2a Lista de EDO e Series Calculo III 2013.1 (1)

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Equações Diferenciais e Séries / Cálculo III 
 
2a Lista de Exercícios 2013.1 
 
1. Verifique se as funções abaixo dependentes de constantes arbitrárias satisfazem às equações 
diferenciais ao lado. 
 
Funções: Equações Diferenciais: 
a) y = C e 3x y´+3y = 0 
b) y = C cosx y´ + y tgx = 0 
c) y = C1 cos3x + C2 sen3x. y´´ + 9y = 0 
d) y = Cx3 xy´= y 
e) y = ex + C1x + C2 y´´ = e
x 
 
 
2. Resolva as seguintes equações diferenciais a variáveis separáveis: 
 
a) y´+ y = 1 h) 
yx4y
xy2x
dx
dy
2
2



 n) 
tut2u2
dt
du

 a) 
 
y
x
dy x dx sen 2 0
. 
b) x y´= 3y i) tg(x) y´ = y 0) 2y(x+1)dy = x dx 
b) dy
dx
ex y 
. 
c) y´= 2xy j) tg(x) sen
2(y) dx + cos2(x) cotg(y) dy = 0 
p) 
0
y
yy
x
1x2x
'y
324








 







 

 c) dy
dx
x xy
y x y



2
4
2
2
. 
d) 
0tt
dt
dy
e 3y 
 
k) 3 ex tg(y) dx + (1 – ex) sec2(y) dy = 0 q) (y + yx2) dy + ( x + xy2) dx = 0 
d) 
 1 0 1 12 3   x
dy
dx
y y, 
. 
e) 
4
2
i
dt
di
2 
 
l) x y y´= 1  x2 
 
 
r) y´ = x – 1 + xy  y 
 
 
f) 
  0dxxsendy
x
y 2 
 
m) ex dy = 2x dx 
 
s) (x + 1 ) dy – ( x + 6 ) dx = 0 
g)
yxe
dx
dy 
 
 t) x2 y´  yx2 = y 
 
 
 
 
3. Para as equações diferenciais a seguir determine as soluções particulares que satisfazem as condições 
iniciais. 
a) xy´= 2y y(  2) = 1 d) 
      e2πy ,yylnxseny' 
 
b) (1 + ex)y y´= ex, y(0) = 1 
e) 
  11y 0,y
dx
dy
x1 32 
 
c) (xy2 + x) dx + ( x2y – y ) dy = 0; y(2) =1 f) 
        12πy 0,dye1ydxxysen xcos2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
4. Verifique se as equações a seguir são exatas ou não exatas. Para as equações exatas, encontre a 
solução. 
 
a) 
x2y2
y4x2
y



 
b) (2xy2 + 2y ) + ( 2x2y + 2x ) y´ = 0 
 
c)
xcos2ycose
senyeysenx2
dx
dy
x
x



 
 
d) (ex seny +3y)dx  ( 3x  ex seny ) dy = 0 
 
e) ( xlny + xy ) dx + ( y lnx + xy ) dy = 0 
f) 
0dy)2x(lndxx6
x
y







 
g) (3x2 2xy + 2 ) dx + (6y2 –x2 +3 ) dy = 0 
 
 
h) (xex + y) dx + ( x + yey) dy = 0; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Encontre o valor da constante b para que as equações a seguir sejam exatas e resolva a equação com o 
valor de b encontrado 
a) (xy2 + bx2y ) dx + ( x + y)x2 dy = 0; b) ( ye2xy + x ) dx + bxe2xy dy = 0 
 
6. Mostre que as equações a seguir não são exatas, mas se tornam exatas quando multiplicadas pelo fator 
)y,x(
 Resolva as equações exatas assim obtidas. 
a) x2y3 + x(1 + y2) y´ = 0 
3xy
1
)y,x( 
; b) 
0dy
y
xcose2ycos
dxxsene2
y
ysen xx 







 









 
xye)y,x( 
 
 
Observação: A função 
)y,x(
 é chamada de fator integrante ou fator de integração para a equação 
 
7. Uma equação diferencial linear de 1a ordem se escreve na forma 
)x(fy)x(a
dx
dy

. Verifique quais das 
seguintes equações são lineares, identificando as funções a(x) e f(x) e resolva as equações lineares 
 
a) y´+exy =x2y2; b) y´ + 2y = 2ex; c) x y´+ y + 4 = 0 ; 
d) yy´ = y2 + senx 
 
e) ( y  senx ) dx + x dy = 0 ; f) y´  4y = 2x 4x2 ; 
 
 
8. Resolva as equações a seguir que podem ser: variáveis separáveis, exatas ou lineares. 
 
a) y´= x  1 + xy  y 
 
b) x2y´  yx2 = y 
 
c) (ysenx  tgx) dx + ( 1 – cosx ) dy = 0 
 
d) xy´+ y = 2x + ex 
 
e) (2xy + 1)dx + (x2 + 4y)dy = 0, y(1) = 1; f)   0ey , 2x
x
y
'y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Respostas 
 
 
1. a) sim. b) sim. c) sim. d) sim. e) não. f) sim 
 
2. a) y = 1  Cex. b) x3 = Cy. c) 2xCey  d) 
C
4
t
2
t
e
42
y 
. e) 
t/4Ce8i 
 
f) y2 + cos(x2) = C. g) 
01Cee yyx 
. h) 2 + y2 = C ( 4 + x2 ) i) y = C sen(x) 
j) tg2(x) cotg2(y) = C k) 
   yCtge1 3x 
 l) 
  Cxxlny 222 
 m) 
C2e2xey xx  
 
n ) 2 ln(1+u) = 4t + t2 + C 0) 
C1xlnxy2 
 p) 4 arctgy = x4 4x2 +4lnx + C 
q) (1+y2) = C(1+x2)–1 r) ln( 1+y)2 = x2 2x + C s) 
C1xln5xy 
 t) lny = 1/x + x + C 
 
3. a) y = x2/4. b) 
  




2x2 e1
4
e
lny
 c) (x2 1)(y2 +1) = 6. d) lny = cossecx – cotgx 
 e) 
 
2
π1
xarcsen
2y
1
2


. f) 
    3y2lny2e 2xcos 
. 
4. a) não é exata; b) x2y2 +2xy = C; c) ex seny +2ycosx = C; d) e e) não são exatas; 
f) ylnx+3x2 –2y = C; g) x3  x2y +2x +2y3 + 3y = C; h) xex ex + xy + yey ey = C 
 
5. a) b = 3; x2y2 + 2x3y = C; b) b = 1; e2xy + x2 = C; 
 
6. a) x2 + lny2  y2 = C ; b) exseny +2ycosx = C 
7. a) não é linear; b) y = (2/3)
2xx Cee 
; c) y = 
4
x
C

; d) não é linear; e) 
;
x
cosxC
y


 
f) y = x2+Ce4x; 
 
8. a) ln(1+y)2 = x2 – 2x + C b) lny = 1/x + x + C; c) y – ycosx + ln(cosx) = C d) y = ( 1/x) (x2 + ex + C); 
e) 
04y2xyx 22 
; f)
x)e2(xlnx2xy 2 
;