(Transformação Linear) Mostre através de testes apropriados que a transformação dada abaixo é uma transformação linear. Encontre a matriz que repre...

Para mostrar que uma transformação é linear, precisamos verificar duas propriedades: preservação da adição e preservação da multiplicação por escalar. Vamos analisar cada uma delas para a transformação T(x, y) = (x + y, y): 1. Preservação da adição: Vamos considerar dois vetores (x1, y1) e (x2, y2) e verificar se T(x1 + x2, y1 + y2) = T(x1, y1) + T(x2, y2). T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), y1 + y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, y1 + y2) T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1 + y1, y1) + (x2 + y2, y2) = (x1 + y1 + x2 + y2, y1 + y2) Podemos ver que T(x1 + x2, y1 + y2) = T(x1, y1) + T(x2, y2), portanto, a transformação preserva a adição. 2. Preservação da multiplicação por escalar: Vamos considerar um vetor (x, y) e um escalar c, e verificar se T(c * x, c * y) = c * T(x, y). T(c * x, c * y) = ((c * x) + (c * y), c * y) = (c * (x + y), c * y) c * T(x, y) = c * (x + y, y) = (c * (x + y), c * y) Podemos ver que T(c * x, c * y) = c * T(x, y), portanto, a transformação também preserva a multiplicação por escalar. Portanto, podemos concluir que a transformação T(x, y) = (x + y, y) é uma transformação linear. Para encontrar a matriz que representa essa transformação, basta escrever os coeficientes das variáveis x e y nas colunas da matriz. Nesse caso, a matriz será: | 1 1 | | 0 1 | O núcleo da transformação é o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor nulo. No caso da transformação T(x, y) = (x + y, y), o núcleo é o conjunto de vetores da forma (x, y) em que T(x, y) = (0, 0). Portanto, o núcleo é o conjunto {(0, 0)}. A imagem da transformação é o conjunto de todos os vetores que são obtidos aplicando a transformação a todos os vetores possíveis do espaço de partida. No caso da transformação T(x, y) = (x + y, y), a imagem é o conjunto de todos os vetores da forma (x + y, y), onde x e y podem assumir qualquer valor real. Quanto à injetividade e sobrejetividade da transformação, podemos observar que ela não é injetiva, pois existem diferentes vetores de entrada que são mapeados para o mesmo vetor de saída. Por exemplo, T(1, 0) = (1, 0) e T(0, 1) = (1, 1). Portanto, a transformação não é injetora. No entanto, a transformação é sobrejetiva, pois para qualquer vetor de saída (x, y), podemos encontrar um vetor de entrada (x - y, y) que é mapeado para esse vetor de saída. Portanto, a transformação é sobrejetora. Espero ter ajudado! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.