Cap 4 RETAS PARALELAS Teoria Copia

Prévia do material em texto

CAPÍTULO 4: RETAS PARALELAS 
 
 
Definição 4.1: Duas retas são ditas paralelas, se 
 i) estão em um mesmo plano; 
 ii) não se interceptam. 
 
 Duas retas que não estão num mesmo plano chamam-se retas 
reversas. 
A figura abaixo é um prisma reto. As retas que contêm as arestas 
AB
 e 
DH
 são reversas. Indique, nesta figura, outras retas reversas. 
 
 H G 
 
 E F 
 
 
 
 D C 
 
 A B 
 
 
Teorema 4.1: Num mesmo plano, duas retas perpendiculares a uma 
terceira, são paralelas entre si. 
 
 r 
 s 
 
 
 P 
 
 
 
 t 
 
 
 Prova: Suponhamos que as retas s e t sejam perpendiculares a reta 
r. Se essas retas se interceptassem num ponto, teríamos traçado a partir 
desse ponto duas perpendiculares a reta r, que é uma contradição. 
(Corolário 2 do Teo. 3.7). 
  
 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 67 
Postulado 12: (Postulado das paralelas) 
 Por um ponto não pertencente a uma reta, passa uma única reta 
paralela à reta dada. 
 P 
  s 
 
 
 t 
 
 
Teorema 4.2: Duas retas paralelas a uma terceira, são paralelas entre si. 
 r 
 
 P 
 r' 
 
 r'' 
 
 
 Prova: De fato, suponhamos que r // r" e r' // r". Se r e r' fossem 
concorrentes, teríamos traçadas pelo ponto de concorrência das mesmas 
duas retas paralelas a reta r'', contrariando o Postulado das paralelas 
acima. 
  
 
 
Teorema 4.3: Se duas retas paralelas são cortadas por uma secante, 
então os quatro ângulos agudos formados são congruentes bem como os 
quatro ângulos obtusos. 
 s 
 2 
 C A 1 r 
 3 4 
 
 M 
 
 6 5 t 
 7 B D 
 8 
 
 
 
 
 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 68 
 Prova: Sejam A e B os pontos de interseções da secante s com as 
retas paralelas r e t respectivamente. 
Seja M o ponto médio do segmento 
AB
. Pelo ponto M tracemos o 
segmento 
CD
 perpendicular às retas r e t com C  r e D  t. Os triângulos 
retângulos CMA e DMB são congruentes, já que MA = MB e 
BMDAMC ˆˆ 
. 
 Assim, 
5ˆ3ˆ 
 e, portanto 
7ˆ5ˆ3ˆ1ˆ 
. Por outro lado, 
8ˆ2ˆ6ˆ4ˆ 
 
por serem suplementos de ângulos congruentes. 
  
 
 I. Os ângulos: (3 e 5) e (4 e 6) são denominados alternos internos. 
 II. Os ângulos: (1 e 7) e (2 e 8) são denominados alternos externos. 
 III. Os ângulos: (1 e 5), (4 e 8), (2 e 6) e (3 e 7) são denominados 
correspondentes. 
 IV. Os ângulos: (4 e 5) e (3 e 6) são denominados colaterais internos. 
 V. Os ângulos: (1 e 8) e (2 e 7) são denominados colaterais externos. 
 
 Do exposto, concluímos que quando duas retas paralelas são 
cortadas por uma secante: 
 
 1o) dois ângulos alternos internos são congruentes; 
 2o) dois ângulos alternos externos são congruentes; 
 3o) dois ângulos correspondentes são congruentes; 
 4o) dois ângulos colaterais internos são suplementares; 
 5o) dois ângulos colaterais externos são suplementares. 
 
 
Teorema 4.4: (Teorema recíproco) 
 Sejam r e t duas retas cortadas por uma secante s. Se dois ângulos 
alternos internos são congruentes, então as retas r e t são paralelas. 
 
 s 
 r A 
  
 
 P 
 
 B  
 t 
 
 
 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 69 
 Prova: Suponhamos que as retas r e t se interceptam no ponto P. 
Então, no triângulo formado pelas três retas, o ângulo externo 
ˆ
 teria 
medida igual ao ângulo interno 
ˆ
, o que contradiz o teorema do ângulo 
externo. 
  
 
 O teorema acima continua válido se substituirmos no mesmo, a 
expressão “ângulos alternos internos” por “ângulos alternos externos” ou 
por “ângulos correspondentes”. O mesmo também se verifica se 
substituirmos a expressão “ângulos alternos internos” por “ângulos 
colaterais internos são suplementares” ou “ângulos colaterais externos são 
suplementares” (Prove isto). 
 
 
 
4.1. SECANTES A VÁRIAS PARALELAS 
 
 
Teorema 4.5: Dois segmentos paralelos, compreendidos entre retas 
paralelas, são congruentes. 
 
 B C r 
 
 
 
 
 s 
 A D 
 
 Prova: Una os pontos B e D da figura acima, e prove que os 
triângulos ABD e BCD são congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 70 
Teorema 4.6: Se três retas paralelas determinam segmentos congruentes 
em uma secante (às mesmas), então essas paralelas determinarão 
segmentos congruentes em qualquer outra secante. 
 
 u v 
 A M r 
 
 
 B D N s 
 
 
 C E F P t 
 
 
 
 
 Prova: Sejam r, s, t retas paralelas e u e v retas secantes. Pelos 
pontos A e B da figura, tracemos os segmentos 
AF
 e 
BE
 paralelos a 
secante v. Suponhamos que AB = BC. Devemos provar que MN = NP. 
Pelo teorema 4.8, AD = MN, BE = DF= NP. 
Como 
EBCDAB ˆˆ 
 e 
ECBDBA ˆˆ 
 por serem correspondentes, então 
 
 BAD =  CBE (LAL) 
Por conseguinte, 
 
 AD = BE e assim MN = NP. 
  
 
 
Corolário: Se três ou mais retas paralelas determinam segmentos 
congruentes em uma secante, então elas determinam segmentos 
congruentes em qualquer outra secante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 71 
4.2. ÂNGULOS DE LADOS PARALELOS: 
 
Teorema 4.7: Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são 
congruentes ou suplementares; são congruentes se ambos são agudos ou 
obtusos e são suplementares, se um é agudo e o outro obtuso. 
 
 A 
 
 
 
  
 O B  M 
 
 C 
 
  
 D E 
 
 A 
 
 
 
 X   
 O MB 
 C 
 
 
 D E 
  
 
 
 F 
 
 
 
 Prova: Nas figuras acima, 
OA
 //
DC
 e 
OB
// 
DE
. 
OB
 e 
DC
 interceptam-se em M. Assim 
DMOBOA ˆˆ 
 por serem alternos 
internos. Por igual motivo, 
EDCDMO ˆˆ 
. 
Portanto, 
EDCBOA ˆˆ 
 e assim 
FDCXOA ˆˆ 
 por serem suplementos de 
ângulos congruentes. 
Por outro lado, como 
OXOABOA 180ˆˆ 
, segue-se que 
OFDCBOA 180ˆˆ 
. 
  
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 72 
4.3. ÂNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES: 
 
Teorema 4.8. Dois ângulos de lados respectivamente perpendiculares são 
congruentes ou suplementares; são congruentes se ambos são agudos ou 
ambos obtusos e são suplementares, se um é agudo e o outro obtuso. 
 
 A' B' 
 A 
 
 
 
 O B 
 
  
 D 
 
 
 C E 
 
 
 Prova: Sejam 
BOA ˆ
 e 
EDC ˆ
 dois ângulos tais que 
OA  DE
 e 
OB  CD
. 
Pelo ponto O, tracemos 
'OB  OB
 e 
'OA  OA
. Desta forma, 
 
'OA
 // 
DE
 (Teo. 4.2) 
 e 
'OB
 // 
CD
 (Teo. 4.2) 
e assim 
EDCBOA ˆ'ˆ' 
 (Teo. 4.7) 
Por outro lado, 
'ˆ'ˆ BOABOA 
 por serem complementos do 
'ˆBOA
. 
Portanto, 
EDCBOA ˆˆ 
. 
Finalmente, como 
ˆ EDC ˆ
 = 180º 
então 
ˆ
 + 
BOA ˆ
 = 180o, o que prova o que queríamos. 
  
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 73 
Teorema 4.9. Se do ponto médio do lado de um triângulo, traçarmos uma 
paralela a um dos lados, esta passará pelo ponto médio do terceiro lado. 
 
 A 
  
 
 M  N 
  
 
  
 B D C 
 
 Prova: Seja M o ponto médio do lado 
AB
, isto é, AM = MB. 
Tracemos 
MN
 // 
BC
 e pelo ponto N
AC
, tracemos 
ABND //
 com 
D 
BC
. 
Temos então ND = MB (Teo. 4.5). Como 
CNDA ˆˆ 
 (Por quê?) e 
CDNNMA ˆˆ 
 (Por quê?) então o 
 
 AMN =  NDC (ALA). 
Daí, NA = NC e N é, portanto o ponto médio de 
AC
. 
  
 
Corolário: MN = 
2
BC
. 
 
 Prova: Exercício. 
 
 
Teorema 4.10: (Teorema recíproco) 
 O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo 
é paralelo ao terceiro lado. 
 
 A 
 
 
 
 M N 
 
 
 
 B C 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 74 
 Prova: Seja M o ponto médio de 
AB
 e N o ponto médio de 
AC
. Se 
MN
 não fosse paralelo a 
BC
, poderíamos traçar pelo ponto M uma reta 
paralela ao lado 
BC
. 
Pelo teorema anterior, esta paralela passará pelo ponto médio de 
AC
, isto 
é, pelo ponto N, portanto. Assim, teríamos traçado pelos pontos M e N 
duas retas (uma paralela a 
BC
 e outra não paralela a 
BC
), que é um 
absurdo. 
  
 
 
 Como conseqüência dos teoremas acima, apresentaremos a seguir a 
Lei angular de Tales. 
 
 
Teorema 4.11: Em todo triângulo, a soma dos seus ângulos internos é 
igual a 180o. 
 A r 
   
 
 
 
 
 
 B C 
 
 Prova: Pelo vértice A do triângulo ABC, tracemos uma reta r paralela 
ao lado 
BC
. Na figura formada temos: 
ˆ
 = 
Bˆ
 (alternos internos) 
ˆ
 = 
Cˆ
 (alternos internos) 
Como 
ˆ
 + 
Aˆ
 + 
ˆ
 = 180o, segue-se que 
Aˆ
 + 
Bˆ
 + 
Cˆ
 = 180o. 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 75 
Corolário: Em todo triângulo, a medida de qualquer ângulo externo é igual 
à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes. 
 A 
 
 
 
 
 
 
 m 
 B C 
 
 Prova: Exercício. 
 
 
CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS: 
 
Construção 1. Por um ponto A não pertencente a uma reta r, traçar uma 
reta paralela a mesma. 
 
1o) Seja B um ponto de r. Com centro do compasso em A e raio AB 
traçamos um arco. 
2o) Com centro em B e o mesmo raio anterior, traçamos o arco AC. 
3o) Tomemos agora o segmento 
BD
 congruente ao segmento 
AC
 com D 
sobre o arco traçado no item 1o. 
 A reta 
AD
 é a reta pedida. Por quê? 
 
 A  D 
 
 
 
 
 r 
 C B 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 76 
Construção 2. Dividir um segmento
AB
em n partes congruentes. 
 
Como exemplo do processo, tomemos n = 3. 
1o) Tracemos uma semi-reta qualquer 
AC
 não oposta a 
AB
. 
2o) Sobre 
AC
 marcamos os pontos C1, C2, e C3 tais que 
AC1 = C1C2 = C2C3. 
3o) Unimos o ponto C3 ao ponto B e tracemos por C2 e C1 paralelas ao 
segmento 
BC3
 que intersectam 
AB
 nos pontos D1, e D2. 
Desta forma AD1 = D1D2 = D2B. Por quê? 
 
 C 
 
 C3 
 
 
 
 C2 
 
 
 C1 
 
 
 
 A D1 D2 
 
B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 4: Retas paralelas Prof: Sinvaldo Gama 77 
Construção 3. Por um ponto A traçar uma reta tal que a parte 
compreendida entre duas retas paralelas r e s, dadas, seja congruente a 
um segmento dado 
BC
. 
 
1o caso: O ponto A está compreendido entre as retas r e s. 
 M N 
 
 r 
 
 A  
 
 B s 
 
 
2o caso: O ponto A não está compreendido entre as retas r e s. 
 
 A  
 r 
 
 
 
  B s 
 
 Seja B um ponto qualquer da reta s. Com centro do compasso em 
B e abertura igual a MN trace um arco BD com D  r. Pelo ponto A trace 
uma reta t paralela ao segmento 
BD
. O segmento que une os pontos de 
interseções de t comr e s tem comprimento igual a 
BC
 (Por quê?) 
 
Construção 4: Dividir um ângulo reto em três ângulos congruentes. 
 
1o) Com centro no vértice do ângulo reto e qualquer abertura, trace um 
arco que interceptará os lados do ângulo dado nos pontos B e C. 
2o) Com cento em B e abertura igual a anterior, trace um arco que 
interceptará o 1o no ponto D. O ângulo CÂD mede 30o. (Por quê?). 
(A é o vértice do ângulo reto). 
3o) Com centro em B e abertura igual às anteriores trace um arco que 
interceptará o 1o no ponto E. O ângulo EÂB mede 30o. (Por quê?) 
 
 C 
 D 
 
 E 
 
 A B