chamada de nulidade de L.
Por exemplo,
no exemplo anterior, a nulidade de L é igual a 1.
Também,
Corolário 1:
Se L : V →W é uma transformação linear tal que dimV = dimW ,
então:
(a) se L é injetora, então é sobrejetora;
(b) se L é sobrejetora, então é injetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 16 / 23
Observação
A dimensão do kerL é também chamada de nulidade de L.
Por exemplo,
no exemplo anterior, a nulidade de L é igual a 1.
Também,
Corolário 1:
Se L : V →W é uma transformação linear tal que dimV = dimW ,
então:
(a) se L é injetora, então é sobrejetora;
(b) se L é sobrejetora, então é injetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 16 / 23
Demonstração.
(a) Se L é injetora, então kerL = {0W }. Daí, dimkerL = 0. Logo,
pelo teorema 2, dim im L = dimV = dimW . Portanto, L é
sobrejetora.
(b) Se L é sobrejetora, então im L =W . Daí,
dim im L = dimW = dimV . Logo, pelo teorema 2,
dimkerL+ dimV = dimV , donde dimker = 0. Portanto, L é
injetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 17 / 23
Temos também outro tipo de transformação:
Definição 4:
Uma transformação linear L : V →W é chamada de invertível se for
uma função invertível, ou seja, se existir uma função L−1 :W → V ,
dita inversa de L, tal que
L−1 ◦ L = IV e L ◦ L−1 = IW ,
onde I é a transformação identidade, em IV (v) = v e IW (w) = w para
todo v ∈ V e w ∈W .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 18 / 23
Assim,
Teorema 3:
Uma transformação linear L : V →W é invertível se, e somente se, L
for injetora e sobrejetora. Também, L−1 é uma transformação linear e
(L−1)−1 = L.
Por exemplo,
Consideremos o operador linear L : R3 → R3 dado por
L


u1
u2
u3

 =

1 1 1
2 2 1
0 1 1


u1
u2
u3
 .
Vejamos que é invertível e qual é sua inversa.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 19 / 23
Como L


u1
u2
u3

 =

0
0
0
 implica

1 1 1
2 2 1
0 1 1


u1
u2
u3
 =

0
0
0
,
obtemos 
1 1 1 p 0
2 2 1 p 0
0 1 1 p 0

que escalonando, 
1 0 0 p 0
0 1 0 p 0
0 0 1 p 0
 ,
donde, L é injetora. E, como dimV = dimW , pelo corolário 1, L é
sobrejetora.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 20 / 23
Portanto, L é invertível. Daí, existe L−1 : R3 → R3 tal que L−1(w) =
v. Assim, para determinar L−1 fazemos w = L(v), donde,
w1
w2
w3
 =

1 1 1
2 2 1
0 1 1


v1
v2
v3

implicando
w1 = v1 + v2 + v3
w2 = 2v1 + 2v2 + v3
w3 = v2 + v3
e matricialmente

1 1 1 p w1
2 2 1 p w2
0 1 1 p w3
 ,
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 21 / 23
que escalonando chegamos a
1 0 0 p w1 − w2
0 1 0 p −2w1 + w2 + w3
0 0 1 p 2w1 − w2
 .
Logo, L−1 é dada por
L−1


w1
w2
w3

 =

v1
v2
v3
 =

w1 − w2
−2w1 + w2 + w3
2w1 − w2
 .
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 22 / 23
E finalizemos destacando que também:
Observação
(a) Uma transformação L : V →W é injetora se, e somente se, a
imagem L(S) de todo subconjunto L.I. S de V é L.I. em W ;
(b) Uma transformação L : V →W , onde dimV = dimW é
invertível se, e somente se, a imagem L(A) de toda base A de V é
uma base de W ;
(c) Também, se A é uma matriz n× n não singular, então a
transformação linear L : Rn → Rn dada por L(x) = Ax, x ∈ Rn, é
invertível.
(prof(a) Mônica Sousa) UFERSA 12 de maio de 2016 23 / 23