Exercicio Laplace(Com Gabarito)

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Lista 5 - EDO
Transformadas de Laplace
Exerc´ıcio 1. Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes func¸o˜es:
(a)
4
s+ 2
(b)
3s
s2 + 9
(c)
15
s2 + 25
(d)
6s− 10
s2 + 4
− 3
s− 4 (e)
2− s
5 + s2
(f)
2 + 3s− s2
s3
Exerc´ıcio 2. Calcule:
(a) L−1
[
1
(s+ 2)3
]
(b) L−1
[
2s− 10
s2 − 4s+ 20
]
(c) L−1
[
s+ 1
s2 + s+ 1
]
(d)L−1
[
s
(s− 1)4
]
(e) L−1
[
2s− 1
4s2 + 4s+ 5
]
(f) L−1
[
2s− 3
s2 + 1
]
.
Exerc´ıcio 3. Usando o me´todo da decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais, encontre L−1 das func¸o˜es
seguintes:
(a)
s+ 17
(s− 1)(s+ 3) (b)
3s− 8
s2 − 16 (c)
s− 11
(s+ 1)(s− 2)(s− 3)
(d)
2s2 + 15s+ 7
(s+ 1)2(s− 2) (e)
10
s(s2 − 2s+ 5) (f)
6s+ 6
(s2 + 1)(s2 + 4)
Exerc´ıcio 4. Idem para
(a)
11s2 − 10s+ 11
(s2 + 1)(s2 − 2s+ 5) (b)
s3 + 2s2 + 4s+ 5
(s+ 1)2(s+ 2)2
Exerc´ıcio 5. Usando o teorema da convoluc¸a˜o, obtenha:
(a) L−1
[
s
(s2 + 1)2
]
(b) L−1
[
1
s(s2 + 1)
]
(c) L−1
[
1
s2(s2 + 1)
]
(d) L−1
[
1
s2 − 4
]
(e) L−1
[
1
s2(s+ 1)2
]
(f) L−1
[
1
(s2 + 1)2
]
Exerc´ıcio 6. Usando Laplace, resolva os PVIs abaixo:
(a) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = 3, y′(0) = 5,
(b) y′′ + 2y′ = 4, y(0) = 1, y′(0) = −4,
(c) y′′ + 9y = 20e−t, y(0) = 0, y′(0) = 1,
(d) y′′ − 2y′ + y = 12t, y(0) = 4, y′(0) = 1,
1
(e) y′′ + 8y′ + 25y = 100, y(0) = 2, y′(0) = 20,
(f) y′′ + y = 2e−t, y(0) = 0, y′(0) = 0,
(g) y′′′ + 3y′′ + 3y′ + y = 12e−t, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = 1,
Exerc´ıcio 7. Usando o me´todo de Laplace, resolva as equac¸o˜es integrais:
(a) y(t) = 3t+
∫ t
0
y(u) sen(t− u)du,
(b) y(t) = 3 +
∫ t
0
e2uy(t− u)du,
(c)
∫ t
0
y(u) sen(t− u)du = y(t) + sin t− cos t.
Dica:
∫ t
0
y(u)f(t− u)du = y ∗ f .
Exerc´ıcio 8. Mostre que ∫ +∞
0
sin tx
x
dx =
pi
2
, t > 0.
Dica: chame o 1o membro da equac¸a˜o de f(t) e calcule L[f(t)] pela definic¸a˜o.
Exerc´ıcio 9. Sejam P (s) e Q(s) polinoˆmios tal que o grau de P (s) e´ menor que o de Q(s), e onde
Q(s) = 0 tem ra´ızes diferentes a1, a2, . . . , an. Prove que
L−1
[
P (s)
Q(s)
]
=
n∑
k=1
eakt
P (ak)
Q′(ak)
.
Exerc´ıcio 10. Resolva o seguinte PVI:
y′′ − 4y′ + 3y =

0, t < 2,
t, 2 < t < 4,
6, t > 4,
y(0) = 3, y′(0) = 1.
Exerc´ıcio 11. Calcule L[r(t)] onde
r(t) =
{
1, 2k < t < 2k + 1,
0, 2k + 1 < t < 2k + 2,
k ∈ N.
Dica: A func¸a˜o e´ 2-perio´dica e pode-se notar que
r(t) = 1− µ1(t) + µ2(t)r(t− 2).
2
Exerc´ıcio 12. Resolva o PVI
y′′ + ω2y = Ar(t), y(0) = y0, y′(0) = y1,
onde
r(t) =
{
1, 2k < t < 2k + 1,
0, 2k + 1 < t < 2k + 2,
k ∈ N.
Este problema modela oscilac¸o˜es na˜o amortecidas de um sistema mola-massa, peˆndulo simples, ou
circuito LC, dependendo da interpretac¸a˜o de t, ω, A, r(t), y0 e y1.
Exerc´ıcio 13. Num circuito ele´trico constitu´ıdo por uma resisteˆncia de R ohms em se´rie com um
condensador de capacitaˆncia C farads, um gerador de E0 volts e um interruptor. No tempo t = 0
a chave e´ fechada. Supondo-se que a carga no capacitor e´ zero em t = 0, e encontre a carga e
corrente, em qualquer momento posterior. Suponha que A, C e E0 sa˜o constantes.
Exerc´ıcio 14. Resolva o exerc´ıcio acima, mas agora considere que o gerador entrega ao circuito
uma d.d.p. dada por
E(t) =
{
E0, 0 ≤ t < T,
0, t > T.
Gabarito
Ex. 1) (a) 4e−2t, (b) 3 cos 3t, (c) 3 sen 5t, (d) 6 cos 2t − 5 sen 2t − 3e4t, (e) 2√
5
sen
√
5t − cos√5t, (f)
t2 − 3t− 1.
Ex. 2) (a) 12 t
2e−2t, (b) e2t(2 cos 4t− 32 sen 4t), (c) e−t/2
(
1√
3
sen(
√
3
2 t) + cos(
√
3
2 t
)
, (d) et
(
t3
6 +
t2
2
)
,
(e) 12e
−t/2(cos t− sen t), (f) 2 cos t− 3 sen t.
Ex. 3) (a) 92e
t− 72e−3t, (b) e
4t
2 +52e
−4t = 3 cosh 2t−4 senh 2t, (c) −2e3t+3e2t−e−t, (d) 5e2t+2te−t−3e−t,
(e) et(sen 2t− 2 cos 2t) + 2, (f) 2 sen t+ 2 cos t− sen 2t− 2 cos 2t.
Ex. 4) (a) et(4 sen 2t+ 2 cos 2t) + sen t− 2 cos t, (b) e−t(2t− 1) + e−2t(−3t+ 2).
Ex. 5) (a) cos t ∗ sen t = t2 sen t, (b) 1 ∗ sen t = 1− cos t, (c) t ∗ sen t = t− sen t, (d) e2t ∗ e−2t = 12 senh t,
(e) t ∗ (e−t ∗ e−t) = t ∗ te−t = e−t(t+ 2) + t− 2, (f) sen t ∗ sen t = 12 sen t− t2 cos t.
Ex. 6) (a) y = e3t+2et, (b) y = 3e−2t+2t−2, (c) y = sen 3t−2 cos 3t+2e−t, (d) y = (9t−20)et+12t+24,
(e) y = e−4t(4 sen 3t− 2 cos 3t) + 4, (f) y = sen t− cos t+ e−t, (g) y = (2t3 + t2 + t+ 1)e−t
Ex. 7) (a) y = 3t+ 12 t
3 , (b) y = 2 + e3t, (c) y = 1− t.
Ex. 8) Voceˆ tera´ que mudar a ordem de integrac¸a˜o, chegando que L[f ] = pi2s .
Ex. 9) Este e´ o me´todo ra´pido para frac¸o˜es parciais! Se Q(s) = (s − a1) . . . (s − an), enta˜o Q′(s) =
(s − a2) . . . (s − an) + (s − a1)(s − a3) . . . (s − an) + · · · + (s − a1) . . . (s − an−1). Enta˜o Q′(ak) = (ak −
a1) . . . (ak − ak−1)(ak − ak+1) . . . (ak − an). Enta˜o P (ak)/Q′(ak) equivale a cancelar o termo s − ak do
denominador e substituir s = ak. Por frac¸o˜es parciais, P/Q =
∑
k = 1n Aks−ak . Calcule Ak multiplicando
tudo por s− ak e substituindo s = ak, ficando com Ak = P (ak)/Q′(ak).
Ex. 10) O 2o membro da EDO e´ f(t) = t(µ2(t)−µ4(t))+6µ4(t) e F (s) = e−2s(2s+ 1s2 )−e−4t(4s+ 1s2 )+ 6se−4s.
y = 4et − e3t + µ2(t)
(
7
18e
3t−6 − 32et−2 + t−23 + 109
)
+ µ4(t)
(
7
18e
3t−12 − 32et−4 + t−43 + 109
)
.
3
Ex. 11) R(s) =
1− e−s
s(1− e−2s)
Ex. 12) y = y0 cosωt+
y1
ω senωt+
A
ω r(t) ∗ senωt. Calcular essa u´ltima convoluc¸a˜o na˜o me parece via´vel.
Ex. 13) No domı´nio da frequeˆncia:
+−E0s +− 0s
R
1
sC
Resolvendo o circuito por transformada [I = (soma das tenso˜es)/(soma das impedaˆncias)]:
I =
E0
s − 0s
R+ 1sC
=
E0
R
s+ 1RC
=⇒ i(t) = E0
R
e−t/(RC).
Ex. 14)A diferenc¸a e´ que agora o gerador tem transformada E0s (1−e−sT ). i(t) = E0R e−t/(RC)
(
1− µT (t)eT/(RC)
)
.
4