Apostila Matemática Básica

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MÓDULOS 
DE 
MATEMÁTICA 
BÁSICA 
 
 
 
Professora Simone Leal Schwertl
 2
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO I 
 
FRAÇÕES 
 3
MÓDULO I - FRAÇÕES 
 
 O módulo 1 envolve operações com números fracionários. Números fracionários são um 
subconjunto dos números Reais. 
 
 Antes de iniciarmos o nosso estudo sobre números fracionários é importante relembrarmos os 
subconjuntos dos números Reais. 
 
1 – CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (Ν) 
Ν = {0,1,2,3,4,5,....} 0 a ∞ ∞ símbolo que indica infinito 
Ν* = {1,2,3,4,5,....} Naturais Positivos * indica a exclusão do zero de um conjunto. 
 
2 – CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Ζ) 
Ζ = {-3,-2,-1,0,1,2,3,....} Inteiros 
Ζ+ = {0,1,2,3,4,5,....} Inteiros não Negativos 
Ζ*+ = {1,2,3,4,5,....} Inteiros Positivos 
Ζ
-
 = {...,-3,-2,-1,0} Inteiros não Positivos 
Ζ*
-
 = {...,-3,-2,-1} Inteiros Negativos 
 
3 – CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Todos os números que podem ser obtidos da divisão entre dois números inteiros 
Ex.: 10/4 = 2,5 (divisão exata) 10/3 = 3,333... (divisão periódica) 
Q = }0,;{ ≠∈ neZnmcom
n
m
 
Q
 + = Racionais não Negativos 
Q *+ = Racionais Positivos 
Q
 - 
 = Racionais não Positivos 
Q *
-
 = Racionais Negativos 
 
4 – CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (Ι) 
Possuem infinitas casas decimais após a vírgula e não formam um período. 
Ex.: √2=1,41421356... √10=3,1622776... π=3,14159.... (razão entre o comprimento e o diâmetro de uma 
circunferência) e =2,7182818284.... (conhecido como número de Euler-Leonhard Euler /1707-1783) 
 
 
5 – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ® 
É a união do conjunto dos números racionais e irracionais. 
R
 + = Reais não Negativos 
R *+ = Reais Positivos 
R
 - 
 = Reais não Positivos 
R *
-
 = Reais Negativos 
 
 
 
 
R 
 
 
 
 Q Ζ Ν 
 
 
 Ι 
 4
A seguir, relembraremos operações envolvendo números fracionários: 
 
I. Transformação de Número Fracionário em Número Decimal 
 
 Basta dividir numerador pelo denominador. 
 
Exemplo: 
a) 2,05:1
5
1
== 
 
b) 67,6
3
20
= 
 
II. Transformação de Número Decimal em Número Fracionário 
 
Exemplo: 
a) 
5
2
10
4
10
044,0 2
2
ou
÷
÷
== 
 
b) 
10
233,2 −=− 
 
c) 
250
153
500
306
1000
612
1000
612
1000
0612612,0 2
2
ouou ===
÷
÷
 
 
d) 
10
1433,14 = 
 
 
Obs. 1: O número de zeros colocados no denominador é igual ao número de casas após a 
vírgula. 
 
Obs. 2: 150
100
1515 ,% == 
 
Obs. 3: Os exemplos que trazemos são de números decimais finitos. Existe uma técnica 
para as dízimas, que não será objeto de nosso estudo, e existem ainda os números 
irracionais que não podem ser escritos na forma fracionária. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Transforme os números decimais abaixo em fração: 
 
a) 0,4 
b) –1,3 
c) 0,580 
d) 45,6 
e) 0,20 
f) 0,1000 
g) 7% 
h) 10%
 
 
 
 
 5
III. Adição e Subtração 
 
Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador. 
Exemplo: 
 
(a) 
5
4
5
3
5
1
=+ 
(b) 
7
2
7
3
7
5
=− 
 
Quando as frações não possuem o mesmo denominador devemos reduzi-las ao menor 
denominador comum (ou mínimo múltiplo comum) e, em seguida somar ou subtrair as frações 
equivalentes às frações dadas. 
 
Exemplo: 
 
15
17
15
12
15
5
5
4
3
1
=+=+ 
 
 
 
 
 
Obs. 1.: Frações equivalentes: quando dividimos ou multiplicamos o numerador e o 
denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, sempre obtemos uma 
fração equivalente à fração dada. 
 
Ex.: 
15
5
3
1
5
5
=
×
×
 e 
3
1
15
5
5
5
=
÷
÷
 
Logo 
3
1
 e 
15
5
são frações equivalentes. 
 
 
Como obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais denominadores? 
 
Relembraremos uma técnica chamada de “decomposição simultânea em fatores primos”. 
Esta técnica consiste em decompor simultaneamente cada denominador em fatores primos. 
O produto de todos os fatores primos que aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo 
comum. 
 
Obs.: Número primo é um número que possui apenas 2 divisores (o número 1 e ele mesmo). 
 
 
Exemplo 1: 
 ?
6
5
2
1
10
3
=+− 
 
Como fazer ??? 
 Iniciamos a resolução fazendo a decomposição dos denominadores em fatores primos. 
 
 
 
Frações equivalentes 
às frações dadas, com o 
mesmo denominador 
15 é o menor denominador 
comum ou o mínimo múltiplo 
comum de 3 e 5. 
3
1
 
15
5
 
São frações 
equivalentes, pois 
representam a 
mesma parte de um 
inteiro. 
 6
Decomposição em fatores primos dos denominadores das frações: 
 
30532
5
3
2
111
511
531
10,6,2
=××
 
Agora reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do mmc 30: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30
19
30
256
30
25159
30
25
30
15
30
9
6
5
2
1
10
3
=
+−
=
+−
=+−=+−
44 344 21
rdenominado mesmo
 com dadas,frações 
àses equivalentfrações 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 ?
2
1
5
3
7
1
=−+ 
 
Como os denominadores são todos números primos, o m.m.c. será o produto destes. 
70257.. =××=cmm 
 
Reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do mmc 70: 
 
70
17
70
3552
70
354210
70
35
70
42
70
10
2
1
5
3
7
1
=
−
=
−+
=−+=−+ 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 ?
15
7
12
1
2
1
=+− 
 
 
 
é o m.m.c. de 2, 6 e 10. 
Comece com o menor 
divisor primo. OK! 
933
e 
=×
=÷ 31030
 
1515
15230
=×
=÷
1
e 
5
5630
255
e 
=×
=÷
 
Em cada uma das 
frações dividimos o 
m.m.c (30) pelo 
denominador e o 
resultado multiplicado 
pelo numerador. 
 7
Resolveremos também pela decomposição dos denominadores das frações em fatores primos. 
 
Decomposição dos denominadores em fatores primos: 
 
60
5
3
2
2
111
511
1531
1561
15,12,2
 
Como nos exercícios anteriores reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do 
mmc 60: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60
53
60
2825
60
28530
60
28
60
5
60
30
15
7
12
1
2
1
=
+
=
+−
=+−=+− 
 
EXERCÍCIOS 
2. Calcule e dê a resposta na forma fracionária: 
a) =+
5
3
2
1
 
b) =−
5
1
3
7
 
c) =+−
5
3
4
1
3
2
 
d) =+ 1
5
2
 
e) =−1
2
1
 
f) =+−
4
3
6
5
 
g) =−−
8
3
12
1
 
h) =− 3
3
7
 
i) =+− 4,0
5
1
 
j) =−−
5
25,1 
k) =+−− 4,025,17,02 
l) =−−
4
77,02 
m) =+−−
2
1
5
4
4
32,1
3. Sabendo que 
6
5
−=x e 
4
3
=y , calcule: 
a)x + y = b) x – y = c) y – x = 
30130
30260
=×
=÷
e 
8
41560
274
e 
=×
=÷
 
515
51260
=×
=÷
e 
Como 15 não é divisível por 
2, ele será repetido até que 
não tenha mais números 
divisíveis por dois dentre os 
denominadores. E assim 
sempre deverá ser feito na 
seqüência da fatoração. 
 8
 
IV. Multiplicação 
 
 
Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. 
 
Exemplo: 
 
a) 
12
5
43
51
4
5
3
1
=
×
×
=⋅ 
b) 
3
10
31
25
3
25 =
×
×
=⋅ 
 
 
Obs.: Você não deve tirar o M.M.C., ou seja, não é necessário que asfrações tenham 
denominadores iguais. 
 
EXERCÍCIOS 
4. Calcule os produtos e dê a resposta na forma fracionária: 
 
a) =⋅⋅−
15
16
26
5
8
13
 
b) =−−− )5,1).(7,0.(4,2 
c) =⋅−⋅





−
39
1)6,0(
8
13
.2 
d) =−−− 6).1,4).(3,0.(7,1 
e) =⋅





−⋅− 5,0
20
98,0 
f) =−⋅





−⋅ )4,0(
22
45
30
11
 
 
 
V. Divisão 
 
 
Mantenha a primeira fração e inverta a segunda passando a divisão para multiplicação. 
 
Exemplo: 
a) 
15
2
35
21
3
2
5
1
2
3
:
5
1
=
×
×
=⋅= 
 
b) 
35
1
75
11
7
1
5
1
1
7
:
5
1
ou7:
5
1
=
×
×
=⋅= 
 
c) 12
1
12
2
24
21
38
2
3
1
8
3
2
:
1
8
ou
3
2
:8 2
2
===
×
×
=⋅=
÷
÷
 
 
 
 
Lembre-se: 
1
88
1
77 == 
 9
 
EXERCÍCIOS 
5. Calcule as divisões: 
 
a) =
4
9
3
2
 
b) =
5
3
5
1
 
c) =
4
4
3
 
d) =−
7
21
 
e) =
3
2
5
 
f) =
− 21
2
 
g) =
− 9
3
2
 
h) =
34
8
 
i) =
−
−
5
310
 
6. Escreva o resultado das operações na forma fracionária: 
 
a) =
+
4
3
1
2
1
 
b) =
+ 13
1
2
 
c) =
−
4
15
1
 
d) =
−
+
5
31
23
4
 
e) =
−
3
2
17
 
f) =⋅





+
2
92
3
1
 
g) =





−⋅−
2
1
3
73 
h) =
−
−
23
2
3
1
2
1
 
i) =
⋅−
−
5
1
2
12
5
2
 
7. Escreva o resultado das operações em forma de fração: 
 
a) =+− 3,32,0 
b) =− 3,1580,0 
c) =− 1,0
3
4
 
d) =⋅ 7,0
3
2
 
e) =
20,0
5
4
 
f) =
5
1
05,0
 
g) =
⋅
%5
4
302,0
 
 
 10
 
8. Determine o valor de x, sendo: 
 
a) 





−−−=
2
5
3
5
4
3
x 
b) 





+−−





+−=
2
5
3
12
2
7
4
5
5
3
x 
c) ( ) 5,0432152
1
⋅+−−−
−
=x 
 
9. Coloque os números abaixo na ordem crescente: 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).07,2;2000,0;125,0;4,2;33,1;2,1;55,0 −− 
b) .7,
100
450
;4;
7
15
;
5
3
;
3
2
;
2
1
−−
 
c) ( ) ( ) ( ) .2;
3
10
;
5
7
;1,2;2,7;4,0 −− 
 
 
RE S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S 
 
1ª Questão: 
a) 
5
2
 
c) 
50
29
 
e) 
5
1
 
g) 
100
7
 
b) 
10
13
− 
d) 
5
228
 
f) 
10
1
 
h) 
10
1
 
 
2ª Questão: 
a) 
10
11
 d) 
5
7
 g) 
24
11
−
 j) 
10
19
−
 
b) 
15
32
 e) 
2
1
− h) 
3
2
−
 k) 
20
9
 
c) 
60
61
 f) 
12
1
−
 i) 
5
1
 l) 
20
9
−
 
 m) 
20
3
 
 
3ª Questão: 
a) 
12
1
−
 
b) 
12
19
−
 
c) 
12
19
 
 
4ª Questão: 
a) 
3
1
−
 
c) 
20
1
 
e) 
50
9
 
b) 
100
252
−
 
d) 
1000
12546
−
 
f) 
10
3
 
 
 
 
 11
 
5ª Questão: 
a) 
27
8
 
c) 
16
3
 
e) 
2
15
 
g) 
27
2−
 
b) 
3
1
 
d) 
14
1−
 
f) 4− h) 6 
 i) 
3
2
 
 
6ª Questão: 
a) 2 c) 
5
1−
 
e) 
6
13
 
g) 
2
11−
 
b) 
2
3
 
d) 
3
25
 
f) 
2
21
 
h) 
8
1−
 
 i) 
19
4−
 
 
7ª Questão: 
a) 
10
31
 
c) 
30
37
 
e) 4 g) 
10
3
 
b) 
100
72
− 
d) 
15
7
 
f) 
4
1
 
 
 
8ª Questão: 
a) 
12
1
 
b) 
60
79−
 
c) 
21
40
 
 
9ª Questão: 
a) ).4,2();07,2();33,1();55,0();2,0();125,0();2,1( −− 
b) 
100
450;4;7
15;5
3;2
1;3
2;7 −− 
c) )2,7(;2;57);4,0();1,2(;310 −− 
 
 
 
12
 
 
MÓDULO II 
 
POTENCIAÇÃO 
E 
RADICIAÇÃO 
 
 
13
 
MÓDULO II – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
 
O módulo II é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. 
 Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão. 
 
1ª PARTE: POTENCIAÇÃO 
 
 
1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO 
 
 A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode 
ser indicado na forma 43 . Assim, o símbolo na , sendo a um número inteiro e n um número natural 
maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a: 
4434421
fatores n
n aaaaa .......= 
- a é a base; 
- n é o expoente; 
- o resultado é a potência. 
 
Por definição temos que: aaea == 10 1 
 
Exemplos: 
a) 2733333 =⋅⋅= 
b) ( ) 4222 2 =−⋅−=− 
c) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=− 
d) 
16
9
4
3
4
3
4
3 2
=⋅=





 
 
CUIDADO !! 
Cuidado com os sinais. 
� Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos: 
( ) 1622222 4 =−⋅−⋅−⋅−=− 
( ) 9333 2 =−⋅−=− 
 
� Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo: 
Ex. 1: ( ) 2222 3 −⋅−⋅−=−
43421
 
 =−⋅ 24 8− 
 
� Se 2x = , qual será o valor de “ 2x− ”? 
Observe: ( ) 42 2 −=− , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado. 
 
( ) 42x 22 −=−=− → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo 
“-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x. 
 
 
 
14
( )
0;
..
≠=





=






=





−
bcom
b
a
b
a
baba
a
b
b
a
n
nn
nnn
nn
 
2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
 
Quadro Resumo das Propriedades 
( )
n
n
m
n
m n
nmnm
nm
n
m
nmnm
a
a
aa
aa
a
a
a
aaa
1
.
=
=
=
=
=
−
⋅
−
+
 
 
 A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades: 
 
a) nmnm aaa +=⋅ Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potencias 
de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes. 
Ex. 1.: 22 222 +=⋅ xx 
Ex. 2.: 117474 aaaa ==⋅ + 
Ex. 3.: 42 34 ⋅ → neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois 
multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. 
 1296811634 42 =⋅=⋅ 
 
Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. 
Assim: nmnm aaa +=⋅ ou nmnm aaa ⋅=+ Exemplo: n7n7 aaa ⋅=+ 
 
 
b) nmn
m
a
a
a
−
=
 Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potencias de bases 
iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes. 
 
 
Ex. 1: x
x
−
=
4
4
3
3
3
 
Ex. 2: 1545
4
−−
== aa
a
a
 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
nm
n
m
a
a
a
−
=
 ou 
n
m
nm
a
a
a =−
 Exemplo: 
x
x
a
a
a
4
4
=
−
 
 
 
c) ( ) nmnm aa ⋅= Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para 
resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes . 
d) 
Ex. 1: ( ) 62323 444 == ⋅ 
 
 
15
Ex. 2: ( ) xxx bbb ⋅⋅ == 444 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
 
( ) nmnm aa ⋅=
 ou ( )nmnm aa =⋅ Ex.: ( ) ( )444 333 xxx ou= 
 
d) mnm n aa = Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa 
potencia de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente. 
Ex. 1: 2
12 1 xxx == 
Ex. 2: 3
73 7 xx = 
Ex. 3: 52525 2
1
== 
Ex. 4: 3 83
8
xx = 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
m
n
m n aa =
 ou 
m nm
n
aa =
 Ex.: 52
5
aa = 
 
 
 
e) 0b com ,
b
a
b
a
n
nn
≠=





 
Ex. 1: 
9
4
3
2
3
2
2
22
==





 
Ex.2: 
25
1
5
1
5
1
2
22
==





 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
n
nn
b
a
b
a
=





 ou 
n
n
n
b
a
b
a






=
 Ex.: 
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
1
=





== 
 
 
 
 
f) ( ) nnn baba ⋅=⋅ 
Ex. 1: ( ) 222 axax ⋅=⋅ 
Ex. 2: ( ) 3333 6444 xxx =⋅= 
Ex. 3: ( ) ( ) 2242444214444 8133333 xxxxxx =⋅=⋅=




⋅=⋅= 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
( ) nnn baba ⋅=⋅
 ou ( )nnn baba ⋅=⋅ Ex.: ( ) yxyxyxyx ⋅=⋅=⋅=⋅ 212121 
 
 
 
 
 
 
16
 
g) nn a
1
a =−
 
Ex. 1: 33
33
3 111
aaa
a ==





=
−
 
Ex. 2: 
4
9
2
3
2
3
3
2
2
222
==





=





−
 
Ex. 3: ( )
4
1
4
14
1
1
−=





−=−
−
 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja nn a
1
a =−
 ou 
n
n
a
a
−
=
1
 
Ex.: a) 22
1
−
= x
x
 
 b) 333 3
21
3
2
3
2
−
⋅=⋅= x
xx
 
 
 
CUIDADO !!! 
� ( ) ( )( ) 8
1
2
1
2
12 3
33
3 −
=
−
=





−=−
−
 
 
 
� ( )
27
1
3
1
3
13 3
33
3
==





=
−
 
 
� 
3
3
333
a
1
a
1
a
a
1
==





=





−
 
 
Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não 
interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule as potências: 
a) 26 
b) (-6)2 
c) -62 
d) (-2)3 
e) -23 
f) 50 
g) (-8)0 
h) 4
2
3






 
i) 4
2
3






−
 
j) 3
2
3






−
 
k) 028 
l) 132 
m) (-1)20 
n) (-1)17 
o) 2
5
3






−
O sinal negativo no expoente 
indica que a base da 
potência deve ser invertida e 
simultaneamente devemos 
eliminar o sinal negativo do 
expoente. 
Primeiro eliminamos o sinal 
negativo do expoente 
invertendo a base. 
 
 
17
 
 
2. O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é: 
a) 16 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 2 
 
3. Qual é a forma mais simples de escrever: 
a) (a . b)3 . b . (b . c)2 
b) 
7
4523
....
y
xxyyx
 
 
4. Sendo 7.3.2 87=a e 65 3.2=b , o quociente de a por b é: 
a) 252 
b) 36 
c) 126 
d) 48 
e) 42
 
5. Calcule o valor da expressão: 
212
4
1
2
1
3
2 −−−






−+





−





=A 
 
6. Simplificando a expressão 
2
3
3
1
.3
4
1
2
1
.3
2
2
−





−
+





−
, obtemos o número: 
a) 76− 
b) 67− 
c) 76 
d) 67 
e) 75−
 
7. Quando 3be
3
1
a −=−= , qual o valor numérico da expressão 22 baba +− ? 
8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências: 
 
a) 2-3 = 
b) 10-2 = 
c) 4-1 = 
 
 
 
Exemplos mais complexos: 
(1) ( ) 33232 32
1
3
2
13
yx4
1
x
1
xy4
1
1
x
xy4
1
x
xy4
1
x
xy4
=⋅==








=
−
 
 
 
 
18
(2) ( ) ( ) 622.32232
22
3
23
y.x
1
y.x
1
y.x
1
xy
1y.x ===






=
−
 
 
(3) ( ) ( ) 9123.33.43
33343343
34 b.a1
b.a
1
b.a
1
b.a
b.a
1
===







=





−
 
 
(4) ( )
( )
( ) ( )
682324
22
34
positivo. fica
par, expoente
 a elevado
negativo nº
682.32.42324
2
2
34
234
111
.
1
.
1
.
1
.
1
.
yayaya
ou
yayaya
ya
ya
==





 →
==
−
=





−=−
⋅⋅
−
 
 
(5) ( ) ( ) ( ) 242222
2
22
22
2
22
a.y.64
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8 ===






=
−
 
 
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos 
parênteses. 
 
(6) 
3
4
12
−






+ 
729
64
9
4
9
4
4
9
4
18
4
12 3
33333
==





=





=




 +
=





+
−−−
 
 
(7) ( ) ( ) ( ) =+++=+⋅+=+=




 +
=





+
4
1c2c2c4
4
1c21c2
2
1c2
2
1c2
2
1
c
2
2
222
4
1c4c4 2 ++
 
ou 
=⋅+⋅+⋅+=





+⋅





+=





+
2
1
2
1
c
2
1
2
1
cc
2
1
c
2
1
c
2
1
c 2
2
 
4
1c4c4
4
1
cc
4
1
2
c2
c
4
1
2
c
2
c
c
2
222 ++
=++=++=+++= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19
 
 
 
EXERCÍCIOS 
9. Efetue: 
a) =46.aa 
b) =3
8
a
a
 
c) =






⋅







322
3
22
b
ca
c
ab
 
d) 
=
















3
22
2
2
33
2
2
3
3
ba
xy
ba
yx
 
e) ( ) =43x 
 
f) =53)(x 
g) =32)2( x 
h) ( ) =3325 ba 
i) =





4
2
3
b
a
 
j) =






−2
4
3
5
2
x
ab
 
k) =





−
−4
23
1
a
10. Sabendo que 
2
5
42
−






+−=a , determine o valor de a. 
 
 
 
 
 
Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões: 
=
⋅
⋅
+1n33
n
28
42
 Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir 
todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números 
que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e 283 por . 
 
=
⋅
⋅
+1n3
2n
22
22
 Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma 
base. 
 
( )
====
−−++−+
+
+
++
+
2n32n2n32n
2n3
2n
1n31
2n
22
2
2
2
2 n22−
 ou 
n22
1
 
 
Exercícios 
 
11. Simplifique as expressões: 
a) 1n
n2n
33
33E
+
+
⋅
⋅
= b) 
( )
( )1n
1nn
4
24E
+
−
⋅
= c) 1n
2n
5
10025G
+
+
⋅
=
 
 
 
 
 
 
 
 
20
Essa propriedade mostra que 
todo radical pode ser escrito 
na forma de uma potência. 
2ª PARTE: RADICIAÇÃO 
 
 
1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO 
 
 A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever: 
( )1nenabba nn ≥Ν∈=⇔= 
 
Ex. 1: 4224 2 == pois 
Ex. 2: 8228 33 == pois 
 
 Na raiz n a , temos: 
- O número n é chamado índice; 
- O número a é chamado radicando. 
 
 
 
 
 
 
 
2.CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO 
 
2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
 
a) n
p
n p aa ⇔
 
 
Ex. 1: 3
13 22 = 
Ex. 2: 2
33 44 = 
Ex. 3: 5
25 2 66 = 
 
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou 
seja n pn
p
aa = (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical). 
Exemplo : 5 35
3
22 = . 
 
 
b) aaaa 1nnn n === Ex.: 2222 1333 3 === 
 
 
c) nnn baba ⋅=⋅ Ex.: 236333 63 33 63 babababa ⋅=⋅=⋅=⋅ 
 
d) 
n
n
n
b
a
b
a
=
 Ex.: 
5
3
2
5
3
2
5
2
6
5
6
5
6
b
a
ou
b
a
b
a
b
a
b
a
=== 
 
 
 
21
e) ( ) nmmnmnmnmn bbbbb ===





=
⋅⋅
1
111
 
Ex.: ( ) 2313213213213 55555 ===





=
⋅⋅
 
 
f) nmn m aa ⋅=Ex.: 6233 2 333 == ⋅ 
 
 
EXERCÍCIOS 
12. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária: 
 
a) =
100
1
 
b) =−
16
1
 
c) =
9
4
 
d) =− 01,0 
e) =81,0 
f) =25,2
13. Calcule a raiz indicada: 
 
a) 9 3a 
b) 3 48 
 
c) 7t 
d) 4 12t
14. Escreva na forma de potência com expoente fracionário: 
 
a) =7 
b) =4 32 
c) =5 23 
d) =6 5a 
e) =3 2x 
f) =
3
1
 
 
15. Escreva na forma de radical: 
a) =5
1
2 
b) =3
2
4 
c) =4
1
x 
d) =− 2
1
8 
e) =7
5
a 
f) ( ) =413ba 
g) ( ) =− 512nm 
h) =− 4
3
m
 
16. De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo? 
 
a) 110− b) 210− 
c) 310− d) 410− 
e) 101− 
 
 
 
22
2.2 RAÍZES NUMÉRICAS 
 
Exemplos: 
 
a) =⋅= 24 32144 
123432
32
32
12
2
2
2
4
24
=⋅=⋅
=⋅
=⋅
 
 
 
 
 
 
 
 
b) =⋅== 3 233 53 333243 
=⋅
3 23 3 33 
3
2
3
3
33 ⋅ 
3
2
33 ⋅
 
ou 
3 233 ⋅
 
ou 
3 93 ⋅
 
 
 
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical. 
 
2.3 RA Í ZE S L I T E R A I S 
 
a) 2
9
9 xx = 
 
Escrever o radical 9x na forma de expoente fracionário 2
9
x não resolve o problema, pois 
nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma: 
9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz. 
Assim teremos: 
xxxxxxxxxx 42
8818189
⋅=⋅=⋅=⋅==
+
 
 
b) 3 2123 14 xx += pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz). 
Resultados 
possíveis 
Devemos fatorar 144 
14432
3
3
2
2
2
2
1
3
9
18
36
72
144
24
=⋅
 
Forma fatorada 
de 144 
2433
3
3
3
3
3
1
3
9
27
81
243
5
=
 
Forma fatorada 
de 243 
 
 
23
 
3 24
3 23
12
3 23 12
3 212
xx
xx
xx
xx
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
 
 
 
 
Outros Exemplos: 
 
a) 3 633 6 x27x.27 ⋅= 
2
21
23
3
3
63 3
x3
x3
x3
3)por divisível é 6 (poisx3
=
⋅=
⋅=
⋅=
 
 
b) 3 63 433 64 yx48yx48 ⋅⋅=⋅⋅ 
32
332
233
233 33
23 333 3
3
6
3por 
divisível
é não
4 pois
3 133 3
x6xy2
x6xy2
yxx62
yxx62
yxx62
yx6.2
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
+
321
 
 
EXERCÍCIOS 
17. Calcule: 
 
a) =3 125 
b) =5 243 
c) =36 
d) =5 1 
e) =6 0 
f) =1 7 
g) =−3 125 
h) =−5 32 
i) =−7 1
 
 
 
 
 
 
 
 
273
3
3
3
1
3
9
27
3
=
 
486.23.2.2
3
2
2
2
2
1
3
6
12
24
48
33
== 
 
 
 
24
18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário: 
 
a) =3 32 
b) =3 25 
c) =4 27 
 
d) =7 81 
e) =8 512 
 
f) =8 625
 
19. Calcule a raiz indicada: 
 
a) =24a 
b) =6236 ba 
c) =42
9
4 ba 
d) =
100
2x
 
e) =
25
16 10a
 
f) =4 2100x 
g) =8 121 
h) =5 1051024 yx 
i) =4
25
1
 
j) =3 3
6
b
a
 
k) =62
416
zy
x
 
 
20. Simplifique os radicais: 
 
a) =5 10xa 
b) =cba 24 
c) =ba3 
d) =xa425 
e) =3 432 
f) =45
3
1
 
3. O P E R A Ç Õ E S C O M R A D I C A I S 
 
3.1. Adição e Subtração 
 
 Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um 
único radical somando-se os fatores externos desses radicais. 
Exemplos: 
1) ( ) 331324132343 ==⋅−+=−+ 
2) ( ) 55555 333232323332 =⋅−+=−+
43421
externos
fatores
 
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos 
os termos da soma. 
 
3) ( ) ( ) 43421
reduzidamaisserpodenão
532256322456532224 −=−+−=−+− 
4) ( ) ( ) 32247253425723 +−=−+⋅−=−−+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25
EXERCÍCIOS 
21. Simplifique 1081061012 −− : 
 
22. Determine as somas algébricas: 
a) =−− 333 2
4
5222
3
7
 
b) =−−+
3
5
5
5
2
5
6
5
 
 
c) =+−+− 3333 382423825 
d) =−−+ 4545 610712678
23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: 
a) =+−− 452632203285 
b) =−−+− 729501518138528 
c) =−+− 201010864812456 
d) =−− 10
4
1250
4
190
2
3
 
e) =+−+ 4444 24396248696 
f) =+−+− 33333 4
5
82216256
5
2325 
g) =−− 555 248664 
h) =−+ 333
125
2410
729
37581
64
814
 
24. Calcule as somas algébricas: 
a) =−++− xxxx 6410 
b) =+−− baba 144896814 
c) =−− 333 1000827 aa 
d) =+−− 4 944 5 3122 aaaaa 
e) =−+− aaaxaxa 434 32 
f) =−−− baba 835 44 
g) 
=−+− x
xy
x
yx 81
10094
2
 
h) =−− 4
4 544 4
1682
c
a
cbca
 
25. Considere mcmbma 368,1002,9 −=== e determine: 
 
a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c= 
 
26. Simplifique a expressão 





−−−
10 1056 34 42
2
1 yaayya . 
 
 
3.2 Multiplicação 
 
 Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um: 
 
1º CASO: Radicais têm raízes exatas. 
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados: 
Exemplo: ( ) 824816 3 −=−⋅=−⋅ 
 
2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. 
Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o 
resultado obtido. 
Exemplos: a) 155353 =⋅=⋅ 
 
b) 3 423 43 23 yxyxyxyx ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ = 3 53 yx ⋅ pode parar aqui! 
 
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão: 
 
 
26
 
3 23 23 33 233 233 53 33 53 yyxyyxyyxyxyxyx ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅ + 
 
 
 
 
 c) 10652652325322 =⋅=⋅⋅⋅=⋅ 
 
3º CASO: Radicais têm índices diferentes. 
 
 O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, 
transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador). 
 
 
 
 
Exemplos: a) 44 24 14 24
1
4
2
4
1
2
2
2
1
4
1
2
1
4 18232323232323 =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅
⋅
 
 b) 12 3412 312 412
3
12
4
3
3
4
1
4
4
3
1
4
1
3
1
43 xaxaxaxaxaxa ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
 
 
 
 
ATENÇÃO: 
- 2222 =+ , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois. 
 
- 222 =⋅ por que? ( ) ( )2222 2 ==⋅ 
 ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então: 
 222222222 12
2
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
==== →⋅=⋅
+
+opotenciaçã
de regra
 
 
3.3 Divisão 
 
 A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles: 
 
1º CASO: Os radicais têm raízes exatas. 
 
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados. 
Exemplo: 33:927:81 3 == 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conservamos a base e 
somamos os expoentes. 
A ordem dos fatores não altera 
o produto (multiplicação) 
Multiplicamos numerador e denominador da fração 
por 2 e transformamos na fração equivalente
4
2
 
 
 
27
2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. 
 
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos. 
 
 
 
Exemplos: 
y
x
xy
x
xy
x
xy:x
233
3
=== 
 
33
3
3
33 2
10
20
10
2010:20 === 
 
3º CASO: Radicais com índices diferentes. 
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de 
potências de mesma base e voltar para a forma de radical . 
Exemplo: 66
1
6
23
3
1
2
1
3
1
2
1
3
3 2222
2
2
2
22:2 ======
−
−
 
 
 
4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
 Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma 
fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os 
termos da fraçãopor um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração 
significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos: 
 
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada: 
( ) 3
34
3
34
3
3
3
4
3
4
2 ==⋅= 
 
 
2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2: 
 
(a) 
3 x
2
 Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2x , pois 1 + 2 = 3. 
 
x
x2
x
x2
x
x2
xx
x2
x
x
x
2 3 2
3 3
3 2
3 21
3 2
3 21
3 2
3 2
3 2
3
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=⋅
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os índices das raízes são 
iguais, podemos substituir as duas 
raízes por uma só! 
 
 
28
(b) 
5 2x
1
 Temos que multiplicar numerador e denominador por 5 3x , pois 2 + 3 = 5. 
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
1 5 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 32
5 3
5 3
5 3
5 2
===
⋅
=⋅
+
 
 
 
 
 
 
3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais: 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
37
4
372
37
372
37
372
37
37
37
2
37
2
22
+
=
/
+/
=
−
+
=
−
+
=
+
+
⋅
−
=
−
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
27. Calcule 
a) =−+ 737576 
b) =−+ 18250325 
c) =++ 333 3524812 
d) =⋅ 2354 
e) =⋅ 55 223 
f) =⋅ 3234 
g) =
52
108
 
h) =−−
2
4.1.455 2
 
i) =−+
2
5.1.466 2
 
 
28. Simplifique os radicais e efetue: 
 
a) =+− 33 8822 xxxx 
b) =+−− 3333 19224323434 
c) =−++ 32 5334 xxxxyxy 
 
29. Efetue: 
a) =+−− 32 9423 xxaxxxa 
b) =−−+ aaaaa 335 445 
c) =+++−+ 3216450253842 xxx 
d) =−−+− 32 373 aaaabab 
 
 
 
 
 
 
O sinal deve ser contrário, senão a raiz 
não será eliminada do denominador. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2327237337273737 −=−⋅+⋅−=+⋅− 
 
 
29
 
30. Escreva na forma mais simplificada: 
 
a) =xx. 
b) =+ xx3 
c) =− aa 7 
d) =
x
x3
 
e) =2
3
x
x
 
f) =−− 43.xx 
g) =7.xx 
h) =⋅ 3 43 aa 
i) =⋅ aa4 
j) ( ) =⋅ 23 aa 
k) =⋅ 425 b
 
31. Efetue as multiplicações e divisões: 
 
a) =4 223 5 .. baaba 
b) =223 2 4.4 xaxa 
c) =xx .10 3 
d) =yxyxxy 33 22 .. 
e) =⋅⋅ 43 aaa 
f) =
3
3 5
a
a
 
32. Efetue: 
 
a) =
8 3
4 2
a
a
 
b) =
4 5
6 23
ba
ba
 
c) =
3
4 32
xy
yx
 
d) =⋅4
6
9
272
 
e) =⋅⋅ 43
3
153 bbb 
f) =4
6
25.5
125.3
 
33. Quando 
3
2
−=x , o valor numérico da expressão 23 2 −− xx é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) –1 
d) 
3
1
 
e) 
3
2
−
34. Se 63=x e 39=y : 
 
a) x é o dobro de y; 
b) 1=− yx 
c) yx = 
d) y é o triplo de x; 
e) 1=+ yx
 
35. Racionalize as frações: 
a) 
x
1
 
b) 
4x
2
+
 
c) 
x1
3
−
 
d) 3 x
4
 
 
30
 
RE S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S 
 
1ª Questão: 
a) 36 h) 
16
81
 
o) 
25
9
 
b) 36 i) 
16
81
 
 
c) –36 j) 
8
27-
 
 
d) –8 k) 0 
e) –8 l) 1 
f) 1 m) 1 
g) 1 n) -1 
 
2ª Questão: 
 d) 
 
3ª Questão: 
a) 263 cba b) 8x 
 
4ª Questão: 
 a) 
 
5ª Questão: 
 
4
65
 A = 
 
6ª Questão: 
 a) 
 
7ª Questão: 
 
 
9
73
 
 
8ª Questão: 
a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25 
 
9ª Questão: 
a) 10a d) 
43y
8x
 
g) 68x j) 
62
8
b4a
25x
 
b) 5a e) 481x h) 96ba 125 k) 8a 81 
 
c) 
3
8
c
ba 4
 
f) 15x i) 
8
4
b
a 81
 
 
 
10ª Questão: 
 
36
25
 a = 
 
 
31
 
11ª Questão: 
a) E = 3n b) F = 2n –3 c) G = 5 n + 4 . 2 
12ª Questão: 
a) 
10
1
 
c) 
3
2
 
e) 
10
9
 
b) 
4
1
− 
d) 
10
1-
 
f) 
10
15
 
 
13ª Questão: 
a) 3 a b) 3 62 ⋅ c) tt3 ⋅ d) 3t 
 
14ª Questão: 
a) 
2
1
7 
c) 
5
2
3 
e) 
3
2
x 
b) 
4
3
2 
d) 
6
5
a 
f) 
2
1
3
−
 
 
15ª Questão: 
a) 5 2
 
c) 4 x
 
e) 7 5a
 
g) 
5 2
1
nm
 
b) 3 24
 
d) 
8
1
 f) 4 3ba
 
h) 
4 3m
1
 
 
16ª Questão: 
 c) 
 
17ª Questão: 
a) 5 c) 6 e) 0 g) -5 
b) 3 d) 1 f) 7 h) –2 
 i) -1 
 
18ª Questão: 
 a) 
3
5
2 
c) 
4
3
3 
e) 
8
9
2 
b) 
3
2
5 
d) 
7
4
3 
f) 
2
1
5 
 
 
 
19ª Questão: 
a) 2a d) 
10
x
 
g) 4 11 j) 
b
a 2
 
b) 36ab e) 
5
4a 5
 
h) 24xy k) 
3
2
yz
4x
 
c) 2ab 
3
2
⋅ 
f) x10
 
i) 
5
1
 
 
 
 
 
 
32
20ª Questão: 
a) 52 xa c) aba ⋅ e) 3 26 ⋅
 
b) cba 2 d) xa 25 f) 5 
 
21ª Questão: 
 102− 
 
22ª Questão: 
a) 3 2
12
11
⋅− 
b) 5
15
2
 
c) 223 +
 
d) 45 6974 −−
 
 
23ª Questão: 
a) 74 c) 52312 −− e) 44 32763 ⋅+⋅ g) 5 22 ⋅−
 
b) 292− d) 103 f) 3 410 ⋅ h) 3 344 ⋅
 
 
24ª Questão: 
a) x− c) 3123 a⋅−
 
e) aaxa −− g) xyx .
10
89
.
6
− 
b) ba 8716 +− d) 42 )12( aaa ⋅−
 
f) ba 132 4 −⋅− h) 4 c
8
bc
⋅
−
 
 
25ª Questão: 
a) m25− b) m31 c) m65− d) m71
 
 
26ª Questão: 
 
a
2
y
− 
 
27ª Questão: 
a) 78
 
c) 3 313 ⋅ e) 5 43 ⋅
 
g) 24 
b) 214
 
d) 1012 f) 24 h) 1 
 i) 5 
 
28ª Questão: 
a) xx 22 b) 28 c) xxy )27( − 
 
29ª Questão: 
a) xxa )( + b) aaa )123( 2 −+ c) 25 +x d) )(4 aba −
 
 
30ª Questão: 
a) x d) 
6
1
x
 
g) 
2
15
x 
j) 
2
7
a 
b) x4
 
e) x h) 
3
 5
a 
k) 5b4 
c) a6−
 
f) x -7 i) 
 
4
3
a 
 
 
 
 
 
33
 
 
31ª Questão: 
a) 
ba 3
8
⋅
 
c) 
5
4
x 
e) 12 aa ⋅
 
b) 3 242 xaax ⋅
 
d) 3 222 yxyx ⋅ f) 6 a
 
 
32ª Questão: 
a) 
8
1
a 
c) 
12
5
6
1
y x ⋅ 
e) 12 bb5
 
b) 
12
1
4
3
ba ⋅
−
 
d) 2 f) 
5
3
 
 
33ª Questão: 
 a) 
 
34ª Questão: 
 c) 
 
35ª Questão: 
a) 
x
x
 
b) 
4x
42x2
−
−
 
c) 
x1
x33
−
+
 
d) 
x
x4 3 2⋅
 
 
 
 
34
 
MÓDULO III 
 
POLINÔMIOS, 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
E 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
 
35
MÓDULO III – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
O Módulo III é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a 
relembrar itens como: 
- “Colocar em evidência”; 
- “Produtos Notáveis”; 
- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números. 
 
I. POLINÔMIOS 
 
1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios. 
 
MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por 
uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis. 
 
Exemplos: 
a) m5 
b) 2p 
c) xy2 
d) my 
 
Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente 
numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis. 
 
Exemplo: 
{
22 mx2mx2 = 
 
 
 
 
 
 Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios. 
 
Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um termo só. 
 
Obs. 2: y4x2 + é um polinômio de 2 termos: x2 e y4 . 
 
Obs. 3: 4abx2 +− é um polinômio de 3 termos: x2 , ab− e 4. 
 
2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 
 
2.1. Adição Algébrica de Polinômios 
 
 Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes. 
 
Exemplo: 
 
a) Obter o perímetro do triângulo abaixo: 
 
Coeficiente 
Numérico 
Parte Literal 
 
 
36
 Como perímetro é a soma dos lados,teremos: 
 ( ) ( ) ( ) =+−+++ 3x4x3x1x 22 
 
 termos semelhantes 
=+−+++ 3x4x3x1x 22 
 termos semelhantes 
 
 { =++−++ 31x4xx3x
22
43421321 
 
4x3x4 2 +−
 o resultado é um polinômio. 
 
 
b) ( ) ( ) ( ) =+++−−− xy2xyx34xy4x 22 
 
xy2xyx34xy4x 22 +−−−−− 
 
=+−−−−− xy2xyx34xy4x 22 
 
=−−+−−− 32144 344 2143421 24xyxyxy4x3x
22
 
6xy4x2 2 −−−
 
 
E X E R C Í C I O S 
1) Reduza os termos semelhantes: 
a) =−−− 2222 46104 aaaa 
b) =+−−
532
aaa
 
 
2) Escreva os polinômios na forma fatorada: 
a) =+− 234 654 xxx 
b) =+− 3322 1248 baabba 
c) =+ 43223 315 xbaxba 
d) =+++ acabcb 55 
e) =+++++ cnbnancmbmam 
f) =++ 22 2 yxyx 
g) =++ 962 aa 
h) =+− 36122 mm 
i) =− 22 164 yx 
j) =−122nm 
k) ( ) ( ) ( )=+−−+−−++ yxyxyxyxxyyxyx 2222222222 65235 
l) =





−+−+





−+−





++− cbabaccab
6
1
6
1
8
1
2
1
3
1
4
5
 
m) ( ) ( ) ( )=−−−++−+−− 3,05,11,38,17,04,12,35,2 222 xxxxxx 
 
 
 
 
2x 1+x 
343 2 +− xx 
Primeiro eliminaremos os 
parênteses tomando cuidado 
quando houver sinal negativo 
fora dos parênteses. 
 
 
37
2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios 
 
 A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada 
termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos 
semelhantes. 
 
Exemplo: 
 
a) ( ) ( )xxy2x 2 −⋅+ xy2xy2xxxx 22 ⋅−⋅+⋅−⋅= 
 
yx2yx2xx 223 −+−=
 e fica assim. 
 
 
 
b) ( ) ( )b2a3ba2 −⋅+ b2ba3bb2a2a3a2 ⋅−⋅+⋅−⋅= 
 
bb2ab3ba22aa32 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= 
22 2346 bababa
ssemelhantetermos
−+−=
44 344 21 
 
22 b2aba6 −−=
 
 
 
 
 
c) ( ) ( ) =+−⋅− 2p3p1p2 2 
 
 
 
=−++−−
=−+−+−
=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅
2p3p4pp6p2
2p3pp4p6p2
21p31p12p2p3p2pp2
223
223
22
32143421
876
 
2p7p7p2 23 −+−
 
 
 
d) ( ) ( ) =−⋅− yy3xy4xxy 22 
 
 
=+⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅−⋅−⋅
222222
2222
yx4yyxx34xyyyxx3
yyx4yx3yx4yxyyx3xy
 
Conserve a base e 
some os expoentes. 
 
 
38
2224223 yx4yx12xyyx3 +−−
 não há termos semelhantes 
 
Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta. 
 
 
2.3. Divisão Algébrica de Polinômio 
 
Divisão de um polinômio por um monômio 
 
 A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
 
Exemplo: 
a) ( ) =÷+− 3234 x5x15x20x10 
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x20
x5
x10
x5
x15x20x10
+−=
+−
= 
x
34x2
x
1314x2
x314x2
x3x4x2
x
5
15
x
5
20
x
5
10
1
1
101
323334
+−=
⋅+⋅−=
+⋅−=
+−=
⋅+⋅−⋅=
−
−
−−−
 
 
ou 
 
 
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x02
x5
x10
x5
x15x20x10
+−=
+−
 
x
34x2
xx
x314
x
xx2
x
x3
x
x4
x
x2
2
2
3
3
3
2
3
3
3
4
+−=
⋅
⋅
+⋅−
⋅
=
+−=
/
/
/
/
/
/
 
 
b) ( ) =÷− 224334 yx7yx7yx28 
 
 
 
 
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28
−=
−
= 
Como 22yx7 é mínimo múltiplo da 
fração, podemos separar em duas frações. 
 
 
39
22
212
24232324
xyyx4
yx1yx4
yx1yx4
−=
⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅=
−−−−
 
 
ou 
 
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28
−=
−
 
22
22
22
222
22
122
xyyx4
xy1yx4
yx.1
yyxx1
yx
yyxx4
−=
=−=
/⋅/
⋅/⋅⋅/⋅
−
/⋅/
⋅/⋅/⋅
= //
//
//
//2
 
 
Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta. 
 
 
EXERCÍCIOS 
3) Calcule: 
 
a) =+− )4)(3(5 xxx 
b) =−+ ))(2(3 babaab 
c) =+−− )1)(1)(1( 2 aaa 
d) ( )( ) =−2
24
7
2135
a
aa
 
e) ( ) =−
−
xy
xyyx )( 33
 
f) ( )( ) =− −− 2
357
6
722442
y
yyy
 
g) ( )( ) =−+ abc abccabbca 5 502510
222
 
h) =






+−
ab
abbaba
2
7
4
5
2
2
1 2222
 
i) =+
2
3a2
 
j) 
a
1a5 2 +
 
4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida: 
 
a) ( )( ) =−−+ 222 2axxaax 
b) ( )( ) ( ) =+−−+− yxayxayx 2 
c) ( )( ) ( )( ) =−−−−−−+ cbcbabacba 
d) ( )( )( ) ( )( ) =++−−−+ 22 2323 yxyxyxyxyx 
e) ( ) ( )( ) ( )[ ]=+−+−+ 2222 xaaxxaxa 
f) ( )=−−− 132.3 2 xxx 
g) ( ) =++ xyyxyx 3.5 22 
h) =





−
2
1
4
1
.
5
2
xx 
i) =





+
2
3
4
3
.4 aa
 
 
II. PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para 
simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são 
chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados: 
 
 
 
40
1) ( ) ( ) 22 yxyxyx −=−⋅+ 
2) ( ) 222 yxy2xyx +±=± 
3) ( ) 32233 yxy3yx3xyx ±+±=± 
 
Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais 
decorá-los, observemos: 
 
 
 
a) ( ) ( ) =+⋅− yxyx =−/−/+ 22 yxyyxx 22 yx − 
 
 
b) ( ) =+ 2yx ( ) ( ) =+++=+⋅+ 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx ++ 
 
 
c) ( ) =− 2yx ( ) ( ) =+−−=−⋅− 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx +− 
 
 
d) ( ) =+ 3yx ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅+=+⋅+ 222 2 yxyxyxyxyx 
 
 
=+++++= 322223 22 yxyyxxyyxx 3223 33 yxyyxx +++ 
 
Como utilizaremos os produtos notáveis? 
 
Exemplos para simplificações: 
a) ( )( ) ( ) ( )yx
3
yxyx
yx3
yx
y3x3
notável produto22
−
=
−⋅+
+
 →
−
+
 
 
b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222 ++=++=+ 
 
Obs.: ( )24x + jamais será igual a 16x 2 + , basta lembrarmos que: 
 ( ) ( ) ( ) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222 ++=+++=+⋅+=+ 
 
c) ( )32a − jamais será 8a 3 − , pois: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−=−⋅−=− 4a4a2a2a2a2a 223 
 
{ { 8a12a6a8a8a2a4a4a
23223
−+−=−+−+− 
EXERCÍCIOS 
5) Desenvolva os produtos notáveis: 
 
a) ( )2ba + 
b) ( )232 +a 
c) ( )243 yx + 
d) ( )2ba − 
e) ( )232 −a 
f) ( )243 yx − 
 
 
41
Observemos que b é o fator comum, 
portanto, deve ser colocado em evidência 
com o menor expoente. 
g) ( ) )( baba −+ 
h) ( )( )3232 −+ aa 
i) ( )( )yxyx 3434 −+ 
j) 2
2
1






−y 
k) ( )22hd − 
l) ( )( )3535 −+ 
m) ( )( )1212 +−
 
6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2. 
 
 
 
III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e 
para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas. 
 
1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência 
 
Exemplos: 
 
a) 2bab − 
 
 
 
Então ( )babbab 2 −=− 
 
 
 
 
Ao efetuarmos o produto ( )abb −⋅ , voltaremos para a expressão inicial 2bab − . 
 
b) by4ay2 + 
 
 
 
 
 
Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+ 
 
 
 
c) xb8bx16bx4 223 −− 
 
 
 
 
 
 
 
 
2y é o fator comum; 
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4; 
Portanto 2y deve ser colocado em evidência. 
Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus 
menores expoentes) 
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8. 
Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência. 
a
b
abbab ==÷ 
b
b
bbb
2
2
==÷ 
a
y2
ay2y2ay2 ==÷ 
b2
y2
by4y2by4 ==÷ 
 
 
42
( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223 −−=−− 
 
 
 
 
 
 
 
d) ( )3225322my2ymymym2 −=− 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum 
sempre com o menor expoente. 
 
 
EXERCÍCIO 
7) Simplifique as expressões: 
 
a) ( ) =
+
+
ba
ba 2
 
b) ( )( ) =++
⋅++
xcba
xcba
 
c) ( ) =
+
+
ba
ba
55
33
 
d) =
+
+
1515
55
b
aab
 
 
e) =
++
+
22 2 baba
ba
 
f) =
−
−
1
1
2a
a
 
g) =
++
−
96
9
2
2
xx
x
 
h) =
−
−
2
2
26
39
bab
aba
 
 
 
IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas. 
 
 Exemplos: 
t
m2
,
y
t4
,
x
2
2 
 
 As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são 
exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns 
exemplos: 
 
 
 
 
2
3
3 x2
bx2
bx4bx2bx4 ==÷ 
x8
bx2
bx16bx2bx16
2
2
−=
−
=÷− 
b4
bx2
xb8bx2xb8
2
2
−=
−
=÷− 
2ymym2 2222 =÷ 
3
22
53
2253 my
ym
ymymym ==÷ 
 
 
43
1. Adição e Subtração 
 
Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores. 
 
 
Exemplos: 
a) 
y4
1
x2
3
+ 
 
=+
y4
1
x2
3
xy4
xy6 +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 22
2
x8
y
xy3
2
y
x
−+ 
 
M.m.c. entre 2222 yx24x8exy3,y = 
 
 
 
 
 
 
=−+ 22
2
x8
y
xy3
2
y
x
22
34
24
31624
yx
yxyx −+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24222
2
22
22
yx24xyx24
yx24
y
yx24
yyx24
=•
==÷
 
x162x8
x8
xy3
yx24
xy3yx24 2
22
222
=•
==÷
 
32
2
2
22
222
y3yy3
y3
x8
yx24
x8yx24
=•
==÷
 
m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4. 
xy → todas as variáveis que 
aparecem nos denominadores 
comporão o m.m.c. com seus 
maiores expoentes. 
y63y2
y2
x2
xy4
x2xy4
=⋅
==÷
 
x1x
x
y4
xy4
y4xy4
=⋅
==÷
 
24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8; 
 
22yx são as variáveis com 
seus maiores expoentes. 
 
 
44
VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ? 
 
Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.? 
m.d.c. ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em 
todos os termos) para colocar em evidência. 
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6. 
 b) 10, 15, 20 ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20. 
 
 m.m.c. ⇒ mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações. 
 
 Qual é o mmc de 2,4 e 6 ? 
Observe: 
múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2) 
múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4) 
múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6) 
 
O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc). 
No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra 
prática de a decomposição simultânea em fatores primos.. 
 
 
 
 
 
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12. 
 
 b) 10, 15, 20 ⇒ m.m.c. é 60. 
 
 
 
 
Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que 
escrevê-los na forma fatorada. 
c) 
x39
x
xx3
3
2
−
−
−
 
 
Fatorando os denominadores: 
( )
( )x33x39
x3xxx3 2
−=−
−=−
 
 
M.m.c. dos denominadores fatorados ( )x3x − e ( )x33 − será: ( )x3x3 − 
 
Assim ( ) ( ) =−−−=−−− x33
x
x3x
3
x39
x
xx3
3
2 ( )x3x3
x9 2
−
−
 
 
 
 
 
 
 
Mas ainda podemos melhorar o resultado: 
605.3.2.2
5
3
2
2
1,1,1
5,5,5
5,15,5
10,15,5
20,15,10
=
 
123.2.2
3
2
2
1,1,1
3,1,1
3,2,1
6,4,2
=
 
Denominadores 
fatorados 
m.m.c. 
produto de todos os 
termos que aparecem 
nos denominadores 
( ) ( ) ( )( )
2
xxx que temose
x
x33
x3x3
x33x3x3
=•
=
−
−
=−÷−
 
( ) ( ) ( )( )
933 que temose
3
x3x
x3x3
x3xx3x3
=•
=
−
−
=−÷−
 
 
 
45
( )
( )( )
( ) x3
x3
x3x3
x3x3
x3x3
x9 notável produto2 +
=
−
+−
 →
−
−
 
 
 
 
 
 
d) 
ya
1
ya
ya
ya
a
22 +
+
−
−
+
−
 
 
Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada: 
( )( ) notável produto yayaya 22 →+−=− 
 
Assim teremos: 
( )( ) =++++−=+++−
−
+
− ya
1
ya
1
ya
a
ya
1
yaya
ya
ya
a
 
 
( )
( )( ) ( )( )yaya
y2a2aya
yaya
yayayaa 2
−+
−++
=
−+
−+−++
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Multiplicação e divisão de frações algébricas 
 
A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas, 
ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por 
numerador e denominador por denominador. 
 
Exemplos: 
a) 
xy3
4
xy3
y4
y
1
3
y2
x
2
22 ==⋅⋅ 
b) 
yx
12
yx
12
yx
3
x
4
3
yx
x
4
32122 =
⋅
=⋅=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m.m.c dos 
denominadores será 
( )( )yaya −+ 
 
 
46
 
EXERCÍCIOS 
8. Calcule: 
 
a) =−+
y
a
y
a
y
a 23
 
b) =
+
+
+
+
−
−
+
−
yx
x
yx
x
yx
x 123
 
c) =−+
b
a
b
a
b
a
2
3
3
2
 
d) =−+
x
a
x
a
x
a
4
3
2
2
3
 
e) =−
xx 4
32
2
 
f) =
−
+
+
2
23
a
a
a
 
g) =
−
+
−
−
+
1
1
22
13
x
x
x
x
 
h) =
−
+
+ baba
11
 
i) =
+
−
+
+
1
22 2
b
a
aab
ab
 
j) 
4
124
2
2
2
2
2
−
−
+
−
+
+
−
x
x
xx
x
 
k) 
ba
b
ba
b
ba
a
+
+
−
+
−
22
22
 
l) 
ab
ba
a
ba
b
ba 22 +
+
+
−
+
 
m) =
+
+
−
−
−
− 2
2
4
12
2 2
2
xx
x
x
x
 
n) =
−
−
−
+
+
+
−
1
4
1
1
1
1
2y
y
y
y
y
y
 
o) =
+
+−
x
x
x
3
3
2
 
p) =⋅
y
x 5
3
2
 
q) =−⋅+
y
ba
x
ba
 
r) =
+
⋅
+ 2
2
3
3
a
a
a
a
 
s) =
−
⋅
−
5
2
3
5
a
aa
 
t) =⋅⋅
x
y
y
a
a
x
32 22
8
3
 
u) 
=
−
−
⋅
−
+
nm
ba
ba
nm
)(2
 
v) =
−
⋅
−
nm
nm 3
6
22
 
w) =
−
+
⋅
+
+
4
63
1 2
2
x
x
x
xx
 
x) =
+
⋅
−
1
212
a
x
x
a
 
 
y) 
=
x
a
a
2
3 
 
z) 
=
−
−
x
xa
xy
xa 22
 
 
9. Calcule: 
 
a) =
−
+
x
x
x
x
3
25
2
5
2
 
 
 
 
 
 
 
b) 
=
++
−
a
xx
a
x
9124
94
2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47
 
c) 
( ) =−
−
ba
a
ab
a
2
2
2
2
2
 
d) 
=
−
−
4
2
22 yx
yx
 
 
e) =





2
7
5
b
a
 
f) =




 −
−33
m
a
 
g) =






2
2
32
b
a
 
 
10. Efetue: 
bccb
b
a
x
xx
a 322 4
32
3
1)32) +−−+ 
 
 
 
h) =






−1
3
2
4
5
y
x
 
i) =





−3
25
2
b
a
 
j) =





02
c
ab
 
k) 
=







22
4
3
c
ba
 
l) 
=





−
−2
ba
a
 
m) =





−
−2
43
2
x
x
 
n) =





+
−
2
ba
ba
 
RE S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S 
 
1ª Questão: 
a) 2a 16- b) 
30
19a
− 
 
2ª Questão: 
a) ( )6 5x -4xx 22 + d) c)a)(b(5 ++ g) 23)(a + j) 1) 1).(mn- (mn + 
b) ( )22b3a 1 -2ab4ab + e) c)bn)(a(m +++ h) 26)-(m k) 2222 3xy-y5xyx + 
c) ( )322 bx 5a xb3a + f) 2y)(x + i) 4y) 4y).(2x-(2x + l) ( )
24
12c 8b-3a +
 
 m) 1,1- 0,9x -0,1x2 
 
3ª Questão: 
a) 
 60x- 5x 5x 2 3 + d) 3 - 5a 2 g) 10c-5b2a + j) 
a
1
a5 + 
b) 3223 3ab-b3a-b6a e) 22 y x- + h) ( )
140
40b 28a-35ab +
 
 
c) 12a-a 24 + f) 12y 4y 7y- 35 ++ i) 
2
3
a + 
 
 
4ª Questão: 
a) 242 2ax-x -a c) 22 c -ab- bc a + e) 322 2x-xaax- + g) 3223 3xyy15xy3x ++ 
b) 3ay-2y3xy-x 22 + d) y5x-5xy- 22 f) 3x9x6x- 23 ++ h) 
5
x
-
10
x2
 
 i) 6a 3a 2 + 
 
 
 
 
48
5ª Questão: 
a) 22 b2aba ++ d) 22 b2ab-a + g) 22 b-a j) 41+y-y 2 
b) 912a4a 2 ++ e) 912a-4a 2 + h) 9-4a2 k) 22 4h4hd-d + 
c) 22 16y24xy9x ++ f) 22 16y24xy-9x + i) 22 9y-16x l) 2 
 m) 1 
 
6ª Questão: 
 100 
 
7ª Questão: 
a) ba + c) 
5
3
 
e) 
( )ba
1
+
 
g) 
3x
3-x
+
 
b) 1 d) 
3
a
 
f) 
( )1a
1
+
 
h) 
2b
3a
 
 
8ª Questão: 
a) 
y
4a
 
h) 
( )22 b-a
2a
 
o) 
( )x3
9
+
 
v) 
2
nm +
 
b) 
( )yx
x
+
 
i) 
( )1ba
b
+
 
p) 
3y
10x
 
w) 
( )2-x
3x
 
c) 
6b
a
 
j) 
4-x
4-2xx
2
2 +
 
q) 
 
xy
b-a 22
 
x) 2a-2 
d) 
12x
7a
 
k) ( )
( )b-a
ba +
 
r) 
65aa
6a
2
2
++
 
y) 
3a
x
 
e) ( )
24x
3x-8
 
l) 
b
2a
 
s) 
 
3
2a
 
z) ( )
y
xa +
 
f) 
( )2aa
aa
−
−+ 652
 
m) 
( )2-x
4
 
t) 
2
3xy 2
 
 
g) 
2
1
 
n) ( )
( )1y
2-2y
+
 
u) 
( )n-m2
nm +
 
 
 
9ª Questão: 
a) 
102
3
−x
 
d) 
yx +
2
 
g) 
4
6
b
4a
 
k) 
2
24
16
9
c
ba
 
b) 
)32(
32
+
−
xa
x
 
e) 
2
2
49
25
b
a
 
h) 
2
3
5
4
x
y
 
l) 
22
2
2 baba
a
+−
 
c) 
( )2−ab
a
 
f) 
3
3
27a
m
−
 
i) 125b6/8 a3 m) 
2
2
4
16249
x
xx +−
 
 j) 1 n) 
22
22
2
2
baba
baba
++
+−
 
 
10ª Questão 
 
2
332)
ax
xaxa
a
−+
 ( não dá para simplificar) 32
223
12
9244)
cb
bcbcb +− (não dá para simplificar) 
 
 
49
 
MÓDULO IV 
 
EQUAÇÕES DE 
PRIMEIRO E SEGUNDO 
GRAU COM 
UMA INCÓGNITA 
 
 
50
Fácil !! 
MÓDULO IV – EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA 
 
 O objetivo deste módulo é revisar a resolução de equações de 1º e 2º grau na incógnita x. A 
resolução destas equações quando seus coeficientes são numéricos não apresentam grandes 
problemas. No entanto, é nas equações literais, ou seja, quando os coeficientes também são 
incógnitas ou variáveis, que a resolução pode parecer um pouco mais complexa. 
 Separamos o capítulo em 2 partes: 1ª Parte: Equações de 1º grau com 1 incógnita. 
 2ª Parte: Equações de 2º grau com 1 incógnita. 
 
1ª PARTE: EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM 1 INCÓGNITA 
 
As equações abaixo são equações de primeiro grau. Observamo que elas têm apenas uma “letra”, 
cujo expoente é 1 (quando o expoente não aparece assumimos que ele vale 1), esta letra será 
chamada de variável e os números da equação serão chamados de coeficientes. 
 x.incógnita nagrau 1º de equações 
1x32x d)
0x9 c)
03x4 b)
01x2 a)







−=−
=−
=−
=+
 
 
As equações abaixo são equações de primeiro grau, mas observando-as verificamos que elas têm 
mais de uma “letra”. Neste caso é preciso definir qual delas será a variável e desta forma as outras 
letras que aparecem serão tratadas como números. 
 
 x.incógnita na literaisgrau 1º de equações 
9bax g)
0px f)
02mx e)





=+
=+
=+
 
 
 Nas equações (e), (f) e (g), as variáveis m, p, a e b serão tratadas como números, elas serão 
chamadas de coeficientes, pois estamos assumindo que a variável da equação será “x” . 
 
RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU NA INCÓGNITA “X” 
 
 Resolver uma equação de 1º grau na incógnita x, significa determinar o valor de x que 
satisfaça a equação dada. 
 
Exemplos: Resolver as equações dadas assumindo que x é a variável: 
 
a) 10x5 = 
 x =10/5 
2x = ⇒ pois 1025 =⋅ 
 
 
b) mx + p = 0 
pmx −= 
m
p
x −=
 será? 
 
 
51
Verdadeiro !! 
Neste exemplo a resolução parece simples, mas por estarmos trabalhando com letras a 
verificação não é tão imediata e nem tão fácil de visualizar. 
 
Vejamos como deve ser feita a verificação neste caso: 
Devemos substituímos 
m
p
x −= na equação 0pxm =+⋅ para verificar se a igualdade será 
satisfeita: 
 0p
m
p
m =+





−⋅ 
 0pp =+− 
 00 = 
 
Se o valor de x não estivesse correto não chegaríamos a uma igualdade. Observemos o exemplo a 
seguir: 
c) 06x3 =+− 
6x3 −=− 
3
6
x
−
= 
2x −= 
 
 
 
Neste caso, pela verificação, notamos que a resolução não está correta . 
Surge então a pergunta: “O que foi feito errado?” 
 
 
Observe: 06x3 =+− 
 6x3 −=− 
 
 
 
 
6x3 −=− 
Continuando a resolução e seguindo o raciocínio de passar para o outro lado, é muito 
comum dizermos que o número –3 que está multiplicando vai passar dividindo com sinal contrário. 
2
3
6
x −=
−
= 
 E é nessa passagem que acontece o erro!! 
 Uma equação é uma igualdade, e para que esta igualdade não seja alterada, toda operação 
aplicada em um dos membros da equação deve ser aplicada no outro, este método é chamado de 
princípio de equivalência de equações. 
 Observe: 525 = . Mas se elevarmos apenas um dos membro da equação ao quadrado: 
( ) 525 2 = 
a igualdade será alterada, pois teremos 525 = 
Agora se elevarmos os dois membros (lados) da equação ao quadrado teremos: 
( ) 22 525 = , e a igualdade não será alterada , pois teremos 25 = 25. 
 
Verificação: Substituindo 2x −= na equação 06x3 =+− teremos: 
012
066
0623
06x3
=
=+
=+−⋅−
=+−
 
 
Falso !! 
Quando resolvemos uma equação costumamos 
dizer que o número 6 passou para o outro lado 
da equação com sinal contrário. Como regra 
prática até aceitamos este raciocínio, mas na 
verdade não é isto que ocorre. 
 
 
52
Verdadeiro !! 
Assim para resolvermos a equação 06x3 =+− , devemos isolar a variável x e começaremos 
eliminando o número “6” do 1º membro da equação, subtraindo dos dois membros o número “6”. 
 
63 +− x 6− 0= 6− 
Teremos então : 6x3 −=− 
 
Para eliminarmos o número “–3” que multiplica “x” , devemos dividir os 2 membros da equação 
por “–3”. 
3
6
3
3
−
−
=
−
− x
 
E fazendo as devidas simplificações temos que 2x = 
 
Se os sinais negativos atrapalham, então antes da divisão multiplicamos os dois membros da 
equação por “ –1”. 
( ) ( )16x31 −⋅−=−⋅− 
Obtendo : 6x3 = 
 
E então dividimos os dois membros da equação por “3”. 
 
3
6
3
3
=
x
 
E da mesma forma fazendo as devidas simplificações otemos: 2x = 
 
A seguir trazemos a verificação da solução encontrada substituindo 2x = na equação 06x3 =+− : 
 -3.x + 6 = 0 
 -3. 2 + 6 = 0 
 066 =+− 
 00 = 
 
Outros exemplos: 
 
d) Resolver a equação 4xx7 =− . 
Solução : 4xx7 =− 
 
3
2
x
6
4
x
4x6
=
=
=
 
 
Se você tem dificuldade de entender esta resolução, siga algumasdicas: 
 
 No 1º membro, temos 7x – x, onde “x” é o fator comum e podemos colocá-lo em evidência. 
 ( ) 417x
4xx7
=−⋅
=−
 
 
 
 
46x =⋅ 
7xx7 =÷ 
1xx =÷ 
Dividimos os 
termos 7x e x pelo 
fator comum x. 
 
 
53
Verdadeiro !! 
⇒ m.m.c. = 6a 
 
Agora como “6” está multiplicando “x”, para eliminá-lo dividiremos os dois membros da equação 
por “6”: 
6
4
6
6x
=
/
/⋅
 
Fazendo as devidas simplificações teremos: 
6
4
x = ou 
3
2
6
4
x 2
2
==
÷
÷
 
 
 Outra Solução: 
 7x – x = 4 
 7x-1x = 4 
 6x = 4 
3x = 2 (dividimos os dois membros da equação por 2 ) 
 x =2/3 ((dividimos os dois membros da equação por 3 ) 
 
 
Faremos a verificação da solução encontrada substituindo 3
2x = na equação 4xx7 =− : 
7x – x = 4 
44
4
3
12
4
3
2
3
14
4
3
2
3
27
=
=
=−
=−⋅
 
 
 
e) Resolva equação : 
a
x
a
x
−=+
3
11
2
 
 
Para resolvermos essa equação, começaremos fazendo o m.m.c. do denominador. 
 
 
a
x
3
1
a
1
2
x
−=+ 
a6
x6a2
a6
6ax3 −
=
+
 
 
 Como regra prática, muitas vezes cancelamos os denominadores iguais, mas existe sempre a 
dúvida. Será mesmo que é possível cancelar os denominadores por serem iguais? 
 SIM, por causa da igualdade e lembrando que eles não desaparecem simplesmente, e que 
para isolar a variável “x”, devemos, neste exemplo, começar eliminando os denominadores e como 
eles estão “dividindo”, então “multiplicamos” dois membros da equação por “6a ”. 
 
6 é m.m.c. de 2 e 3; 
a é a única variável que aparece. 
 
 
54
Se cancelarmos o denominador, a 
igualdade continuará sendo 
verdadeira,pois 5/3=5/3 e 5=5. 
Assim teremos: 
a6
x6a2
a6
6ax3 −
=
+
 
 
( )
⋅
+
a6
6ax3
a6 ( ) ⋅−=
a6
x6a2
a6 
 
E ,depois de multiplicar os dois membros da equação por “6a”, podemos fazer as devidas 
simplificações que fazem com que os denominadores desapareçam, e é por isso que ele “somem”. 
Esta passagem não precisa aparecer na resolução, mas se lembrarmos dela, nunca teremos dúvidas 
quanto à eliminação dos denominadores. 
 
IMPORTANTE: Se não existir a igualdade, não podemos cancelar o denominador, pois estaremos 
 alterando o resultado final da expressão.Observe o exemplo abaixo: 
 ?
3
4
3
1
=+ 
 
3
41 +
= ? (como os denominadores são iguais podemos somar os numeradores) 
A resposta é 
3
5
, observamos neste exemplo que se cancelarmos o denominador mudaremos 
a resposta de 
3
5
 para 5 . 
 
Mas se a expressão for: 
 
3
5
3
4
3
1
=+ 
 
3
5
3
41
=
+
 
 
3
5
3
5
/
=
/
 
 55 = 
 
A diferença está, então, na existência ou não do sinal de igual. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações: 
 
a) xxxx 292354 −=−+− 
b) ( ) ( )[ ] ( )23142336 +−−=−−−−−− xxx 
c) ( ) ( ) ( ) 71242343211 ++−=−−− xxx 
d) ( ) ( ) ( )1345223326 −−+=−− xxx 
e) 
15
1
3
1
30
1
5
1
15
1
−=−+ xxx 
f) yy
3
1
4
12
6
1
−=+− 
g) 
3
1
2
7
4
3 −
+=
+ xx
 
h) 
24
1
2
3
6
1
x
x
xx
−
=+ 
i) 
y
y
y
y
−
+=
−
−
12
1
1
1
 
j) 
3
2
3
1
9
5
2
−
+
+
=
− ttt
 
 
 
55
⇒ Como a variável da equação foi definida como “x”, 
as letras “m” e “p” são consideradas coeficientes. 
⇒ Como no exemplo anterior, as letras “k” e “t” são 
consideradas coeficientes. 
2. Sendo x a incógnita, resolva as seguintes equações literais: 
 
a) mmx 9158 =− 
b) bxccbx 41195 +=+ 
c) 87 +−=+ bxax 
d) mxamaxaax −+=− 22 
e) ( ) ( ) 02 =++−− xbaaxba 
f) 
3
4
2
xm
m
xm −
=+
+
 
g) bax =−2 
h) aax 47 =+ 
i) axbx +=+3 
j) ( ) ( )12423 +=+− xmmxxm 
k) 
2
3
4
5
3
axax
=− com a ≠ 0 
l) ( ) ( )mxxmx −=−+ 12 com m ≠ 0 
 
 
2ª PARTE: EQUAÇÕES DE 2º GRAU COM 1 INCÓGNITA 
 
Toda equação representada na forma 02 =++ cbxax , com a ≠ 0, é chamada de equação de 2º 
grau com uma incógnita, neste caso “x”. 
 
Exemplos: 
a) 





=
=
=
=++
6c
3b
2a
06x3x2 2 (equação de segundo grau completa , pois : 0≠≠≠ cba ) 
 
b) 
5c
0b
1a
05x0x
ou
05x
2
2
=
=
=





=++
=+
 (equação de segundo grau incompleta , pois : 0=b ) 
 
c) 
0c
1b
3
1a
00xx
3
1
ou
0x
3
x
2
2
=
=
=








=++⋅
=+
(equação de segundo grau incompleta , pois : c = 0) 
 
d) 





−
=
=
−=
=−+−
3
1c
9b
1a
0
3
1
x9x2 
 
e) 





=
=
=
=++
4c
pb
ma
04pxmx2 
 
 
f) 





=
=
=
=++
tc
kb
1a
0tkxx2 
 
 
56
 
IMPORTANTE: 
• Para que tenhamos uma equação de 2º grau o coeficiente de “ 2x ” nunca poderá ser 
zero. 
• Os coeficientes literais de uma equação devem ser tratados como números no momento de 
sua resolução . 
 
RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE 2º GRAU NA INCÓGNITA “X” 
 
1º Caso: Equações de 2º grau completas, ou seja, 0≠≠≠ cba (a, b e c não são nulos) 
 
 Temos sempre que lembrar que resolver uma equação na variável “x” significa determinar o 
valor de “x” que satisfaça a equação dada. 
 No caso de uma equação de 2º grau do tipo : 02 =++ cbxax , os valores de “x” que 
satisfazem esta equação são obtidos através da fórmula : 
 
a
acbb
x
2
42 −±−
= , conhecida como FÓRMULA DE BÁSKARA 
 
 Uma equação de 2º grau, pode ter 2 soluções, uma solução ou nenhuma. Abaixo, trazemos 3 
exemplos ilustrando cada uma dessas situações. 
Toda equação de 2º grau pode ser resolvida com a utilização da fórmula de Báskara, 
portanto devemos começar a resolução identificando os coeficientes “a”, “b” e “c” . 
 
Exemplos: Resolver as equações do segundo grau, sendo “x” a variável. 
a) 





=
−=
=
=+−
3c
4b
1a
03x4x2 
 
( ) ( )
2
44
x
2
12164
x
1.2
3.1.444
x
a2
ac4bb
x
2
2
±
=
−±
=
−−±−−
=
−±−
=
 







=
/
/
=
−
=′′
=
+
=′
±
=
1
2
2
2
24
x
3
2
24
x
2
24
x 
Solução: 1x = e 3x = 
 
Verificação: devemos substituir x = 1 e x = 3 na equação 03x4x2 =+− . 
 
Os parênteses ajudam 
a não confundir sinais 
Duas soluções 
 
 
57
Verdadeiro !! Verdadeiro !! 
Verdadeiro !! 
Para 1x = Para 3x = 
 
033
0341
031.41
03x4x
2
2
=+−
=+−
=+−
=+−
 
033
03129
033.43
03x4x
2
2
=+−
=+−
=+−
=+−
 
 
 Logo existem dois valores de “x” que satisfazem a equação dada, x = 1 e x = 3. 
 
 
 
b) 





−=
=
−=
=−+−
1c
2b
1a
01x2x2 
( ) ( )
1
2
2
x
2
02
x
2
442
x
1.2
1.1.422
x
a2
ac4bb
x
2
2
=
−
−
=
−
±−
=
−
−±−
=
−
−−−±−
=
−±−
=
 
1x =
 
 
 
 
 
Verificação: 
Para 1=x teremos 01x2x2 =−+− 
 
( )
022
0121
011.21 2
=+−
=−+−
=−+−
 
 
 
 
c) Muita atenção neste exemplo : 





=
−=
=
=+−
9c
1b
2a
09xx2 2 
 
a2
ac4bb
x
2
−±−
= 
ATENÇÃO: 
O sinal de “ –” não 
está ao quadrado. 
⇒ Há apenas um valor de “x” que atende a equação. 
Uma solução 
 
 
58
( ) ( )
4
711
x
4
7211
x
2.2
9.2.411
x
2
−±
=
−±
=
−−±−−
=
 
 
Obs.: Curiosidade!!! Estaequação admite soluções pertencentes ao conjunto dos números 
complexos. Nos números complexos 1−=i , assim teríamos: 
 







⋅−
=′′
⋅+
=′
⋅±
=
⋅−±
=
⋅−±
=
4
711
4
711
4
711
4
7111
4
7111
i
x
i
x
i
x
x
x
 
 
Este tipo de equação não será abordada nos exercícios propostos. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
3. Resolva as equações: 
 
a) 02832 =−+ xx 
b) 02092 =−+− xx 
c) 0243 2 =+− xx 
d) 09124 2 =++ xx 
e) 0675 2 =+−− xx 
f) 0242 =−+− xx 
g) ( ) 721412 2 −−=−− xxxx 
h) ( )( ) ( ) 172.834.34 −=−−+− xxxx 
i) ( ) ( ) 936423 2 −=+−−− xxx 
j) 310 =−
x
x 
k) 06332 =+− xx 
l) 1327 22 −−=+ xxxx 
m) 
93
1
29
2
xxx
+=− 
n) 
4
5
8
51
4
2
−=−
xx
 
o) 652 =+ xx 
p) ( ) 2401 =+xx 
q) ( ) ( )723 2 +=+ xxx 
r) ( )( ) ( )2123 +=−+ yyyy 
s) ( ) ( )( )5112 ++=− xxxxx
 
Mais um exemplo: 
d) 032 22 =−+− mmxx 
 
Neste exemplo , trazemos uma equação de 2º grau literal. A variável “x” é a variável da 
equação, “m” e “p” serão tratados como constantes. Desta forma o valor de “x” que atenderá essa 
equação será dado em função de “m” e “ p”. 
Como 71− não é um número real, não 
existem valores de “x”, pertencentes ao conjunto dos 
números reais, que satisfaçam esta equação. 
 Logo, a equação não possui soluções reais. 
Esse tipo de 
solução não será 
foco deste livro! 
 
 
59
 Lembre-se : Os coeficientes literais de uma equação, no momento de sua resolução , devem 
 ser tratados como números (chamados de constantes) . 
 
 Esta é uma equação literal do 2º grau, do tipo ax2 + bx + c = 0, que tem x como a variável, 
portanto a sua resolução será feita através da fórmula de Bhaskara: 
a
acbb
x
2
42 −±−
= . 
 
 Da equação 032 22 =−+− mmxx temos : 





−=
=
−=
2
3
2
mc
mb
a
. 
 
Resolução: 
 
( ) ( )( )
( )
24
2
4
3
4
4
4
3
4
3
4
3
4
893
22
2433
2
4 222222
mmmm
x
m
mmm
x
mm
mmmmmmmm
a
acbb
x
=
−
−
=
−
+−
=′′
=
−
−
=
−
−−
=′
−
±−
=
=
−
±−
=
−
−±−
=
−
−−−±−
=
−±−
=
 
Para fazer a verificação basta substituir “x = m/2” e “x =m”, na equação 032 22 =−+− mmxx e 
observar que para os dois casos o resultado será zero , o que permitirá concluir que os dois valores 
de “x” encontrados a equação será satisfeita. Deixamos a esta verificação a cargo do leitor. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
4. Determine x nas seguintes equações literais: 
 
a) 022 =+ xax 
b) ( ) 0222 =++− abxbax 
c) ( )ax
xa
a
+−=
−
2
 
d) 0
2
32 22 =−− axax 
e) ( ) ( ) a
a
ax
a
ax 4
22
=
+
+
−
 
 
Até agora mostramos exemplos de equações de 2º grau do tipo 02 =++ cbxax , onde os 
coeficientes “b” e “c” eram diferentes de zero, ou seja, equações de segundo grau completas. 
Trazemos a seguir 2 exemplos com equações de segundo grau incompletas ,ou seja onde um dos 
coeficientes “b” ou “c” são nulos. 
 
 
 
 
 
60
Exemplos: 
1) 





=
−=
=
=−
0c
1b
5a
0xx5 2 ( neste exemplo o valor do coeficiente “c” é zero) 
 
Resolução: 
( ) ( )
10
011
x
5.2
0.5.411
x
a2
ac4bb
x
2
2
−±
=
−−±−−
=
−±−
=
 
 







==
−
=′′
==
+
=′
±
=
0
10
0
10
11
x
5
1
10
2
10
11
x
10
11
x Solução: 
5
1
x = e 0x = 
 
2) 





−=
=
=
=−
mc
0b
ma
0mmx2 (neste exemplo o valor do coeficiente “b” é zero) 
Resolução: 
a2
ac4bb
x
2
−±−
= 
( ) ( )
1
m2
m2
m2
m4
x
m2
m4
x
m.2
m.m.400
x
2
2
2
==
⋅
=
=
−−±−
=
 Solução: 1x = 
 
Observação: 0s exemplos (1) e (2) mostraram equações de 2º grau na variável “x” incompletas , 
ou seja, um dos coeficientes “b” ou “c” são nulos. Para a resolução usamos a fórmula de Báskara, 
mas não haveria necessidade. O 2º caso e o 3º caso de resolução de equações de segundo grau, 
apresentados a seguir, mostrarão outras formas de resolução. 
 
 
2º Caso: Resolução de Equações de 2º grau sendo o coeficiente “b” nulo 
 
 Se o coeficiente b é nulo, a equação de segundo grau será do tipo: 
0cax2 =+ 
 
 
 
61
 Para resolver equações do segundo grau deste tipo bastaria isolar “x” , lembrando que os 
coeficientes literais de uma equação devem ser tratados como números, chamados de constantes, 
no momento da resolução da equação. 
 
Exemplos: 
a) 0mmx2 =− 
 
Faremos a resolução, executando operações que possibilitem que a variável “x” seja isolada: 
1x
1x
m
m
x
mmx
2
2
2
±=
=
=
=
(m/m = 1) 
 
Solução: 1x = e 1x −= 
 
 
b) 09x3 2 =− 
 
Faremos a resolução, executando operações que possibilitem que a variável “x” seja isolada: 
3x
3x
3
9
x
2
2
±=
=
=
 
 
Solução: 3x = e 3x −= 
 
Verificação: para 3x = teremos: para 3x −= teremos: 
 
( )
00
0933
0933
09x3
2
2
=
=−⋅
=−⋅
=−⋅
 
( )
00
0933
0933
09x3
2
2
=
=−⋅
=−−⋅
=−⋅
 
 
 
 
c) 0m4x2 =− 
 
Faremos a resolução, executando operações que possibilitem que a variável “x” seja isolada: 
m2x
m4x
m4x
m4x2
±=
⋅±=
±=
=
 
 
Solução: m2x = e m2x −= 
Verdadeiro !! Verdadeiro !! 
 
 
62
3º Caso: Resolução de Equações de 2º grau sendo o coeficiente “c” nulo 
 
 A equação será do tipo: 0bxax2 =+ 
 Observamos que o 1º membro da equação apresenta a variável “x” como fator comum, 
assim para resolver a equação devemos colocar a variável “x” em evidência. 
 
Exemplos: Resolva as equações abaixo: 
a) 0xx5 2 =− 
 
Resolvendo a equação colocando a variável “x” em evidência: 
 
 
 
 
0)1x5(x =−⋅ 
 
 
O produto ( )1x5x −⋅ será igual a zero, se e somente se, “x” for zero ou se “ ( )15 −x ” for zero, logo: 
 
Para ( ) 01x5x =−⋅ teremos: 
 
0x = ou ( ) 01x5 =− 
 
5
1
x
1x5
=
=
 
 
Solução: 0x = e 
5
1
x = 
Deixamos a verificação a cargo do leitor. 
 
 
b) 0x3px2 =+ 
Resolvendo a equação colocando a variável “x” em evidência: 
 
 
( ) 03pxx =+ 
 
 
 
Novamente O produto ( )3+⋅ pxx será igual a zero, se e somente se, “x” for zero ou se “ ( )3+px ” 
for zero, logo teremos: 
0x = ou ( ) 03px =+ 
 
p
3
x
3px
−
=
−=
 
 
Solução: x = 0 e x = -3/p 
1−=−=÷−
x
x
xx 
x
x
x
xx 5
2525 ==÷ 
333 ==÷
x
x
xx 
px
x
px
xpx ==÷
22
 
Dividimos os 
termos “5x2” e “–x” 
pelo fator comum x. 
Dividimos os 
termos “px2”e “3x” 
pelo fator comum x. 
 
 
63
IMPORTANTE: 
Salientamos que todas as equações de 2º grau podem ser resolvidas usando a fórmula de 
báskara. No entanto procuramos com o 2º e com o 3º caso de resolução de equações de segundo 
grau mostrar que, com algum conhecimento de matemática básica, podemos encontrar caminhos 
menos trabalhosos. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
5. Determine x nas seguintes equações: 
 
a) 093 2 =− xx 
b) 084 2 =−x 
c) 042 =− xx 
d) 032 =− axax 
e) 02 =− xmx 
 
6. Seja a equação 2092 −+−= xxy , determine o valor de y, quando x for igual a : 
 
a) –2 
b) 0 
c) 1 
d) 1/3 
e) 2
 
7. Seja a equação 0672 =+−−= xxy , calcule: 
 
a) o valor de y, quando x for igual a (–3); 
b) as coordenadas do vértice da parábola que representa esta equação, sendo 
a
b
xV 2
−
= e 
a
yV 4
∆−
= , 
onde acb 42−=∆ . 
 
 
 
 
RE S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S 
 
1ª Questão: 
a) x =2 d) x = 1 g) x = -29 j) t = 2/3 
b) x = 4/5 e) x = 1/2 h) x = -3/17 
c) x = 2 f) y = -21/2 i) y = 3 
 
 
 
2ª Questão: 
a) x = 3m d) x = a g) 
2
ba
 x
+
= 
j) 
5
8
x = 
b) 
b
2c
 x = 
e) x = 1 h) 
7
3a
x = 
k) 
14a
15
x −= 
 
 
64
c) 
ba
1
x
+
= 
f) 
5
m
x −= 
i) 
2
b-a
 x = 
l) 
3m
m-1
 x
2
= 
 
3ª Questão: 
a) x’= -7; x’’=4 f) x’= 22 − ; 
x’’= 22 + 
k) x’= 3 ; 
x’’= 32 
p) x’= -16; x’’=15 
b) x’=4; x’’=5 g) x ℜ∉ l) x ℜ∉ q) x’= -9; x’’=1 
c) x ℜ∉ h) x = -1 m) x’= -1/2; x’’=6 r) x’= -1/2; x’’=2 
d) x= -3/2 i) x’= -3/4; x’’=2 n) x’=1/2; x’’= 2 s) x’= -5/7; x’’=0 
e) x’= -2; x’’=3/5 j) x’=-2; x’’=5 o) x’= -6, x’’= 1 
 
4ª Questão: 
a) 02 =′′−=′ x
a
x c) 22 axax =′′−=′ e) axax =′′−=′ 
b) bxax =′′=′ 2
 
d) 
2
23
,
2
2 a
x
a
x =′′
−
=′
 
 
 
5ª Questão: 
a) 30 =′′=′ xx
 
c) 40 =′′=′ xx
 
e) 
m
xx
10 =′′=′
 
 
b) 2±=x
 
d) 30 =′′=′ xx
 
 
 
6ª Questão: 
a) –42 c) –12 e) 2922 +−=x 
b) –20 d) –154/ 9 
 
7ª Questão: 
a) 18 b) 
4
73y
2
7
x VV =−= 
 
 
 
65
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO V 
 
 
Razão, 
Proporção, 
Regra de Três Simples 
e 
Trigonometria 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66
MÓ D U L O V 
 RA ZÃ O , PR O P O R Ç Ã O , RE G R A D E T R Ê S S I M P L E S E T R I G O N O M E T R I A 
 
Neste módulo vamos revisar alguns conceitos básicos muito importantes para qualquer 
curso de engenharia e ainda aproveitá-los para aplicar os tópicos vistos nos outros módulos. 
 
1. RA ZÃ O 
 
 Dados dois números a e b, o resultado da divisão (ou do quociente) a:b é chamado de 
razão. É importante colocar que para que a divisão exista, o número b tem que ser diferente de 
zero. 
Existem três maneiras de indicar uma razão, vejamos os exemplos abaixo. 
 
a) A razão de 3 para 4 pode ser escrita como: 4:3 ou 
4
3
 ou ainda 0,75 (pois 3 dividido por 
quatro é igual a 0,75). 
b) A razão de 5 para 2 pode ser escrita como: 2:5 ou 
2
5
 ou ainda 2,5 (pois 5 dividido por 2 
é igual a 2,5). 
 
 
2. PR O P O R Ç Ã O 
 
A proporção é outro conceito muito importante. É comum escutarmos expressões do 
tipo: 
“ 2
1
 é proporcional a 4
2 ” 
 
 Aí vem a pergunta, por que 2
1
 é proporcional a 4
2 , o que quer dizer esta afirmação? 
 Isto quer dizer que o resultado da divisão 2
1
 é igual ao resultado da divisão 4
2 , 
podemos ainda escrever, lembrando do conceito de razão, que a razão 2
1
 é igual a razão 4
2
. 
Observe: 
5,0
2
1
= e 5,0
4
2
= 
 
Portanto, como 
4
2
2
1
= , podemos afirmar que as razões 2
1
 e 4
2
 são proporcionais, e 
ainda, que a igualdade 
4
2
2
1
= forma uma proporção. 
 
2.1 Elementos de uma proporção 
 
Dados 4 números racionais a, b, c e d, diferentes de zero, nessa ordem, dizemos que 
eles formam uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo é igual a razão do 
terceiro para o quarto, ou seja: 
dcbaou
d
c
b
a
:: == (lê-se: a está para b, assim como c está para d) 
 
 
 
67
Os números a, b, c e d são chamados de termos da proporção. 
Temos ainda que os termos b e c são chamados de meios da proporção e os termos a e 
d de extremos da proporção. 
 
Quando escrevemos a razão da seguinte forma: 
 
 
dcba :: = 
 
 
fica bem fácil de identificar os meios e os extremos. 
 
 Tomemos a seguinte proporção: 
 
15
3
5
1
= ou 15:35:1 = (lê-se: 1 está para 5, assim como 3 está para 15) 
 
Meios: 5 e 3 
Extremos: 1 e 15 
 
 
2.3 Propriedade fundamental das proporções 
 
 A propriedade fundamental das proporções diz que: 
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.” 
 
 Vejamos os exemplos: 
a) 
18
24
3
4
= 
 Para a igualdade ser uma proporção, a razão 
3
4
 deve ser igual a razão 
18
24
 e de fato 
temos que 33,1
3
4
= e 33,1
18
24
= . 
 
 Por outro lado, já que estamos diante de uma proporção, podemos verificar que o 
produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 
 
Produto dos meios: 72243 =⋅ 
Produto dos extremos: 72184 =⋅ 
 
b) 
8
5
3
1
= 
A igualdade dada “não” forma uma proporção, pois a razão 
3
1
 é diferente da razão 
8
5
, 
ou seja, 33,0
3
1
= e 625,0
8
5
= . 
Por “não” ser uma proporção podemos verificar que o produto dos meios “não” é 
igual ao produto dos extremos: 
Produto dos meios: 1553 =⋅ 
Produto dos extremos: 881 =⋅ 
extremos 
meios 
 
 
68
 
c) Determinar o valor de x que torne a igualdade 
2
3
4
=
x
 uma proporção. 
Pela propriedade fundamental das proporções podemos escrever: 
234 ⋅=⋅ x Verificação: 
x212 = 
2
3
4
6
= 
6=x
 5,15,1 = 
 
 Você pode fixar os conceitos vistos fazendo os exercícios indicados a seguir: 
 
1) Verifique se as igualdades dadas formam uma proporção, justificando sua resposta pela 
definição de proporção. 
 
a) 
18
12
3
2
= b) 
7
2
5
3
= 
 
2) Verifique se as igualdades dadas formam uma proporção, justificando sua resposta 
usando a propriedade fundamental das proporções. 
 
a) 
10
35
2
7
= b) 
30
25
7
5
= 
 
3) Determine o valor de x, sabendo que as igualdades dadas são proporções: 
 
a) 
159
6 x
= c) 
6
12
4
3
=
+x
 
 
e) 
5
27
3
=
x
 
 
b) 
20
4
5
3
=
x
 
 
d) 
5
1
3
5 −
=
− xx
 
 
f) 
57,0
2,0 x
= 
 
 
4) Os números 6, 51, 2 e y + 4 formam nessa ordem uma proporção. Calcule o valor de y. 
 
 
 
3. RE G R A D E T R Ê S S I M P L E S 
 
Trabalhamos anteriormente os conceitos de razão e proporção para podermos 
relembrar “regra de três simples”. 
 Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam 
quatro valores, dos quais conhecemos apenas 3. Devemos portanto, determinar um valor a 
partir dos três já conhecidos. 
 A regra de três simples pode envolver grandezas diretamente proporcionais ou 
inversamente proporcionais. 
 Procuraremos a seguir, apresentando a resolução de alguns problemas, relembrar a 
aplicação da regra de três simples. 
 
 
 
69
Problema 1: Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor 
movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa 
área para 1,5m2, qual será a energia produzida? 
 Solução: montando uma tabela: 
 
Área (m2) Energia (Wh) 
1,2 400 
1,5 x 
 
Precisamos identificar o tipo de relação entre as variáveis. 
 
Observamos que aumentando a área de absorção, por dedução, a energia solar 
também aumentará. 
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as 
grandezas (área e energia) são diretamente proporcionais. Assim sendo, podemos montar a 
seguinte proporção, de acordo com a tabela: 
 
x
400
5,1
2,1
= 
Resolvendo a equação, teremos: 
 
4005,12,1 ⋅=x 
500
2,1
4005,1
=
⋅
=x 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 
 
Problema 2: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um 
determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a 
velocidade utilizada fosse de 480km/h? 
Solução: montando uma tabela: 
 
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 
400 3 
480 x 
 
Precisamos identificar o tipo de relaçãoentre as variáveis. 
 
Observamos que aumentando a velocidade, por dedução, o tempo do percurso 
diminuirá. 
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as 
grandezas são inversamente proporcionais. 
 
Portanto, a igualdade 
x
3
480
400
= montada conforme a tabela, não forma uma proporção, 
pois as grandezas: velocidade e tempo não são proporcionais. 
Para obtermos uma proporção, inverteremos um dos termos da igualdade. Assim 
teremos: 
 
 
70
 
 
x
3
400
480
= 
 
Resolvendo a equação, teremos: 
 
5,2
480
1200
1200480
3400480
=
=
=⋅
⋅=⋅
x
x
x
x
 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
 
Obs.: Afim de justificar melhor a inversão dos termos, verificamos que ao substituir x por 
2,5, temos que as razões 
400
480
 e 
5,2
3
 são iguais a 1,2, portanto a igualdade 
5,2
3
400
480
= forma 
uma proporção! 
 Se não tivéssemos invertido os termos, teríamos 
5,2
3
480
400
= , que não forma uma 
proporção, pois 83,0
480
400
≅ e 2,1
5,2
3
= . 
 
 
Problema 3: Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se 
comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? 
 Solução: montando uma tabela: 
 
Camisetas Preço (R$) 
3 120 
5 x 
 
Observamos que aumentando o número de camisetas, por dedução, o preço também 
aumentará. 
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as 
grandezas são diretamente proporcionais. Como as grandezas são proporcionais, podemos 
montar a proporção conforme a tabela: 
x
120
5
3
= 
 
Resolvendo a equação, teremos: 
12053 ⋅=x 
200
3
1205
=
⋅
=x 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
 
Invertemos 
os termos 
 
 
71
 
Problema 4: uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra 
em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa 
equipe fará o mesmo trabalho? 
 Solução: montando uma tabela: 
 
Horas por dia Prazo para término (dias) 
8 20 
5 x 
 
Observamos que diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, por dedução, o 
prazo para término aumentará. 
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as 
grandezas são inversamente proporcionais, portanto a igualdade 
x
20
5
8
= , montada 
conforme a tabela, não forma uma proporção. 
Para obter nossa proporção teremos que inverter um dos membros da igualdade. 
Apresentaremos a solução de duas maneiras: 
 
a) Invertendo o primeiro membro da igualdade. 
x
20
8
5
= 
 
Resolvendo a equação teremos: 
32
5
160
2085
==
⋅=
x
x
 
 
b) Invertendo o segundo membro da igualdade. 
205
8 x
= 
 
Resolvendo a equação teremos: 
32
5
160
2085
==
⋅=
x
x
 
 
 Logo, a equipe fará o mesmo trabalho em 32 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
72
 
E X E R C Í C I O S 
5) Uma indústria de refrigerantes fabrica 2 garrafas de limonada para 5 garrafas de guaraná. 
Numa produção de 2.400 garrafas de limonada, quantas garrafas de guaraná serão 
engarrafadas? 
 
6) Desejo construir um retângulo de modo que a razão entre a medida da base e a medida da 
altura seja 
3
5
. Se a base tiver 25 cm, quanto deverá medir a altura? 
 
7) Um pedreiro prepara a massa para o reboco da parede na razão de 3 latas de areia para 1 
lata de cimento. Com 5 latas de cimento, quantas latas de reboco ele poderá preparar? 
 
8) Em cinco horas, uma máquina produz 120 peças. Quantas peças ela produzirá em 8 
horas? 
 
9) Em uma fábrica de automóveis, 8 robôs idênticos fazem certo serviço em 24 horas. Em 
quanto tempo 6 desses robôs fariam o mesmo serviço? 
 
10) Com certa quantia um comerciante comprou 72 bolas de futebol. Tempos depois, ele 
gastou a mesma quantia, mas a bola havia dobrado de preço. Calcule mentalmente 
quantas bolas o comerciante comprou? 
 
11) Numa velocidade média de 80km/h, fiz uma viagem em 14 horas. Se a velocidade fosse 
de 70 km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem? 
 
12) A carga máxima de um elevador é esta: 7 adultos de 80kg cada um. Essa carga máxima é 
de quantos adolescentes de 56kg cada? 
 
13) Para um carregamento de areia, foram necessárias 30 viagens de caminhões com 
capacidade de 5 3m cada um. Se o transporte fosse feito em caminhões de 6 3m de 
capacidade, quantas viagens seriam necessárias? 
 
14) Uma máquina impressora possui duas velocidades. Ela pode imprimir 5.000 páginas por 
hora ou 3.000 páginas por hora, só que na velocidade mais baixa ela imprime melhor. 
Essa máquina fez certo serviço em 7 horas e meia, na velocidade mais alta. Em quanto 
tempo ela faria o mesmo serviço, trabalhando na velocidade mais baixa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73
4. T R I G O N O M E T R I A 
 
Neste tópico procuraremos relembrar noções básicas de trigonometria no triângulo 
retângulo. 
 
 A trigonometria é uma palavra composta por 3 radicais gregos: 
“tri” → três 
“gonos” → ângulos 
“metron” → medir 
 
 Ela tem por objetivo o cálculo das medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo. 
 
 
 
4.1 . T R I G O N O M E T R I A N O T R I Â N G U L O R E T Â N G U L O 
 
 Primeiramente vamos relembrar como é um triângulo retângulo. 
 Triângulo retângulo é um triângulo que tem um ângulo reto, ou seja, um ângulo cuja 
medida é de 90º 
No triângulo “retângulo” ABC abaixo, temos: 
 
O ângulo Aˆ mede 90º. 
O ângulo Bˆ mede α (alfa). 
O ângulo Cˆ mede β (beta). 
 
O lado AB mede c. 
O lado AC mede b. 
O lado BC mede a. 
 
Observações: 
a) 
• Os lados AC e AB são chamados de catetos do triângulo, pois são os lados que 
formam o ângulo  de 90º. 
• O lado BC , oposto ao ângulo Â, é chamado de hipotenusa. Ele também é o maior lado 
do triângulo. 
 
b) 
• Tomando o ângulo α, temos 



oposto. cateto o é CA lado o
adjacente; cateto o é AB lado o
 
• Tomando o ângulo β, temos 



oposto. cateto o é AB lado o
adjacente; cateto o é CA lado o
 
• O maior lado do triângulo, no nosso triângulo o lado BC , sempre será a hipotenusa. 
 
A partir dessas definições poderemos relembrar as razões trigonométricas, ou seja, as 
razões de um triângulo retângulo. 
 
A B 
C 
a 
b 
c 
. 
α 
β 
 
 
74
4.2 RA ZÕ E S T R I G O N O M É T R I C A S 
 
Como vimos anteriormente uma razão é o resultado de uma divisão. 
Ao tomarmos um ângulo agudo α (menor que 90º), referenciado a um triângulo 
retângulo, poderemos definir as razões trigonométricas seno, co-seno e tangente deste ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observando o triângulo ABC acima, temos por definição: 
 
• seno do ângulo agudo α ou simplesmente sen (α) 
hipotenusa
 à oposto cateto α
= 
• co-seno do ângulo agudo α ou simplesmente cos( α) 
hipotenusa
 à adjacente cateto α
= 
• tangente do ângulo agudo α ou simplesmente tg (α) 
 à adjacente cateto
 à oposto cateto
α
α
= 
 
Se fizermos: cateto oposto = CO 
 cateto adjacente = CA 
 hipotenusa = Hip 
 
Teremos de forma mais simplificada: 
CA
CO
tg
Hip
CA
cos
Hip
CO
sen =α=α=α 
 
 Pelo exposto podemos notar que sen(α), cos(α) e tg(α) são chamados de razões, pois 
todos são obtidos através do resultado de uma divisão. 
 
Exemplos: 
 
1) No triângulo retângulo abaixo, calcular as razões trigonométricas do ângulo agudo β. 
 
...333,1
3
4
adjacente cateto
oposto cateto
β
8,0
5
4
hipotenusa
oposto catetoβ
6,0
5
3
hipotenusa
adjacente cateto
βcos
====
====
====
CA
COtg
Hip
CO
sen
Hip
CA
 
 
A B 
C 
α 
. 
5 
4 
3 
. 
β 
 
 
75
Fnd2
 
ou 
Shift
 
2) No triângulo do exercício 1, não conhecemos o ângulo β. No entanto, agora que 
conhecemos as relações trigonométricas do triângulo dado, podemos obtê-lo usando a 
calculadora. 
 
Podemos usar qualquer uma das razões: 
 
1ª opção: usando o co-seno 
 
Temos que 
5
3
βcos = , sabemos então que β é o ângulo cujo co-seno vale 3/5, a 
matemática tem uma linguagem própria para escrever esta afirmação: 
5
3
 cos β arc= , lê-se β é ângulo cujo co-seno vale 3/5. 
 
No entanto esta notação não nos dá idéia da medida do ângulo β em graus. Para 
obtermos este valor, recorremos à calculadora da seguinte forma: 
 
...6,053 =÷ 
1cos
cos
−
 
 
 
Na calculadora aparecerá 53,13, isto no permite escrever que β ≅ 53,13º (Cuidado! A 
máquina deve estar no modo “DEG”). 
 
Obs.1: Para calcular o ângulo conhecendo as relações seno, co-seno e tangente, temos que 
usar as teclas 1sen − , 1cos− e 1tan− respectivamente. Por isso, antes de acionar por exemplo o 
co-seno temos que apertar a tecla Fnd2 ou Shift que significa 2ª função, pois 1cos− é a 2ª 
função da tecla cos . 
 
Obs.2: No visor de sua máquina de calcular, aparece em letras bem pequenas: “DEG” ou 
“RAD” ou “GRAD”. Quando queremos obter a medida do ângulo em graus, usamos a 
máquina no modo “DEG”. 
 
Obs.3: Das propriedades de potenciação aprendemos que quando temos expoente negativo na 
base de uma potência, para eliminá-lo basta inverter a base. Isto nos permite colocar que 
cos
1
cos 1 =− , mas cuidado!!! A máquina de calcular usa essa notação para obter o ângulo que 
possui o co-seno indicado. 
 
 
 
2ª opção: usando o seno 
 
5
4
β =sen 
Se quiséssemos apenas isolar β escreveríamos: 
5
4
β senarc= lê-se β é o ângulo cujo seno é 
5
4
 
 
 
76
Fnd2
 
ou 
Shift
 
Fnd2
 
ou 
Shift
 
Como vimos, para obter o valor em graus de β, utilizaremos a calculadora da seguinte 
forma: 
 
8,054 =÷ 
1sen
sen
−
 
 
No visor da máquina aparecerá 53,13, isto nos permite escrever que β ≅ 53,13º . 
(Cuidado! A máquina deve estar no modo “DEG”) 
 
3ª opção: usando a tangente 
 
3
4
β =tg 
 Se quiséssemos apenas isolar β escreveríamos: 






=
3
4
β arctg lê-se β é o ângulo cuja tangente vale 
3
4
 
 
Novamente para obter o valor de β na calculadora, faremos: 
 
...333,134 =÷ 
1tan
tan
−
 
 
No visor da máquina aparecerá 53,13, isto nos permite escrever que β ≅ 53,13º . 
(Cuidado! A máquina deve estar no modo “DEG”) 
 
� Como vimos, obtemos o valor de β em graus, com o auxílio da calculadora, 
usando qualquer uma das razões seno, co-seno ou tangente de β. 
 
 
Exemplo 3: Agora faremos um exemplo bem mais simples. Determinar usando a calculadora 
os valores de sen 40º, cos 40º e tg 40º. 
Resolução: 
a) Calculando sen 40º. 
Tecle 40 sen . Aparecerá no visor 0,64278, o que nos permite escrever que 
64,0º40 ≅sen . 
 
b) Calculando cos 40º. 
Tecle 40 cos . Aparecerá no visor 0,76604, o que nos permite escrever que 
77,0º40cos ≅ . 
 
c) Calculando tg 40º. 
Tecle 40 tg . Aparecerá no visor 0,83910, o que nos permite escrever que 
84,0º40 ≅tg . 
 
 
 
 
 
 
 
 
77
Exemplo 4: As razões trigonométricas são muito usadas na vida prática. A seguir, 
apresentaremos um exemplo bastante simples. 
 
Uma pessoa está distante 100m da base de um prédio e vê o ponto mais alto do prédio 
sob um ângulo de 20º em relação à horizontal conforme figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta-se: Qual é a altura do prédio? 
 
Como o prédio forma um ângulo de 90º com o solo, temos um triângulo retângulo, o que 
nos permite usar as relações trigonométricas seno, co-seno ou tangente. 
 
No triângulo retângulo formado na figura dada, a altura do prédio é o cateto oposto ao 
ângulo de 20º e a distância da pessoa ao prédio é o cateto adjacente. 
 
A razão trigonométrica que envolve os catetos é a tangente, assim teremos: 
 
metros 4,36prédio do altura
36397,0100prédio do altura
20º tgdistância prédio do altura
distância
prédio do altura
º20
adjacente cateto
oposto cateto
º20
≅
⋅=
⋅=
=
=
tg
tg
 
 
 
 
20º 
. 
100m 
usando a 
calculadora para 
calcular tg20º 
 
 
78
E X E R C Í C I O S 
 
15) Determinar ααcos,α tgesen nos triângulos abaixo: 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
16) Determinar a medida do ângulo β nos triângulos abaixo: 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
 
17) Calcular com o auxílio da calculadora o valor de: 
a) sen 70º 
b) cos 100º 
c) tg 210º 
 
18) Um avião levanta vôo no ponto B, conforme figura abaixo, fazendo um ângulo constante 
de 20º com o solo. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar por 
uma pessoa que se encontra a 1500m do ponto de partida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
4 
2 
α 
. 
20 
4 
2 
α 
. 
17 
4 
1 
α 
. 
6 
3 
β 
. 
10 
2 
β 
. 10 
3 
. 
β 
. 20º 
A B 
C 
1500m 
 
 
79
19) Queremos saber a largura l de um rio, sem atravessá-lo. Para isso, adotamos o seguinte 
processo: 
a) Marcamos dois pontos, A(uma estaca) e B(uma 
árvore), um em cada margem, de tal modo que o 
ângulo no ponto A seja reto. 
b) Marcamos um ponto C, distante 8m de A, onde 
fixamos o aparelho de medir ângulos (teodolito). 
c) Obtemos uma medida de 70º para o Ângulo 
BCA ˆ . 
 Nestas condições, qual a largura l do rio? 
 
 
 
20) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada 
numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 
depressão de 30º. Qual é a distância da torre até a 
praia? 
 
 
21) Do alto de uma torre de 50 m de altura, localizada 
numa ilha, avista-se a praia sob um ângulo de 45º em 
relação ao plano horizontal. Para transportar material 
da praia até a ilha, um barqueiro cobra R$0,10 por 
metro. Quanto ele recebe para cada transporte que 
faz? 
 
22) Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo 
coloca o teodolito a 100 m da base e obtém um ângulo de 
30º, conforme mostra a figura. Sabendo que a luneta do 
teodolito está a 1,70 m do solo, qual é, aproximadamente, 
a altura da torre? 
 
 
23) Na construção de um telhado, foram usadas telhas 
francesas e o “caimento” do telhado é de 20º em 
relação ao plano horizontal. Sabendo que, em cada 
lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que, 
até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a 
que altura se encontra o ponto mais alto do telhado 
dessa casa. 
 
 
 
RE S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S 
 
1ª Questão: Somente a letra a. 
 
2ª Questão: Somente a letra a. 
 
A 
. 
B 
l 8 
C 
70º 
45º 
50m 
x 
30º 
50m 
x 
30º 
100m 
20º 
6 6 
3 
 
 
80
3ª Questão: 
a) x = 10 c) x = 5 e) x = 15/14 
b) x = 3 d) x = 11 f) x = 10/7 
 
4ª Questão: 13. 
 
5ª Questão: 6.000 garrafas. 
 
6ª Questão: 15cm. 
 
7ª Questão: 20 latas. 
 
8ª Questão: 192 peças. 
 
9ª Questão: 32 horas. 
 
10ª Questão: 36 bolas. 
 
11ª Questão: 16 horas. 
 
12ª Questão: 10 adolescentes. 
 
13ª Questão: 25 viagens. 
 
14ª Questão: 12,5 horas ou 12 horas e 30 minutos. 
 
15ª questão: a) 
2α
4472,0αcos
8944,0α
=
=
=
tg
sen
 b) 
5,0α
08944αcos
4472,0α
=
==
tg
sen
 c) 
25,0α
9701,0αcos
2425,0α
=
=
=
tg
sen
 
16ª questão: 
a) β ≅ 26,6º b) β ≅ 71,6º c) β ≅ 50,8º 
 
17ª questão: 
a) 0,9397 b) -0,1736 c) 0,5774 
 
18ª questão: 545,95m de altura e 1596,26m de distância percorrida. 
 
19ª questão: aproximadamente 22m. 
 
20ª questão: a distância da torre à praia é de 86,6m. 
 
21ª questão: a cada viagem são cobrados R$ 5,00. 
 
22ª questão: a torre tem 59,44m. 
 
23ª questão: o ponto mais alto da casa fica a 5,05m de altura.