Fenômenos_dos_Transportes_2009

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FEAT - Faculdade de Engenharia, Arquitetura e Tecnologia
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
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As notas de aula aqui apresentadas, têm como fundamento colocar, todo o programa e algumas questões sobre o assunto ( Fenômenos de Transportes / Mecânica dos Fluidos ), para que sejam discutidas e acompanhadas pelos alunos dos cursos de Engenharia, com mais objetividade, profundidade e simplicidade.
PROF. MSc. MÁRCIO FERNANDO LUNARDELLI
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i. - INTRODUÇÃO
I - MECANISMOS ENVOLVIDOS
CONCEITUAÇÃO
Mecânica dos Fluidos é uma matéria de interesse muito amplo no contexto da Engenharia.
No âmbito da Engenharia Civil está ligada ao estudo de Hidráulica. Com o nascimento da EMEC e ENQ trouxeram uma nova ênfase para o estudo da Mecânica dos Fluidos, pois novas abordagens foram introduzidas e requeridas.
Com isso tornou-se necessário para a solução dos problemas ASSOCIAREM-SE a Mecânica dos Fluidos + Transmissão de calor + Transferência de Massa. Em conseqüência disto evidenciaram notáveis semelhanças entre esses fenômenos, destas diferentes áreas.
VANTAGENS DESTA UNIÃO
Tratamento corrente e paralelo destes 3 ramos da ciência e este conjunto passou a chamar FENÔMENOS DE TRANSPORTE.
OFERECENDO: 
Economia de tempo e espaço na apresentação da matéria 
Eliminação das duplicações e triplicações
Melhor entendimento dos fenômenos e das formulações devido ao apoio mútuo oferecido pela analogia.
A seguir veremos alguns dos fenômenos envolvidos na disciplina:
FENÔMENOS DE TRANSFERÊNCIA
Dois são os mecanismos de transporte:
ADVECÇÃO: processo direto através do qual o fluido transporta (porque se move). 
DIFUSÃO (OU CONDUÇÃO): processo de transferência do meio fluido movimento ou repouso no sentido decrescente da concentração da propriedade transferida.
Exemplo: Café quente em uma xícara grossa.
Primeiro haverá difusão ou condução de calor do café para a xícara (diferença de temperatura).
Segundo: se for transferida de sala por uma pessoa teremos transporte advectivo de energia de uma sala para outra. Isto é: a energia interna é transportada junto com a xícara + café de uma sala para outra por causa do movimento do sistema.
ii. – TRANSPORTE DE MASSA
Os fluidos em movimento devem satisfazer o princípio da conservação de massa.
Aplicações tecnológicas do processo de transferência de massa:
Processo de mistura e absorção;
Poluição do ar;
Contaminação das águas superficiais;
Evaporação dos oceanos, lagos e rios;
Reoxigenação dos cursos d’água.
iii. - TRANSPORTE DE CALOR
Baseado no princípio da conservação da energia ou 1ª Lei da Termodinâmica
Aplicações:
Geração de energia
termoelétricas
termonucleares
1.2) Poluição térmica de rios e estuários
Torres de refrigeração (dissipação de energia)
1 – FLUIDO
Definição: toda substância que deforma continuamente quando solicitada por um esforço tangencial (tensão de cisalhamento).
2 – EQUAÇÕES BÁSICAS
Princípio da conservação da massa (M);
Princípio da conservação da quantidade de movimento linear (ML) (2ª Lei de Newton);
Princípio da conservação de energia (1ª lei da termodinâmica);
Princípio da taxa de crescimento da entropia (2ª lei da termodinâmica).
3 – REGIÕES DE INTERESSE
Alguns métodos de análise devem ser conhecidos para avaliar o sistema que se está tentando analisar.
SISTEMA – definido como uma quantidade fixa identificável por massa; os limites do sistema separam-no do meio exterior, porém a massa não os atravessa.
VOLUME DE CONTROLE – Um volume de controle é um volume arbitrário no espaço através do qual o líquido escoa. O contorno geométrico do volume de controle é superfície de controle. 
4 – METODOLOGIA DE SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Conhecer o problema e sempre formular com suas próprias palavras;
Determine as informações que conhece;
Estabeleça um volume de controle ou sistema (fixe um sistema de coordenadas);
Formule as equações a serem utilizadas;
Faça hipóteses significativas (seja coerente!!);
Obtenha sempre que possível resposta em forma algébrica;
Faça as substituições numéricas (usando um sistema de unidades – S.I. de preferência).
5 – REVISÃO DO SISTEMA DE UNIDADES
	
	INTERNACIONAL
	PRÁTICO
	INGLES
	PRÁTICO
	T
	k
	ºC
	k
	ºF
	L
	m
	m
	ft
	ft
	M
	kg
	kg
	lb
	lb
	F
	kg.m/s²
	kgf
	lb.ft = poundal
	lbf
	P
	N/m² = Pascal
	kgf/m²
	poundal/ft²
	lbf/ft² = psi
	E
	N.m = Joule
	kgf.m
	poundal.ft
	lbf.ft = btu
	
	Segundo
	
	
	
	
	radiano
	
	
	
p = 1 ft ~ 12 in = 30,5 cm
lbf = 1 lbf ~ 1 lb * 32,17 ft/s²			1 lb ~ 0,45 kg
*gc = 9,81 N / kgf ~ 1 kgf = 9,81 N
fator de conversão	F = m.a /* gc
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II – CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1 – TRAJETÓRIA, RAIA E LINHA DE FLUXO
Trajetória – é a linha que une todos os pontos ocupados por uma partícula ao longo do tempo.
Ex.: Uso de corante
fotos ~ tempo de exposição = trajetória
Raia – é a linha formada por todas as partículas que passaram por um determinado ponto “fixo” do escoamento.
Linha de Fluxo – é a linha tangente ao vetor velocidade em cada ponto no campo de escoamento. Não poderá ocorrer escoamento através de uma linha de fluxo.
OBSERVAÇÃO: As 3 linhas coincidem em regime permanente (velocidade em cada ponto ~ constante em relação ao tempo.
Escoamento Permanente – Trajetória coincide com a raia e a linha de fluxo.
Escoamento Transitório (transiente) – trajetória, linhas de fluxo e raias não coincidem.
2 – ESCOAMENTOS VISCOSO E NÃO-VISCOSO
NÃO-VISCOSO – É uma simplificação da análise do escoamento dos fluidos, muito útil para a solução de problemas em engenharia.
Característica: fluido desliza sobre a parede sólida
Perfil de velocidade uniforme
Inexistência de arrasto aerodinâmico
VISCOSO – Adere na superfície sólida. 
Velocidade fluido = velocidade do sólido na interface (fluido/sólido)
Força de arrasto e de sustentação diferente de zero. 
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Aparece região chamada de CAMADA LIMITE.
CAMADA LIMITE é uma região próxima a uma parede sólida que tem seu escoamento alterado em virtude da existência desta parede.
É a região do escoamento que concentra os efeitos viscosos.
Perfil da camada limite
São conseqüências da camada limite:
Esteira – vórtices
Separação – escoamento descola da superfície sólida
3 – ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO
Importante porque a forma de análise é diferente para escoamento laminar e turbulento.
Escoamento Laminar – contido por lâminas paralelas com baixo efeito de mistura.
a massa de uma lâmina não se mistura com a massa da lâmina seguinte.
Escoamento Turbulento – é um escoamento caótico com elevado efeito de mistura, tridimensional composto por um número infinito de vórtices, que atuam sobre um escoamento médio.
NÚMERO DE REYNOLDS
R = D * V * ρ / μ
ρ = massa específica do fluido
V = velocidade média do escoamento
D = diâmetro do cano
μ = viscosidade do fluido
Para canalizações
Re < 2000 = laminar
Re > 4000 = turbulento
4 – ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL E INCOMPRESSÍVEL
Todos os fluidos são compressíveis.
Os líquidos são menos compressíveis que os gases.
III – ESTÁTICA DOS FLUIDOS
Forças num Fluido
Forças de Campo = peso
Contato 
componente normal = pressão
componente tangencial = cisalhamento
Fluido EstáticoTodas as partículas em repouso ou com a mesma velocidade
Equilíbrio Estático
Só tem forças de campo e componente normal de contato
Lei de Pascal
* A pressão em um ponto é igual em todas as direções
P = Px = Py = Pz
1 – VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM POSIÇÃO NUM FLUIDO ESTÁTICO
P = f(x,y,z) = hipótese
Σ F = 0
(Px – P(x + Δx)) Δy Δz = 0
(Py – P(y + Δy)) Δx Δz - ρg Δx Δy Δz = 0
(Pz – P(z + Δz)) Δx Δy = 0
dividindo tudo por Δx Δy Δz :
Levando ao limite
lim
Δx
Δy ~ 0
Δz
2 – VARIAÇÃO DA PRESSÃO COM A POSIÇÃO NUM FLUIDO ESTÁTICO E INCOMPRESSÍVEL ~ ρ = Cte
P0 – P = - ρg ( y0 – y ) [ * ( -1 ) ]
P – P0 = ρg ( y0 – y) se a superficie for a superficie livre do fluido
P - PATM = ρ g h		
EQUAÇÃO DA HIDROSTÁTICA
A pressão é associada com a altura do fluido.
fluido incompressível transmite pressão em todas as direções
Pm = Pn = cte
F1 = Pm * A1						F1 = F2 A1
F2 = Pn * A2
									F1 = F2 A1
03 – ATMOSFERA PADRÃO
	Temperatura
	288 K
	Pressão
	101300 Pa
	Massa específica
	1,225 kg / m³
	Viscosidade absoluta
	1,78 * 10 –5 kg / ms
ρ água doce = 999
ρ água do mar = 1027
EXEMPLO:
 Po
 h 
 2 Po
 hH2O = ?
h
 hágua do mar = ?
4 – RELAÇÕES DE PRESSÃO
no vácuo absoluto p = 0 (ausência de matéria)
pressão absoluta é medida em relação ao vácuo p ≥ 0
pressão manométrica é medida em relação a pressão atmosférica
manômetro indica a pressão em relação à pressão ambiente que o envolve
 PMN
 Patm Pabsoluta
 10atm P = 0
 
 760mmHg Patm Pmanométrica
 14,7 Psi Pab
 1,01x105 Pascal 
Pman = Pab - Patm
EXEMPLO: Vácuo de 200 mm Hg
MANOMETRIA: Barômetro
Patm * A = Pvapor * A + ρ * g * A * h
Patm = ρ * g * h
* MANÔMETRO EM U:
TEMOS:		PA = ρB g h2 - ρA g h1 + Patm
			PA - Patm = ρB g h2 - ρA g h1 
5 – EXERCÍCIOS
IV – FORÇAS HIDROSTÁTICAS EM SUPERFÍCIES PLANAS
Não existem tensões de cisalhamento em um fluido estático, a força hidrostática num elemento qualquer da superfície deve atuar normal a superfície.
A força de pressão atuando sobre um elemento da suprefície superior, dA, é dada por:
dF = - p dA (1)
		dA = sentido positivo
indica dF atua contra a superfície, oposto a dA.
força resultante é calculada pela soma das contribuições infinitesimais sobre toda a área.
 
Para obter uma relação da equação anterior os elementos de área dA e p devem ser expressas em função da mesma variável.
		h = + da superfície sobre o líquido para baixo
integrando em relação a pressão-altura a forma de se obter uma expressão para pressão (p) em qualquer profundidade h.
	 
substituindo ( 4 ) em ( 1 )
substituindo ( 5 ) em ( 2 )
h = y sen α 
dh = sen α dy 
Se o fluido for incompressível = ρ = cte
Fr = ( P0 + Pc ) * A
P0 + Pc = pressão no centróide da área considerada
LOCALIZAÇÃO DA FORÇA RESULTANTE
x ‘ e y ‘ são coordenadas do ponto de aplicação da força resultante
EXERCÍCIO
V – FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADES
FORÇAS DE FLUTUAÇÃO: Se um objeto está imerso ou flutuando na superfície de um líquido: é a força que atua sobre ele devido à pressão do líquido.
 
Integrando com ρ = cte
dp = ρ g dh
∫ dp = ∫ ρ g dh
p = p0 + ρ g h
A força vertical resultante sobre o elemento é:
dFy = ( P0 = ρ g h2 ) dA - ( P0 = ρ g h1 ) dA
dFy = ρ g ( h2 - h1 ) dA 
mas ( h2 - h1 ) dA = dv, o volume do elemento.
Assim:
Fy = ∫ dFy = ∫ v ρ g dv = ρ g v
onde 	v = volume do objeto
	Fy = força de pressão vertical resultante ou força de flutuação do objeto
Este princípio foi utilizado por Arquimedes em 220 aC com a coroa do Rei Hiero II.
OBS.: A força de corpo devido a gravidade sobre um objeto atua atraves de seu centro de gravidade (CG).
EXERCÍCIO
VI - EQUAÇÕES BÁSICAS NA FORMA INTEGRAL PARA VOLUME DE CONTROLE
REVISÃO:
Na física → Eq. básicas → Sistemas
No fen. de transporte → dificuldade de identificação da massa de um sistema 
Equações Básicas → Volume de controle
1. EQUAÇÕES BÁSICAS
1.1 ) Equações da Conservação da Massa
( CONTINUIDADE ) 
Massa de um sistema permanece constante com o passar do tempo 
dM / dt } sistema = 0
M sist = ∫ massa sist dm = ∫v sist ρ dv
1.2 ) 2ª Lei de Newton ( P ) 
1.3 ) Equação da Quantidade de Movimento Angular (H)
1.4 ) 1ª Lei da termodinâmica ( E ) 
1.5 ) 2ª Lei da termodinâmica (S)
2) RELAÇÃO ENTRE AS DERIVADAS DO SISTEMA E FORMULAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE
Descobriu-se que quando escritos na forma de taxa de variação, cada equação envolvia a derivada p em relação ao tempo de uma propriedade extensiva do sistema 
N → qualquer propriedade extensiva arbitraria do sistema
η → propriedade extensiva por unidade de massa 
N sist = ∫ massa (sist) η dm = ∫ v (sist) η ρ dv
	N
	η
	
	M
	l
	massa
	P
	V
	momento linear / velocidade
	H
	r * v
	momento angular / veloc.ang.
	E
	e
	energia total / e. especifica
	S
	s
	entropia total / entr. especif.
N = ∫ η ρ dv ( genérico )
dN /d t ] sistema = d / dt ∫vc η ρ dv + ∫sc η ρ v dA
Relação dN / d t﴿ sistema e a formulação do volume de controle
OBSERVAÇÃO
Na dedução da Equação Geral ( I ) asseguramos que a relação é valida no instante que o sistema e o volume de controle coincidam .
Isto é verdade, pois a medida que Δ t→ 0 o sistema e o volume de controle ocupam o mesmo volume e possuem os mesmos limites
dN / dt ) sistema é a taxa. de variação total de uma propriedade extensiva qualquer do sistema 
d / dt ∫vc η ρ dv → taxa de variação da propriedade N ao longo de todo volume de controle
ρ v dA → fluxo de massa através da área dA
η ρ v dA → fluxo de propriedade N através de dA
∫sc η ρ v dA → taxa de fluxo da propriedade N através da s.c
OBSERVAÇÃO: A velocidade V é medida em relação ao s.c.
3 ) CONSERVAÇÃO DE MASSA
3.1 ) INTERPRETAÇÃO FISÏCA
O = - +
 
 	
O = ( 10 kg / s ) ( 8 kg / s ) ( - 2 kg / s) 
3.2 ) EQUAÇÃO DO VOLUME DE CONTROLE
dM / d t ﴿ sistema = 0
M sist = ∫massa sist dm = ∫v sist ρ dv
Para deduzirmos a formulação do v.c. para conjunto de massa , temos:
N = M
η = 1 * na equação geral (I)
dM / d t ﴿ sist = d / dt ∫ vc ρ dv + ∫s.c. ρ v dA
O = d / dt ∫ vc ρ dv + ∫s.c. ρ v dA
∫s.c. ρ v dA → este produto é escalar ; o sinal depende da direçao ( sentido ) do
vetor velocidade relativo ao vetor área n dA
+ = quando o escoamento se dá para fora „ através da s.c.
- = quando o escoamento se dá para dentro, através da s.c.0 = quando o escoamento é tangente a s.c.
3.3 ) CASOS PARTICULARES
a) Regime Permanente
b) Escoamento Incompressível
a-) REGIME PERMANENTE é aquele no qual nenhuma das propriedades do fluido varia com o tempo » Com isso o primeiro termo é igual a zero ( O )
O = ∫s.c. ρ v dA
 - ρ v dA → massa flui para dentro através da s.c.
+ ρ v dA → massa flui para fora através da s.c.
∫A entrada ρ v dA = + ∫A saída ρ v dA
b-) ESCOAMENTO ÍNCOMPRESSIVEL é o escoamento no qual a massa especifica ρ permanece constante
0 = ρ ∫vc dv + ρ ∫sc v dA
0 = ρ v + ρ ∫sc v dA
→ como ρ = cte e tamanho do volume é fixo, temos:
0 = ∫sc v dA
OBSERVAÇÃO: A quantidade de volume que entra é igual a quantidade de volume que sai da s.c
[ v ] =. LT-1
 → L³T-1 = vazão volumétrica (q) ou
[dA] = L²
 ∫sc v dA = q → taxa volumétrica de escoamento
V ) EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR PARA UM V.C. INERCIAL
2a LEI DE NEWTON
V.C. INERCIAL é um volume de controle não acelerado em relação a um sistema de referencia estacionário
Dedução da formula matemática para um sistema
F = dP / dt )sist P = momento linear
P sist = ∫massa(sist) v dm = ∫v(sist) ρ v dA
e a força resultante F inclui todas as força e superfície e de corpo atuando sobre o sistema
F = FS + FB
Para um V.C
dN / d t )sist = d / d t ∫vc η ρ dv + ∫sc η ρ v dA
onde 	N = P
	η = V
(I) dp / dt)sist = d / dt ∫vc ρ dA + ∫sc v ρ v dA
sabemos que
dP / dt )sist = F ) sobre o sistema ( II )
V.C. e sistema coincidem no tempo t0
F ) sobre o sistema = F ) sobre o volume de controle
Em vista disto as equações ( I ) e ( II ) fornecem a formulação de volume de controle.
F = FS + FB = d /dt ∫ vc v ρ dv + ∫sc v ρ v dA
Por esta equação , vê-se que a soma de todas as forças (de superfície e de corpo) atuando sobre um v.c, não acelerado é igual a soma da taxa de variação do momento dentro do v.c. e a taxa de efluxo de momentum resultante através da s.c.
Ao se usar qualquer equação básica para uma analise de controle, deverá primeiro traçar os limites do volume de controle e identificar um sistema de coordenadas apropriado. 
Na equação ( III ) , a força F representa todas as forças aluando no volume de controle Ele inclui tanto as forças de superfície como as de corpo (campo)
A equação do Momento é uma equação vetorial
Fx = FSx + FBx = d / d t ∫vc µ ρ dA + ∫ sc µ ρ v dA
Fy = FSy + FBy = d / d t ∫vc r ρ dA + ∫ sc r ρ v dA
Fz = FSz + FBz = d / d t ∫vc w ρ dA + ∫ sc w ρ v dA
onde : µ, r, w., são componentes de velocidade
Fx, Fy, Fz são componentes de força
O sinal do positivo escalar ρ vdA depende da direção (sentido ) do vetor-velocidade ., v, em relação ao vetor-área dA
I etapa para determinação do fluxo de momento
sinal de ρ v dA, ou seja 
ρ v dA = ρ ( V dA | cos α = ± | ρ v dA cos α. |
Como o sinal para cada componente de velocidade u ..r., w., dependem da escolha do sistema de coordenadas , o sinal deve ser levado em conta ao substituirmos valores numéricos nos termos:
µ ρ v dA = µ { ± | ρ v dA cos α }
e assim por diante.
VI) EQUAÇÃO DA Q.M.L. COM V. C. DESLOCANDO-SE COM VELOCIDADE CONSTANTE
No item e exercícios anteriores em que ilustram aplicações da equação do momentum para volumes de controle inerciais foram considerados apenas volumes de controle estacionários
Deve-se enfatizar que um volume de controle ( fixo em relação a um sistema de referencia x., y„ z ) movendo-se com uma velocidade constante ,Vrf relativa a um sistema de referencia (inercial ) xyz é também inercial p já que não possui acelerações em relação a x y z. 
A equação ( III ) do item 04 , que expressa derivadas do sistema em termos das variáveis do volume de controle , é valida para qualquer tipo de movimento do sistema de coordenadas xyz ( fixo ao volume de controle ) desde que:
1 ) Todas as velocidades sejam em relação ao vc
2 ) Todas as derivadas em relação ao tempo sejam medidas em relação ao v.c 
Então temos:
dN / dt )sist = d / dt ∫vc η ρ dv + ∫sc η ρ v dA
Como todas as derivadas devem ser medidas em relação ao v.c. ficamos:
F = FS + FB = d / dt ∫ vc v xyz ρ dv +∫ sc v xyz ρ v xyz dA
É idêntica a equação ( III ) enceto quanto a inclusão do subscrito xyz para enfatizar que as quantidades de movimento devem constituir medidas relativas ao volume de controle .
VII) EQUAÇÃO DA Q.M,L. PARA UM V.C. COM ACELERAÇÃO LINEAR
F + FB - ∫vc a ref ρ dA = d / dt ∫vc v xyz ρ dv + ∫ sc v xyz ρ v xyz dA
onde
FB = ∫vc β ρ dv 
VIII) PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA
VII - DINÂMICA DO ESCOAMENTO INCOMPRESSÍVEL NÃO-VISCOSO
l ) INTRODUÇÃO
Todos os fluidos reais possuem viscosidade, entretanto os fluidos muitas vezes agem como se fossem não viscosos. Portanto, é interessante investigar a dinâmica de um fluido ideal que seja incompressível e tenha viscosidade nula.
A analise da movimentação de fluidos ideais é mais simples do que os escoamentos viscosos , porque as tensões de cisalhamento não se encontram presentes no escoamento não-viscoso
As tensões normais são as únicas tensões que devem ser consideradas na analise.
2 ) EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Integração das equações de EULLER ao longo de uma linha de fluxo para escoamento permanente
Linha de Fluxo é a linha traçada tangente ao vetor velocidade em cada ponto no campo de escoamento; fornece uma representação gráfica conveniente ,
Escoamento Permanente: as trajetórias das partículas as linhas de fluxo coincidem 
Escoamento Não-permanente: coordenadas de linha de fluxo podem descrever este escoamento fornecendo uma representação gráfica dos campos de velocidades instantâneas 
A equação de EULLER para escoamento permanente ao longo de uma linha de fluxo é dada por:
(-1/ ρ) (dp/ds) – g (dz/ds) = v (dv/ds) eq. I
Se uma partícula de fluido se movimenta a uma distancia ds ao longo de uma linha de fluxo , então:
(dp/ds) ds = dp	A variação da Pressão ao longo de s
(dz/ds) ds = dz	A variação da Elevação ao longo de s
(dv/ds) ds = dv	A variação da Velocidade ao longo de s
Assim, depois de multiplicar a equação ( l ) por ds pode-se escrever:
(- dp / ρ ) – g dz = v dv	( ao longo de s )
ou
dp / p + gdz + vdv = 0	( ao longo de s )
A integração desta equação resulta 
∫ dp /p + ∫ g dz + ∫ v dv = cte
∫ dp / ρ + gz + v² / 2 = cte (ao longo de s )
ρ = cte	(eq. II)
Antes que a equação II possa ser usada, devem especificar a relação entre a pressão p , e a massa especifica ρ. Para o caso especial de escoamento incompressível ρ = cte e a equação IIItorna-se:
p / ρ + g z + v² / 2 = cte ( ao longo da linha de fluxo) (eq. III)
A equação III é chamada de EQUAÇÃO DE BERNOULLI.
Ela é muitas vezes usada impropriamente porque as restrições na sua dedução não são consideradas. É importante lembrar as suposições feitas ao derivar a equação de Bernouli. Estas são:
01) Escoamento permanente
02) Escoamento incompressivo.
03) Escoamento livre de fricção
04) Escoamento ao longo de uma linha de fluxo 
A equação de Bernouli é uma equação poderosa e de grande utilidade porque ela relaciona variações de pressão com a velocidade e variações de elevação ao longo de uma linha de fluxo
Entretanto ela fornece resultados corretos somente quando aplicada a uma situação de escoamento onde todas as quatro restrições são razoáveis. 
Portanto, conservar as restrições firmemente para das quando se considerar o uso da equação de Bernouli.
OBSERVAÇÃO: Em geral a constante de Bernouli possuivalores distintos ao longo de linhas de fluxo distintas.
3 ) CONSIDERAÇÕES DE ENERGIA NO ESCOAMENTO ATRAVÉS DE CANOS
Equação de Bernoulli
Perdas de Carga
Aplicações
Um melhor entendimento sobre a natureza das perdas de carga de pressão em escoamentos viscosos internos pode ser obtidos através da equação da energia 
Considere o escoamento em regime permanente através da canalização ( joelho redutor ) , abaixo:
 2
 V.C.
 
 
 1
Com uma formulação para v.c. semelhante as já feitas para problemas de conservação de massa e força, temos:
[ p1 / ρ + v1² / 2 + gz] - [ p2 / ρ + v2² / 2 + gz] = ht
 energia I energia II perdas 
 
1 e 2 → indica a secção do cano
p → pressão
v -→ velocidade
2 → altura referencial
ρ → massa especifica
g → aceleração da gravidade
O termo ( p / ρ + v²/2 + gz ) representa energia mecânica por unidade de massa.
O termo ( ht ) representa a conversão preversível de Emec para Etérmica por causa da natureza viscosa do escoamento, ou seja, por haver fricção interna ( a perda acrescenta-se o atritodo cano)
[ p1 / ρ + v1² / 2 + gz] - [ p2 / ρ + v2² / 2 + gz] = ht = [ L² / T²]
E1 – E2 = ht
Diferença de energia entre as secções l e 2 é chamada perda de carga " ( ht ) .
Com o escoamento num cano horizontal , com secção uniforme , e sem fricção viscosa (ht = 0 ) , a perda de carga ou perda de energia será nula, a equação torna-se:
[ p1 / ρ + v1² / 2 + gz] = [ p2 / ρ + v2² / 2 + gz]
CHAMADA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
Em alguns casos o escoamento parece nao-permanente de um sistema de referencia mas permanente de um outro porque se translada no escoamento 
Como a equação de Bernoulli foi deduzida integrando a 2ª Lei de Newton para uma partícula do fluido ela pode ser aplicada em qualquer sistema de referencia inercial 
4 ) EXERCÍCIOS APLICATIVOS
5 ) PRESSÕES ESTÁTICAS DE ESTAGNAÇÃO E DINÂMICA
A pressão p que se usou na dedução da equação de Bernoulli é a pressão termodinâmica , a qual é comumente chamada, de pressão estática 
A pressão estatica. é aquela pressão que seria medida por um instrumento movendo-se com o escoamento .Entretanto tal medição é dificil de executar na pratica 
É possível medir experimentalmente a pressão estática no item 2 , mostramos que não existe variação de pressão na direção normal as linhas de fluxo do escoamento quando estas linhas de fluxo eram retilíneas 
Este fato torna possível medir a pressão estática em um fluido em movimento usando uma tomada de pressão "TAP" de parede colocada numa região onde as linhas de fluxo do escoamento são retilíneas 
A tomada de pressão consiste num pequeno orifício perfurado cuidadosamente na parede , com seu eixo perpendicular a superfície 
Se o orifício for perpendicular as paredes do conduto e livre de rebarbas , medições precisas da pressão estática podem ser efetuadas conectando a tomada de pressão a um instrumento de medição
Numa corrente de fluído afastada da parede , ou num local onde as linhas de fluxo sejam curvas, medições precisas da pressão estática podem ser levadas a efeito pelo uso cuidadoso de um sensor de pressão estática
Mostrado na Figura 02
Sensores deste tipo devem ser projetados de forma que os orifícios de medição sejam colocados corretamente em relação a ponta e haste do sensor para evitar resultados falsos Quando em uso, a secção de medição deve estar alinhadas com a direção do escoamento local.
Sensores de pressão estática, tais como os mostrados na figura 02 e outras variedades de forma , são encontrados comercialmente em tamanho a partir de 1/16 pol de diâmetro ( 0,16 cm ) .
A pressão de estagnação é aquele valor obtido quando o fluido em escoamento é desacelerado até atingir velocidade nula através de um processo livre de fricção. Em escoamento compressível a equação de Bernoulii pode ser usada para relacionar variações na velocidade e pressão de uma linha de fluxo para tal processo 
Desprezando diferenças em elevação, a elevação.
 p / ρ + v² / 2 + gz = cte fica:
p / ρ + v² / 2 = cte 
Se a pressão estática for p em um ponto no escoamento onde a velocidade v , então a pressão de estagnação p pode ser calculada através de 
p0 / ρ + v0² / 2 + gz = p / ρ + v² / 2
ou
p0 = ½ ρ v² = p0 - p
( pressão de estagnação v0 = 0 )
A equação l é uma expressão matemática da definição da pressão de estagnação valida para escoamento incompressível. O termo 1/2 pv² usualmente chamado de pressão dinâmica 
Resolvendo para pressão dinâmica, resulta 
½ ρ v² = p0 - p
e para velocidade
V = 2 ( p0 – p ) / ρ	(eq. 2 )
Assim, se a pressão de estagnação e a pressão estática pudessem ser medidas em um ponto a equação 2 nos daria a velocidade de escoamento local 
A pressão de estagnação é medida em laboratório usando-se um sensor com orifício orientado diretamente contra a corrente conforme mostrado na figura 03 
Este sensor é chamado de SENSOR DE PRESSÃO DE ESTAGNAÇÃO,ou TUBO DE PITOT . Como antes, a secção de medição deve estar alinhada com a direção local do escoamento.
Foi visto que a pressão estática em um ponto pode ser medida com uma tomada de pressão ou sensor (fig 01 )
Se soubéssemos a pressão no mesmo ponto , então a velocidade de escoamento poderia ser calculada através da equação 2
Dois esquemas experimentais possíveis são mostrados na figura 04 .
a ) TUBO DE ALTURA DE CARGA TOTAL USADO COM TOMADA DE PRESSÃO ESTÁTICA DE PAREDE .
b ) TUBO DE PITOT-ESTATICO
Na figura 4a a pressão estática corresponde ao ponto A é medida através da tomada de pressão estática na parede.
A pressão de estagnação é medida diretamente em Apelo Tubo de Altura de Carga Total, conforme mostrado. 
OBSERVAÇÃO: A haste do tubo de altura de carga total é colocada a jusante do local de medição para minimizar distúrbios no escoamento local.
Dois sensores são muitas vezes combinados como no arranjo de Tubo de Pitot-Estático da figura 4b. O tubo interno é usado para medir a pressão de estagnação no ponto B enquanto a pressão estática em C é medida pêlos pequenos orifícios no Tubo exterior 
06 ) EXERCÍCIOS APLICATIVOS
VIII - ANALISE DIMENSIONAL E SIMILITUDE
l ) INTRODUÇÃO
A historia do desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos sempre dependeu grandemente de resultados experimentais, porque muitos poucos escoamentos reais podem ser resolvidos exatamente através de métodos analíticos apenas. As soluções de problemas da vida real envolvem uma combinação de analise e informação experimental .
Inicialmente a situação de escoamento físico real é aproximada através de um modelo matemático que seja suficientemente simples para fornecer uma solução. A seguir, medições experimentais são executadas para conferir os resultados analíticos. Com base nas medições , refinamentos podem ser introduzidos na analise e assim por diante 
Entretanto o trabalho experimental de laboratório é ao mesmo tempo demorado e caro. Um objetivo obvio é obter o máximo de informação através do mínimo de experiências. A analise dimensional é uma ferramenta importante que , muitas vezes , nos auxilia a atingir este objetivo.
Os parâmetros adimensionais obtidos podem também ser usados para correlacionar dados para apresentação sucinta usando o numero mínimo possível de gráficos.
2 ) NATUREZA DA ANALISE DIMENSIONAL
Em sua maioria , os fenómenos em Mecânica dos Fluidos dependem de maneira complexa dos parâmetros geométricos e de escoamento.
Perguntas são realizadas para um dado experimento e as respostas correlacionadas com os parâmetros „ que envolve a analise dos dados e consequentemente aplicados a um teorema , o TOEREMA DE BUCKINGHAM PI.
3 ) TEOREMA DE BUCKINGHAM PI
XEROX
4 ) EXERCÍCIOS APLICATIVOS
XEROX
IX ESCOAMENTOS LAMINAR E TURBULENTO
l ) ESCOAMENTO LAMINAR E TUBULENTO
Por volta de 1880 , OSBORNE REYNOLDS , um Engenheiro .Britânico, estudou a transição entre os escoamentos laminar e turbulento em um cano
Ele descobriu que o parâmetro Re = ρ v D / µ é um critério pelo qual o estado de um escoamento pode ser determinado
Nesta experiência, a água flui de um reservatório grandes proporções de um cano transparente. Um filamento fino de corante introduzido na entrada do tubo permite a observação visual do escoamento.
Vazões baixas ( Re baixo ) → escoamento laminar
Vazões altas ( Re alto ) → escoamento turbulento
Re = ρ v D / µ ou Re = v D / υ 
υ = µ / ρ
onde:
Re = numero de Reynolds 
ρ = massa especifica ( kg / m³ )
v = velocidade ( m / s )
D = diâmetro ( m )
µ = viscosidade ( kg / sm )
υ = viscosidade cinemática ( m²/s )
Re < 2000 → laminar
Re > 4000 → turbulento
2000 < Re < 4000 → transição
No escoamento laminar, a queda de pressão pode ser computada analiticamente para escoamento completamente desenvolvido em um cano horizontal. 
Q = π Δ p D4 4 / 128 µ l
onde:
Δ p = 128 µ L Q / π D4
Δ p = 128 µ L (v π D² / 4) / π D4
Δ p = 32 L / D µ v / D	eq. 1
No calculo da perda de carga em canos temos:
p1 / ρ + v1² / 2 + gz1 – [ p2 / + v2² + gz2] = h1t
Com o escoamento num cano na horizontal com secção uniforme p e sem fricção viscosa (ht = 0).
A perda de energia ou perda de carga será nulo, a equação torna-se:
Δ p / ρ + ( v1 - v2 )² / 2 + g (z1 – z2 ) = h1t
Δ p / ρ = 0
Para o calculo da perda de carga:
ht → é a perda de carga total e é encarada como a soma dos efeitos de fricção no escoamento completamente desenvolvido mais as perdas secundarias, entradas, conexões etc.
ht = h1 + (hs) → cotovelos, curvas, registros, joelhos etc.
Para escoamento completamente desenvolvido
hs = 0 e v1² / 2 = v2² / 2
Então:
ht = [ p1 – p2 / ρ] + g (z1 – z2)
e onde z1 = z2 → cano horizontal
ht = Δp / ρ ( eq. 2 )
Conhecemos a expressão de Δp para deslocamentos laminar através de um cano na horizontal.
Substituindo ( l ) em ( 2 )
h1t = Δp / ρ = 32 L µ v / D ρ D
h1t = L / D * v² / 2 * (64 µ ρ v D)
h1t = (64 / Re) * L / D * v² / 2 
h1t = f * L / D * v² / 2
f = (64 / Re) conhecido apenas para regime laminar
[64 / Re] → isto é encarado como fator de fricção para perda de carga
Corno os escoamentos tem normalmente Re > 2000 ( regime transição e turbulento ) o f é determinado experimentalmente 
Os resultados estão no diagrama de MOODY 
Para se determinar a perda de carga para escoamento completamente desenvolvido com condições conhecidas o numero de Reinolds (Re) do escoamento é calculada em primeiro lugar
O valor da rugosidade relativa e/D para o escoamento é obtido através da figura ( 8.13 - FOX )
Então , o fator de fricção , f , é lido através da curva apropriada na ( fig 8.12 - Moody ), nos valores conhecidos de Re e e/D 
Finalmente a perda de carga é calculada utilizando a equação ( 3 )
2 ) EXERCÍCIOS APLICATIVOS
01) - Calcule a. perda de carga para o escoamento de um cano liso seco uniforme na horizontal conforme os dados abaixo 
ρ = 1000 kg/m3
v= 0,034 m/s
a – perda de carga
b – comprimeno de 5 m. Qual a perda de pressão ?
02 – Calcule a perda de carga de 10 m
 A vazão é 0,01 m³/s e sua rugosidade e/D = 0,0002
3 ) PERDAS SECUNDARIAS
O escoamento através de um encanamento pode requerer a passagem através de uma variedade de conexão p curvas ou variações abruptas de área
Perdas de carga adicionais ocorrem principalmente como resultado da separação do escoamento ( energia é eventualmente dissipada pela mistura violenta nas zonas separadas ) 
Estas perdas serão secundarias ( dai o termo perdas secundarias ) se o sistema de encanamento em questão inclui comprimentos longos de área de cano constante .
A perda de carga secundaria pode ser expressa como
h1m = k * v² / 2
Onde o coeficiente de perda ., K ., deve ser determinado experimentalmente para cada situação 
A perda de carga secundaria pode também ser expressa como
h1m = f * Le / D * V² / 2
Onde Le consiste num Comprimento equivalente de cano reto.
Dados experimentais para coeficiente de perda secundaria são numerosos, mas eles se encontram espalhados ao longo de uma variedade de fontes 
Consequentemente, dados para algumas situações comumente encontradas são resumidas a seguir 
3.l ) Acessos e comprimentos de entrada
Quadro 8.1
3.2 ) Expansões e Contrações
Figura 8.16
Quadro 8.2
3 .3) Saídas
Quadro 8.3
3.4 ) Curvas em cano
Figura B.18
Figura B.19
3.5 ) Válvulas e Conexões
São expressos através de comprimento equivalente de cano reto ( Le / D ) 
Quadro 8.4
4 ) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE ESCOAMENTO EM CANOS
Uma vez calculada que a perda de carga total usando-se os métodos do item 01, os problemas de escoamento em canos podem ser resolvidos usando-se a equação da energia
Bernoulli:
p1 / ρ + v² / 2 + gz1 – [p2 / ρ + v2² / 2 + gz2 = ht
As mesmas técnicas básicas são empregadas , mesmo para sistemas de encanamento completos 
4.1 ) SISTEMAS DE PASSO ÚNICO
Xerox → pag. 309 → Fox
Passos para se resolver os problemas
* 4 situações ( possíveis )5
5 ) EXERCÍCIOS APLICATIVOS
BIBLIOGRAFIA
01 ) FOX & McDONALD Introdução a mecânica dos fluidos. Editora
Guanabara Dois., 3ª ed. - Rio de Janeiro., 1988, 645 p.
02 ) MARCIUS F. GIOGETTI . Apostila de fenômenos dos transportes.
USP / EESC,
03 ) BENNETT, C. O. & MIERS, J. E.. fenômenos de transporte.
Editora McGraw-Hill, 1978.
04 ) STREETER., V. L. $ WYLIE, E. B. mecânica dos fluídos.
Editora McGraw-Hi11, 7a ed., 1980, 585 p.
05 ) KREITH Princípio de transmissão de calor
06 ) GILES, R.V. ; EVETT, J. B. ; LIU, C. Mecânica de fluidos e
hidráulica. 2a ed.„Sâo Paulo.. MAKRON Books, Colecão Schaum.. 1996.
 
LISTA 1
CAPITULO 1 e 2
1 ) Empuxo é:
a ) a força resultante que age num flutuador
b ) a força necessária para manter um corpo submerso em equilíbrio
c ) a força resultante, exercida num corpo, devido ao fluido que o circunda
d ) igual ao volume de líquido deslocado
e ) uma força inclinada para corpos assimétricos
2 ) A equação da continuidade para escoamento de um fluido perfeito:
a ) estabelece que a energia é cte ao longo de uma linha de corrente
b ) estabelece que o saldo das vazões, num pequeno vol, deve ser zero
c ) pode ser aplicada somente se o escoamento é irrotacional
d ) estabelece que a energia é cte em qualquer ponto do fluido
e ) implica a existência de um potencial de velocidade
3 ) Um fluido é uma substância que:
a ) tem a mesma tensão de cisalham/o num ponto não importa o seu mov.
b ) sempre se expande até encher um recipiente
c ) é praticamente incompressiveld ) não pode ser submetida a forças de cisalhamento
e ) não pode permanecer em repouso sob ação de qq força de cisalham/o
4 ) O que é massa específica, peso específico e densidade, com suas respectivas unidades, exemplos ?
5 ) Escrever a relação básica pressão‑altura para um fluido estático e integrá‑la para variação de pressão correspondente a quaisquer variações de propriedada do fluido.
6 ) Enunciar as cincos leis básicas que governam o movimento dos fluidos ?
7 ) Enunciar os três sistemas básicos de unidades?
8 ) As dimensões da viscosidade cinemática são:
a ) FT‑2T		c ) L2T2		e ) L2T‑2
b ) ML‑1T‑1		d ) L2T‑1 
9 ) Dar definições operacionais dos seguintes termos:
a ) Fluido , ex. ?
b ) Difusão, advecção e radiação, ex. ?
c ) Escoamento permanente ?
d ) Trajetória ?
e ) Sistema, ex. ?
f ) Linhas de fluxo e/ou corrente ?
g ) Raia e/ou filete ?
h ) Volume de controle, ex. ?
i ) Escoamento incompressível e compressível ?
j ) Escoamento laminar e turbulento, ex. ?
k ) Manômetros, ex. ?
10 ) Para ( = 3x10‑8 m2/s e ( = 800 kg/m3; ( no SI é igual a:
a ) 3,75x10‑11		c ) 2,4x105
b ) 2,4x10‑5			d ) 2,4x1012			e ) nenhuma das respostas anteriores
11 ) A equação diferencial, correspondente a variação de pressão num fluido em respouso, pode ser escrita (com y medido verticalmente para cima):
a ) dp = ‑ ( dy		c ) dy = ‑ ( dp		e ) dp = ‑ ( d( 
b ) d( = ‑ ( dy		d ) dp = ‑ ( dy
		
12 ) Enunciar a relação entre pressão absoluta e instrumental ?
13 ) Escrever a equação que relaciona taxa de variação de qualquer propriedade extensiva arbitrária, N, de um sistema, com variações em relação ao tempo da propriedade associada com um volume de controle. Dar o significado físico de cada quantidade da equação.
14 ) Enunciar a metodologia utilizada na solução de problemas em mecflu e/ou fen.transportes?
15 ) Escrever a formulação para volume de controle da conservação da massa e dar o significado físico de cada termo na equação. Aplicar a equação na solução de problemas de escoamento.
16 ) Verificar qual a afirmação correta.
a ) a pressão atm. local é sempre menor que a pressão normal.
b ) a pressão atm. depende somente da altitude da localidade
c ) a pressão atm. normal é a pressão atm. local média, ao nível do mar
d ) um barômetro indica a diferença entre a pressão atm. local e normal
e ) a pressão atm. normal vale 34 in. de mercúrio abs. 
CAPITULO 3
17) Se 9 m3 de óleo pesam 7800 kg, calcular seu peso específico ((), massa específica (() e sua densidade relativa ( d ).
18) Que profundidade de óleo, densidade 0,950, produziria uma pressão de 7,7 kg/cm2 ? Qual a profundidade em água ? g e Patm = despresível
19) Determine a pressão manométrica em A devida a deflexão do mercúrio ( d = 13,6 ), no manômetro U mostrado na Figura 1.
20) Para uma pressão manométrica em A de ‑ 8000 kg/m2. Determine a densidade do líquido B da coluna manométrica da Figura 2. Patm = despresível !! OBS : Aplique pontos com pressões estáticas.
21) Os recipientes A e B contém água sob pressão de 17 kg/cm2 e 14,5 kg/cm2 respectivamente. Qual será a deflexão do mercúrio no manômetro na Figura 3.(g = constante )
22) O recipiente da Figura 4 contém água e ar, como é indicado. Qual é o valor da pressão em A, B, C e D em Pa ?
23) Na Figura 5 as áreas do embolo A e do cilindro B são 17800 mm2e 980000 mm2 respectivamente e o peso de B é 9000 kg. O recipiente e as conexões estão cheias de óleo de densidade 0,750. Qual a força P necessária para o equilibrio, desprezando‑se o peso de A.
24) Determinar a pressão no ponto a da Figura 6, se o líquido A possui densidade de 0,66 e o líquido B possui densidade de 7,1. O líquido em torno do ponto a é água e o tanque a esquerda esta aberto a atmosfera.
25) Determine a pressão em A da Figura 7 ?
26 ) Uma tubulação industrial composta de 2 tubos paralelos que conduzem vapor a diferentes pressões, possui um dispositivo para avaliar esta diferença de pressões, conforme esquematizados na Figura 8; quanto é a pressão em A ? Dados: PB = 50.000 N/m2; (H20 = 1000 kg/m3; (Hg = 13600 kg/m3
27 ) Um manômetro de reservatório é constituido com um tubo de diamentro de 40 mm e diâmetro de reservatório de 80 mm. O líquido do manômetro é o óleo vermelho meriam com d = 0,727. Determine a deflexão (h/(h ) do manômetro em mm/mm de pressão diferencial de água aplicada. Figura 9.
28 ) Na Figura 10 tem‑se água em A e B e o líquido manométrico é óleo, de densidade 0,8, h1 = 400 mm, h2 = 300 mm, h3 = 700 mm.
a ) Determinar PA ‑ PB em Pascal.
29 ) Na Figura 11 o tubo contém ar, o líquido manométrico é água, h1 = 500 mm e h2 = 200 mm. A pressão em A é:
a ) 10,14 m água abs.		c ) 0,2 m água	e ) NDA 
b ) 0,2 m água vácuo		d ) 4901 Pa 
30 ) Na Figura 12 h1 = 1,5 ft, h2 = 1,0 ft, h3 = 2,0 ft,d1 = 1,0, d2 = 3,0, d3 = 1,0. Logo, PA ‑ PB em KPa.
a ) ‑ 10,5		c ) 10,5		e ) nenhuma das respostas anteriores	
b ) 6,25		d ) ‑ 3,05 
31 ) Determinar as alturas das colunas de água; querosene, d = 0,93, e acetileno tetra bromado d = 2,94, equivalentes a 800 mm Hg.
32 ) Qual é a pressão num ponto 07 m abaixo da superfície livre de um fluido cuja massa especifica, em quilograma por metro cúbico, varia segundo a lei ( = b + ah, onde a = 22 kg/m4, b = 550 kg/m3 e h é a distância, em metros, medida a partir da superfície livre?
33 ) Determinar o valor da pressão de 640 mmHg em psi e kgf/cm2 na escala efetiva e em kgf/m2 e atm na escala absoluta. ( patm = 10330 kgf/m2 )
34 ) A Figura 13 mostra, esquematicamente, uma prensa hidráulica. Os dois êmbolos tem respectivamente as áreas A1 = 30 cm2 e A2 = 300 cm2. Se aplicarmos uma força de 20 kgf no embolo (1), qual será a força transmitida em (2)?
35 ) Se o bloco de ferro no reservatório da figura repousa sem atrito com as paredes, calcular a pressão que será indicada pelos manômetros metálicos. Figura 14.
36 ) Dado o esquema da Figura 15:
a ) Qual a leitura no manômetro metálico?
b ) Qual a força que age sobre o topo do reservatório?
37 ) No manômetro da Figura 16 o fluido A é água e o B mercúrio. Qual a pressão P1?
38 ) No manômetro diferencial da Figura 17 o fluido A é água, B é óleo e o fluido manométrico é mercúrio. Sendo h1 = 55 cm, h2 = 150 cm h3 = 90 cm e h4 = 60 cm, qual a diferença de pressão Pa‑ Pb.
39 ) Uma pedra pesa 50 kg no ar e quando imersa na água pesa 55 kg. Determinar o volume de pedra e sua densidade.
CAPITULO 4
40 ) Um tanque com volume de 0,50 m3 contém ar a pressão de 1500 KPa (absoluta ) e T = 15 oC no tempo t=0 o ar escapa através de uma válvula, saindo com velociade V = 570 m/s e uma massa específica ( ( = 9,39 kg/m3 ) através da área de escoamento‑válvula (A = 800 mm2). Calcular a vazão de variação de massa específica do ar ( Taxa de variação instantânea ) no tanque no tempo t = 0. OBS : As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes. Figura 18.
41 ) Um fluido com massa especifica de 7140 kg/m3 esta escoando em regime permanente através da caixa retangular mostrado na Figura 19.
DADOS: A1 = 1,7 m2 A2 = 0,05 m2 A3 = 3 m2
V1 = ‑ 7 i m/s V2 = 6 j m/s Determine a Veloc. 3 ?
42 ) Considere um escoamento permamente, incompressivel, através da Figura 20. Determine a vazão volumétrica através daabertura 3.
Dados: A1 = 5 m2 A2 = 2 m2 A3 = 0,5 m2
V1 = 35 m/s V2 = 90 m/s
43 ) Um tanque cilindrico de diâmetro de 600 mm, drena através de uma abertura d = 40 mm no fundo do tanque. A velocidade do líquido deixando o tanque pode ser aproximadamente expresso por V = 
��SEQ Equation \* ARABIC \h1, onde y é a altura do fundo do tanque até a superfície livre. Se o tanque esta inicialmente cheio com água ate uma profundidade yo = 3,9 m. Determinar a profundidade da água no tempo t = 30 seg. Figura 21.
44 ) Para as condições do problema 43, determine o tempo requerido para drenar o tanque completamente.
45 ) A Figura 22 ilustra um sistema de drenos para irrigação. Calcule a velocidade de saida em relação ao raio. Considere um regime permanente, a vazão de entrada é Q.
46 ) Quando 4800 l/min escoam através de um tubo de 400 mm de diâmetro, que mais tarde é reduzido para 200 mm, quais serão as velocidades nos dois tubos?
47 ) Se a velocidade em um tubo de 450 mm de diâmetro é de 0,5 m/s, qual será a velocidade em um jato de 60 mm de diâmetro saindo de um bocal fixado ao tubo?
48 ) No tubo da Figura 23 determinar a vazão em volume e a velocidade na seção (2) sabendo‑se que o fluido é água e que A1 = 20 cm2 e A2 = 7 cm2.
49 ) Na seção 1 de um conduto pelo qual escoa água, a velocidade é 9 ft/s e o diâmetro é 9 ft. Este mesmo escoamento passa pela seção 2 onde o diâmetro é 9 ft. Determinar a vazão e a velocidade na seção 2.
50 ) A equação da continuidade pode ser escrita na forma
a ) Q = p A v			c ) p1A1v1 = p2A2v2		e ) A1v1 = A2v2 
b ) (1A1 = (2A2		d ) V.p = 0 
51 ) A velocidade média da água que escoa por um conduto de 24 in é 10 ft/s. A vazão que escoa no conduto, em pes cubico por segundo, é
a ) 7,85		c ) 40			e ) nenhuma das respostas anteriores		
b ) 31,42		d ) 125,68 
G A B A R I T O
LISTA 1 / 1997
17 ) ( = 800 Kg/m3 ; ( = 800 Kg/m3 ; d = 0,8
18 ) holeo = 55,29 m hagua = 47,00 m
19 ) Pa = 202.146,80 Pa ou Pa = 1 atm
20 ) d = 1,0
21 ) h = 2,14 m
22 ) PA = ‑ 5.886 Pa PB = 5.886 Pa PC = PB PD = 22.661 Pa
23 ) FA = 41,92 Kg
24 ) Pa = 126.416 Pa
25 ) Pa = ‑ + ‑ ‑ +
26 ) PA = 44.832,72 Pa
27 ) h / (h = 0,967
28 ) Pa ‑ Pb = ‑ 1373,40 Pa
29 ) d
30 ) c
31 ) Água = 2,72 mca Querosene = 3,27m Ac. Tet.= 0,93 m
32 ) P = 50.031 Pa
33 ) 0,46 Kg/cm2 ; 6,57 psi ; Pabs = 14951 Kg/m2 ; Pabs = 1,45 atm
34 ) F2 = 200 Kgf
35 ) P1 = 10 Kg/cm2 ; P2 = 10,39 Kg/cm2 ; P3 = 13,09 Kg/cm2
36 ) a ) 20 Kg/m2 ; b ) 200 Kgf
37 ) P1 = 1335 Kg/m2
38 ) Pa ‑ Pb = 13.990 Kg/m2 
39 ) Não Cai
40 ) (( / (t = ‑ 2,31 ( kg/m3 / s )
41 ) V3 = 4,01 m/s Faça a decomposição das Velocidades !!!
42 ) q3 = 35 m3 / s Calcule a velocidade na seção !!!
43 ) y = 39 mm
44 ) t = 35' 07"
45 ) V = Q / 2 ( e
46 ) V1= 0,95 m/s ; V2 = 3,82 m/s
47 ) V2 = 12,47 m/s
48 ) Q = 0,001 m3/s ; V1 = 2 m/s
49 ) Q = 0,26 m3/s ; V2 = 0,40 m/s
50 ) ‑ ‑ ‑ ‑
51 ) b
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dA
dF = - ( P0 +
ρ g dh )
p = p0 - 
ρ g dh ( 4 )
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ρ g dh
e portanto : p - p0 = 
desconhecido como
p = ρ (h) e como
ρ varia com h
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dp = 
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ρ g dh
= ρ g
dh
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dp = ρ g dh (3)
dp
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A2
A2
P = Po + P g h
2 Po = Po + 999*9,8 x h
Po = 10/300 = 999 x 9,81 x h
hH2O = 101300/999 x 9,81 = 10,33
hágua do mar = 101300/1027 x 9,81 = 10,08
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
P = Po + P g h ( 101300 – 13,6 x 999 x 9,81 x 20/1000
P = 74643 Pa
760mmHg = 101300Pa
e
y ‘ Fr = y p dA
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
Fr = P0 A + ρ g sen α yc A 
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
Fr = P0 A + ρ g sen α y dA 
Fr = P0 dA + ρ g sen α y dA 
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
Fr = P0 dA + [ ρ g sen α dy ] dA 
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
Fr = ( P0 - ρ g dh ) dA
FR = - ( P0 + ρ g dh ) dA
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
PISTÃO CILÍNDRICO
– p dA (2)
[QUANTIDADE DE MASSA QUE SAI DO V.C. NA UNIDADE DE TEMPO ]
FR=
ρ g dh )
dF = - ( P0 +
dA
� EMBED Word.Picture.8 ���
b)FLUIDO
a) SÓLIDO
Abrindo Pouco
Corante
[ TAXA DE VARIAÇÃO DE MASSA DENTRO DO V.C.]
[QUANTIDADE DE MASSA QUE ENTRA NO V.C. NA UNIDADE DE TEMPO ]
x ‘ Fr = x p dA
� EMBED CorelDraw.Graphic.9 ���
= ρ g
dh
dp
2,5 cm
Abrindo Medianamente
Abrindo Muito
�
� PAGE �42�
_1075442921.unknown
_1075608836.unknown
_1243832195.doc
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_1237558941.doc
_1075606841.unknown
_1075607092.unknown
_1075608049.unknown
_1075606900.unknown
_1075444992.unknown
_1075439477.unknown
_1075439620.unknown
_1075438805.unknown
_1075439096.unknown
_991458764.doc