Cálculo Diferencial II Aula 02 (1) TOINHA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
 CENTRO DE CIÊNCIAS
 INSTITUTO UFC-VIRTUAL	
 CURSO: LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
 Disciplina: Calculo Diferencial II
Prof.: (a) Francisco Isael da Silva Lima
 Aluno: Antonia Maria Almeida Portela
 (ATIV_DE _PORTF_AULA 02)
Questão- 01 
Exercício -02 (a) Verifique se a função dada é contínua no valor indicado:
	
(a) 	
Temos por definição que h é contínua em t= 1 se o lim h (t)= h (1)= (1/3, 0, 0).
 t1
Por outro lado lim h (t) = lim = t- 1, t - 1, t - 1
 t1 t1 t3 - 1 t + 1
Observando que:
(t3 - 1) = (t - 1) * (t2 + t +1)
Logo:
t - 1= t - 1 = 1 .
t3 - 1 (t -1) * (t2 + t +1) t2 + t +1 
Portanto:
lim 1 h (t) = lim 1 , t – 1, t - 1 = 1 , 0, 0 = h(1) 
t1 t1 t2 + t + 1 t + 1 3
 Assim h é contínua.
(b) 
Temos que por definição r é contínua m v= 0se lim r (v)= r (0)= (1, 0 , 1)
 v
Por outro lado:
 lim r (v) - r (0)= lim 0 + r (v)= lim r (v) = r(0)
 v v + v -
	
Observe que:
lim r (v) - r (0)= lim sem(v), vln(v), 1 –v2
 v+ v +v
	
Notemos que:
lim sen(v) = 1
 v+ v 
limvln(v), - lim ln(v), =
v+ v+1
 v
lim1 =lim (-v)= 0 e lim (1 – v2)= 1
v+vv+v+
1
 V2
Logo ,o lim r(v)= (1, 0 ,1)= r (0)
v+
Logo o limr (v) - lim (1, v, v, 1, v)= (1, 0 ,1)= r(0)
v- v-
Portanto, olim r (v)= r (0), sendo que r é continua em 0, Logo V é contínua.
v
Exercício- 03 (b) Seja C a curva dada pela função e o ponto em que 
(a) Calcule o vetor tangente aC em ;
f(t)= (2cos2t, 2sen2t)
f’(t)= [2 * (-sen2t) * 2, 2 *cos2t * 2]
f’(t)= (- 4sen2t, 4cos2t)
f’π = - 4 sen2π, 4cosen2π
2 2 2
F ’π= (0, - 4)
2
(b) Verifique que é constante e encontre o vetor normal a C em ;
|f’(t) |= 
|f’(t) |= 
|f’(t) |= 
|f’(t) |=
|f’(t) |= 4
Logo o vetor normal P0,t= π 
2
F “ (t)= (8cos2t, - 8sen2t) 
f” π = - 8cos2π, - 2sen2π
2 2 2
f” π = (8, 0)
2
(c) Represente geometricamenteC e os vetores tangente e normal a C em 
f (t)= (2cos2t, 2sen2t)
x= 2cos2t= 2cos2tx y
 2
y= 2sen2t= sen2ty
 2
sen2 2t + cos22t= 1
y 2 + x 2	Vetor Normal
2 2 x
0
 y2+ x2= 1
2 2 Vetor Tangente
x 2+ y 2= 4
(x - 0)2+ (y - 0)2= 22
C= (0 , 0) er= 0
Questão- 02
No exercício, calcule o comprimento da curva (ou do arco da curva) indicada:
05- (a) O arco da hélice cilíndrica, definido por com 
L=
+ (2u)2
L= 
L= 2 + 1ln|u3/4
2 2 0
L= + 1 ln + + 1
L=3 * 5 + ln2
4 4
L=15 + ln2
 16
Nos exercícios calcule o comprimento do arco da curva dada, correspondente a xno intervalo indicado:
13-(b) e 
14- (c)e 
Questão- 03
Nos exercícios determine a parametrização pelo comprimento de arco para a curva definida pela função dada:
21- (a)	
f’(t)= (2, -2)
2
S= 
f (s)= 
f (S)= 
23- (b)	
(u)|= (- asenu, acosu,b)
|+ b2
|
S dt
S= u* 
U= S .
h(u)=acos S , asen S , b S .
Questão- 04
03- (a) Encontre a equação cartesiana da circunferência osculatriz de cada uma das curvas definidas pelas funções dadas, no ponto indicado. Represente geometricamente a curva e a circunferência osculatriz:
(a)
09- (b) SejaC o gráfico da equação dada no plano XY. Determine o ponto em queC tem curvatura máxima e encontre uma equação da circunferência osculatriz de C no ponto indicado. Represente geometricamente a curva e a circunferência osculatriz:
(c)e 	
Tendo C como o gráfico da função y= R2, donde as coordenadas (x0, y0) do centro da curvatura de C nos pontos (x, y) e f “(x)≠ 0, são dadas por:
x0- 1 + (f ‘ (x))2 e y0= y + 1 + (f ‘ (x))2
O raio da curvatura que é o inverso da curvatura, logo, será representado por:
r=1 + f ‘ (f ‘ (x)2)
 f ” (x) 
Assim temos que f(x)= F “(x)= e o ponto (x, y) = (0, 1), logo iremos achar a equação da circunferência osculatriz de f(x)= no ponto indicado.
Logo no Centro:
x0= x - [1 + ()2]
x0= x - [1 + x]
x0= 0 - [1 + 0]
Por tanto x0 = - 2
Logo:
y0= y + 1[1 + ()2]
y0= y + 1 [1 + x]
y0= 1 + 1 [1 + 0]
y0= 1 + [1 + 1]
 Portanto assim: y0 = 3
No Raio: 
r=[1 + ]
r=[1 + ]
r= 2 
r= 
Logo,dessa maneira, a equação da circunferência osculatriz da curva f (x)= em 
(0, 1) será:
(x – x0) + (y – y0)= r2
Por tanto:
(x + 2) + (y –3)= 8
Logo se representa graficamente a curva e a circunferênciaosculatrix, temos:
	 y
 0 	x
Atente que f (x)= f ‘(x)=f “ (x)= 
Sendo que uma vez o C é o gráfico de uma função y= f (x) em R2, a função curvatura de C
num ponto (x, y)donde f “ (x) existe. Logo é dado por:
k(x)=
 (1 + ( f ’(x))2)3/2
 Assim, temos?
k(x)=
 (1 + ()2)3/2
k(x)=
(1 + (x)3/2
Para a curvatura máxima da curva, temos uma tangente horizontal, isto é, k’ (x)
k‘= (1 + )3/2 - x * (1 + )1/2 * * 2 * 
		
 (1 + )3/2 2
k ‘= (1 + )3/2 - x * (1 + )1/2 * 3 * 
		
 (1 + )3/2 2
0= (1 + )3/2 - x * (1 + )1/2 * 3 * 
		
(1 + )3/2 2
 (1 + )3/2 - x * (1 + )1/2 * 3 * 
 (1 + )1/2 * 3 * = x (1 + )3/2 
= ye 2 temos:
y * (1 + )1/2 * 3 * (1 + y2)3/2 
y * (1 + )1/2 * 3 * (1 + y2)1/2 (1 + y2)
3* 1 + y2
Logo pra x, portanto:
y=
= y
=
Assim:
x= - ln
Concluindo o ponto para curvatura máxima será:- ln , 
Questão- 05
17- (a) Use o exercício anterior, para mostrar que as curvas em com curvatura constante, são retas ou circunferências.
Logo temos que a função curvatura definida porK é uma função real de variável real T e em que cada ponto P de C, obtém-seuma media da mudança da direção da cura C em P (significa que corresponde auma medida do quanto àcurva deixa de ser reta, numaredondezade cada um de seus pontos. 
Considerandoque nesse caso a curvatura de uma curva em R² é constante,assimnão há mudança de direção na curva, logo ele é reta ou uma circunferência
Observando:
Logo para a circunferência f ‘ (t) (a sent, a cost), temos suas equações x2+ y2= a2 e ainda:
f ’(t)= (- a sent, a cost)
|
T(t)= (-sent, cost)
T ” (t)= (-cost, sent)
k(t)= - cost - sent 
a a
k (t)= 
Concluir que a curvatura de uma circunferência é constante.
19-sent(b) Considere a curva C definida por Encontre:
(a) O triedro de Frenet-Serret e o raio de curvatura deC num ponto qualquer;
(b) As equações dos planos osculador, retificantee normal de C no ponto