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UNIDADE IV 44 páginas 
 
ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA 
 
 A resposta em freqüência produz um novo enfoque vantajoso sobre o LR nas 
seguintes situações: 
 
1. quando se modela FT a partir de dados físicos; 
2. quando se projeta compensadores de avanço de fase para atender o erro de 
estado estacionário e a resposta transitória requerida; 
3. ao se determinar a estabilidade dos sistemas não-lineares; 
 
1.0 CONCEITO DE RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 
 
Entradas senoidais aplicadas à sistemas lineares geram respostas senoidais de 
mesma freqüência, diferenciando apenas em amplitude e fase. 
A magnitude da resposta em freqüência é a relação entre as magnitudes de 
entrada e de saída. Ambas são funções da freqüência e se aplicam apenas à 
resposta de estado estacionário. Considere o sistema mostrado na Figura (4.1). 
 
 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
Fig. 4.1 - a) sistema; b) função de transferência; c) formas de onda de entrada e de 
saída 
 
 A senóide de estado estacionário de saída é: 
UNIDADE IV 2 
 
 
 )()()(M)(M)()(M eeoo 
 (4.1) 
 
 A função do sistema á dada por: 
 
 
)(M
)(M
)(M
e
o



 e 
)()()( eo 
 (4.2) 
1.1 Expressões Analíticas de Resposta em Freqüência 
 
 A Figura (4.2) mostra um sistema G(s) com a transformada de Laplace de uma 
senóide genérica na entrada. 
 
 
)]A/B(tgtcos[BA)tsen(B)tcos(A)t(r 122 
 (4.3) 
 
 
Fig. 4.2 - Sistema com entrada senoidal 
 
 A resposta C(s) é dada por: 
 
 
)s(G
s
BAs
)s(C
22 


 (4.4) 
 
 Separando a solução forçada da solução transitória, executando uma expansão 
em frações parciais: 
 
G(s) de FPdas termos
js
k
js
k
)s(G
)js)(js(
BAs
)s(C 21 







 (4.5) 
 
 Expansão de G(s) em frações parciais. 
 
 
)ps)...(ps)(ps(
)s(N
)s(D
)s(N
)s(G
m21 

 
 
 
m
m
2
2
1
1
ps
k
...
ps
k
ps
k






 (4.6) 
 
 Se a ordem de N(s) for inferior a ordem de D(s), para calcular km, multiplica-se 
(4.6) por (s+pm). 
 
 
)ps)...(ps)(ps(
)s(N)ps(
)s(G)ps(
m21
m
m



 
 
 
...
)ps(
k
)ps(
ps(
k
)ps(
2
2
m
)1
1
m 




 
 
 
m
1m
1m
m k
)ps(
k
)ps( 




 (4.7) 
UNIDADE IV 3 
 Fazendo 
mps 
, em (4.7), todos os termos da direita tenderão a zero, exceto o 
termo km. 
 
logo 
m
p sm21
m k
)ps)....(ps)(ps(
)s(N)ps(
m




 (4.8) 
 
 No caso de (4.5) tem-se: 
 
 
  Ge jG
j
e
j- s
1 eMeM
2
1
)j(GjBA
2
1
)s(G
)js(
BAs
k






 
 
 
)(jGe Gee
2
MM 
 (4.9) 
 
  Ge jG
j
e
j s
2 eMeM
2
1
)j(GjBA
2
1
)s(G
)js(
BAs
k






 
 
 
*
1
)(jGe ke
2
MM
Ge  
 (4.10) 
 
onde 
*
1k
 é o conjugado complexo de 
1k
. 
 
 
)j(GMG 
 e 
)G(j de ânguloG 
 (4.11) 
 
 A saída senoidal de estado estacionário é: 
 
 









js
e
2
MM
js
e
2
MM
js
k
js
k
C
)(jGe)(jGe
21
ss
GeGe
 (4.12) 
 
 Aplicando a transformada de Laplace inversa tem-se: 
 
 
)tcos(MM
2
ee
MM)t(c GeGe
)t(j)t(j
Ge
GeGe








 

 (4.13) 
 
que pode ser representada na forma de fasor por: 
 
 
)M)(M(M GGeess 
 (4.14) 
 
 Com base em (4.11) 
GGM 
 é a função resposta de freqüência de um sistema 
cuja FT é G(s), onde: 
 
 
 js)s(G)j(G
 (4.15) 
 
 
UNIDADE IV 4 
1.2 Gráfico da resposta em freqüência 
 
 Pode ser plotada de várias formas; duas delas são: 
 
1. Através de gráficos separados de magnitude e de fase, em função da 
freqüência (diagramas de Bode); 
2. Por meio de um gráfico polar onde o comprimento do fasor é a magnitude e o 
ângulo é a fase (diagrama de Nyquist). 
 
2.0 DIAGRAMA DE BODE 
 
Para o caso 1), a curva de magnitude pode ser traçada em decibéis (dB), onde 
dB=20logM. 
 
Exemplo: Determinar a expressão analítica de magnitude e de fase da resposta 
em freqüência do seguinte sistema: 
 
 
2s
1
)s(G


 
 
 Fazendo 
 js
 na FT acima tem-se: 
 
 
4
j2
2j
1
)j(G
2 




 
cujo módulo é dado por: 
 
)4(
1
)(M)j(G
2 

 
onde o módulo em dB e a fase são: 
 










)4(
1
log20)(Mlog20
2
 e 





 
 
2
tg)( 1
 
 
 
Fig. 4.3 - Diagrama de módulo e de fase de G(s) 
 
UNIDADE IV 5 
2.1 Aproximações assíntotas: Gráficos de Bode 
 
 As curvas logarítmicas de módulo e de fase são chamadas de gráfico de Bode. 
 O gráfico de Bode pode ser simplificado por uma seqüência de linhas retas. 
 Considere a seguinte FT: 
 
 
)ps)...(ps)(ps(s
)zs)...(zs)(zs(k
)s(G
n2
m
k21
1



 (4.16) 
 
 




js
n21
m
k21
ps...pspss
zs...zszsk
)j(G
 (4.17) 
 
 
k21 zslog20...zslog20zslog20klog20)j(Glog20 
 
 
 
jwsn21
m plog20....pslog20pslog20slog20


 (4.18) 
 
 Gráfico do módulo e de fase de Bode para G(s)=(s+a) 
 
 
)as()s(G 
 (4.19) 
 
 








 1
a
ja)aj()j(G
 (4.20) 
 
 Nas baixas freqüências, quando 
0
, tem-se 
a)j(G 
 e a resposta em 
freqüência em dB é 
)alog(20Mlog20 
. 
 
 Nas altas freqüências, onde 
a
 tem-se: 
 
 
oo 9090
a
a
a
j
a)j(G 




 





 

 (4.21) 
 
e a resposta em freqüência em dB é: 
 
 
)log(20Mlog20 
 (4.22) 
 
Fig. 4.4 - Diagrama de módulo de Bode assintótica para G(s)=s+a 
UNIDADE IV 6 
 Na freqüência dequebra 
a
, a Equação (4.20) mostra que a fase é 45º, ou 
seja: 
 
11j1
a
ja)j(G 








 (4.23) 
 
e nas baixas freqüências, Equação (4.20), a fase é zero. 
 
 
a)j(G 
 (4.24) 
 
e nas altas freqüências, Equação (4.20), a fase é 90º. 
 
 
o90
a
a
a
j
a)j(G 




 





 

 (4.25) 
 
Fig. 4.5 - Diagrama de fase de Bode assintótica para G(s)=s+a 
 
Tab. 4.1 - Resposta em freqüência assintótica e real normalizada 
 
UNIDADE IV 7 
 
Fig. 4.6 - Diagrama de Bode em módulo assintótica e real normalizada 
 
Fig. 4.7 - Diagrama de Bode em fase assintótica e real normalizada 
 
 Diagrama de Bode para G(s)=1/(s+a) 
 
 
as
1
)s(G


 (4.26) 
 
 Esta função tem um a assíntota de baixas freqüências dada por: 
 
 
o0
a
1
)s(G 
 (4.27) 
e para altas freqüências: 
 
UNIDADE IV 8 
 
o90
1
j
1
)s(G 




 (4.28) 
 Em dB tem-se: 
 
 
)log(20Mlog20 
 (4.29) 
 
Fig. 4.8 - Diagrama de Bode em módulo assintótica normalizada 
 
 
Fig. 4.9 - Diagrama de Bode em fase assintótica normalizada 
 
Diagrama de Bode para G(s)=s 
 
 
a) 
 
b) 
 
Fig. 4.10 - Diagrama de Bode para G(s)=s; a) módulo; b) fase 
 
UNIDADE IV 9 
Diagrama de Bode para G(s)=1/s 
 
 
a) b) 
 
Fig. 4.11 - Diagrama de Bode para G(s)=1/s; a) módulo; b) fase 
 
 Exemplo: Esboce o gráfico de Bode para o sistema 
)2s)((1s(s
)3s(k
)s(G



. 
 
 A equação acima pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 















1
2
s
)1s(s
1
3
s
k
2
3
)s(G 
 
 a) 
 
 b) 
 
Fig. 4.12 - Diagrama de módulo de Bode; a) funções separadas; b) resultante 
UNIDADE IV 10 
 
 a) 
 
 
 b) 
Fig. 4.13 - Diagrama de fase de Bode; a) funções separadas; b) resultante 
 
 Diagrama de Bode para fatores de segunda ordem 
 
 O polinômio de segunda ordem é da forma: 
 
 










 2nn2
n
2
2
n
2
nn
2 s2
s
s2s)s(G
 (4.30) 
 Nas baixas freqüências, (4.30) se transforma em: 
 
 
o2
n 0)s(G 
 (4.31) 
e o módulo em dB é: 
 
 
2
nlog20)s(Glog20Mlog20 
 (4.32) 
 
 Nas altas freqüências tem-se: 
 
 
o222 180s)s(G 
 (4.33) 
e o módulo em dB é: 
 
 
 log40log20)s(Glog20Mlog20 2
 (4.34) 
 
UNIDADE IV 11 
 
Fig. 4.14 - Diagrama de módulo de Bode 
 
 Nas baixas freqüências, a fase é 0o e nas altas é 180o. 
 
 Para determinar a fase na freqüência natural faz-se 
 js
, ou seja: 
 
 
    n22njs2nn2 2js2s)j(G
 (4.35) 
 
 Fazendo 
n
 tem-se: 
 
 
2
n2j)j(G 
 (4.36) 
 
 De acordo com (4.36) a fase é +90º. 
 
Fig. 4.15 - Diagrama de fase de Bode 
 
 Como a função de segunda ordem depende do fator de amortecimento 

, o erro 
das assíntotas é maior que no sistema de primeira ordem. 
 
 Com base na Equação (4.35) tem-se: 
 
 
 
  2n22n )2(M 
 (4.37) 
 
e 
 
22
n
n1 2tg


 
 (4.38) 
UNIDADE IV 12 
 
 a) 
 
 
 b) 
 
Fig. 4.16 - Diagrama de Bode para a Equação (4.37); a) módulo; b) fase 
 
 O polinômio de segunda ordem é da forma: 
 
 
2
nn
2 s2s
1
)s(G


 (4.39) 
 
 O raciocínio é similar ao caso anterior. 
 
UNIDADE IV 13 
 
 a) 
 
 b) 
Fig. 4.17 - Diagrama de Bode para a Equação (4.39); a) módulo; b) fase 
 
2.2 Estabilidade, margem de ganho e margem de fase através do diagrama de 
Bode 
 
 A margem de fase e a margem de ganho informam quão estável o sistema é. 
 Sistemas com margem de ganho e de fase maiores podem suporta maiores 
mudanças nos parâmetros dos sistemas antes de se tornarem instáveis. 
 As margem de ganho e de fase podem ser qualitativamente relacionadas com o 
LR, no sentido de que, sistemas cujos pólos estão mais distantes do eixo imaginário, 
apresentam um maior grau de estabilidade. 
 
 Margem de ganho, GM. É a mudança no valor do ganho, em dB, em malha 
aberta, no ponto com fase de 180o, necessário para tornar o sistema instável em 
malha fechada. 
UNIDADE IV 14 
 Margem de fase, M. É a mudança no valor da fase em malha aberta, no ponto 
com ganho unitário, necessário para tornar o sistema instável em malha fechada. 
 
Margem de ganho e de fase a partir do diagrama de Bode 
 
 A Figura (4.18) mostra a margem de ganho e de fase no diagrama de Bode. 
 
 
Fig. 4.18 - Margens de ganho e de fase 
 
onde M é a freqüência de margem de fase e GM é a freqüência de margem de 
ganho. 
 
 Exemplo: Determinar a faixa de valores de k para o qual o sistema com retroação 
unitária abaixo é estável. 
 
 
)5s)(4s)(2s(
k
)s(G


 
 
 O sistema em malha fechada será estável, se a resposta em freqüência for menor 
que a unidade, quando a fase for 180º. 
 Para traçar o diagrama de Bode de módulo e fase é necessário conhecer o valor 
de k. 
O digrama de Bode da Figura abaixo foi traçado para um valor de k=40. 
 
 Na freqüência de 7 rad/s, onde a fase é -180o, a magnitude é -20 dB. Por 
conseguinte, é possível um aumento no ganho de 20 dB (que corresponde a um 
ganho de 10), para o sistema se tornar instável. 
 
 Portanto, o ganho necessário é 10x40=400. Logo 0<k<400 para o sistema se 
manter estável. 
 No sistema real, o ganho é 378 e a freqüência é 6,16 rad/s. 
 
 Se k=200 (5 vezes maior), o diagrama de módulo será 20log5=13,98dB mais 
elevado. 
 Neste caso o ganho é -20+13,98=-6,02dB e a margem de ganho é 6,02dB. 
UNIDADE IV 15 
 A margem de fase é determinada no ponto onde o módulo cai de -13,98dB, o que 
corresponde a -165o-(-180o)=15o na freqüência de 5,5 rad/s 
 
 
 
2.3 Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência em MF 
 
 Considere o sistema de controle, com retroação, de segunda ordem, dado pela 
seguinte FT em malha fechada: 
 
 
2
nn
2
2
n
s2s)s(R
)s(C
)s(T


(4.40) 
 
 
 
Fig. 4.19 - Sistema de segunda ordem em MF 
 
 A magnitude de resposta em freqüência em malha fechada é: 
 
 
  22n2
222
n
2
n
4
)j(TM



 (4.41) 
 
UNIDADE IV 16 
 
Fig. 4.20 - Gráfico logarítmico de módulo dado por (4.41) 
 
 Elevando (4.41) ao quadrado, derivando com relação a 2 e fazendo a derivada 
igual a zero tem-se: 
 
 
2
P
12
1
M


 (4.42) 
e 
 
 
2
nP 21 
 (4.43) 
 
 Uma outra relação entre a resposta em freqüência e a resposta no domínio do 
tempo é a banda passante, 
BW
, cujo valor corresponde ao ponto onde a curva de 
módulo cai 3 dB com relação à freqüência zero (Fig. 4.20). 
 Neste caso, fazendo M=0,707 em (4.41), resulta em: 
 
 
  24421 242nBM 
 (4.44) 
 
 Para relacionar 
BW
 com o tempo de assentamento, substitui-se 
 sn T4
 em 
(4.44) que resulta em: 
 
 
  24421
T
4 242
s
BM 


 (4.45) 
 De modo semelhante, como 
 2Pn 1T 
: 
 
 
  24421
1T
242
2
P
BM 



 (4.46) 
 
2.4 Fator de amortecimento a partir da margem de fase 
 
 Considere um sistema com retroação unitária cuja FT em malha aberta é: 
UNIDADE IV 17 
 
)2s(s
)s(G
n
2
n



 (4.47) 
 
 Para calcular a margem de fase deve-se fazer 
1)j(G 
, ou seja: 
 
1
2j n
2
2
n 


 (4.48) 
 
 A freqüência 
1
 que satisfaz (4.48) é: 
 
 
42
n1 412 
 (4.49) 
 
 O ângulo de fase nesta freqüência é: 
 
n
11
2
tg90)j(G


 
 
 
 


 
2
142
tg90
42
1
 (4.50) 
A diferença entre o ângulo dado por (4.50) e -180o é a margem de fase: 
 


 
2
412
tg90
42
1
M
 
 
 
42
1
412
2
tg


 
 (4.51) 
 
 Fig. 4.21 - Gráfico de margem de fase dado por (4.51) 
 
 De acordo com (4.43) não existe freqüência de pico se 
707,0
. Portanto, a 
partir da Figura (4.21) é necessário uma margem de fase 
o
M 52,65
, a partir da 
resposta em malha aberta para assegurar que não existirá pico na resposta em 
malha fechada. 
 
UNIDADE IV 18 
2.5 Erro de estado estacionário a partir da resposta em freqüência 
 
 Os valores de kp, kv e ka para sistema s do tipo 0, tipo1 e tipo 2, respectivamente 
podem ser obtidos a partir do diagrama de Bode. 
 Constante de posição kp 
 
 Considere o seguinte sistema tipo 0 
 
 
)ps(
)zs(
k)s(G
i
m
1i
i
n
1i




 (4.52) 
 Cujo valor inicial é: 
 
i
m
1i
i
n
1i
p
z
klog20Mlog20




 (4.53) 
 Mas para um sistema tipo 0: 
 
 
i
m
1i
i
n
1i
p
p
z
kk




 (4.54) 
 
 Que é o mesmo valor do eixo nas baixas freqüências. 
 
 
Fig. 4.22 - Diagrama de Bode mostrando a constante de erro estático para um 
sistema do tipo 0 
 
 Constante de velocidade 
 
 Considere um sistema dado do tipo1 dado por: 
 
 
)ps(s
)zs(
k)s(G
i
m
1i
i
n
1i




 (4.55) 
 
 O diagrama de Bode começa em: 
 
UNIDADE IV 19 
 
i
m
1i
o
i
n
1i
p
z
klog20Mlog20




 (4.56) 
 A inclinação -20 dB/década pode ser pensada como se originando a partir de 
uma função: 
i
m
1i
i
n
1i
ps
z
k)s('G





 (4.57) 
 G'(s) cruza o eixo de freqüência quando: 
 
i
m
1i
i
n
1i
p
z
k




 (4.58) 
 Mas, para o sistema original (4.56) : 
 
i
m
1i
i
n
1i
v
p
z
kk




 (4.59) 
 
 Que é a interseção com o eixo de freqüências como mostra a Figura (4.23). 
 
 
Fig. 4.23 - Diagrama de Bode mostrando a constante de erro estático para um 
sistema do tipo 1 
 
 Constante de aceleração 
 
 Para determinar ka, para um sistema tipo 2, considere o seguinte sistema: 
 
 
)ps(s
)zs(
k)s(G
i
m
1i
2
i
n
1i




 (4.60) 
 O diagrama de Bode se inicia em: 
 
i
m
1i
2
o
i
n
1i
p
z
klog20Mlog20




 (4.61) 
UNIDADE IV 20 
 A inclinação de -40 dB/década pode ser vista como originária de uma função: 
 
i
m
1i
2
i
n
1i
ps
z
k)s('G




 (4.62) 
 G'(s) cruza o eixo de freqüência quando: 
 
 
i
m
1i
i
n
1i
p
z
k




 (4.63) 
 
 Mas, para o sistema original (4.60) tem-se: 
 
i
m
1i
i
n
1i
a
p
z
kk




 (4.64) 
 
 Portanto, a inclinação inicial cruza o eixo de freqüência em 
ak
. 
 
Fig. 4.24 - Diagrama de Bode mostrando a constante de erro estático para um 
sistema do tipo 2 
 
 Exemplo: Para cada diagrama da Figura abaixo. Determine o tipo de sistema e a 
constante de erro estático apropriada. 
 
 Sistema tipo 0 
 
 
 Uma vez que a inclinação inicial á zero, o valor de kp é dado pela assíntota de 
baixa freqüência. 
 
UNIDADE IV 21 
 
78,17k25klog20 pp 
 
 
 Sistema tipo 1 
 
 
 
 Uma vez que a inclinação é -20dB/déc., o valor de kv é dado pelo valor da 
freqüência que cruza o diagrama em 
55,0
. 
 
 Sistema tipo 2 
 
 Uma vez que a inclinação inicial é -40dB/década, o valor da freqüência é: 
 
 
93kk 3aa 2.6 Resposta transitória através do ajuste de ganho 
 
 Observando-se a Figura (4.25) pode-se vê que para se obter uma margem de 
fase CD é necessário elevar o ganho de AB na curva de módulo. 
Portanto, um simples ajuste de ganho muda a margem de fase e a 
ultrapassagem percentual. 
 
 Procedimento de projeto 
 
1. Traçar o diagrama de Bode de módulo e de fase para um ganho conveniente; 
2. Usando (2.21) e (4.51) determinar a margem de fase requerida a partir da 
ultrapassagem percentual; 
3. Determinar a freqüência 
M
 no diagrama de fase de Bode que leva à fase 
desejada; 
4. Mudar o ganho do valor AB para forçar a curva de módulo cruzar 0 dB na 
freqüência 
M
. 
UNIDADE IV 22 
 
Fig. 4.25 - Diagrama de módulo e de fase de Bode 
 
Exemplo: Para o sistema da Figura abaixo, determinar o valor do ganho do pré-
amplificador, k, para que a resposta transitória a uma entrada em degrau apresente 
uma ultrapassagem de 9,5%. 
 
 
Sistema de controle de posição 
 
1. Escolher k=3,6 para iniciar o diagrama de módulo em 0 dB para =0,1 rad/s, 
como mostra a Figura abaixo. 
2. Usando a Equação (2.21), uma ultrapassagem de 9,5% implica 
6,0
, para 
os pólos em malha fechada dominantes. 
3. A Equação (4.51) leva a uma margem de fase de 59,2º, para 
.6,0
 
4. Uma margem de fase de 59,2o leva a uma fase de -120,8o para uma 
freqüência de 14,8 rad/s. 
5. Na freqüência de 14,8 rad/s, o ganho é -44,8 dB. Como o gráfico de módulo 
foi traçado para k=3,6, é necessário um ganho de 44,2 dB, ou seja, 
k=3,6x162,2=583,9 para obter a margem de fase requerida. 
 
 
 A FT de malha aberta com o ganho ajustado é: 
 
 
 
)100s)(36s(s
900.583
)s(G


 
 
UNIDADE IV 23 
 
Diagrama de Bode de módulo e de fase 
 
 
Características do sistema compensado 
 
 
3.0 ANÁLISE PELO DIAGRAMA DE NYQUIST 
 
 O critério de Nyquist relaciona a estabilidade de um sistema à malha fechada à 
resposta de freqüência e a localização dos pólos a malha aberta. 
 O conhecimento da resposta de freqüência do sistema à malha aberta conduz à 
informação sobre a estabilidade do sistema a malha fechada. 
 Este conceito é semelhante ao do lugar das raízes onde se começa com as 
informações sobre os pólos e os zeros de malha aberta. 
 
3.1 Dedução do diagrama de Nyquist 
 
 Considere o diagrama de blocos da Figura (4.26). O critério de Nyquist pode 
informar quantos pólos a malha fechada estão no semiplano direito. 
 
UNIDADE IV 24 
 
Fig. 4.26 – Sistema de controle a malha fechada 
 
 
G
G
D
N
)s(G 
 (4.65) 
 
 
H
H
D
N
)s(H 
 (4.66) 
 
 
HG
HG
DD
NN
)s(H)s(G 
 (4.67) 
 
 
HG
HGHG
HG
HG
DD
NNDD
DD
NN
1)s(H)s(G1


 (4.68) 
 
 
HGHG
GG
NNDD
DN
)s(H)s(G1
)s(G
)s(T




 (4.69) 
 
 Com base nas Eqs. (4.67, 468 e 469) conclui-se que: 
 
1. Os pólos de 1+G(s)H(s) são os mesmos que os pólos de G(s)H(s); 
2. Os zeros de 1+G(s)H(s) são os mesmos que os pólos de T(s); 
 
2.2 Mapeamento 
 
 A substituição de um número complexo s em uma função F(s) resultará em outro 
número complexo. Este processo é chamado de mapeamento. 
 
 Por exemplo: A substituição do número complexo s = 4+j3 na função (s2+2s+1), 
gera o número complexo 16+j30. Neste caso, diz-se que o ponto 4+3j é mapeado no 
ponto 16+j30 através da função (s2+2s+1). 
 Para compreender o conceito de mapear contorno pode-se considerar a coleção 
de pontos mostrada na Figura (4.27) como contorno da A e que cada ponto do 
contorno seja mapeado no contorno B através da seguinte Expressão: 
 
 
)...ps)(ps(
)...zs)(zs(
)s(F
21
21



 (4.70) 
 
 
Fig. 4.27 – Mapeamento do contorno A no contorno B. 
UNIDADE IV 25 
 O ponto Q no contorno A é mapeado no ponto Q! no contorno B através da 
função F(s). 
 A Figura (4.28) mostra exemplos de mapeamento de um contorno através de 
algumas F(s) simples. 
 O número resultante R é calcula a partir de números complexos representados 
por V. 
 
1. Se o mapeamento for feito no sentido horário como mostra a Figura 
(4.27a), o contorno B será mapeado, também, no sentido horário se o 
sistema possuir unicamente zeros e no sentido anti-horário se possuir 
apenas pólos (Figura 4.3b). 
 
 
 
 
Fig. 4.28a – Mapeamento unicamente com zeros. 
 
 
Fig. 4.28b – Mapeamento unicamente com pólos. 
 
2. Se o pólo ou zero estiver envolvido pelo contorno, o mapeamento 
envolverá a origem (Figuras 4.27c e d). 
 
 
 
Fig. 4.28c – Mapeamento quando o zero é envolvido pelo contorno. 
 
UNIDADE IV 26 
 
 
Fig. 4.28d – Mapeamento quando o pólo é envolvido pelo contorno. 
 
3. O mapeamento quando a função possui um pólo e um zero, a rotação do 
pólo e do zero se cancelam, e o mapeamento não envolve a origem 
(Figura 4.29). 
 
 
 
Fig. 4.29 – Mapeamento quando a função possui um pólo e um zero. 
 
 Supondo que F(s)=1+G(s)H(s) tenha dois zeros e três pólos, cada termo entre 
parênteses na Eq. (4.70) é um vetor na Figura (4.30). À medida que se desloca ao 
longo do contorno A na direção horária, cada vetor da Eq. (4.70) que se encontre no 
interior do contorno A parecerá ser submetido a uma rotação completa (360o). 
 Por outro lado, para pólos e zeros fora do contorno A parecerá oscilar e retornar 
à posição anterior, com uma variação angular líquida de 0o. 
 
 
Fig. 4.30 – Representação do mapeamento por vetor. 
 
 Como mostra a Figura (4.30), os pólos de 1+G(s)H(s) [Eqs. (4.69)], são também 
pólos de G(s)H(s) e são conhecidos. 
Os zeros de 1+G(s)Hs), são também os pólos de T(s) e não são conhecidos. 
 Através da Eq. (4.71) pode-se calcular o número de rotações N no sentido anti-
horário do mapeamento em torno da origem. 
 
UNIDADE IV 27 
 
ZPN 
 (4.71) 
 
onde: P é o número de pólos em malha aberta no interior do contorno; 
 Z é o número de pólos a malha fechada no interior do contorno. 
 
 Se um contorno, A, que envolve o semiplano da direita através de G(s)H(s) 
então, o número de pólos a malha fechada, Z, no semiplano da direita é igual ao 
número de pólos à malha aberta, P, que estão no semiplano da direita, menos o 
número de rotações no sentido anti-horário, N, em torno de –1 do mapeamento. 
 
 
NPZ 
 (4.72) 
 
2.3 critério de Nyquist para determinar a estabilidade 
 
 A Figura (4.31a) mostra um contorno, A, que não envolve os pólos a malha 
fechada. 
 O contorno que é mapeado através de G(s)H(s) no diagrama de Nyquist não 
envolve –1. Portanto, P=0, N=0 e Z=0. 
 Uma vez que Z é o número de pólos a malha fechada dentro do contorno, A, 
este sistema não tem pólos no semiplano direito e é estável. 
 Na Figura (4.30b), embora o contorno, A, não circunscreva pólos à malha aberta 
gera dois envolvimentos do –1 no sentido horário. Assim, P=0 e N=-2, o que significa 
que existe dois pólos a malha fechada nosemiplano direito e o sistema é instável. 
 
 
a) 
 
b) 
 
 O = zeros de 1+G(s)H(s) X = pólos de 1 +G(s)H(s) 
 = n° de pólos do sistema = n° de pólos de G(s)H(s) 
 a malha fechada 
 
Fig. 4.31 – a) sistema estável; b) sistema instável. 
 
 
UNIDADE IV 28 
2.4 Esboço do diagrama de Nyquist 
 
 Exemplo: Esboçar o diagrama de Nyquist para os sistemas da Figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Sistema de controle de velocidade de uma turbina. 
 
 À medida que se desloca no sentido horário, ao longo do contorno, do ponto A 
ao ponto C na Figura (4.32a), o ângulo resultante vai de 0o a -3x90o=-270o, ou de A' 
a C' na Fig. (4.32c). 
 Como os ângulos emanam dos pólos no denominador de G(s), os pólos ganham 
270o no sentido anti-horário e a função perde 270o. 
 À medida que a resultante se desloca de A' para C', na Figura (4.8c), sua 
amplitude muda de acordo com o produto dos módulos dos zeros pelo produto dos 
módulos dos pólos. 
 Por conseguinte, a resultante vai de um valor finito na freqüência zero até o valor 
zero na freqüência infinita no ponto C. 
 
 
 
 a) b) 
UNIDADE IV 29 
 
 c) 
Fig. 4.32 – a) Vetores no contorno em baixas freqüências; b) vetores no contorno em 
torno do infinito; c) diagrama de Nyquist. 
 
 O mapeamento do ponto A ao ponto C também pode ser explicado 
analiticamente. De A a C G(s)=G(jω), ou seja: 
 
)43(j)3014(
500
)10s)(3s)(1s(
500
)j(G
32
js 




 
 
 Multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado complexo tem-se: 
 
2322
32
)43(j)3014(
)43(j)3014(
500)j(G



 
 
 Na freqüência zero, G(jω)=50/3. Portanto, o diagrama de Nyquist começa em 
50/3 com um ângulo de 0o. A medida que ω aumenta a parte real se mantém 
positiva e a parte imaginária negativa. 
 Em 
14
30

a parte real se torna negativa e em 
43
 o diagrama de Nyquist 
corta o eixo real negativo, visto que o termo imaginário é nulo. 
 Continuando aumentando ω em direção ao infinito, a parte real continua 
negativa e a parte imaginária positiva. 
 Na freqüência infinita, G(jω)=
2
500j
)j(G


, ou aproximadamente zero com 90o. 
Ponto C' na Figura (4.32c). 
 Ao longo do semicírculo do ponto C ao ponto D na Figura (4.32b), os vetores 
giram cada um deles de 180o no sentido horário e a resultante realiza uma rotação 
no sentido anti-horário, uma rotação de 3x180o, começando no ponto C' e 
terminando no ponto D' na Figura (4.32c). 
 No ponto C, os ângulos são todos 90o. Portanto a resultante é 0-270o. De 
modo semelhante, no ponto D, G(s)=0+270o e é mapeado no ponto D'. Pode-se 
selecionar pontos intermediários para verificar a espiral, cujo valor radial tende a 
zero na origem. 
 Como a parte real é uma função par e a parte imaginária uma função ímpar, o 
diagrama é simétrico com relação ao eixo real. 
 Quando há pólos a malha aberta situados sobre o contorno, torna-se necessário 
fazer um desvio ao redor dos pólos; caso contrário, o mapeamento iria para o infinito 
de uma forma indeterminada, sem informação angular. 
 A Figura (4.33a) mostra os esboços com os desvios dos pólos. 
 
UNIDADE IV 30 
 
 a) b) c) 
Fig. 4.33 – Contorno dos pólos a malha aberta; a) pólos no contorno; b) contorno à 
direita; c) contorno à esquerda. 
 
 Quando se contorna à direita cada vetor do pólo gira de um ângulo de 180o , e à 
esquerda -180o. 
 
 Exemplo: Esboçar o diagrama de Nyquist de um sistema com retroação unitária 
onde 
2s
1s
)s(G


. 
 Os dois pólos na origem estão no contorno e devem ser desviados, conforme 
mostra a Figura (4.34a). 
 No ponto A, os dois pólos a malha aberta na origem contribuem com 2x90o = 
180o e o zero contribui com 0o. Nas proximidades da origem a função é infinita 
mapeando o ponto A no ponto A' localizado no infinito com um ângulo de –180o. 
 
 
a) b) 
 
Fig. 4.34 - a) contorno; b) diagrama de Nyquist. 
 
 De A para B resulta uma variação líquida de 90o devida unicamente ao zero e os 
ângulos dos pólos permanecem os mesmos. Desta maneira o mapeamento muda 
para +90o no sentido anti-horário e o vetor mapeado passa de infinito com um 
ângulo de –180o em A' para zero e ângulo de –90o em B'. 
 Analiticamente tem-se: 
2
)j2(
)j(G



, nas baixas freqüências, 
2
2
)j(G


 
ou   180o e nas altas freqüências, 


j
)j(G
 ou 0 90o. Além disso, as partes 
reais e imaginárias são negativas. 
UNIDADE IV 31 
 À medida que os vetores se movem ao longo do contorno BCD o vetor do zero e 
os vetores dos pólos sofrem mudança de –180o cada, com a função de intensidade 
permanecendo em zero. 
 Desta forma, o vetor mapeado sofre uma variação angular líquida de +180o que 
é variação angular do zero menos a soma das variações angulares dos pólos. 
 Finalmente, no trecho EFA, a intensidade resultante tende a infinito. O ângulo do 
zero não muda, mas cada pólo muda de um ângulo de 180o .Esta alteração produz 
uma mudança na função de -2x180o = -360o. 
 Analiticamente tem-se: 
 
 Em E, G(s) = (20o)/[( -90o)(  -90o)] = 180o. 
 Em F, G(s) = (20o)/[( 0o)(  0o)] = 0o. 
 Em A, G(s) = (20o)/[( 90o)(  90o)] = -180o. 
 
 Uma linha radial de teste a partir de –1, na Figura (4.34b), mostra uma volta em 
torno do eixo no sentido anti-horário e uma no sentido horário produzindo zero 
envolvimento. 
 
2.5 Estabilidade por intermédio do diagrama de Nyquist 
 
 O número de pólos a malha aberta de G(s)H(s) no interior do contorno, e de N, o 
número de envolvimentos do ponto –1 são usados para determinar Z, o número de 
pólos a malha fechada situados no semiplano direito. 
 A faixa de valores do ganho, K, para que o sistema seja estável pode ser 
determinada como no critério do LR e o critério de Routh-Hurwitz. 
 A abordagem geral consiste em ajustar o ganho de malha com valor unitário e 
esboçar o diagrama de Nyquist. O efeito do ganho é o de multiplicar a resultante por 
uma constante em qualquer ponto do gráfico. 
 
 Exemplo: O sistema da Figura (4.35a) tem um ganho variável K. 
 
 
a) 
 
 b) c) 
Fig. 4.35 – a) diagrama de blocos; b) contorno; c) diagrama de Nyquist. 
UNIDADE IV 32 
 Para este sistema, uma vez que P=2, o ponto crítico deve ser envolvido pelo 
diagrama de Nyquist, para se obter N=2 e um sistema estável. 
 Uma redução do banho colocaria o ponto crítico fora do diagrama de Nyquist 
onde N=0, produzindo Z=2, um sistema instável. 
 Outra forma de verificar a estabilidade é supor que o diagrama permaneça 
estacionário e o ponto –1 se movendo ao longo do eixo real. 
 Para isso, ajusta-se o ganho unitário e posiciona-se o ponto crítico em –1/K em 
vez de em –1. Desta forma o ponto crítico se afasta da origem quando K diminui e 
se aproxima quando K diminui. 
 Com base no conceito do LR, quando G(s)H(s)=-1 a variável s é um pólo a 
malha fechada do sistema. 
 A freqüência na qual o diagrama de Nyquist cruza o ponto –1 é a mesma 
freqüência em que o LR cruza o eixo imaginário, o que caracteriza um sistema 
marginalmente estável. 
 Em resumo, se o sistema a malha aberta contém um ganho variável, K, deve-se 
fazer K=1, para esboçar o diagrama de Nyquist, considerando que o ponto crítico 
esteja em –1/K e não em –1. Ajustar o valor de K, para gerar estabilidade, com base 
no critério de Nyquist.Exemplo: Para um sistema com retroação unitária em que 
)5s)(3s(s
K
)s(G


, 
determine o valor de K para a estabilidade e instabilidade. 
 
 
2224
32
1K )15(64
)15(j8
)5j)(3j(j
K
)j(G






 
 
 Em =0, G(j)=-0,0356 - j. Fazendo a parte imaginária igual a zero na equação 
acima encontra-se 
15
, que, substituído na mesma equação resulta na parte 
real igual a – 0,0083. 
 Finalmente, em = G(j)=1/(j)3 = 0 -270o. Com base na Figura (4.36a), 
P=0; para estabilidade N deve ser igual a zero, de modo que Z=0. 
 Neste caso, K deve ser aumentado de 1/0,083=120,5 antes do diagrama 
envolver o ponto –1. Portanto, para a estabilidade K<120,5 e K>120,5 para a 
instabilidade. Se K=120,5 o sistema é marginalmente estável. Neste ganho o gráfico 
intercepta –1 em 
15
rad/s. 
 
 
 a) b) 
 
Fig. 4.36 – a) contorno; b) diagrama de Nyquist. 
 
UNIDADE IV 33 
2.6 Estabilidade por intermédio do mapeamento do eixo j positivo 
 
 A verificação da estabilidade de um sistema pelo diagrama de Nyquist pode ser 
simplificado usando apenas o mapeamento do eixo j positivo. 
 O sistema da Figura (4.37) é estável para valores baixos do ganho e instável 
para valores altos do ganho. 
 
 a) b) 
Fig. 4.37 – a) contorno e LR; b) diagrama de Nyquist. 
 
 Como o contorno não envolve os pólos a malha aberta, o diagrama de Nyquist 
deveria envolver o ponto –1 para haver estabilidade. Pode-se ver a partir do 
diagrama de Nyquist que o envolvimento do ponto crítico pode ser determinado 
apenas com base no mapeamento do eixo j positivo. 
 Se o ganho for pequeno o mapeamento passará a direita de –1 (sistema estável) 
e se for elevado passará à esquerda (sistema instável). Portanto, este sistema é 
estável para valores de ganho de malha, K, que garante que, a magnitude a malha 
aberta é menor que 1 na freqüência onde o ângulo de fase é 180o (ou, de forma 
equivalente, -180o). 
 No sistema da Figura (4.38), o sistema é instável para baixos ganhos e estável 
para ganhos elevados. 
 
 
 a) b) 
Fig. 4.38 – a) contorno e LR; b) diagrama de Nyquist. 
 
 Para este caso, o sistema é estável se a magnitude da malha aberta for maior 
que 1 na freqüência onde o ângulo de fase é 180o (ou, de forma equivalente, -180o). 
 
 Exemplo: Determinar a faixa de valores de ganho para a estabilidade e 
instabilidade, para um sistema com retroação unitária dado por: 
UNIDADE IV 34 
 
)2s)(2s2s(
K
)s(G
2 

 
 
 Determine também a freqüência de oscilação em radianos. 
 
 Como os pólos à malha aberta estão apenas no semiplano esquerdo, não se 
deseja nenhum envolvimento do ponto –1 para obter a estabilidade. 
 Fazendo K=1 e desenhando o trecho do contorno ao longo do eixo imaginário 
positivo obtém-se o contorno mostrado na Figura (4.39a). 
Na Figura (4.39b) a interseção com o eixo real negativo é obtida fazendo 
s=j, e igualando a zero a parte imaginária de G(s)H(s), ou seja: 
 
 



js
2 )2s)(2s2s(
1
)j(H)j(G
 
 
 
2222
22
)6()1(16
)6(j)1(4



 
 
fazendo j(6 - 2)=0 tem-se que 
6
. Este valor substituído na equação acima 
resulta na parte real igual a –1/20 180o. 
 
 
Fig. 4.39 – a) contorno; b) diagrama de Nyquist. 
 
 Este sistema é estável se a magnitude da resposta em freqüência for menor que 
1 em 180o. Portanto, o sistema é estável para K<20 e instável para K>20. 
 
2.7 Margem de ganho e de fase por intermédio do diagrama de Nyquist 
 
 O conceito do ponto de vista do ganho com fase de 180o leva às seguintes 
informações de margem de ganho e margem de fase. 
 
 Margem de ganho, GM: é a mudança no ganho a malha abeta no ponto com 
fase de 180o, expressa em decibéis (dB), necessária para tornar instável o sistema 
em malha fechada. 
 Margem de fase, M: é a mudança no valor da fase a malha aberta, no ponto 
com ganho unitário, necessária para tornar instável o sistema a malha fechada. 
 
UNIDADE IV 35 
 Estas duas definições são mostradas graficamente no diagrama de Nyquist na 
Figura (4.40). 
 
 
Fig. 4.40 – Margem de ganho e margem de fase pelo diagrama de Nyquist. 
 
 Admitindo que o sistema da Figura (4.40) é estável se não houver envolvimento 
do ponto –1, uma diferença de ganho entre o cruzamento do diagrama de Nyquist do 
eixo real em –1/a e o ponto crítico –1 determina a proximidade da instabilidade do 
sistema. 
A margem de ganho é determinada pelo inverso do valor do cruzamento do eixo 
real expresso em dB, ou seja: 
 
 
alog20
a
1
1
log20GM 








 
 
No ponto Q', onde o ganho é unitário,  representa a proximidade da 
instabilidade do sistema. Portanto, o valor da margem de fase é . 
 
Exemplo: Determinar a margem de ganho e de fase para o sistema abaixo. 
 
)2s)(2s2s(
6
)s(H)s(G
2 

 
 
 
2222
22
)6()1(16
)6(j)1(46



 
 
 O diagrama de Nyquist cruza o eixo real na freqüência de 
6
rad/s. A parte real 
é calculada como sendo –0,3. Por conseguinte, o ganho pode ser aumentado de 
(1/0,3)=3,33 antes da parte real se tornar –1. Portanto, a margem de ganho é: 
 
 
dB 45,1033,3log20GM 
 
UNIDADE IV 36 
 Para a margem de fase, determina-se a freqüência na qual a magnitude é 
unitária: 
 
  
1
)6()1(16
)6(j)1(46
2222
22


 
 
 O que resulta numa freqüência de 1,253 rad/s, cujo ângulo de fase é de –112,3o. 
A diferença entre este ângulo e –180o é 67,7o, que é a margem de fase. 
 
3.0 Sistemas com Retardo 
 
 Supondo um sistema G(s), cuja entrada é R(s) e uma saída C(s), e um outro 
sistema, G'(s), que retarda a saída por T segundos, a TL de c(t-T) é e-sTC(s), ou seja: 
 
 Para um sistema sem retardo: 
 
 
)s(R)s(G)s(C 
 (4.73) 
 
 E com retardo 
)(')()( sGsRsCe sT 
 (4.74) 
 
 
)s(Ge)s('G sT
 (4.75) 
 
 Apresentando (4.67) de outra forma tem-se: 
 
 
  )]j(GT[)j(G)j(Gej'G Tj  
 (4.76) 
 
 O retardo não afeta a curva de resposta em freqüência, mas reduz a linearidade 
aumentando a defasagem, T, a partir do diagrama de fase de G(j). 
 
Fig. 4.41 - Efeito do retardo na resposta em freqüência 
 
 A redução na defasagem causada pelo retardo reduz a margem de fase, 
tornando a resposta mais oscilatória e reduz a freqüência de margem de ganho, 
aproximando o sistema da instabilidade. 
 
UNIDADE IV 37 
 Exemplo: Traçar a resposta em freqüência para o sistema abaixo com um retardo 
de 1 s. 
 
 
   10s1ss
k
)s(G


 
 
 
 O diagrama de Bode para módulo e fase para k=1 é mostrado na Figura abaixo, 
onde só o gráfico de fase é afetado pelo retardo. 
 
 Primeiramente traça-se o gráfico de fase do retardo. 
 
 
 1T1e sT
 
 
 Depois, traça-se o diagrama de fase para G(j), que somada com a fase de 
retardodá a curva resultante. 
 Usando uma aproximação de segunda ordem, este acréscimo na margem de 
fase reduz o fator de amortecimento. 
a) Qual é a faixa de valores de k para garantir a estabilidade? 
 
 - Sistema com retardo: a fase é -180o na freqüência de 0,8 rad/s, o que 
corresponde a -20 dB. 
 
logo 
10k20klog20 
 
 
 O ganho k pode ser aumentado de 10 vezes sem se tornar instável. 
 
 
 - Sistema sem retardo: a fase de -180o ocorre em 3 rad/s, o que corresponde à -
40 dB. 
 
logo 
100k40klog20 
 
 
 Isto mostra que o sistema com retardo fica mais próximo da instabilidade. 
 
 b) Qual é a ultrapassagem para k=5? 
UNIDADE IV 38 
-Sistema com retardo: a curva é aumentada de 14 dB, com um ângulo de fase de 
-145o, na freqüência de 0,5 rad/s e uma margem de fase de 35º. 
Admitindo um sistema de segunda ordem e usando (4.51) tem-se: 
 
 
33,0
412
2
tg
42
1 


 
 
 
Utilizando (2.20) resulta: 
  
%33100eUP%
21

 
 
 
Resposta ao degrau do sistema com retardo 
 De acordo com a Figura acima, o percentual de ultrapassagem é 38%. 
 
 - Sistema sem retardo: A linha de cruzamento de zero dB ocorre em 0,5 rad/s, 
com fase de -118o e uma margem de fase de 62º De forma semelhante encontra-se 
64,0
 e 
%3,7UP% 
. 
De acordo com a Figura abaixo o percentual de ultrapassagem é 
aproximadamente 5%, com um tempo de assentamento menor. 
 
 
Resposta ao degrau do sistema sem retardo 
 
PROGRAMAS MATLAB 
 
1. Esboça os gráficos de Bode de módulo e de fase 
 
)25s2s)(2s(
)3s(
G
2 


 
UNIDADE IV 39 
clf % Apaga gráficos existentes na tela. 
numg=[1 3]; % Define o numerador de G(s). 
deng=conv([1 2],[1 2 25]); % Define o denominador de G(s). 
G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). 
grid on % Ativa a grade para o gráfico de Bode . 
bode(G) % Constrói um gráfico de Bode. 
title('Resposta de Freqüência a Malha Aberta') % Adiciona uma 
 % legenda ao gráfico de Bode. 
[mag,fase,w]=bode(G); % Armazena pontos do gráfico de Bode. 
pontos=[20*log10(mag(:,:))',fase(:,:)',w] 
 % Lista pontos do gráfico de Bode 
 % com magnitude em dB. 
Pause 
 
2. Faixa de valores de ganho para a estabilidade usando Bode 
 
 
)5s)(4s)(2s(
k
G


 
numg=1; % Define o numerador de G(s). 
deng=poly([-2 -4 -5]); % Define o denominador de G(s). 
'G(s)' % Exibe título. 
G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). 
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G); % Obtém as margens de 
 % ganho e de fase 
 % e as freqüências correspondentes. 
K=Gm % Mostra o valor de K para estabilidade. 
Pause 
 
3. Traçar o diagrama de Bode com retardo 
 
 
)10s)1s(s
k
G


 Retardo de 1s 
 
clf % Apaga gráficos existentes na tela. 
hold off % Desativa a função hold. 
numg=1; % Define o numerador de G(s). 
deng=poly([0 -1 -10]); % Define o denominador de G(s). 
'G(s)' % Exibe título. 
G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). 
w=0.01:0.1:10; % Faz 0,01<w<10 em incrementos de 0,1. 
[magg,faseg]=bode(G,w); % Coleta dados dos diagramas 
 % de Bode de G(s). 
[numd,dend]=pade(1,6); % Representa o retardo. 
Gd=tf(numd,dend); % Cria e mostra o retardo, 
 % Gd(s). 
[magd,fased]=bode(Gd,w); % Coleta dados dos diagramas 
 % de Bode de Gd(s). 
Ge=Gd*G; % Forma Gd(s)G(s). 
[mage,phasee]=bode(Ge,w); % Coleta dados dos diagramas 
 % de Bode de Gd(s)G(s). 
subplot(2,1,1) % Subdivide a área para plotar o gráfico 1. 
UNIDADE IV 40 
semilogx(w,20*log10(mage(:,:))) % Plota a curva de magnitude. 
grid on % Ativa a grade para o gráfico de magnitude. 
axis([0.01,10,-80,20]); % Limita os eixos do gráfico de Bode. 
title('Magnitude da Resposta com Retardo') % Adiciona legenda 
 % a resposta em magnitude. 
xlabel('Freqüência (rad/s)') % Rotula o eixo x da magnitude 
 % da resposta. 
ylabel('20log M') % Rotula o eixo y eixo da magnitude. 
subplot(2,1,2) % Subdivide a área do gráfico para o gráfico 2. 
semilogx(w,faseg(:,:),w,fased(:,:),w,fasee(:,:))% Plota as 
 % curvas de fase de G(s), 
 % Gd(s), e G(s)Gd(s) em um único gráfico. 
grid on % Ativa a grade para o gráfico de fase. 
axis([0.01,10,-900,0]); % Limita os eixos do gráfico de Bode. 
title('Resposta de Fase com Retardo') % Adiciona legenda à 
 % curva de fase. 
xlabel('Freqüência (rad/s)') % Rotula o eixo x da 
 % resposta de fase. 
ylabel('Fase (graus)') % Rotula o eixo y eixo da 
 % resposta de fase. 
text(1.5,-50,'Retardo') % Gera dístico para identificar 
 % a curva de retardo. 
text(4,-150,'Sistema') % Gera dístico para identificar 
 % a curva Sistema . 
text(2.7,-300,'Total') % Gera dístico para identificar 
 % a curva Total. 
pause 
 
4. Projeta a resposta transitória por meio de ajuste do ganho 
 
 
 Valor requerido: %U=9,5% 
clf % Apaga gráficos existentes na tela. 
numg=[100]; % Define o numerador de G(s). 
deng=poly([0 -36 -100]); % Define o denominador de G(s). 
G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). 
up=input('Digite %UP '); % Entre com o valor desejado 
 % de ultrapassagem percentual. 
z=(-log(up/100))/(sqrt(pi^2+log(up/100)^2)); 
 % Calcula a relação de 
 % amortecimento necessária. 
Pm=atan(2*z/(sqrt(-2*z^2+sqrt(1+4*z^4))))*(180/pi); 
 % Calcula a margem de fase necessária. 
w=0.01:0.01:1000; % Ajusta a faixa de freqüências de 0,01 a 
 % 1000 em incrementos de 0,01. 
[M,P]=bode(G,w); % Coleta os dados de Bode. 
UNIDADE IV 41 
Ph=-180+Pm; % Calcula o ângulo de fase necessário. 
for k=1:1:length(P); % Busca nos dados de Bode o 
 % ângulo de fase 
 % necessário. 
if P(k)-Ph<=0; % Se o ângulo de fase requerido for encontrado, 
 % obter o valor da 
M=M(k); % magnitude na mesma freqüência. 
'Valor requerido de K' % Exibe título. 
K=1/M % Calcula o ganho requerido. 
break % Interrompe o laço. 
end % Fim de if. 
end % Fim de for. 
T=feedback(K*G,1); % Obtém T(s) usando o valor calculado de K. 
step(T)% Gera uma resposta ao degrau . 
title(['Resposta ao Degrau a Malha Fechada para K= 
',num2str(K)]) % Adiciona legenda à resposta ao degrau. 
 
Pause 
 
5. Plota o diagrama de Nyquist 
 
clf % Apaga gráficos existentes na tela. 
numg=[1 2]; % Define numerador de G(s). 
deng=[1 0 0]; % Define denominador de G(s). 
'G(s)' % Exibe título. 
G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). 
grid on % Ativa a grade para o gráfico de Nyquist. 
nyquist(G) % Constrói o gráfico de Nyquist. 
title('Resposta de Freqüência a Malha Aberta') 
w=0:0.5:10; % Faz 0<w<10 em incrementos de 0,5. 
[re,im]=nyquist(G,w); % Obtém pontos do gráfico de Nyquist 
 % uma faixa de valores de w. 
pontos=[re(:,:)',im(:,:)',w'] %Lista pontos especificados em 
 %uma faixa de valores do gráfico de Nyquist. 
Pause 
 
6. Determina a margem de ganho e de fase 
 
clf % Apaga gráficos existentes na tela. 
numg=6; % Define numerador de G(s). 
deng=conv([1 2],[1 2 2]); % Define denominador de G(s). 
'G(s)' % Exibe título. 
G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). 
grid on % Ativa a grade para o gráfico de Nyquist. 
nyquist(G) % Constrói um diagrama de Nyquist. 
title('Resposta de Freqüência a Malha Aberta') 
 % Adiciona uma legenda ao diagrama de Nyquist. 
[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G);%Obtém as margens de ganho e de fase 
 % e as freqüências correspondentes. 
'Margem de Ganho(dB); Margem de Fase(graus); freqüência de 180 
graus (rad/s);' 'freqüência de 0 dB (rad/s)' % Exibe título. 
UNIDADE IV 42 
margens=[20*log10(Gm),Pm,Wcg,Wcp] % Exibe os dados de margens. 
Pause 
 
7. Calcula a faixa de ganho pelo diagrama de Nyquist 
 
clf % Apaga gráficos existentes na tela. 
numg=[1 2]; % Define numerador de G(s). 
deng=[1 0 0]; % Define denominador de G(s). 
'G(s)' % Exibe título. 
G=tf(numg,deng) % Cria e mostra G(s). 
grid on % Ativa a grade para o gráfico de Nyquist. 
nyquist(G) % Constrói o gráfico de Nyquist. 
title('Resposta de Freqüência a Malha Aberta') 
 % Adiciona uma legenda ao gráfico de Nyquist. 
w=0:0.5:10; % Faz 0<w<10 em incrementos de 0,5. 
[re,im]=nyquist(G,w);%Obtém pontos do gráfico de Nyquist para 
 % uma faixa de valores de w. 
pontos=[re(:,:)',im(:,:)',w'] % Lista pontos especificados em 
 %uma faixa de valores do gráfico de Nyquist. 
pause 
numg=1; % Define o numerador de G(s). 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
4.1 - a) Determinar as expressões analíticas para magnitude e a fase da resposta 
em frequência de: 
 
)4s)(2s(
1
)s(G


 
b) Construa os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase usando o 
logaritmo da frequência em rad/s como abcissa. 
 
4.2 - Construir os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase de Bode da Figura 
abaixo onde: 
 
)50s)(7s)(10s(
)20s(
)s(G



 
 
 
4.3 - Para o sistema da Figura abaixo onde: 
 
 
)50s)(20s)(5s(
k
)s(G


 
 
UNIDADE IV 43 
 
a) Desenhe os gráfico logarítmicos de Bode de módulo e fase; 
b) A partir do diagrama de Bode, encontre as faixas de valores de k para 
manter o sistema estável; 
c) Calcule a margem de ganho, a margem de fase, a frequência de zero dB e a 
fase de 180o a partir do diagrama de Bode para k=10.000. 
 
4.4 - Determinar a constante de erro estático para um sistema com retroação 
unitária, estável, cuja FT em malha aberta, tem o diagrama de módulo de Bode 
mostrado na Figura abaixo. 
 
 
 
4.5 - Para o sistema da Figura abaixo, onde: 
 
 
)1s(s
10
)s(G


 
 
 Determine a margem de fase quando há um retardo no percurso direto de 0s, 3s 
e 7s. 
 
4.6 - Estimar G(s) cujos gráficos de módulo e de fase, de Bode, são mostrados na 
Figura abaixo. 
 
 
UNIDADE IV 44 
 
 
4.7 - Para o sistema com retroação unitária com a seguinte FT: 
 
)120s)(50s(s
k
)s(G


 
 
 Use as técnicas de resposta em frequência (diagrama de Bode) para obter o 
ganho k para uma resposta ao degrau unitário com 20% de ultrapassagem. 
 
4.8 Esboçar o diagrama de Nyquist para o sistema mostrado na Figura abaixo. 
 
 
)4s)(2s(
1
)s(G


 
 
 
 
4.9 Para o sistema do exercício 4.8, onde: 
)6s)(4s)(2s(
K
)s(G


 
a) Plote o diagrama de Nyquist; 
b) Determine a faixa de valores de ganho, K, para estabilidade. 
 
4.10 Determinar a margem de ganho e a freqüência de 180o do Exercício 4., para 
K=100. 
4.11 Para o sistema com retroação unitária: 
1s2s2,0s
1s2s
)s(G
23
2



. Plote o 
diagrama de Nyquist e examine a estabilidade do sistema a malha fechada. 
 
4.12 - Considere o sistema com retroação unitária, cuja FT de malha aberta é: 
 
)1s(s
ke
)s(H)s(G
Ts


 
 
 Determine, em função do tempo morto T, o máximo valor de k para que haja 
estabilidade. 
 
 
UNIDADE IV 45