Apostila Matemática Básica

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MÓDULOS 
DE 
MATEMÁTICA 
BÁSICA 
 
 
 
Professora Simone Leal Schwertl
 2
 
 
 
 
 
 
 
MÓDULO I 
 
FRAÇÕES 
 3
MÓDULO I - FRAÇÕES 
 
 O módulo 1 envolve operações com números fracionários. Números fracionários são um 
subconjunto dos números Reais. 
 
 Antes de iniciarmos o nosso estudo sobre números fracionários é importante relembrarmos os 
subconjuntos dos números Reais. 
 
1 – CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (Ν) 
Ν = {0,1,2,3,4,5,....} 0 a ∞ ∞ símbolo que indica infinito 
Ν* = {1,2,3,4,5,....} Naturais Positivos * indica a exclusão do zero de um conjunto. 
 
2 – CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Ζ) 
Ζ = {-3,-2,-1,0,1,2,3,....} Inteiros 
Ζ+ = {0,1,2,3,4,5,....} Inteiros não Negativos 
Ζ*+ = {1,2,3,4,5,....} Inteiros Positivos 
Ζ
-
 = {...,-3,-2,-1,0} Inteiros não Positivos 
Ζ*
-
 = {...,-3,-2,-1} Inteiros Negativos 
 
3 – CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Todos os números que podem ser obtidos da divisão entre dois números inteiros 
Ex.: 10/4 = 2,5 (divisão exata) 10/3 = 3,333... (divisão periódica) 
Q = }0,;{ ≠∈ neZnmcom
n
m
 
Q
 + = Racionais não Negativos 
Q *+ = Racionais Positivos 
Q
 - 
 = Racionais não Positivos 
Q *
-
 = Racionais Negativos 
 
4 – CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (Ι) 
Possuem infinitas casas decimais após a vírgula e não formam um período. 
Ex.: √2=1,41421356... √10=3,1622776... π=3,14159.... (razão entre o comprimento e o diâmetro de uma 
circunferência) e =2,7182818284.... (conhecido como número de Euler-Leonhard Euler /1707-1783) 
 
 
5 – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS ® 
É a união do conjunto dos números racionais e irracionais. 
R
 + = Reais não Negativos 
R *+ = Reais Positivos 
R
 - 
 = Reais não Positivos 
R *
-
 = Reais Negativos 
 
 
 
 
R 
 
 
 
 Q Ζ Ν 
 
 
 Ι 
 4
A seguir, relembraremos operações envolvendo números fracionários: 
 
I. Transformação de Número Fracionário em Número Decimal 
 
 Basta dividir numerador pelo denominador. 
 
Exemplo: 
a) 2,05:1
5
1
== 
 
b) 67,6
3
20
= 
 
II. Transformação de Número Decimal em Número Fracionário 
 
Exemplo: 
a) 
5
2
10
4
10
044,0 2
2
ou
÷
÷
== 
 
b) 
10
233,2 −=− 
 
c) 
250
153
500
306
1000
612
1000
612
1000
0612612,0 2
2
ouou ===
÷
÷
 
 
d) 
10
1433,14 = 
 
 
Obs. 1: O número de zeros colocados no denominador é igual ao número de casas após a 
vírgula. 
 
Obs. 2: 150
100
1515 ,% == 
 
Obs. 3: Os exemplos que trazemos são de números decimais finitos. Existe uma técnica 
para as dízimas, que não será objeto de nosso estudo, e existem ainda os números 
irracionais que não podem ser escritos na forma fracionária. 
 
EXERCÍCIOS 
1. Transforme os números decimais abaixo em fração: 
 
a) 0,4 
b) –1,3 
c) 0,580 
d) 45,6 
e) 0,20 
f) 0,1000 
g) 7% 
h) 10%
 
 
 
 
 5
III. Adição e Subtração 
 
Só podemos somar ou subtrair frações que possuam o mesmo denominador. 
Exemplo: 
 
(a) 
5
4
5
3
5
1
=+ 
(b) 
7
2
7
3
7
5
=− 
 
Quando as frações não possuem o mesmo denominador devemos reduzi-las ao menor 
denominador comum (ou mínimo múltiplo comum) e, em seguida somar ou subtrair as frações 
equivalentes às frações dadas. 
 
Exemplo: 
 
15
17
15
12
15
5
5
4
3
1
=+=+ 
 
 
 
 
 
Obs. 1.: Frações equivalentes: quando dividimos ou multiplicamos o numerador e o 
denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, sempre obtemos uma 
fração equivalente à fração dada. 
 
Ex.: 
15
5
3
1
5
5
=
×
×
 e 
3
1
15
5
5
5
=
÷
÷
 
Logo 
3
1
 e 
15
5
são frações equivalentes. 
 
 
Como obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais denominadores? 
 
Relembraremos uma técnica chamada de “decomposição simultânea em fatores primos”. 
Esta técnica consiste em decompor simultaneamente cada denominador em fatores primos. 
O produto de todos os fatores primos que aparecem nessa decomposição será o mínimo múltiplo 
comum. 
 
Obs.: Número primo é um número que possui apenas 2 divisores (o número 1 e ele mesmo). 
 
 
Exemplo 1: 
 ?
6
5
2
1
10
3
=+− 
 
Como fazer ??? 
 Iniciamos a resolução fazendo a decomposição dos denominadores em fatores primos. 
 
 
 
Frações equivalentes 
às frações dadas, com o 
mesmo denominador 
15 é o menor denominador 
comum ou o mínimo múltiplo 
comum de 3 e 5. 
3
1
 
15
5
 
São frações 
equivalentes, pois 
representam a 
mesma parte de um 
inteiro. 
 6
Decomposição em fatores primos dos denominadores das frações: 
 
30532
5
3
2
111
511
531
10,6,2
=××
 
Agora reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do mmc 30: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30
19
30
256
30
25159
30
25
30
15
30
9
6
5
2
1
10
3
=
+−
=
+−
=+−=+−
44 344 21
rdenominado mesmo
 com dadas,frações 
àses equivalentfrações 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 ?
2
1
5
3
7
1
=−+ 
 
Como os denominadores são todos números primos, o m.m.c. será o produto destes. 
70257.. =××=cmm 
 
Reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do mmc 70: 
 
70
17
70
3552
70
354210
70
35
70
42
70
10
2
1
5
3
7
1
=
−
=
−+
=−+=−+ 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 ?
15
7
12
1
2
1
=+− 
 
 
 
é o m.m.c. de 2, 6 e 10. 
Comece com o menor 
divisor primo. OK! 
933
e 
=×
=÷ 31030
 
1515
15230
=×
=÷
1
e 
5
5630
255
e 
=×
=÷
 
Em cada uma das 
frações dividimos o 
m.m.c (30) pelo 
denominador e o 
resultado multiplicado 
pelo numerador. 
 7
Resolveremos também pela decomposição dos denominadores das frações em fatores primos. 
 
Decomposição dos denominadores em fatores primos: 
 
60
5
3
2
2
111
511
1531
1561
15,12,2
 
Como nos exercícios anteriores reescrevemos as frações utilizando frações equivalentes a partir do 
mmc 60: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60
53
60
2825
60
28530
60
28
60
5
60
30
15
7
12
1
2
1
=
+
=
+−
=+−=+− 
 
EXERCÍCIOS 
2. Calcule e dê a resposta na forma fracionária: 
a) =+
5
3
2
1
 
b) =−
5
1
3
7
 
c) =+−
5
3
4
1
3
2
 
d) =+ 1
5
2
 
e) =−1
2
1
 
f) =+−
4
3
6
5
 
g) =−−
8
3
12
1
 
h) =− 3
3
7
 
i) =+− 4,0
5
1
 
j) =−−
5
25,1 
k) =+−− 4,025,17,02 
l) =−−
4
77,02 
m) =+−−
2
1
5
4
4
32,1
3. Sabendo que 
6
5
−=x e 
4
3
=y , calcule: 
a)x + y = b) x – y = c) y – x = 
30130
30260
=×
=÷
e 
8
41560
274
e 
=×
=÷
 
515
51260
=×
=÷
e 
Como 15 não é divisível por 
2, ele será repetido até que 
não tenha mais números 
divisíveis por dois dentre os 
denominadores. E assim 
sempre deverá ser feito na 
seqüência da fatoração. 
 8
 
IV. Multiplicação 
 
 
Basta multiplicar numerador por numerador e denominador por denominador. 
 
Exemplo: 
 
a) 
12
5
43
51
4
5
3
1
=
×
×
=⋅ 
b) 
3
10
31
25
3
25 =
×
×
=⋅ 
 
 
Obs.: Você não deve tirar o M.M.C., ou seja, não é necessário que asfrações tenham 
denominadores iguais. 
 
EXERCÍCIOS 
4. Calcule os produtos e dê a resposta na forma fracionária: 
 
a) =⋅⋅−
15
16
26
5
8
13
 
b) =−−− )5,1).(7,0.(4,2 
c) =⋅−⋅





−
39
1)6,0(
8
13
.2 
d) =−−− 6).1,4).(3,0.(7,1 
e) =⋅





−⋅− 5,0
20
98,0 
f) =−⋅





−⋅ )4,0(
22
45
30
11
 
 
 
V. Divisão 
 
 
Mantenha a primeira fração e inverta a segunda passando a divisão para multiplicação. 
 
Exemplo: 
a) 
15
2
35
21
3
2
5
1
2
3
:
5
1
=
×
×
=⋅= 
 
b) 
35
1
75
11
7
1
5
1
1
7
:
5
1
ou7:
5
1
=
×
×
=⋅= 
 
c) 12
1
12
2
24
21
38
2
3
1
8
3
2
:
1
8
ou
3
2
:8 2
2
===
×
×
=⋅=
÷
÷
 
 
 
 
Lembre-se: 
1
88
1
77 == 
 9
 
EXERCÍCIOS 
5. Calcule as divisões: 
 
a) =
4
9
3
2
 
b) =
5
3
5
1
 
c) =
4
4
3
 
d) =−
7
21
 
e) =
3
2
5
 
f) =
− 21
2
 
g) =
− 9
3
2
 
h) =
34
8
 
i) =
−
−
5
310
 
6. Escreva o resultado das operações na forma fracionária: 
 
a) =
+
4
3
1
2
1
 
b) =
+ 13
1
2
 
c) =
−
4
15
1
 
d) =
−
+
5
31
23
4
 
e) =
−
3
2
17
 
f) =⋅





+
2
92
3
1
 
g) =





−⋅−
2
1
3
73 
h) =
−
−
23
2
3
1
2
1
 
i) =
⋅−
−
5
1
2
12
5
2
 
7. Escreva o resultado das operações em forma de fração: 
 
a) =+− 3,32,0 
b) =− 3,1580,0 
c) =− 1,0
3
4
 
d) =⋅ 7,0
3
2
 
e) =
20,0
5
4
 
f) =
5
1
05,0
 
g) =
⋅
%5
4
302,0
 
 
 10
 
8. Determine o valor de x, sendo: 
 
a) 





−−−=
2
5
3
5
4
3
x 
b) 





+−−





+−=
2
5
3
12
2
7
4
5
5
3
x 
c) ( ) 5,0432152
1
⋅+−−−
−
=x 
 
9. Coloque os números abaixo na ordem crescente: 
 
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).07,2;2000,0;125,0;4,2;33,1;2,1;55,0 −− 
b) .7,
100
450
;4;
7
15
;
5
3
;
3
2
;
2
1
−−
 
c) ( ) ( ) ( ) .2;
3
10
;
5
7
;1,2;2,7;4,0 −− 
 
 
RE S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S 
 
1ª Questão: 
a) 
5
2
 
c) 
50
29
 
e) 
5
1
 
g) 
100
7
 
b) 
10
13
− 
d) 
5
228
 
f) 
10
1
 
h) 
10
1
 
 
2ª Questão: 
a) 
10
11
 d) 
5
7
 g) 
24
11
−
 j) 
10
19
−
 
b) 
15
32
 e) 
2
1
− h) 
3
2
−
 k) 
20
9
 
c) 
60
61
 f) 
12
1
−
 i) 
5
1
 l) 
20
9
−
 
 m) 
20
3
 
 
3ª Questão: 
a) 
12
1
−
 
b) 
12
19
−
 
c) 
12
19
 
 
4ª Questão: 
a) 
3
1
−
 
c) 
20
1
 
e) 
50
9
 
b) 
100
252
−
 
d) 
1000
12546
−
 
f) 
10
3
 
 
 
 
 11
 
5ª Questão: 
a) 
27
8
 
c) 
16
3
 
e) 
2
15
 
g) 
27
2−
 
b) 
3
1
 
d) 
14
1−
 
f) 4− h) 6 
 i) 
3
2
 
 
6ª Questão: 
a) 2 c) 
5
1−
 
e) 
6
13
 
g) 
2
11−
 
b) 
2
3
 
d) 
3
25
 
f) 
2
21
 
h) 
8
1−
 
 i) 
19
4−
 
 
7ª Questão: 
a) 
10
31
 
c) 
30
37
 
e) 4 g) 
10
3
 
b) 
100
72
− 
d) 
15
7
 
f) 
4
1
 
 
 
8ª Questão: 
a) 
12
1
 
b) 
60
79−
 
c) 
21
40
 
 
9ª Questão: 
a) ).4,2();07,2();33,1();55,0();2,0();125,0();2,1( −− 
b) 
100
450;4;7
15;5
3;2
1;3
2;7 −− 
c) )2,7(;2;57);4,0();1,2(;310 −− 
 
 
 
12
 
 
MÓDULO II 
 
POTENCIAÇÃO 
E 
RADICIAÇÃO 
 
 
13
 
MÓDULO II – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
 
O módulo II é composto por exercícios envolvendo potenciação e radiciação. 
 Estamos dividindo-o em duas partes para melhor compreensão. 
 
1ª PARTE: POTENCIAÇÃO 
 
 
1. DEFINIÇÃO DE POTENCIAÇÃO 
 
 A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode 
ser indicado na forma 43 . Assim, o símbolo na , sendo a um número inteiro e n um número natural 
maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a: 
4434421
fatores n
n aaaaa .......= 
- a é a base; 
- n é o expoente; 
- o resultado é a potência. 
 
Por definição temos que: aaea == 10 1 
 
Exemplos: 
a) 2733333 =⋅⋅= 
b) ( ) 4222 2 =−⋅−=− 
c) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=− 
d) 
16
9
4
3
4
3
4
3 2
=⋅=





 
 
CUIDADO !! 
Cuidado com os sinais. 
� Número negativo elevado a expoente par fica positivo. Exemplos: 
( ) 1622222 4 =−⋅−⋅−⋅−=− 
( ) 9333 2 =−⋅−=− 
 
� Número negativo elevado a expoente ímpar permanece negativo. Exemplo: 
Ex. 1: ( ) 2222 3 −⋅−⋅−=−
43421
 
 =−⋅ 24 8− 
 
� Se 2x = , qual será o valor de “ 2x− ”? 
Observe: ( ) 42 2 −=− , pois o sinal negativo não está elevado ao quadrado. 
 
( ) 42x 22 −=−=− → os parênteses devem ser usados, porque o sinal negativo 
“-” não deve ser elevado ao quadrado, somente o número 2 que é o valor de x. 
 
 
 
14
( )
0;
..
≠=





=






=





−
bcom
b
a
b
a
baba
a
b
b
a
n
nn
nnn
nn
 
2. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO 
 
Quadro Resumo das Propriedades 
( )
n
n
m
n
m n
nmnm
nm
n
m
nmnm
a
a
aa
aa
a
a
a
aaa
1
.
=
=
=
=
=
−
⋅
−
+
 
 
 A seguir apresentamos alguns exemplos para ilustrar o uso das propriedades: 
 
a) nmnm aaa +=⋅ Nesta propriedade vemos que quando tivermos multiplicação de potencias 
de bases iguais temos que conservar a base e somar os expoentes. 
Ex. 1.: 22 222 +=⋅ xx 
Ex. 2.: 117474 aaaa ==⋅ + 
Ex. 3.: 42 34 ⋅ → neste caso devemos primeiramente resolver as potências para depois 
multiplicar os resultados, pois as bases 4 e 3 são diferentes. 
 1296811634 42 =⋅=⋅ 
 
Obs.: Devemos lembrar que esta propriedade é válida nos dois sentidos. 
Assim: nmnm aaa +=⋅ ou nmnm aaa ⋅=+ Exemplo: n7n7 aaa ⋅=+ 
 
 
b) nmn
m
a
a
a
−
=
 Nesta propriedade vemos que quando tivermos divisão de potencias de bases 
iguais temos que conservar a base e subtrair os expoentes. 
 
 
Ex. 1: x
x
−
=
4
4
3
3
3
 
Ex. 2: 1545
4
−−
== aa
a
a
 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
nm
n
m
a
a
a
−
=
 ou 
n
m
nm
a
a
a =−
 Exemplo: 
x
x
a
a
a
4
4
=
−
 
 
 
c) ( ) nmnm aa ⋅= Nesta propriedade temos uma potencia elevada a um outro expoente, para 
resolver temos que conservar a base e multiplicar os expoentes . 
d) 
Ex. 1: ( ) 62323 444 == ⋅ 
 
 
15
Ex. 2: ( ) xxx bbb ⋅⋅ == 444 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
 
( ) nmnm aa ⋅=
 ou ( )nmnm aa =⋅ Ex.: ( ) ( )444 333 xxx ou= 
 
d) mnm n aa = Esta propriedade nos mostra que todo radical pode se transformado numa 
potencia de expoente fracionário, onde o índice da raiz é o denominador do expoente. 
Ex. 1: 2
12 1 xxx == 
Ex. 2: 3
73 7 xx = 
Ex. 3: 52525 2
1
== 
Ex. 4: 3 83
8
xx = 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
m
n
m n aa =
 ou 
m nm
n
aa =
 Ex.: 52
5
aa = 
 
 
 
e) 0b com ,
b
a
b
a
n
nn
≠=





 
Ex. 1: 
9
4
3
2
3
2
2
22
==





 
Ex.2: 
25
1
5
1
5
1
2
22
==





 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
n
nn
b
a
b
a
=





 ou 
n
n
n
b
a
b
a






=
 Ex.: 
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
1
=





== 
 
 
 
 
f) ( ) nnn baba ⋅=⋅ 
Ex. 1: ( ) 222 axax ⋅=⋅ 
Ex. 2: ( ) 3333 6444 xxx =⋅= 
Ex. 3: ( ) ( ) 2242444214444 8133333 xxxxxx =⋅=⋅=




⋅=⋅= 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja 
( ) nnn baba ⋅=⋅
 ou ( )nnn baba ⋅=⋅ Ex.: ( ) yxyxyxyx ⋅=⋅=⋅=⋅ 212121 
 
 
 
 
 
 
16
 
g) nn a
1
a =−
 
Ex. 1: 33
33
3 111
aaa
a ==





=
−
 
Ex. 2: 
4
9
2
3
2
3
3
2
2
222
==





=





−
 
Ex. 3: ( )
4
1
4
14
1
1
−=





−=−
−
 
 
Obs.:Esta propriedade também é válida nos dois sentidos, ou seja nn a
1
a =−
 ou 
n
n
a
a
−
=
1
 
Ex.: a) 22
1
−
= x
x
 
 b) 333 3
21
3
2
3
2
−
⋅=⋅= x
xx
 
 
 
CUIDADO !!! 
� ( ) ( )( ) 8
1
2
1
2
12 3
33
3 −
=
−
=





−=−
−
 
 
 
� ( )
27
1
3
1
3
13 3
33
3
==





=
−
 
 
� 
3
3
333
a
1
a
1
a
a
1
==





=





−
 
 
Obs.: É importante colocar que nos três exemplos acima o sinal negativo do expoente não 
interferiu no sinal do resultado final, pois esta não é a sua função. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule as potências: 
a) 26 
b) (-6)2 
c) -62 
d) (-2)3 
e) -23 
f) 50 
g) (-8)0 
h) 4
2
3






 
i) 4
2
3






−
 
j) 3
2
3






−
 
k) 028 
l) 132 
m) (-1)20 
n) (-1)17 
o) 2
5
3






−
O sinal negativo no expoente 
indica que a base da 
potência deve ser invertida e 
simultaneamente devemos 
eliminar o sinal negativo do 
expoente. 
Primeiro eliminamos o sinal 
negativo do expoente 
invertendo a base. 
 
 
17
 
 
2. O valor de [47.410.4]2 : (45)7 é: 
a) 16 
b) 8 
c) 6 
d) 4 
e) 2 
 
3. Qual é a forma mais simples de escrever: 
a) (a . b)3 . b . (b . c)2 
b) 
7
4523
....
y
xxyyx
 
 
4. Sendo 7.3.2 87=a e 65 3.2=b , o quociente de a por b é: 
a) 252 
b) 36 
c) 126 
d) 48 
e) 42
 
5. Calcule o valor da expressão: 
212
4
1
2
1
3
2 −−−






−+





−





=A 
 
6. Simplificando a expressão 
2
3
3
1
.3
4
1
2
1
.3
2
2
−





−
+





−
, obtemos o número: 
a) 76− 
b) 67− 
c) 76 
d) 67 
e) 75−
 
7. Quando 3be
3
1
a −=−= , qual o valor numérico da expressão 22 baba +− ? 
8. Escreva a forma decimal de representar as seguintes potências: 
 
a) 2-3 = 
b) 10-2 = 
c) 4-1 = 
 
 
 
Exemplos mais complexos: 
(1) ( ) 33232 32
1
3
2
13
yx4
1
x
1
xy4
1
1
x
xy4
1
x
xy4
1
x
xy4
=⋅==








=
−
 
 
 
 
18
(2) ( ) ( ) 622.32232
22
3
23
y.x
1
y.x
1
y.x
1
xy
1y.x ===






=
−
 
 
(3) ( ) ( ) 9123.33.43
33343343
34 b.a1
b.a
1
b.a
1
b.a
b.a
1
===







=





−
 
 
(4) ( )
( )
( ) ( )
682324
22
34
positivo. fica
par, expoente
 a elevado
negativo nº
682.32.42324
2
2
34
234
111
.
1
.
1
.
1
.
1
.
yayaya
ou
yayaya
ya
ya
==





 →
==
−
=





−=−
⋅⋅
−
 
 
(5) ( ) ( ) ( ) 242222
2
22
22
2
22
a.y.64
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8
1
a.y.8 ===






=
−
 
 
Nos exemplos (6) e (7) a seguir, devemos primeiro resolver a operação que aparece dentro dos 
parênteses. 
 
(6) 
3
4
12
−






+ 
729
64
9
4
9
4
4
9
4
18
4
12 3
33333
==





=





=




 +
=





+
−−−
 
 
(7) ( ) ( ) ( ) =+++=+⋅+=+=




 +
=





+
4
1c2c2c4
4
1c21c2
2
1c2
2
1c2
2
1
c
2
2
222
4
1c4c4 2 ++
 
ou 
=⋅+⋅+⋅+=





+⋅





+=





+
2
1
2
1
c
2
1
2
1
cc
2
1
c
2
1
c
2
1
c 2
2
 
4
1c4c4
4
1
cc
4
1
2
c2
c
4
1
2
c
2
c
c
2
222 ++
=++=++=+++= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19
 
 
 
EXERCÍCIOS 
9. Efetue: 
a) =46.aa 
b) =3
8
a
a
 
c) =






⋅







322
3
22
b
ca
c
ab
 
d) 
=
















3
22
2
2
33
2
2
3
3
ba
xy
ba
yx
 
e) ( ) =43x 
 
f) =53)(x 
g) =32)2( x 
h) ( ) =3325 ba 
i) =





4
2
3
b
a
 
j) =






−2
4
3
5
2
x
ab
 
k) =





−
−4
23
1
a
10. Sabendo que 
2
5
42
−






+−=a , determine o valor de a. 
 
 
 
 
 
Atenção neste exemplo. Simplifique as expressões: 
=
⋅
⋅
+1n33
n
28
42
 Como temos multiplicação e divisão de potências de bases diferentes, devemos reduzir 
todas a mesma base. Como a menor base é 2, tentaremos escrever todos os números 
que aparecem na base 2. Substituiremos 4 por 22 e 283 por . 
 
=
⋅
⋅
+1n3
2n
22
22
 Agora aplicaremos as propriedades de multiplicação e divisão de potências de mesma 
base. 
 
( )
====
−−++−+
+
+
++
+
2n32n2n32n
2n3
2n
1n31
2n
22
2
2
2
2 n22−
 ou 
n22
1
 
 
Exercícios 
 
11. Simplifique as expressões: 
a) 1n
n2n
33
33E
+
+
⋅
⋅
= b) 
( )
( )1n
1nn
4
24E
+
−
⋅
= c) 1n
2n
5
10025G
+
+
⋅
=
 
 
 
 
 
 
 
 
20
Essa propriedade mostra que 
todo radical pode ser escrito 
na forma de uma potência. 
2ª PARTE: RADICIAÇÃO 
 
 
1. DEFINIÇÃO DE RADICIAÇÃO 
 
 A radiciação é a operação inversa da potenciação. De modo geral podemos escrever: 
( )1nenabba nn ≥Ν∈=⇔= 
 
Ex. 1: 4224 2 == pois 
Ex. 2: 8228 33 == pois 
 
 Na raiz n a , temos: 
- O número n é chamado índice; 
- O número a é chamado radicando. 
 
 
 
 
 
 
 
2.CÁLCULO DA RAIZ POR DECOMPOSIÇÃO 
 
2.1 PROPRIEDADES DOS RADICAIS 
 
a) n
p
n p aa ⇔
 
 
Ex. 1: 3
13 22 = 
Ex. 2: 2
33 44 = 
Ex. 3: 5
25 2 66 = 
 
Obs.: é importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou 
seja n pn
p
aa = (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical). 
Exemplo : 5 35
3
22 = . 
 
 
b) aaaa 1nnn n === Ex.: 2222 1333 3 === 
 
 
c) nnn baba ⋅=⋅ Ex.: 236333 63 33 63 babababa ⋅=⋅=⋅=⋅ 
 
d) 
n
n
n
b
a
b
a
=
 Ex.: 
5
3
2
5
3
2
5
2
6
5
6
5
6
b
a
ou
b
a
b
a
b
a
b
a
=== 
 
 
 
21
e) ( ) nmmnmnmnmn bbbbb ===





=
⋅⋅
1
111
 
Ex.: ( ) 2313213213213 55555 ===





=
⋅⋅
 
 
f) nmn m aa ⋅=Ex.: 6233 2 333 == ⋅ 
 
 
EXERCÍCIOS 
12. Dê o valor das expressões e apresente o resultado na forma fracionária: 
 
a) =
100
1
 
b) =−
16
1
 
c) =
9
4
 
d) =− 01,0 
e) =81,0 
f) =25,2
13. Calcule a raiz indicada: 
 
a) 9 3a 
b) 3 48 
 
c) 7t 
d) 4 12t
14. Escreva na forma de potência com expoente fracionário: 
 
a) =7 
b) =4 32 
c) =5 23 
d) =6 5a 
e) =3 2x 
f) =
3
1
 
 
15. Escreva na forma de radical: 
a) =5
1
2 
b) =3
2
4 
c) =4
1
x 
d) =− 2
1
8 
e) =7
5
a 
f) ( ) =413ba 
g) ( ) =− 512nm 
h) =− 4
3
m
 
16. De que forma escrevemos o número racional 0,001, usando expoente inteiro negativo? 
 
a) 110− b) 210− 
c) 310− d) 410− 
e) 101− 
 
 
 
22
2.2 RAÍZES NUMÉRICAS 
 
Exemplos: 
 
a) =⋅= 24 32144 
123432
32
32
12
2
2
2
4
24
=⋅=⋅
=⋅
=⋅
 
 
 
 
 
 
 
 
b) =⋅== 3 233 53 333243 
=⋅
3 23 3 33 
3
2
3
3
33 ⋅ 
3
2
33 ⋅
 
ou 
3 233 ⋅
 
ou 
3 93 ⋅
 
 
 
Obs.: Nem sempre chegaremos a eliminar o radical. 
 
2.3 RA Í ZE S L I T E R A I S 
 
a) 2
9
9 xx = 
 
Escrever o radical 9x na forma de expoente fracionário 2
9
x não resolve o problema, pois 
nove não é divisível por 2. Assim decomporemos o número 9 da seguinte forma: 
9 = 8 + 1, pois 8 é divisível por 2 que é o índice da raiz. 
Assim teremos: 
xxxxxxxxxx 42
8818189
⋅=⋅=⋅=⋅==
+
 
 
b) 3 2123 14 xx += pois 12 é divisível por 3 (índice da raiz). 
Resultados 
possíveis 
Devemos fatorar 144 
14432
3
3
2
2
2
2
1
3
9
18
36
72
144
24
=⋅
 
Forma fatorada 
de 144 
2433
3
3
3
3
3
1
3
9
27
81
243
5
=
 
Forma fatorada 
de 243 
 
 
23
 
3 24
3 23
12
3 23 12
3 212
xx
xx
xx
xx
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
 
 
 
 
Outros Exemplos: 
 
a) 3 633 6 x27x.27 ⋅= 
2
21
23
3
3
63 3
x3
x3
x3
3)por divisível é 6 (poisx3
=
⋅=
⋅=
⋅=
 
 
b) 3 63 433 64 yx48yx48 ⋅⋅=⋅⋅ 
32
332
233
233 33
23 333 3
3
6
3por 
divisível
é não
4 pois
3 133 3
x6xy2
x6xy2
yxx62
yxx62
yxx62
yx6.2
⋅=
⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅=
+
321
 
 
EXERCÍCIOS 
17. Calcule: 
 
a) =3 125 
b) =5 243 
c) =36 
d) =5 1 
e) =6 0 
f) =1 7 
g) =−3 125 
h) =−5 32 
i) =−7 1
 
 
 
 
 
 
 
 
273
3
3
3
1
3
9
27
3
=
 
486.23.2.2
3
2
2
2
2
1
3
6
12
24
48
33
== 
 
 
 
24
18. Fatore e escreva na forma de potência com expoente fracionário: 
 
a) =3 32 
b) =3 25 
c) =4 27 
 
d) =7 81 
e) =8 512 
 
f) =8 625
 
19. Calcule a raiz indicada: 
 
a) =24a 
b) =6236 ba 
c) =42
9
4 ba 
d) =
100
2x
 
e) =
25
16 10a
 
f) =4 2100x 
g) =8 121 
h) =5 1051024 yx 
i) =4
25
1
 
j) =3 3
6
b
a
 
k) =62
416
zy
x
 
 
20. Simplifique os radicais: 
 
a) =5 10xa 
b) =cba 24 
c) =ba3 
d) =xa425 
e) =3 432 
f) =45
3
1
 
3. O P E R A Ç Õ E S C O M R A D I C A I S 
 
3.1. Adição e Subtração 
 
 Quando temos radicais semelhantes em uma adição algébrica, podemos reduzi-los a um 
único radical somando-se os fatores externos desses radicais. 
Exemplos: 
1) ( ) 331324132343 ==⋅−+=−+ 
2) ( ) 55555 333232323332 =⋅−+=−+
43421
externos
fatores
 
Obs.: Podemos dizer que estamos colocando em evidência os radicais que apareceram em todos 
os termos da soma. 
 
3) ( ) ( ) 43421
reduzidamaisserpodenão
532256322456532224 −=−+−=−+− 
4) ( ) ( ) 32247253425723 +−=−+⋅−=−−+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25
EXERCÍCIOS 
21. Simplifique 1081061012 −− : 
 
22. Determine as somas algébricas: 
a) =−− 333 2
4
5222
3
7
 
b) =−−+
3
5
5
5
2
5
6
5
 
 
c) =+−+− 3333 382423825 
d) =−−+ 4545 610712678
23. Simplifique as expressões e calcule as somas algébricas: 
a) =+−− 452632203285 
b) =−−+− 729501518138528 
c) =−+− 201010864812456 
d) =−− 10
4
1250
4
190
2
3
 
e) =+−+ 4444 24396248696 
f) =+−+− 33333 4
5
82216256
5
2325 
g) =−− 555 248664 
h) =−+ 333
125
2410
729
37581
64
814
 
24. Calcule as somas algébricas: 
a) =−++− xxxx 6410 
b) =+−− baba 144896814 
c) =−− 333 1000827 aa 
d) =+−− 4 944 5 3122 aaaaa 
e) =−+− aaaxaxa 434 32 
f) =−−− baba 835 44 
g) 
=−+− x
xy
x
yx 81
10094
2
 
h) =−− 4
4 544 4
1682
c
a
cbca
 
25. Considere mcmbma 368,1002,9 −=== e determine: 
 
a) a + b + c = b) a –( b + c )= c) a – b + c= d) ( a + b ) – c= 
 
26. Simplifique a expressão 





−−−
10 1056 34 42
2
1 yaayya . 
 
 
3.2 Multiplicação 
 
 Temos 4 casos básicos para a multiplicação de radicais, a seguir veremos cada um: 
 
1º CASO: Radicais têm raízes exatas. 
Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar os resultados: 
Exemplo: ( ) 824816 3 −=−⋅=−⋅ 
 
2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. 
Devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos, simplificando sempre que possível o 
resultado obtido. 
Exemplos: a) 155353 =⋅=⋅ 
 
b) 3 423 43 23 yxyxyxyx ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ = 3 53 yx ⋅ pode parar aqui! 
 
Se quisermos continuar, podemos separar os radicais diante de multiplicação e divisão: 
 
 
26
 
3 23 23 33 233 233 53 33 53 yyxyyxyyxyxyxyx ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=⋅ + 
 
 
 
 
 c) 10652652325322 =⋅=⋅⋅⋅=⋅ 
 
3º CASO: Radicais têm índices diferentes. 
 
 O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias. Logo em seguida, 
transformar os expoentes fracionários em frações equivalentes (com mesmo denominador). 
 
 
 
 
Exemplos: a) 44 24 14 24
1
4
2
4
1
2
2
2
1
4
1
2
1
4 18232323232323 =⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅
⋅
 
 b) 12 3412 312 412
3
12
4
3
3
4
1
4
4
3
1
4
1
3
1
43 xaxaxaxaxaxa ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅ ⋅
⋅
⋅
⋅
 
 
 
 
ATENÇÃO: 
- 2222 =+ , ou seja, raiz de 2 mais raiz de dois é igual a duas raízes de dois. 
 
- 222 =⋅ por que? ( ) ( )2222 2 ==⋅ 
 ou ainda podemos lembrar que toda raiz pode ser escrita na forma de potência, então: 
 222222222 12
2
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1
==== →⋅=⋅
+
+opotenciaçã
de regra
 
 
3.3 Divisão 
 
 A divisão de radicais tem 3 casos básicos, a seguir veremos cada um deles: 
 
1º CASO: Os radicais têm raízes exatas. 
 
Nesse caso, extraímos as raízes e dividimos os resultados. 
Exemplo: 33:927:81 3 == 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conservamos a base e 
somamos os expoentes. 
A ordem dos fatores não altera 
o produto (multiplicação) 
Multiplicamos numerador e denominador da fração 
por 2 e transformamos na fração equivalente
4
2
 
 
 
27
2º CASO: Radicais têm o mesmo índice. 
 
Devemos conservar o índice e dividir os radicandos. 
 
 
 
Exemplos: 
y
x
xy
x
xy
x
xy:x
233
3
=== 
 
33
3
3
33 2
10
20
10
2010:20 === 
 
3º CASO: Radicais com índices diferentes. 
O caminho mais fácil é transformar os radicais em potências fracionárias, efetuar as operações de 
potências de mesma base e voltar para a forma de radical . 
Exemplo: 66
1
6
23
3
1
2
1
3
1
2
1
3
3 2222
2
2
2
22:2 ======
−
−
 
 
 
4. RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES 
 
 Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma 
fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os 
termos da fraçãopor um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração 
significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos: 
 
1) Temos no denominador apenas raiz quadrada: 
( ) 3
34
3
34
3
3
3
4
3
4
2 ==⋅= 
 
 
2) Temos no denominador raízes com índices maiores que 2: 
 
(a) 
3 x
2
 Temos que multiplicar numerador e denominador por 3 2x , pois 1 + 2 = 3. 
 
x
x2
x
x2
x
x2
xx
x2
x
x
x
2 3 2
3 3
3 2
3 21
3 2
3 21
3 2
3 2
3 2
3
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
⋅
=⋅
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os índices das raízes são 
iguais, podemos substituir as duas 
raízes por uma só! 
 
 
28
(b) 
5 2x
1
 Temos que multiplicar numerador e denominador por 5 3x , pois 2 + 3 = 5. 
x
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
1 5 3
5 5
5 3
5 32
5 3
5 32
5 3
5 3
5 3
5 2
===
⋅
=⋅
+
 
 
 
 
 
 
3) Temos no denominador soma ou subtração de radicais: 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
37
4
372
37
372
37
372
37
37
37
2
37
2
22
+
=
/
+/
=
−
+
=
−
+
=
+
+
⋅
−
=
−
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
27. Calcule 
a) =−+ 737576 
b) =−+ 18250325 
c) =++ 333 3524812 
d) =⋅ 2354 
e) =⋅ 55 223 
f) =⋅ 3234 
g) =
52
108
 
h) =−−
2
4.1.455 2
 
i) =−+
2
5.1.466 2
 
 
28. Simplifique os radicais e efetue: 
 
a) =+− 33 8822 xxxx 
b) =+−− 3333 19224323434 
c) =−++ 32 5334 xxxxyxy 
 
29. Efetue: 
a) =+−− 32 9423 xxaxxxa 
b) =−−+ aaaaa 335 445 
c) =+++−+ 3216450253842 xxx 
d) =−−+− 32 373 aaaabab 
 
 
 
 
 
 
O sinal deve ser contrário, senão a raiz 
não será eliminada do denominador. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2327237337273737 −=−⋅+⋅−=+⋅− 
 
 
29
 
30. Escreva na forma mais simplificada: 
 
a) =xx. 
b) =+ xx3 
c) =− aa 7 
d) =
x
x3
 
e) =2
3
x
x
 
f) =−− 43.xx 
g) =7.xx 
h) =⋅ 3 43 aa 
i) =⋅ aa4 
j) ( ) =⋅ 23 aa 
k) =⋅ 425 b
 
31. Efetue as multiplicações e divisões: 
 
a) =4 223 5 .. baaba 
b) =223 2 4.4 xaxa 
c) =xx .10 3 
d) =yxyxxy 33 22 .. 
e) =⋅⋅ 43 aaa 
f) =
3
3 5
a
a
 
32. Efetue: 
 
a) =
8 3
4 2
a
a
 
b) =
4 5
6 23
ba
ba
 
c) =
3
4 32
xy
yx
 
d) =⋅4
6
9
272
 
e) =⋅⋅ 43
3
153 bbb 
f) =4
6
25.5
125.3
 
33. Quando 
3
2
−=x , o valor numérico da expressão 23 2 −− xx é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) –1 
d) 
3
1
 
e) 
3
2
−
34. Se 63=x e 39=y : 
 
a) x é o dobro de y; 
b) 1=− yx 
c) yx = 
d) y é o triplo de x; 
e) 1=+ yx
 
35. Racionalize as frações: 
a) 
x
1
 
b) 
4x
2
+
 
c) 
x1
3
−
 
d) 3 x
4
 
 
30
 
RE S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S 
 
1ª Questão: 
a) 36 h) 
16
81
 
o) 
25
9
 
b) 36 i) 
16
81
 
 
c) –36 j) 
8
27-
 
 
d) –8 k) 0 
e) –8 l) 1 
f) 1 m) 1 
g) 1 n) -1 
 
2ª Questão: 
 d) 
 
3ª Questão: 
a) 263 cba b) 8x 
 
4ª Questão: 
 a) 
 
5ª Questão: 
 
4
65
 A = 
 
6ª Questão: 
 a) 
 
7ª Questão: 
 
 
9
73
 
 
8ª Questão: 
a) 0,125 b) 0,01 c) 0,25 
 
9ª Questão: 
a) 10a d) 
43y
8x
 
g) 68x j) 
62
8
b4a
25x
 
b) 5a e) 481x h) 96ba 125 k) 8a 81 
 
c) 
3
8
c
ba 4
 
f) 15x i) 
8
4
b
a 81
 
 
 
10ª Questão: 
 
36
25
 a = 
 
 
31
 
11ª Questão: 
a) E = 3n b) F = 2n –3 c) G = 5 n + 4 . 2 
12ª Questão: 
a) 
10
1
 
c) 
3
2
 
e) 
10
9
 
b) 
4
1
− 
d) 
10
1-
 
f) 
10
15
 
 
13ª Questão: 
a) 3 a b) 3 62 ⋅ c) tt3 ⋅ d) 3t 
 
14ª Questão: 
a) 
2
1
7 
c) 
5
2
3 
e) 
3
2
x 
b) 
4
3
2 
d) 
6
5
a 
f) 
2
1
3
−
 
 
15ª Questão: 
a) 5 2
 
c) 4 x
 
e) 7 5a
 
g) 
5 2
1
nm
 
b) 3 24
 
d) 
8
1
 f) 4 3ba
 
h) 
4 3m
1
 
 
16ª Questão: 
 c) 
 
17ª Questão: 
a) 5 c) 6 e) 0 g) -5 
b) 3 d) 1 f) 7 h) –2 
 i) -1 
 
18ª Questão: 
 a) 
3
5
2 
c) 
4
3
3 
e) 
8
9
2 
b) 
3
2
5 
d) 
7
4
3 
f) 
2
1
5 
 
 
 
19ª Questão: 
a) 2a d) 
10
x
 
g) 4 11 j) 
b
a 2
 
b) 36ab e) 
5
4a 5
 
h) 24xy k) 
3
2
yz
4x
 
c) 2ab 
3
2
⋅ 
f) x10
 
i) 
5
1
 
 
 
 
 
 
32
20ª Questão: 
a) 52 xa c) aba ⋅ e) 3 26 ⋅
 
b) cba 2 d) xa 25 f) 5 
 
21ª Questão: 
 102− 
 
22ª Questão: 
a) 3 2
12
11
⋅− 
b) 5
15
2
 
c) 223 +
 
d) 45 6974 −−
 
 
23ª Questão: 
a) 74 c) 52312 −− e) 44 32763 ⋅+⋅ g) 5 22 ⋅−
 
b) 292− d) 103 f) 3 410 ⋅ h) 3 344 ⋅
 
 
24ª Questão: 
a) x− c) 3123 a⋅−
 
e) aaxa −− g) xyx .
10
89
.
6
− 
b) ba 8716 +− d) 42 )12( aaa ⋅−
 
f) ba 132 4 −⋅− h) 4 c
8
bc
⋅
−
 
 
25ª Questão: 
a) m25− b) m31 c) m65− d) m71
 
 
26ª Questão: 
 
a
2
y
− 
 
27ª Questão: 
a) 78
 
c) 3 313 ⋅ e) 5 43 ⋅
 
g) 24 
b) 214
 
d) 1012 f) 24 h) 1 
 i) 5 
 
28ª Questão: 
a) xx 22 b) 28 c) xxy )27( − 
 
29ª Questão: 
a) xxa )( + b) aaa )123( 2 −+ c) 25 +x d) )(4 aba −
 
 
30ª Questão: 
a) x d) 
6
1
x
 
g) 
2
15
x 
j) 
2
7
a 
b) x4
 
e) x h) 
3
 5
a 
k) 5b4 
c) a6−
 
f) x -7 i) 
 
4
3
a 
 
 
 
 
 
33
 
 
31ª Questão: 
a) 
ba 3
8
⋅
 
c) 
5
4
x 
e) 12 aa ⋅
 
b) 3 242 xaax ⋅
 
d) 3 222 yxyx ⋅ f) 6 a
 
 
32ª Questão: 
a) 
8
1
a 
c) 
12
5
6
1
y x ⋅ 
e) 12 bb5
 
b) 
12
1
4
3
ba ⋅
−
 
d) 2 f) 
5
3
 
 
33ª Questão: 
 a) 
 
34ª Questão: 
 c) 
 
35ª Questão: 
a) 
x
x
 
b) 
4x
42x2
−
−
 
c) 
x1
x33
−
+
 
d) 
x
x4 3 2⋅
 
 
 
 
34
 
MÓDULO III 
 
POLINÔMIOS, 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
E 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
 
35
MÓDULO III – POLINÔMIOS, PRODUTOS NOTÁVEIS E FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
O Módulo III é composto por uma coletânea de exercícios que tem como objetivo ajudá-lo a 
relembrar itens como: 
- “Colocar em evidência”; 
- “Produtos Notáveis”; 
- “Mínimo Múltiplo Comum”, onde os denominadores são variáveis e não números. 
 
I. POLINÔMIOS 
 
1) DEFINIÇÃO: Polinômios são qualquer adição algébrica de monômios. 
 
MONÔMIOS: toda expressão algébrica inteira representada por um número ou apenas por 
uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis. 
 
Exemplos: 
a) m5 
b) 2p 
c) xy2 
d) my 
 
Geralmente o monômio é formado por uma parte numérica chamada de coeficiente 
numérico e por uma parte literal formada por uma variável ou por uma multiplicação de variáveis. 
 
Exemplo: 
{
22 mx2mx2 = 
 
 
 
 
 
 Os monômios que formam os polinômios são chamados de termos dos polinômios. 
 
Obs. 1: O monômio ay4 é um polinômio de um termo só. 
 
Obs. 2: y4x2 + é um polinômio de 2 termos: x2 e y4 . 
 
Obs. 3: 4abx2 +− é um polinômio de 3 termos: x2 , ab− e 4. 
 
2) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 
 
2.1. Adição Algébrica de Polinômios 
 
 Para somarmos 2 ou mais polinômios, somamos apenas os termos semelhantes. 
 
Exemplo: 
 
a) Obter o perímetro do triângulo abaixo: 
 
Coeficiente 
Numérico 
Parte Literal 
 
 
36
 Como perímetro é a soma dos lados,teremos: 
 ( ) ( ) ( ) =+−+++ 3x4x3x1x 22 
 
 termos semelhantes 
=+−+++ 3x4x3x1x 22 
 termos semelhantes 
 
 { =++−++ 31x4xx3x
22
43421321 
 
4x3x4 2 +−
 o resultado é um polinômio. 
 
 
b) ( ) ( ) ( ) =+++−−− xy2xyx34xy4x 22 
 
xy2xyx34xy4x 22 +−−−−− 
 
=+−−−−− xy2xyx34xy4x 22 
 
=−−+−−− 32144 344 2143421 24xyxyxy4x3x
22
 
6xy4x2 2 −−−
 
 
E X E R C Í C I O S 
1) Reduza os termos semelhantes: 
a) =−−− 2222 46104 aaaa 
b) =+−−
532
aaa
 
 
2) Escreva os polinômios na forma fatorada: 
a) =+− 234 654 xxx 
b) =+− 3322 1248 baabba 
c) =+ 43223 315 xbaxba 
d) =+++ acabcb 55 
e) =+++++ cnbnancmbmam 
f) =++ 22 2 yxyx 
g) =++ 962 aa 
h) =+− 36122 mm 
i) =− 22 164 yx 
j) =−122nm 
k) ( ) ( ) ( )=+−−+−−++ yxyxyxyxxyyxyx 2222222222 65235 
l) =





−+−+





−+−





++− cbabaccab
6
1
6
1
8
1
2
1
3
1
4
5
 
m) ( ) ( ) ( )=−−−++−+−− 3,05,11,38,17,04,12,35,2 222 xxxxxx 
 
 
 
 
2x 1+x 
343 2 +− xx 
Primeiro eliminaremos os 
parênteses tomando cuidado 
quando houver sinal negativo 
fora dos parênteses. 
 
 
37
2.2. Multiplicação Algébrica de Polinômios 
 
 A multiplicação de um polinômio por outro polinômio deve ser feita multiplicando-se cada 
termo de um deles pelos termos do outro (propriedade distributiva) e reduzindo-se os termos 
semelhantes. 
 
Exemplo: 
 
a) ( ) ( )xxy2x 2 −⋅+ xy2xy2xxxx 22 ⋅−⋅+⋅−⋅= 
 
yx2yx2xx 223 −+−=
 e fica assim. 
 
 
 
b) ( ) ( )b2a3ba2 −⋅+ b2ba3bb2a2a3a2 ⋅−⋅+⋅−⋅= 
 
bb2ab3ba22aa32 ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= 
22 2346 bababa
ssemelhantetermos
−+−=
44 344 21 
 
22 b2aba6 −−=
 
 
 
 
 
c) ( ) ( ) =+−⋅− 2p3p1p2 2 
 
 
 
=−++−−
=−+−+−
=⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅
2p3p4pp6p2
2p3pp4p6p2
21p31p12p2p3p2pp2
223
223
22
32143421
876
 
2p7p7p2 23 −+−
 
 
 
d) ( ) ( ) =−⋅− yy3xy4xxy 22 
 
 
=+⋅⋅⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅⋅
=⋅+⋅−⋅−⋅
222222
2222
yx4yyxx34xyyyxx3
yyx4yx3yx4yxyyx3xy
 
Conserve a base e 
some os expoentes. 
 
 
38
2224223 yx4yx12xyyx3 +−−
 não há termos semelhantes 
 
Obs.: No item fatoração de polinômios veremos outras formas de apresentar esta resposta. 
 
 
2.3. Divisão Algébrica de Polinômio 
 
Divisão de um polinômio por um monômio 
 
 A divisão de um polinômio por um monômio deve ser feita dividindo-se cada termo do 
polinômio pelo monômio. 
 
Exemplo: 
a) ( ) =÷+− 3234 x5x15x20x10 
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x20
x5
x10
x5
x15x20x10
+−=
+−
= 
x
34x2
x
1314x2
x314x2
x3x4x2
x
5
15
x
5
20
x
5
10
1
1
101
323334
+−=
⋅+⋅−=
+⋅−=
+−=
⋅+⋅−⋅=
−
−
−−−
 
 
ou 
 
 
3
2
3
3
3
4
3
234
x5
x15
x5
x02
x5
x10
x5
x15x20x10
+−=
+−
 
x
34x2
xx
x314
x
xx2
x
x3
x
x4
x
x2
2
2
3
3
3
2
3
3
3
4
+−=
⋅
⋅
+⋅−
⋅
=
+−=
/
/
/
/
/
/
 
 
b) ( ) =÷− 224334 yx7yx7yx28 
 
 
 
 
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28
−=
−
= 
Como 22yx7 é mínimo múltiplo da 
fração, podemos separar em duas frações. 
 
 
39
22
212
24232324
xyyx4
yx1yx4
yx1yx4
−=
⋅⋅−=
⋅⋅−⋅⋅=
−−−−
 
 
ou 
 
22
43
22
34
22
4334
yx7
yx7
yx7
yx82
yx7
yx7yx28
−=
−
 
22
22
22
222
22
122
xyyx4
xy1yx4
yx.1
yyxx1
yx
yyxx4
−=
=−=
/⋅/
⋅/⋅⋅/⋅
−
/⋅/
⋅/⋅/⋅
= //
//
//
//2
 
 
Obs.: Na parte de fatoração de polinômios, veremos outras formas de apresentar esta resposta. 
 
 
EXERCÍCIOS 
3) Calcule: 
 
a) =+− )4)(3(5 xxx 
b) =−+ ))(2(3 babaab 
c) =+−− )1)(1)(1( 2 aaa 
d) ( )( ) =−2
24
7
2135
a
aa
 
e) ( ) =−
−
xy
xyyx )( 33
 
f) ( )( ) =− −− 2
357
6
722442
y
yyy
 
g) ( )( ) =−+ abc abccabbca 5 502510
222
 
h) =






+−
ab
abbaba
2
7
4
5
2
2
1 2222
 
i) =+
2
3a2
 
j) 
a
1a5 2 +
 
4) Escreva os seguintes polinômios na forma mais reduzida: 
 
a) ( )( ) =−−+ 222 2axxaax 
b) ( )( ) ( ) =+−−+− yxayxayx 2 
c) ( )( ) ( )( ) =−−−−−−+ cbcbabacba 
d) ( )( )( ) ( )( ) =++−−−+ 22 2323 yxyxyxyxyx 
e) ( ) ( )( ) ( )[ ]=+−+−+ 2222 xaaxxaxa 
f) ( )=−−− 132.3 2 xxx 
g) ( ) =++ xyyxyx 3.5 22 
h) =





−
2
1
4
1
.
5
2
xx 
i) =





+
2
3
4
3
.4 aa
 
 
II. PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
No cálculo algébrico alguns produtos são muito utilizados, e são de grande importância para 
simplificações realizadas em expressões algébricas. Devido a importância, estes produtos são 
chamados de produtos notáveis. Abaixo, enumeramos os mais utilizados: 
 
 
 
40
1) ( ) ( ) 22 yxyxyx −=−⋅+ 
2) ( ) 222 yxy2xyx +±=± 
3) ( ) 32233 yxy3yx3xyx ±+±=± 
 
Todos estes produtos são desenvolvidos apoiados na propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição e subtração. Se lembrarmos deste detalhe não precisaremos mais 
decorá-los, observemos: 
 
 
 
a) ( ) ( ) =+⋅− yxyx =−/−/+ 22 yxyyxx 22 yx − 
 
 
b) ( ) =+ 2yx ( ) ( ) =+++=+⋅+ 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx ++ 
 
 
c) ( ) =− 2yx ( ) ( ) =+−−=−⋅− 22 yxyxyxyxyx 22 2 yxyx +− 
 
 
d) ( ) =+ 3yx ( ) ( ) ( ) ( ) =++⋅+=+⋅+ 222 2 yxyxyxyxyx 
 
 
=+++++= 322223 22 yxyyxxyyxx 3223 33 yxyyxx +++ 
 
Como utilizaremos os produtos notáveis? 
 
Exemplos para simplificações: 
a) ( )( ) ( ) ( )yx
3
yxyx
yx3
yx
y3x3
notável produto22
−
=
−⋅+
+
 →
−
+
 
 
b) ( ) 16x8x44.x.2x4x 2222 ++=++=+ 
 
Obs.: ( )24x + jamais será igual a 16x 2 + , basta lembrarmos que: 
 ( ) ( ) ( ) 16x8x16x.44.xx4x4x4x 222 ++=+++=+⋅+=+ 
 
c) ( )32a − jamais será 8a 3 − , pois: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−=−⋅−=− 4a4a2a2a2a2a 223 
 
{ { 8a12a6a8a8a2a4a4a
23223
−+−=−+−+− 
EXERCÍCIOS 
5) Desenvolva os produtos notáveis: 
 
a) ( )2ba + 
b) ( )232 +a 
c) ( )243 yx + 
d) ( )2ba − 
e) ( )232 −a 
f) ( )243 yx − 
 
 
41
Observemos que b é o fator comum, 
portanto, deve ser colocado em evidência 
com o menor expoente. 
g) ( ) )( baba −+ 
h) ( )( )3232 −+ aa 
i) ( )( )yxyx 3434 −+ 
j) 2
2
1






−y 
k) ( )22hd − 
l) ( )( )3535 −+ 
m) ( )( )1212 +−
 
6) Sabendo que a – b = 5 e a + b = 20, determine quanto vale a2 – b2. 
 
 
 
III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS 
 
A fatoração de polinômios será muito usada para simplificação de expressões algébricas e 
para obter o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de frações algébricas. 
 
1. Fatoração pela colocação de algum fator em evidência 
 
Exemplos: 
 
a) 2bab − 
 
 
 
Então ( )babbab 2 −=− 
 
 
 
 
Ao efetuarmos o produto ( )abb −⋅ , voltaremos para a expressão inicial 2bab − . 
 
b) by4ay2 + 
 
 
 
 
 
Assim: ( )b2ay2by4ay2 +=+ 
 
 
 
c) xb8bx16bx4 223 −− 
 
 
 
 
 
 
 
 
2y é o fator comum; 
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 2 e 4; 
Portanto 2y deve ser colocado em evidência. 
Fator comum 2bx (as variáveis b e x com seus 
menores expoentes) 
2 é o mínimo (menor) divisor comum de 4, 16 e 8. 
Portanto, 2bx deve ser colocado em evidência. 
a
b
abbab ==÷ 
b
b
bbb
2
2
==÷ 
a
y2
ay2y2ay2 ==÷ 
b2
y2
by4y2by4 ==÷ 
 
 
42
( )b4x8x2bx2xb8bx16bx4 2223 −−=−− 
 
 
 
 
 
 
 
d) ( )3225322my2ymymym2 −=− 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: As variáveis que aparecem em todos os termos do polinômio aparecerão no fator comum 
sempre com o menor expoente. 
 
 
EXERCÍCIO 
7) Simplifique as expressões: 
 
a) ( ) =
+
+
ba
ba 2
 
b) ( )( ) =++
⋅++
xcba
xcba
 
c) ( ) =
+
+
ba
ba
55
33
 
d) =
+
+
1515
55
b
aab
 
 
e) =
++
+
22 2 baba
ba
 
f) =
−
−
1
1
2a
a
 
g) =
++
−
96
9
2
2
xx
x
 
h) =
−
−
2
2
26
39
bab
aba
 
 
 
IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
As frações que apresentam variável no denominador são chamadas de frações algébricas. 
 
 Exemplos: 
t
m2
,
y
t4
,
x
2
2 
 
 As operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação de frações algébricas são 
exatamente iguais às operações realizadas com frações não algébricas. A seguir trazemos alguns 
exemplos: 
 
 
 
 
2
3
3 x2
bx2
bx4bx2bx4 ==÷ 
x8
bx2
bx16bx2bx16
2
2
−=
−
=÷− 
b4
bx2
xb8bx2xb8
2
2
−=
−
=÷− 
2ymym2 2222 =÷ 
3
22
53
2253 my
ym
ymymym ==÷ 
 
 
43
1. Adição e Subtração 
 
Tanto na adição como na subtração de frações, devemos obter o m.m.c. dos denominadores. 
 
 
Exemplos: 
a) 
y4
1
x2
3
+ 
 
=+
y4
1
x2
3
xy4
xy6 +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 22
2
x8
y
xy3
2
y
x
−+ 
 
M.m.c. entre 2222 yx24x8exy3,y = 
 
 
 
 
 
 
=−+ 22
2
x8
y
xy3
2
y
x
22
34
24
31624
yx
yxyx −+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24222
2
22
22
yx24xyx24
yx24
y
yx24
yyx24
=•
==÷
 
x162x8
x8
xy3
yx24
xy3yx24 2
22
222
=•
==÷
 
32
2
2
22
222
y3yy3
y3
x8
yx24
x8yx24
=•
==÷
 
m.m.c. dos denominadores =4 xy. 4 é o m.m.c. de 2 e 4. 
xy → todas as variáveis que 
aparecem nos denominadores 
comporão o m.m.c. com seus 
maiores expoentes. 
y63y2
y2
x2
xy4
x2xy4
=⋅
==÷
 
x1x
x
y4
xy4
y4xy4
=⋅
==÷
 
24 é o m.m.c. entre 1, 3 e 8; 
 
22yx são as variáveis com 
seus maiores expoentes. 
 
 
44
VOCÊ SABE A DIFERENÇA ENTRE MMC e MDC ? 
 
Qual a diferença entre m.d.c. e m.m.c.? 
m.d.c. ⇒ mínimo divisor comum. Usado quando determinamos fatores comuns (aquilo que aparece em 
todos os termos) para colocar em evidência. 
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.d.c. é 2, pois 2 é o menor número que divide 2, 4 e 6. 
 b) 10, 15, 20 ⇒ m.d.c. é 5, pois 5 é o menor número que divide 10, 15 e 20. 
 
 m.m.c. ⇒ mínimo múltiplo comum. Usado quando somarmos ou subtrairmos frações. 
 
 Qual é o mmc de 2,4 e 6 ? 
Observe: 
múltiplos de 2 : 2,4,6,8,10,12,14,16,18,.... (como se fosse a tabuada do 2) 
múltiplos de 4 : 4,8,12,16,20,24,28,32,.....( como se fosse a tabuada do 4) 
múltiplos de 6 : 6,12,18,24,30,36,,...........(como se fosse a tabuada do 6) 
 
O número 12 é o menor dos múltiplos de 2, 4 e 6 por isso é chamado de mínimo múltiplo comum.(mmc). 
No entanto não é necessário recorrer a este modo para determinar o mmc de vários números. Pode-se usar a regra 
prática de a decomposição simultânea em fatores primos.. 
 
 
 
 
 
Ex.: a) 2, 4, 6 ⇒ m.m.c. é 12. 
 
 b) 10, 15, 20 ⇒ m.m.c. é 60. 
 
 
 
 
Nos exemplos “c” e “d” a seguir, para obter o mmc dos denominadores teremos que 
escrevê-los na forma fatorada. 
c) 
x39
x
xx3
3
2
−
−
−
 
 
Fatorando os denominadores: 
( )
( )x33x39
x3xxx3 2
−=−
−=−
 
 
M.m.c. dos denominadores fatorados ( )x3x − e ( )x33 − será: ( )x3x3 − 
 
Assim ( ) ( ) =−−−=−−− x33
x
x3x
3
x39
x
xx3
3
2 ( )x3x3
x9 2
−
−
 
 
 
 
 
 
 
Mas ainda podemos melhorar o resultado: 
605.3.2.2
5
3
2
2
1,1,1
5,5,5
5,15,5
10,15,5
20,15,10
=
 
123.2.2
3
2
2
1,1,1
3,1,1
3,2,1
6,4,2
=
 
Denominadores 
fatorados 
m.m.c. 
produto de todos os 
termos que aparecem 
nos denominadores 
( ) ( ) ( )( )
2
xxx que temose
x
x33
x3x3
x33x3x3
=•
=
−
−
=−÷−
 
( ) ( ) ( )( )
933 que temose
3
x3x
x3x3
x3xx3x3
=•
=
−
−
=−÷−
 
 
 
45
( )
( )( )
( ) x3
x3
x3x3
x3x3
x3x3
x9 notável produto2 +
=
−
+−
 →
−
−
 
 
 
 
 
 
d) 
ya
1
ya
ya
ya
a
22 +
+
−
−
+
−
 
 
Procuramos escrever os denominadores na forma fatorada: 
( )( ) notável produto yayaya 22 →+−=− 
 
Assim teremos: 
( )( ) =++++−=+++−
−
+
− ya
1
ya
1
ya
a
ya
1
yaya
ya
ya
a
 
 
( )
( )( ) ( )( )yaya
y2a2aya
yaya
yayayaa 2
−+
−++
=
−+
−+−++
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Multiplicação e divisão de frações algébricas 
 
A multiplicação e divisão de frações algébricas é exatamente igual a de frações numéricas, 
ou seja não é necessário obter o mmc dos denominadores. Multiplica-se numerador por 
numerador e denominador por denominador. 
 
Exemplos: 
a) 
xy3
4
xy3
y4
y
1
3
y2
x
2
22 ==⋅⋅ 
b) 
yx
12
yx
12
yx
3
x
4
3
yx
x
4
32122 =
⋅
=⋅=
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
m.m.c dos 
denominadores será 
( )( )yaya −+ 
 
 
46
 
EXERCÍCIOS 
8. Calcule: 
 
a) =−+
y
a
y
a
y
a 23
 
b) =
+
+
+
+
−
−
+
−
yx
x
yx
x
yx
x 123
 
c) =−+
b
a
b
a
b
a
2
3
3
2
 
d) =−+
x
a
x
a
x
a
4
3
2
2
3
 
e) =−
xx 4
32
2
 
f) =
−
+
+
2
23
a
a
a
 
g) =
−
+
−
−
+
1
1
22
13
x
x
x
x
 
h) =
−
+
+ baba
11
 
i) =
+
−
+
+
1
22 2
b
a
aab
ab
 
j) 
4
124
2
2
2
2
2
−
−
+
−
+
+
−
x
x
xx
x
 
k) 
ba
b
ba
b
ba
a
+
+
−
+
−
22
22
 
l) 
ab
ba
a
ba
b
ba 22 +
+
+
−
+
 
m) =
+
+
−
−
−
− 2
2
4
12
2 2
2
xx
x
x
x
 
n) =
−
−
−
+
+
+
−
1
4
1
1
1
1
2y
y
y
y
y
y
 
o) =
+
+−
x
x
x
3
3
2
 
p) =⋅
y
x 5
3
2
 
q) =−⋅+
y
ba
x
ba
 
r) =
+
⋅
+ 2
2
3
3
a
a
a
a
 
s) =
−
⋅
−
5
2
3
5
a
aa
 
t) =⋅⋅
x
y
y
a
a
x
32 22
8
3
 
u) 
=
−
−
⋅
−
+
nm
ba
ba
nm
)(2
 
v) =
−
⋅
−
nm
nm 3
6
22
 
w) =
−
+
⋅
+
+
4
63
1 2
2
x
x
x
xx
 
x) =
+
⋅
−
1
212
a
x
x
a
 
 
y) 
=
x
a
a
2
3 
 
z) 
=
−
−
x
xa
xy
xa 22
 
 
9. Calcule: 
 
a) =
−
+
x
x
x
x
3
25
2
5
2
 
 
 
 
 
 
 
b) 
=
++
−
a
xx
a
x
9124
94
2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47
 
c) 
( ) =−
−
ba
a
ab
a
2
2
2
2
2
 
d) 
=
−
−
4
2
22 yx
yx
 
 
e) =





2
7
5
b
a
 
f) =




 −
−33
m
a
 
g) =






2
2
32
b
a
 
 
10. Efetue: 
bccb
b
a
x
xx
a 322 4
32
3
1)32) +−−+ 
 
 
 
h) =






−1
3
2
4
5
y
x
 
i) =





−3
25
2
b
a
 
j) =





02
c
ab
 
k) 
=







22
4
3
c
ba
 
l) 
=





−
−2
ba
a
 
m) =





−
−2
43
2
x
x
 
n) =





+
−
2
ba
ba
 
RE S P O S T A S D O S E X E R C Í C I O S 
 
1ª Questão: 
a) 2a 16- b) 
30
19a
− 
 
2ª Questão: 
a) ( )6 5x -4xx 22 + d) c)a)(b(5 ++ g) 23)(a + j) 1) 1).(mn- (mn + 
b) ( )22b3a 1 -2ab4ab + e) c)bn)(a(m +++ h) 26)-(m k) 2222 3xy-y5xyx + 
c) ( )322 bx 5a xb3a + f) 2y)(x + i) 4y) 4y).(2x-(2x + l) ( )
24
12c 8b-3a +
 
 m) 1,1- 0,9x -0,1x2 
 
3ª Questão: 
a) 
 60x- 5x 5x 2 3 + d) 3 - 5a 2 g) 10c-5b2a + j) 
a
1
a5 + 
b) 3223 3ab-b3a-b6a e) 22 y x- + h) ( )
140
40b 28a-35ab +
 
 
c) 12a-a 24 + f) 12y 4y 7y- 35 ++ i) 
2
3
a + 
 
 
4ª Questão: 
a) 242 2ax-x -a c) 22 c -ab- bc a + e) 322 2x-xaax- + g) 3223 3xyy15xy3x ++ 
b) 3ay-2y3xy-x 22 + d) y5x-5xy- 22 f) 3x9x6x- 23 ++ h) 
5
x
-
10
x2
 
 i) 6a 3a 2 + 
 
 
 
 
48
5ª Questão: 
a) 22 b2aba ++ d) 22 b2ab-a + g) 22 b-a j) 41+y-y 2 
b) 912a4a 2 ++ e) 912a-4a 2 + h) 9-4a2 k) 22 4h4hd-d + 
c) 22 16y24xy9x ++ f) 22 16y24xy-9x + i) 22 9y-16x l) 2 
 m) 1 
 
6ª Questão: 
 100 
 
7ª Questão: 
a) ba + c) 
5
3
 
e) 
( )ba
1
+
 
g) 
3x
3-x
+
 
b) 1 d) 
3
a
 
f) 
( )1a
1
+
 
h) 
2b
3a
 
 
8ª Questão: 
a) 
y
4a
 
h) 
( )22 b-a
2a
 
o) 
( )x3
9
+
 
v) 
2
nm +
 
b) 
( )yx
x
+
 
i) 
( )1ba
b
+
 
p) 
3y
10x
 
w) 
( )2-x
3x
 
c) 
6b
a
 
j) 
4-x
4-2xx
2
2 +
 
q) 
 
xy
b-a 22
 
x) 2a-2 
d) 
12x
7a
 
k) ( )
( )b-a
ba +
 
r) 
65aa
6a
2
2
++
 
y) 
3a
x
 
e) ( )
24x
3x-8
 
l) 
b
2a
 
s) 
 
3
2a
 
z) ( )
y
xa +
 
f) 
( )2aa
aa
−
−+ 652
 
m) 
( )2-x
4
 
t) 
2
3xy 2
 
 
g) 
2
1
 
n) ( )
( )1y
2-2y
+
 
u) 
( )n-m2
nm +
 
 
 
9ª Questão: 
a) 
102
3
−x
 
d) 
yx +
2
 
g) 
4
6
b
4a
 
k) 
2
24
16
9
c
ba
 
b) 
)32(
32
+
−
xa
x
 
e) 
2
2
49
25
b
a
 
h) 
2
3
5
4
x
y
 
l) 
22
2
2 baba
a
+−
 
c) 
( )2−ab
a
 
f) 
3
3
27a
m
−
 
i) 125b6/8 a3 m) 
2
2
4
16249
x
xx +−
 
 j) 1 n) 
22
22
2
2
baba
baba
++
+−
 
 
10ª Questão 
 
2
332)
ax
xaxa
a
−+
 ( não dá para simplificar) 32
223
12
9244)
cb
bcbcb +− (não dá para simplificar) 
 
 
49
 
MÓDULO IV 
 
EQUAÇÕES DE 
PRIMEIRO E SEGUNDO 
GRAU COM 
UMA INCÓGNITA 
 
 
50
Fácil !! 
MÓDULO IV – EQUAÇÕES DE 1º E 2º GRAU COM UMA INCÓGNITA 
 
 O objetivo deste módulo é revisar a resolução de equações de 1º e 2º grau na incógnita x. A 
resolução destas equações quando seus coeficientes são numéricos não apresentam grandes 
problemas. No entanto, é nas equações literais, ou seja, quando os coeficientes também são 
incógnitas ou variáveis, que a resolução pode parecer um pouco mais complexa. 
 Separamos o capítulo em 2 partes: 1ª Parte: Equações de 1º grau com 1 incógnita. 
 2ª Parte: Equações de 2º grau com 1 incógnita. 
 
1ª PARTE: EQUAÇÕES DE 1º GRAU COM 1 INCÓGNITA 
 
As equações abaixo são equações de primeiro grau. Observamo que elas têm apenas uma “letra”, 
cujo expoente é 1 (quando o expoente não aparece assumimos que ele vale 1), esta letra será 
chamada de variável e os números da equação serão chamados de coeficientes. 
 x.incógnita nagrau 1º de equações 
1x32x d)
0x9 c)
03x4 b)
01x2 a)







−=−
=−
=−
=+
 
 
As equações abaixo são equações de primeiro grau, mas observando-as verificamos que elas têm 
mais de uma “letra”. Neste caso é preciso definir qual delas será a variável e desta forma as outras 
letras que aparecem serão tratadas como números. 
 
 x.incógnita na literaisgrau 1º de equações 
9bax g)
0px f)
02mx e)





=+
=+
=+
 
 
 Nas equações (e), (f) e (g), as variáveis m, p, a e b serão tratadas como números, elas serão 
chamadas de coeficientes, pois estamos assumindo que a variável da equação será “x” . 
 
RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE 1º GRAU NA INCÓGNITA “X” 
 
 Resolver uma equação de 1º grau na incógnita x, significa determinar o valor de x que 
satisfaça a equação dada. 
 
Exemplos: Resolver as equações dadas assumindo que x é a variável: 
 
a) 10x5 = 
 x =10/5 
2x = ⇒ pois 1025 =⋅ 
 
 
b) mx + p = 0 
pmx −= 
m
p
x −=
 será? 
 
 
51
Verdadeiro !! 
Neste exemplo a resolução parece simples, mas por estarmos trabalhando com letras a 
verificação não é tão imediata e nem tão fácil de visualizar. 
 
Vejamos como deve ser feita a verificação neste caso: 
Devemos substituímos 
m
p
x −= na equação 0pxm =+⋅ para verificar se a igualdade será 
satisfeita: 
 0p
m
p
m =+





−⋅ 
 0pp =+− 
 00 = 
 
Se o valor de x não estivesse correto não chegaríamos a uma igualdade. Observemos o exemplo a 
seguir: 
c) 06x3 =+− 
6x3 −=− 
3
6
x
−
= 
2x −= 
 
 
 
Neste caso, pela verificação, notamos que a resolução não está correta . 
Surge então a pergunta: “O que foi feito errado?” 
 
 
Observe: 06x3 =+− 
 6x3 −=− 
 
 
 
 
6x3 −=− 
Continuando a resolução e seguindo o raciocínio de passar para o outro lado, é muito 
comum dizermos que o número –3 que está multiplicando vai passar dividindo com sinal contrário. 
2
3
6
x −=
−
= 
 E é nessa passagem que acontece o erro!! 
 Uma equação é uma igualdade, e para que esta igualdade não seja alterada, toda operação 
aplicada em um dos membros da equação deve ser aplicada no outro, este método é chamado de 
princípio de equivalência de equações. 
 Observe: 525 = . Mas se elevarmos apenas um dos membro da equação ao quadrado: 
( ) 525 2 = 
a igualdade será alterada, pois teremos 525 = 
Agora se elevarmos os dois membros (lados) da equação ao quadrado teremos: 
( ) 22 525 = , e a igualdade não será alterada , pois teremos 25 = 25. 
 
Verificação: Substituindo 2x −= na equação 06x3 =+− teremos: 
012
066
0623
06x3
=
=+
=+−⋅−
=+−
 
 
Falso !! 
Quando resolvemos uma equação costumamos 
dizer que o número 6 passou para o outro lado 
da equação com sinal contrário. Como regra 
prática até aceitamos este raciocínio, mas na 
verdade não é isto que ocorre. 
 
 
52
Verdadeiro !! 
Assim para resolvermos a equação 06x3 =+− , devemos isolar a variável x e começaremos 
eliminando o número “6” do 1º membro da equação, subtraindo dos dois membros o número “6”. 
 
63 +− x 6− 0= 6− 
Teremos então : 6x3 −=− 
 
Para eliminarmos o número “–3” que multiplica “x” , devemos dividir os 2 membros da equação 
por “–3”. 
3
6
3
3
−
−
=
−
− x
 
E fazendo as devidas simplificações temos que 2x = 
 
Se os sinais negativos atrapalham, então antes da divisão multiplicamos os dois membros da 
equação por “ –1”. 
( ) ( )16x31 −⋅−=−⋅− 
Obtendo : 6x3 = 
 
E então dividimos os dois membros da equação por “3”. 
 
3
6
3
3
=
x
 
E da mesma forma fazendo as devidas simplificações otemos: 2x = 
 
A seguir trazemos a verificação da solução encontrada substituindo 2x = na equação 06x3 =+− : 
 -3.x + 6 = 0 
 -3. 2 + 6 = 0 
 066 =+− 
 00 = 
 
Outros exemplos: 
 
d) Resolver a equação 4xx7 =− . 
Solução : 4xx7 =− 
 
3
2
x
6
4
x
4x6
=
=
=
 
 
Se você tem dificuldade de entender esta resolução, siga algumasdicas: 
 
 No 1º membro, temos 7x – x, onde “x” é o fator comum e podemos colocá-lo em evidência. 
 ( ) 417x
4xx7
=−⋅
=−
 
 
 
 
46x =⋅ 
7xx7 =÷ 
1xx =÷ 
Dividimos os 
termos 7x e x pelo 
fator comum x. 
 
 
53
Verdadeiro !! 
⇒ m.m.c. = 6a 
 
Agora como “6” está multiplicando “x”, para eliminá-lo dividiremos os dois membros da equação 
por “6”: 
6
4
6
6x
=
/
/⋅
 
Fazendo as devidas simplificações teremos: 
6
4
x = ou 
3
2
6
4
x 2
2
==
÷
÷
 
 
 Outra Solução: 
 7x – x = 4 
 7x-1x = 4 
 6x = 4 
3x = 2 (dividimos os dois membros da equação por 2 ) 
 x =2/3 ((dividimos os dois membros da equação por 3 ) 
 
 
Faremos a verificação da solução encontrada substituindo 3
2x = na equação 4xx7 =− : 
7x – x = 4 
44
4
3
12
4
3
2
3
14
4
3
2
3
27
=
=
=−
=−⋅
 
 
 
e) Resolva equação : 
a
x
a
x
−=+
3
11
2
 
 
Para resolvermos essa equação, começaremos fazendo o m.m.c. do denominador. 
 
 
a
x
3
1
a
1
2
x
−=+ 
a6
x6a2
a6
6ax3 −
=
+
 
 
 Como regra prática, muitas vezes cancelamos os denominadores iguais, mas existe sempre a 
dúvida. Será mesmo que é possível cancelar os denominadores por serem iguais? 
 SIM, por causa da igualdade e lembrando que eles não desaparecem simplesmente, e que 
para isolar a variável “x”, devemos, neste exemplo, começar eliminando os denominadores e como 
eles estão “dividindo”, então “multiplicamos” dois membros da equação por “6a ”. 
 
6 é m.m.c. de 2 e 3; 
a é a única variável que aparece. 
 
 
54
Se cancelarmos o denominador, a 
igualdade continuará sendo 
verdadeira,pois 5/3=5/3 e 5=5. 
Assim teremos: 
a6
x6a2
a6
6ax3 −
=
+
 
 
( )
⋅
+
a6
6ax3
a6 ( ) ⋅−=
a6
x6a2
a6 
 
E ,depois de multiplicar os dois membros da equação por “6a”, podemos fazer as devidas 
simplificações que fazem com que os denominadores desapareçam, e é por isso que ele “somem”. 
Esta passagem não precisa aparecer na resolução, mas se lembrarmos dela, nunca teremos dúvidas 
quanto à eliminação dos denominadores. 
 
IMPORTANTE: Se não existir a igualdade, não podemos cancelar o denominador, pois estaremos 
 alterando o resultado final da expressão.Observe o exemplo abaixo: 
 ?
3
4
3
1
=+ 
 
3
41 +
= ? (como os denominadores são iguais podemos somar os numeradores) 
A resposta é 
3
5
, observamos neste exemplo que se cancelarmos o denominador mudaremos 
a resposta de 
3
5
 para 5 . 
 
Mas se a expressão for: 
 
3
5
3
4
3
1
=+ 
 
3
5
3
41
=
+
 
 
3
5
3
5
/
=
/
 
 55 = 
 
A diferença está, então, na existência ou não do sinal de igual. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações: 
 
a) xxxx 292354 −=−+− 
b) ( ) ( )[ ] ( )23142336 +−−=−−−−−− xxx 
c) ( ) ( ) ( ) 71242343211 ++−=−−− xxx 
d) ( ) ( ) ( )1345223326 −−+=−− xxx 
e) 
15
1
3
1
30
1
5
1
15
1
−=−+ xxx 
f) yy
3
1
4
12
6
1
−=+− 
g) 
3
1
2
7
4
3 −
+=
+ xx
 
h) 
24
1
2
3
6
1
x
x
xx
−
=+ 
i) 
y
y
y
y
−
+=
−
−
12
1
1
1
 
j) 
3
2
3
1
9
5
2
−
+
+
=
− ttt
 
 
 
55
⇒ Como a variável da equação foi definida como “x”, 
as letras “m” e “p” são consideradas coeficientes. 
⇒ Como no exemplo anterior, as letras “k” e “t” são 
consideradas coeficientes. 
2. Sendo x a incógnita, resolva as seguintes equações literais: 
 
a) mmx 9158 =− 
b) bxccbx 41195 +=+ 
c) 87 +−=+ bxax 
d) mxamaxaax −+=− 22 
e) ( ) ( ) 02 =++−− xbaaxba 
f) 
3
4
2
xm
m
xm −
=+
+
 
g) bax =−2 
h) aax 47 =+ 
i) axbx +=+3 
j) ( ) ( )12423 +=+− xmmxxm 
k) 
2
3
4
5
3
axax
=− com a ≠ 0 
l) ( ) ( )mxxmx −=−+ 12 com m ≠ 0 
 
 
2ª PARTE: EQUAÇÕES DE 2º GRAU COM 1 INCÓGNITA 
 
Toda equação representada na forma 02 =++ cbxax , com a ≠ 0, é chamada de equação de 2º 
grau com uma incógnita, neste caso “x”. 
 
Exemplos: 
a) 





=
=
=
=++
6c
3b
2a
06x3x2 2 (equação de segundo grau completa , pois : 0≠≠≠ cba ) 
 
b) 
5c
0b
1a
05x0x
ou
05x
2
2
=
=
=





=++
=+
 (equação de segundo grau incompleta , pois : 0=b ) 
 
c) 
0c
1b
3
1a
00xx
3
1
ou
0x
3
x
2
2
=
=
=








=++⋅
=+
(equação de segundo grau incompleta , pois : c = 0) 
 
d) 





−
=
=
−=
=−+−
3
1c
9b
1a
0
3
1
x9x2 
 
e) 





=
=
=
=++
4c
pb
ma
04pxmx2 
 
 
f) 





=
=
=
=++
tc
kb
1a
0tkxx2 
 
 
56
 
IMPORTANTE: 
• Para que tenhamos uma equação de 2º grau o coeficiente de “ 2x ” nunca poderá ser 
zero. 
• Os coeficientes literais de uma equação devem ser tratados como números no momento de 
sua resolução . 
 
RESOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE 2º GRAU NA INCÓGNITA “X” 
 
1º Caso: Equações de 2º grau completas, ou seja, 0≠≠≠ cba (a, b e c não são nulos) 
 
 Temos sempre que lembrar que resolver uma equação na variável “x” significa determinar o 
valor de “x” que satisfaça a equação dada. 
 No caso de uma equação de 2º grau do tipo : 02 =++ cbxax , os valores de “x” que 
satisfazem esta equação são obtidos através da fórmula : 
 
a
acbb
x
2
42 −±−
= , conhecida como FÓRMULA DE BÁSKARA 
 
 Uma equação de 2º grau, pode ter 2 soluções, uma solução ou nenhuma. Abaixo, trazemos 3 
exemplos ilustrando cada uma dessas situações. 
Toda equação de 2º grau pode ser resolvida com a utilização da fórmula de Báskara, 
portanto devemos começar a resolução identificando os coeficientes “a”, “b” e “c” . 
 
Exemplos: Resolver as equações do segundo grau, sendo “x” a variável. 
a) 





=
−=
=
=+−
3c
4b
1a
03x4x2 
 
( ) ( )
2
44
x
2
12164
x
1.2
3.1.444
x
a2
ac4bb
x
2
2
±
=
−±
=
−−±−−
=
−±−
=
 







=
/
/
=
−
=′′
=
+
=′
±
=
1
2
2
2
24
x
3
2
24
x
2
24
x 
Solução: 1x = e 3x = 
 
Verificação: devemos substituir x = 1 e x = 3 na equação 03x4x2 =+− . 
 
Os parênteses ajudam 
a não confundir sinais 
Duas soluções 
 
 
57
Verdadeiro !! Verdadeiro !! 
Verdadeiro !! 
Para 1x = Para 3x = 
 
033
0341
031.41
03x4x
2
2
=+−
=+−
=+−
=+−
 
033
03129
033.43
03x4x
2
2
=+−
=+−
=+−
=+−
 
 
 Logo existem dois valores de “x” que satisfazem a equação dada, x = 1 e x = 3. 
 
 
 
b) 





−=
=
−=
=−+−
1c
2b
1a
01x2x2 
( ) ( )
1
2
2
x
2
02
x
2
442
x
1.2
1.1.422
x
a2
ac4bb
x
2
2
=
−
−
=
−
±−
=
−
−±−
=
−
−−−±−
=
−±−
=
 
1x =
 
 
 
 
 
Verificação: 
Para 1=x teremos 01x2x2 =−+− 
 
( )
022
0121
011.21 2
=+−
=−+−
=−+−
 
 
 
 
c) Muita atenção neste exemplo : 





=
−=
=
=+−
9c
1b
2a
09xx2 2 
 
a2
ac4bb
x
2
−±−
= 
ATENÇÃO: 
O sinal de “ –” não 
está ao quadrado. 
⇒ Há apenas um valor de “x” que atende a equação. 
Uma solução 
 
 
58
( ) ( )
4
711
x
4
7211
x
2.2
9.2.411
x
2
−±
=
−±
=
−−±−−
=
 
 
Obs.: Curiosidade!!! Estaequação admite soluções pertencentes ao conjunto dos números 
complexos. Nos números complexos 1−=i , assim teríamos: 
 







⋅−
=′′
⋅+
=′
⋅±
=
⋅−±
=
⋅−±
=
4
711
4
711
4
711
4
7111
4
7111
i
x
i
x
i
x
x
x
 
 
Este tipo de equação não será abordada nos exercícios propostos. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
3. Resolva as equações: 
 
a) 02832 =−+ xx 
b) 02092 =−+− xx 
c) 0243 2 =+− xx 
d) 09124 2 =++ xx 
e) 0675 2 =+−− xx 
f) 0242 =−+− xx 
g) ( ) 721412 2 −−=−− xxxx 
h) ( )( ) ( ) 172.834.34 −=−−+− xxxx 
i) ( ) ( ) 936423 2 −=+−−− xxx 
j) 310 =−
x
x 
k) 06332 =+− xx 
l) 1327 22 −−=+ xxxx 
m) 
93
1
29
2
xxx
+=− 
n) 
4
5
8
51
4
2
−=−
xx
 
o) 652 =+ xx 
p) ( ) 2401 =+xx 
q) ( ) ( )723 2 +=+ xxx 
r) ( )( ) ( )2123 +=−+ yyyy 
s) ( ) ( )( )5112 ++=− xxxxx
 
Mais um exemplo: 
d) 032 22 =−+− mmxx 
 
Neste exemplo , trazemos uma equação de 2º grau literal. A variável “x” é a variável da 
equação, “m” e “p” serão tratados como constantes. Desta forma o valor de “x” que atenderá essa 
equação será dado em função de “m” e “ p”. 
Como 71− não é um número real, não 
existem valores de “x”, pertencentes ao conjunto dos 
números reais, que satisfaçam esta equação. 
 Logo, a equação não possui soluções reais. 
Esse tipo de 
solução não será 
foco deste livro! 
 
 
59
 Lembre-se : Os coeficientes literais de uma equação, no momento de sua resolução , devem 
 ser tratados como números (chamados de constantes) . 
 
 Esta é uma equação literal do 2º grau, do tipo ax2 + bx + c = 0, que tem x como a variável, 
portanto a sua resolução será feita através da fórmula de Bhaskara: 
a
acbb
x
2
42 −±−
= . 
 
 Da equação 032 22 =−+− mmxx temos : 





−=
=
−=
2
3
2
mc
mb
a
. 
 
Resolução: 
 
( ) ( )( )
( )
24
2
4
3
4
4
4
3
4
3
4
3
4
893
22
2433
2
4 222222
mmmm
x
m
mmm
x
mm
mmmmmmmm
a
acbb
x
=
−
−
=
−
+−
=′′
=
−
−
=
−
−−
=′
−
±−
=
=
−
±−
=
−
−±−
=
−
−−−±−
=
−±−
=
 
Para fazer a verificação basta substituir “x = m/2” e “x =m”, na equação 032 22 =−+− mmxx e 
observar que para os dois casos o resultado será zero , o que permitirá concluir que os dois valores 
de “x” encontrados a equação será satisfeita. Deixamos a esta verificação a cargo do leitor. 
 
 
EXERCÍCIO 
 
4. Determine x nas seguintes equações literais: 
 
a) 022 =+ xax 
b) ( ) 0222 =++− abxbax 
c) ( )ax
xa
a
+−=
−
2
 
d) 0
2
32 22 =−− axax 
e) ( ) ( ) a
a
ax
a
ax 4
22
=
+
+
−
 
 
Até agora mostramos exemplos de equações de 2º grau do tipo 02 =++ cbxax , onde os 
coeficientes “b” e “c” eram diferentes de zero, ou seja, equações de segundo grau completas. 
Trazemos a seguir 2 exemplos com equações de segundo grau incompletas ,ou seja onde um dos 
coeficientes “b” ou “c” são nulos. 
 
 
 
 
 
60
Exemplos: 
1) 





=
−=
=
=−
0c
1b
5a
0xx5 2 ( neste exemplo o valor do coeficiente “c” é zero) 
 
Resolução: 
( ) ( )
10
011
x
5.2
0.5.411
x
a2
ac4bb
x
2
2
−±
=
−−±−−
=
−±−
=
 
 







==
−
=′′
==
+
=′
±
=
0
10
0
10
11
x
5
1
10
2
10
11
x
10
11
x Solução: 
5
1
x = e 0x = 
 
2) 





−=
=
=
=−
mc
0b
ma
0mmx2 (neste exemplo o valor do coeficiente “b” é zero) 
Resolução: 
a2
ac4bb
x
2
−±−
= 
( ) ( )
1
m2
m2
m2
m4
x
m2
m4
x
m.2
m.m.400
x
2
2
2
==
⋅
=
=
−−±−
=
 Solução: 1x = 
 
Observação: 0s exemplos (1) e (2) mostraram equações de 2º grau na variável “x” incompletas , 
ou seja, um dos coeficientes “b” ou “c” são nulos. Para a resolução usamos a fórmula de Báskara, 
mas não haveria necessidade. O 2º caso e o 3º caso de resolução de equações de segundo grau, 
apresentados a seguir, mostrarão outras formas de resolução. 
 
 
2º Caso: Resolução de Equações de 2º grau sendo o coeficiente “b” nulo 
 
 Se o coeficiente b é nulo, a equação de segundo grau será do tipo: 
0cax2 =+ 
 
 
 
61
 Para resolver equações do segundo grau deste tipo bastaria isolar “x” , lembrando que os 
coeficientes literais de uma equação devem ser tratados como números, chamados de constantes, 
no momento da resolução da equação. 
 
Exemplos: 
a) 0mmx2 =− 
 
Faremos a resolução, executando operações que possibilitem que a variável “x” seja isolada: 
1x
1x
m
m
x
mmx
2
2
2
±=
=
=
=
(m/m = 1) 
 
Solução: 1x = e 1x −= 
 
 
b) 09x3 2 =− 
 
Faremos a resolução, executando operações que possibilitem que a variável “x” seja isolada: 
3x
3x
3
9
x
2
2
±=
=
=
 
 
Solução: 3x = e 3x −= 
 
Verificação: para 3x = teremos: para 3x −= teremos: 
 
( )
00
0933
0933
09x3
2
2
=
=−⋅
=−⋅
=−⋅
 
( )
00
0933
0933
09x3
2
2
=
=−⋅
=−−⋅
=−⋅
 
 
 
 
c) 0m4x2 =− 
 
Faremos a resolução, executando operações que possibilitem que a variável “x” seja isolada: 
m2x
m4x
m4x
m4x2
±=
⋅±=
±=
=
 
 
Solução: m2x = e m2x −= 
Verdadeiro !! Verdadeiro !! 
 
 
62
3º Caso: Resolução de Equações de 2º grau sendo o coeficiente “c” nulo 
 
 A equação será do tipo: 0bxax2 =+ 
 Observamos que o 1º membro da equação apresenta a variável “x” como fator comum, 
assim para resolver a equação devemos colocar a variável “x” em evidência. 
 
Exemplos: Resolva as equações abaixo: 
a) 0xx5 2 =− 
 
Resolvendo a equação colocando a variável “x” em evidência: 
 
 
 
 
0)1x5(x =−⋅ 
 
 
O produto ( )1x5x −⋅ será igual a zero, se e somente se, “x” for zero ou se “ ( )15 −x ” for zero, logo: 
 
Para ( ) 01x5x =−⋅ teremos: 
 
0x = ou ( ) 01x5 =− 
 
5
1
x
1x5
=
=
 
 
Solução: 0x = e 
5
1
x = 
Deixamos a verificação a cargo do leitor. 
 
 
b) 0x3px2 =+ 
Resolvendo a equação colocando a variável “x” em evidência: 
 
 
( ) 03pxx =+ 
 
 
 
Novamente O produto ( )3+⋅ pxx será igual a zero, se e somente se, “x” for zero ou se “ ( )3+px ” 
for zero, logo teremos: 
0x = ou ( ) 03px =+ 
 
p
3
x
3px
−
=
−=
 
 
Solução: x = 0 e x = -3/p 
1−=−=÷−
x
x
xx 
x
x
x
xx 5
2525 ==÷ 
333 ==÷
x
x
xx 
px
x
px
xpx ==÷
22
 
Dividimos os 
termos “5x2” e “–x” 
pelo fator comum x. 
Dividimos os 
termos “px2”e “3x” 
pelo fator comum x. 
 
 
63
IMPORTANTE: 
Salientamos que todas as equações de 2º grau podem ser resolvidas usando a fórmula de 
báskara. No entanto procuramos com o 2º e com o 3º caso de resolução de equações de segundo 
grau mostrar que, com algum conhecimento de matemática básica, podemos encontrar caminhos 
menos trabalhosos. 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
5. Determine x nas seguintes equações: 
 
a) 093 2 =− xx 
b) 084 2 =−x 
c) 042 =− xx 
d) 032 =− axax 
e) 02 =− xmx 
 
6. Seja a equação 2092 −+−= xxy , determine o valor de y, quando x for igual a : 
 
a) –2 
b) 0 
c) 1 
d) 1/3 
e) 2
 
7. Seja a equação 0672 =+−−= xxy , calcule: 
 
a) o valor de y, quando x for igual a (–3); 
b) as coordenadas do vértice da parábola que representa esta equação, sendo 
a
b
xV 2
−
= e 
a
yV 4
∆−
= , 
onde acb 42