Unidade III

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Responsável pelo Conteúdo: 
Prof. Ms. Adriana Domingues Freitas 
Profa. Dra. Jussara Maria Marins 
 
Revisão Textual: 
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicaroni 
 
 
 
Figura 1: Cartaz do filme A Rede social
Ver www.aredesocial.com.br e um trailer do filme no youtube.
O Filme foi inspirado no livro “The Accidental Billionaires: The Founding of Facebook, A Tale
of Sex, Money, Genius, and Betrayal” (traduzido e reduzido para Biliona´rios por Acaso) escrito
por Ben Mezrich sobre Mark Zuckerberg um dos fundadores do Facebook, junto com o brasileiro
Eduardo Saverin, Chris Hughes e Dustin Moskovitz.
Mark ja´ programava desde o ensino me´dio. Criou va´rios programas para jogos e em especial
um programa de reposicionamento de mu´sicas para Ipod, entre outros.
No filme “Mark invade as bases de dados de va´rios alojamentos, baixa as fotos e o nome das
estudantes e, em algumas horas, usando um algoritmo dado por seu melhor amigo Eduardo Saverin,
ele cria o FaceMash, onde os estudantes homens escolhem quais das duas estudantes apresentadas
1
Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Fabio
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Fabio
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Motivação Inicial
Fabio
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Provavelmente , todos vocês viram o filme A Rede Social (The Social Network), dirigido pornullDavid Fincher, que dirigiu outros filmes importantes, como o Curioso Caso de BenjamimnullButton, Se7ven, Clube da Luta e outros.
Fabio
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sa˜o mais atraentes.´´ Para decidir isto Saverin usa um algoritmo baseado em classificac¸a˜o e escores
(rating) com umme´todo de calcular o n´ıvel de habilidade de dois jogadores num jogo como o xadrez,
desenvolvido por um f´ısico professor de nome Elo. A fo´rmula da func¸a˜o usada, e´ dada por:
EA =
1
1 + 10(RB−RA)/400
O resto e´ o filme e a histo´ria do Facebook, uma das mais famosas redes sociais que tornou seus
criadores famosos e biliona´rios.
Figura 2: Redes de Computadores
Uma rede (na˜o de dormir) e´ um conjunto de nodos ou ve´rtices que sa˜o conetados por arestas,
ligac¸o˜es ou relac¸o˜es que consiste num tipo de grafo com algumas caracter´ısticas.
Vamos definir formalmente nesta unidade, o que e´ uma relac¸a˜o e um tipo especial de relac¸a˜o
que sa˜o as func¸o˜es.
Conecte-se!
Mas viva a vida real!!!
Fabio
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Fabio
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Contextualizac¸a˜o de Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Profa.Me. Adriana Freitas e Profa.Dra Jussara Maria Marins
Do mesmo modo que, os conjuntos e nu´meros permeiam todas as atividades do nosso dia a` dia,
o mesmo acorre com as Relac¸o˜es e Func¸o˜es.
Sem o estudo das relac¸o˜es e func¸o˜es e´ imposs´ıvel compreender, por exemplo, os mecanismos das
func¸o˜es que modelam o uso dos computadores. Tudo que e´ programado e´ feito atrave´s da definic¸a˜o
de uma func¸a˜o ou composic¸a˜o de func¸o˜es dadas, expl´ıcita ou implicitamente.
Func¸o˜es e finalidade esta˜o, intimamente, associadas, de modo que, ao falar de uma, mesmo que
na˜o seja no aˆmbito de nu´meros, inicialmente, e´ a mesma coisa que falar da outra. Todo conjunto
de instruc¸o˜es que e´ fornecido a um programa e´ tambe´m um conjunto de func¸o˜es que ira˜o atuar
sobre os dados de entrada, mesmo que, estes na˜o sejam, inicialmente, nu´meros.
De fato, estamos construindo um conjunto de conhecimentos hierarquizado:
...
Novos Conhecimentos
|definic¸o˜es | |propriedades| | relac¸o˜es e func¸o˜es | | tipos | | operac¸o˜es|
| definic¸o˜es| | propriedades | |operac¸o˜es|
|conjuntos|
| elementos|
Contudo, essa hierarquia, sinaliza mais, um conjunto de pre´-requisitos, do que algo esta´tico. De
fato, o conhecimento pode ser visualizado numa curva crescente, espiralada, que comec¸a, aumenta,
volta ao um certo ponto, sedimentando, e torna a crescer...
Figura 1: Espiral de Conhecimentos
O caminho prossegue...
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
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Contextualização
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Figura 1: Ma´quina de Pascal
1 Relac¸o˜es
As func¸o˜es desempenham um papel muito importante em qualquer a´rea da Matema´tica.
Intuitivamente, uma func¸a˜o e´ uma ma´quina que transforma um objeto de entrada num novo
objeto de sa´ıda, sendo que a maneira como ocorre essa transformac¸a˜o e´ a sua finalidade, ou
seja, finalidade e func¸a˜o esta˜o, intimamente, associadas. As ma´quinas, em geral, desempe-
nham uma ou um agrupamento de func¸o˜es e podem ser abstratas ou materiais. Uma das
primeiras ma´quinas materiais a executar func¸o˜es matema´ticas de modo mecaˆnico foi a ma´-
quina inventada por Pascal, em 1644, quando ele tinha apenas 20 anos, para ajudar seu pai
nos ca´lculos de sua loja. A figura 1 mostra a sua ma´quina chamada Pascalina. A ma´-
quina computador, a despeito de toda sua generalidade, ao contra´rio de muitas ma´quinas, so´
executa func¸o˜es matema´ticas e lo´gicas, mesmo parecendo que seja mais.
Mesmo objetos art´ısticos como a imagem na figura 2 sa˜o feitos a partir de uma func¸a˜o.
Um fractal e´ um tipo mais geral de uma curva geome´trica que pode ser dividido em partes
- as frac¸o˜es - e de cada uma delas, geramos outras curvas semelhantes a` original. Existem
diversos tipos e algumas sa˜o transformadas em bel´ıssimas imagens.
Mas, antes de estudarmos as func¸o˜es, veremos a definic¸a˜o de relac¸o˜es, que sa˜o ainda mais
amplas que as func¸o˜es. Veremos, que toda func¸a˜o e´ feita a partir de uma relac¸a˜o, mas nem
toda relac¸a˜o estabelece uma func¸a˜o.
1.1 Definic¸a˜o de Relac¸a˜o
Conforme dissemos, uma func¸a˜o transforma um objeto de entrada em outro objeto, que e´
chamado de sa´ıda. Descrever a func¸a˜o e´ descrever a transformac¸a˜o ou a regra de transfor-
mac¸a˜o. Logo, para termos uma func¸a˜o, precisamos de um conjunto de objetos de entrada,
uma maneira de modifica´-los segundo a regra dada, para chegar a outro objeto do conjunto
de resultados. As func¸o˜es podem ser de muitos tipos. Para descrever melhor o conceito de
transformac¸a˜o como func¸a˜o, necessitamos do conceito de relac¸a˜o. Ora, parece que a palavra
relac¸a˜o, e´ ainda mais geral do que func¸a˜o e de fato o e´. Mas e´ fa´cil descrever, matematica-
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Figura 2: Um exemplo de Fractal
mente, uma relac¸a˜o.
O conjunto inicial de uma func¸a˜o ou relac¸a˜o, assim como, o conjunto de chegada, ou dos
resultados sa˜o conjuntos quaisquer.
Temos va´rios exemplos de relac¸o˜es com os mais diversos objetos ou pessoas. Temos
relac¸o˜es familiares, nume´ricas, sociais, etc. As relac¸o˜es familiares comuns sa˜o: ser ma˜e, ser
irma˜o, ser parente, ser filho, etc. Todas elas possuem mais ou menos formais e sa˜o bastante
importantes em algumas aplicac¸o˜es em computac¸a˜o, quando criamos Bancos de Dados, por
exemplo. Em va´rios formula´rios que devemos preencher para diversas finalidades e´ sempre
solicitado o nome da ma˜e, o enderec¸o, o e-mail, como alguns exemplos. As relac¸o˜es sa˜o muito
aplicadas em Bancos de Dados, desde o armazenamento dos dados, propriamente, dito, como
tambe´m na busca e transformac¸a˜o de informac¸o˜es.
Atualmente, as redes sociais, principalmente com os programas na internet, usam as
relac¸o˜es entre as pessoas, que sa˜o estabelecidas pelos usos e contatos. As relac¸o˜es que formam
as redes sociais computadorizadas, como Facebook, Linkdln, etc. sa˜o formadas por diversos
conceitos matema´ticos. Essas redes sa˜o estabelecidasa partir de relac¸o˜es captadas via uso
da pro´pria internet e dadas pelos usua´rios. Elas tambe´m esta˜o sendo cada vez mais usadas
pelos meios de publicidade, o que, a`s vezes, chega a ser extremamente, chato.
As relac¸o˜es nume´ricas sa˜o usadas desde o in´ıcio da aprendizagem em Matema´tica e ate´
em L´ınguas. Todos no´s aprendemos a relac¸a˜o de ordem das letras, no alfabeto latino, que
nos e´ dada de forma, totalmente, arbitra´ria. Por que c vem antes de m, f vem antes de g e
assim por diante? E´ uma convenc¸a˜o, plenamente, aceita. Como dizemos, se na˜o fosse essa,
seria outra, imposta analogamente. Ja´ as relac¸o˜es nume´ricas, exceto as primitivas, como
a de pertineˆncia, sa˜o definidas de forma coerente com outras definic¸o˜es anteriores e suas
finalidades. As relac¸o˜es matema´ticas mais comuns sa˜o as de igualdade = ou de inclusa˜o entre
conjuntos ⊂, de ordenac¸a˜o, como ≤, de ser mu´ltiplo, entre nu´meros, etc. Nas relac¸o˜es, pode
estar associado um conceito de sentido, direc¸a˜o ou in´ıcio da relac¸a˜o, como por exemplo, na
relac¸a˜o de ser ma˜e, se dizemos que Tereza e´ ma˜e de Beatriz, baseados em algum fato ou
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Fabio
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documento, e´ claro que na˜o podemos inverter a relac¸a˜o e dizer que Beatriz e´ ma˜e de Tereza,
baseados no mesmo documento. Pore´m, em outras relac¸o˜es, como ser amigo, essa reversa˜o
ou simetria e´ va´lida; se Joa˜o e´ amigo de Pedro, supo˜e-se, naturalmente, que Pedro e´ amigo de
Joa˜o. Logo, para usarmos as definic¸o˜es previamente feitas, vamos usar o Produto Cartesiano
que reflete esse sentido da origem para o destino.
No diciona´rio, temos va´rios conceitos de relac¸a˜o:
1. ato de relatar, relato;
2. ato de informar, de noticiar;
3. considerac¸a˜o que resulta da comparac¸a˜o de dois ou mais objetos;
4. lista que conte´m nomes de pessoas ou de coisas; rol, listagem;
5. semelhanc¸a, parecenc¸a;
6. vinculac¸a˜o de alguma ordem entre pessoas, fatos ou coisas; ligac¸a˜o, conexa˜o etc.
Podemos concluir, para nossos estudos, que Relac¸a˜o e´ uma vinculac¸a˜o entre objetos.
Como descrever esse conceito, matematicamente? Se tentarmos conceituar vinculac¸a˜o cai-
remos em relac¸a˜o, e da´ı, teremos um c´ırculo vicioso.
Vejamos, agora, a definic¸a˜o de relac¸a˜o, atrave´s das definic¸o˜es de Teoria de Conjuntos.
Definic¸a˜o 1.1. Relac¸a˜o
Dados dois conjuntos quaisquer A e B, uma relac¸a˜o de A em B, e´ qualquer subconjunto
do produto cartesiano A × B.
•
Observac¸o˜es:
• Os conjuntos A e B podem ser, inclusive, iguais.
• A noc¸a˜o de vinculac¸a˜o, relac¸a˜o, propriamente, dita, esta´ estabelecida na escolha dos
pares do subconjunto.
• A vinculac¸a˜o pode estabelecer um significado especial, como ser ma˜e, ser mu´ltiplo, etc.
ou, ser, totalmente, abstrata.
O produto cartesiano pode ser visualizado num diagrama ou num gra´fico. Se A = {a, b, c}
e B = {1, 2}, enta˜o o produto cartesiano e´
A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}.
Isso pode ser visto no diagrama da figura 3.
O gra´fico que usa os eixos cartesianos, pode ser visto na figura 4, no qual os elementos
do primeiro conjunto A, ficam no eixo horizontal das abscissas, e os elementos do segundo
conjunto, o B, no eixo das ordenadas, o vertical.
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Figura 3: Diagrama do Produto Cartesiano A × B
Figura 4: Gra´fico de A × B
Como o produto cartesiano na˜o e´ comutativo, a ordem dos conjuntos e´ relevante
para obtermos o resultado. O primeiro conjunto indicado, e´ o Conjunto de Partida e o
segundo e´ o Conjunto de Chegada.
Qualquer relac¸a˜o entre os elementos de A e B sera´ dada por um subconjunto desse produto
cartesiano.
Exemplo 1.1. Consideremos a relac¸a˜o que vincula as letras de uma palavra que esta˜o no
conjunto A = {a, b, c} com o nu´mero de vezes que ela aparece na palavra. Considere a palavra
casa. A relac¸a˜o sera´:
R1 = {(a, 2), (c, 1)}
Observe que a letra “s” na˜o pertence a A, s < A, logo na˜o fara´ parte da relac¸a˜o. Se a palavra
for baba´, enta˜o a relac¸a˜o sera´:
R2 = {(a, 2), (b, 2)}
No exemplo dado, o Conjunto de Partida e´ formado por letras A = {a, b, c} e o Conjunto
de Chegada e´ de nu´meros naturais B = {1, 2}.
q
Nem todos os elementos de A ou de B esta˜o na relac¸a˜o. Os elementos do conjunto de
Partida que esta˜o, efetivamente, na relac¸a˜o fazem parte do Domı´nio, e os do Conjunto de
Chegada fazem parte do Contra-domı´nio.
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O Domı´nio de R e´ indicado por D(R) ou Dom(R) e o Contra-domı´nio e´ indicado por CD(R).
No exemplo da relac¸a˜o anterior, temos:
Dom(R1) = {a, c}, Dom(R2) = {a, b} e CD(R1) = {1, 2}, CD(R2) = {2}
As relac¸o˜es devem ser indicadas pelo conjunto de partida, o conjunto de chegada e a
regra de formac¸a˜o. Muitas vezes, quando os conjuntos esta˜o bem claros, eles sa˜o omitidos e
mostramos apenas a regra de formac¸a˜o por palavras ou s´ımbolos. Assim xRy ou R(x, y) vai
indicar a regra de formac¸a˜o.
As relac¸o˜es usuais do dia a dia, que sa˜o as mais amplas poss´ıveis, sa˜o modeladas, per-
feitamente, por esse conceito matema´tico. Temos diversos exemplos e vamos citar apenas
alguns.
Exemplo 1.2. Relac¸a˜o ser ma˜e
Considere o conjunto das pessoas delimitado por A = {Ce´lia, Antoˆnia, Beatriz} e o con-
junto B = {Andre´,Carlos,Raquel,Flavia, Joa˜o}, e a relac¸a˜o R(x, y) = x e´ ma˜e de y. Sabemos,
atrave´s de alguns documentos, que: Ce´lia e´ ma˜e de Beatriz, Andre´ e Fla´via; Beatriz e´ ma˜e
de Raquel e Carlos; e Antoˆnia ainda na˜o e´ ma˜e. Podemos dizer que a relac¸a˜o R de A em B e´
dada por
R = {(Ce´lia,Andre´),(Ce´lia,Fla´via),(Beatriz,Raquel),(Beatriz,Carlos)}
Observe bem que, embora Ce´lia seja ma˜e de Beatriz, essa na˜o pertence ao conjunto B,
portanto, na˜o esta´ na relac¸a˜o R como foi definida. Embora Antoˆnia pertenc¸a ao conjunto A,
ela na˜o faz parte da relac¸a˜o.
E´ claro que, se mudarmos um dos conjuntos, a relac¸a˜o tambe´m muda. Assim, se tivermos
o conjunto C = {Ce´lia,Antoˆnia,Beatriz,Andre´,Carlos,Raquel,Flavia, Joa˜o} e fizermos a relac¸a˜o
“ser ma˜e” no conjunto C ×C, teremos outros pares:
R1 = {(Ce´lia, Beatriz),(Ce´lia,Andre´),(Ce´lia,Fla´via),(Beatriz,Raquel),(Beatriz,Carlos)}
Os diagramas de cada uma delas sa˜o diferentes. No segundo caso, como a relac¸a˜o e´ de C
em C, podemos cita´-lo so´ uma vez. Os dois casos esta˜o na figura 5. Contudo e´ necessa´rio um
certo cuidado ao fazermos a relac¸a˜o “ser ma˜e” na˜o separando o conjunto das ma˜es e filhos,
pois poder´ıamos pensar que, se Ce´lia e´ ma˜e de Beatriz e Beatriz e´ ma˜e de Raquel, enta˜o Ce´lia
e´ ma˜e de Raquel, o que na˜o e´ verdade, pois Ce´lia e´ avo´ de Raquel. A relac¸a˜o ser ma˜e na˜o
e´ transmitida de Ce´lia para Raquel. Em outras relac¸o˜es isso pode acontecer. Uma notac¸a˜o
usual e´ usarmos apenas o par de interesse e dizer
Ce´lia R1 Beatriz
ou (Ce´lia,Beatriz) ∈ R1
.
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Figura 5: (a) Relac¸a˜o “ser ma˜e” em A × B e em (b) C ×C
q
As relac¸o˜es de parentesco familiar, e outras tantas, sa˜o modeladas, como visto acima. Essa
notac¸a˜o e´ usada, tambe´m para criar bancos de dados nos quais podemos, inclusive, trabalhar
com noc¸o˜es de Inteligeˆncia Artificial, no campo de representac¸a˜o de conhecimento. Nesse
caso, e´ necessa´rio definir, cuidadosamente, as relac¸o˜es para na˜o concluirmos coisas erradas
ou absurdas.
As relac¸o˜es matema´ticas nume´ricas tambe´m sa˜o, analogamente, modeladas como um sub-
conjunto do produto cartesiano.
Exemplo 1.3. Vamos definir algumas relac¸o˜es que, embora sejam bem conhecidas, a`s vezes,
carecem de rigor.
1. Relac¸a˜o “e´ Menor do que” em N
Intuitivamente, um nu´mero x e´ menor do que outro y quando ele vem antes desse u´ltimo,
na sequeˆnciados nu´meros. Mas como descrever o que vem antes de? A fo´rmula ou
definic¸a˜o seguinte responde a isso, levando em conta que, ja´ esta´ definida a adic¸a˜o.
x < y
de f⇔ (∃k ∈ N)[y = x + k]
Isso significa: x e´ menor que y, por definic¸a˜o, se, existe um nu´mero natural k de modo
que, y = x + k, ou seja, existe uma distaˆncia 1 k entre x e y.
Quando uma relac¸a˜o for definida, na partida e na chegada com o mesmo conjunto de
A em A o diagrama pode usar apenas uma representac¸a˜o do conjunto. A relac¸a˜o “ e´
menor do que” em A e´ dada na figura 6. Assim, a seta de 1 para 2, de 2 para 3, etc.
indica a ocorreˆncia da relac¸a˜o e´ menor do que.
Se A = {1, 2, 3, 4, 5} enta˜o a relac¸a˜o “e´ menor do que” em A e´ dada por:
1O conceito de distaˆncia, tambe´m possui uma definic¸a˜o matema´tica, na˜o necessa´ria nesse curso.
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R< = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}
Figura 6: A relac¸a˜o < em A × A
2. Relac¸a˜o “e´ Menor ou igual a”
Essa e´ uma relac¸a˜o composta por < e por =, x ≤ y pode ser aplicado quando x = y, ou
tambe´m quando x < y. Se, qualquer um dos casos, for verdadeiro, enta˜o a relac¸a˜o se
aplica.
x ≤ y de f⇔ x < y ou x = y
E a relac¸a˜o ≤ do conjunto A nele mesmo, e´ dada por:
R≤ = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3),
(3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 5)}
Podemos estender a definic¸a˜o para outros conjuntos ou restringi-la para subconjuntos.
q
A relac¸a˜o inversa, que e´ indicada por R−1< , e´ feita invertendo-se a ordem de todos os pares
ordenados. Nesse caso, a relac¸a˜o inversa de ‘menor ’ (< ) e´ ‘maior ’ (>).
R−1< = {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (3, 1), (3, 2), (2, 1)}
Se x < y, enta˜o podemos afirmar que y > x, que e´ a relac¸a˜o dual do ‘<’. Pore´m, devemos
ter cuidado quando negamos uma desigualdade.
Por exemplo, se dizemos que “17 na˜o e´ menor que 25”,(o que e´ falso), isto acarreta que, 17
e´ menor que 25 ou 25 e´ maior que 17. Mas, quando nos referimos a nu´meros desconhecidos
ou inco´gnitos, x ou y, enta˜o devemos pensar na possibilidade deles serem iguais.
x ≮ y ← x ≥ y
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
x � y ← x > y
Em geral, temos a definic¸a˜o de relac¸a˜o inversa:
Definic¸a˜o 1.2. Relac¸a˜o Inversa
Se R e´ uma relac¸a˜o de A em A, enta˜o a relac¸a˜o inversa e´ dada por:
R−1 = {(y, x)|(x, y) ∈ R}
•
Observac¸o˜es:
1. O expoente -1 tem o significado de inverso tanto para a relac¸a˜o como para nu´meros.
2. Como a ordem e´ fundamental num par ordenado, enta˜o (x,y) tem um significado e (y,x)
tem outro.
3. A relac¸a˜o inversa R−1 consiste apenas em trocar a ordem dos pares da relac¸a˜o.
Exemplo 1.4. Relac¸a˜o divide e ser mu´ltiplo
Sabemos que 2 divide 8, 2 divide 34, etc. De modo inverso, dizemos que 8 ou 34 sa˜o
mu´ltiplos de 2. A definic¸a˜o e´ dada por:
x | y de f⇔ (∃q ∈ N)[y = q · x]
Se B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, enta˜o a relac¸a˜o de “divide” em B × B e´:
R| = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (1, 9), (2, 2), (2, 4),
(2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8), (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9)}
Vemos que 1 divide qualquer nu´mero, 2 divide 2, ou 4 ou 8, que sa˜o os pares, 2 divide
qualquer nu´mero par; 3|6, 3|9, etc. Mas 3 6 |8, pois na˜o existe nenhum nu´mero natural que,
multiplicado por 3, resulte em 8, ou seja, sempre ocorre que 8 , q × 3, sendo q um nu´mero
natural.
Ver o diagrama dessa relac¸a˜o na figura 7.
A relac¸a˜o inversa de ‘divide’ e´ ‘ser mu´ltiplo’.
q
Exemplo 1.5. Inclusa˜o entre conjuntos.
A inclusa˜o no Conjunto das Partes de um conjunto 2 tambe´m e´ uma relac¸a˜o.
Como exemplo, tomemos A = {x, y, z}, e o conjunto das partes de A e´:
P(A) = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}
2Conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto dado
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Figura 7: Relac¸a˜o divide em B × B
R⊂ = {(∅, {x}), (∅, {y}), (∅, {z}), (∅, {x, y}), (∅, {x, z}), (∅, {y, z}), (∅, {x, y, z})
({x}, {x, y}), ({x}, {x, z}), ({x}, {x, y, z}), ({y}, {x, y}), ({y}, {y, z}),
({y}, {x, y, z}), ({x, y}, {x, y, z}), ({x, z}, {x, y, z}), ({y, z}, {x, y, z}), }
A relac¸a˜o dual ou inversa da inclusa˜o ⊂ e´ a de conte´m ⊇.
Veremos, logo depois, um diagrama especial de nome Hasse para esse tipo de relac¸a˜o.
q
Podemos descrever certas figuras geome´tricas atrave´s de uma relac¸a˜o entre seus pontos.
Exemplo 1.6. C´ırculo
O c´ırculo pode ser visto como uma relac¸a˜o entre os pontos do plano R2. O c´ırculo C1 e´ o
c´ırculo centrado no ponto (0, 0) do plano e com raio r = 1.
C1 = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}
De fato, o conjunto desses pontos esta´ na figura 8 e e´ infinito, mas podemos destacar:
(0, 1) ∈ C1, (0,−1) ∈ C1, (1, 0) ∈ C1, (0, 0) < C1, (0, 1) ∈ C1, (
√
3
2
,
1
2
) ∈ C1,
(
√
2
2
,
√
2
2
) ∈ C1, (−1, 0) ∈ C1, (1, 1) < C1, (−1,−1) < C1, etc
E´ fa´cil ver, apenas olhando a figura, que alguns desses pontos pertence ao c´ırculo. Quando
na˜o e´ evidente, fazemos o ca´lculo:
(
√
3
2
)2 + (
1
2
)2 =
3
4
+
1
4
= 1
Logo, (
√
3
2 ,
1
2 ) ∈ C1.
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Estes 4 pontos (0, 1) ∈ C1, (0,−1) ∈ C1, (−1, 0) ∈ C1 (1, 0) ∈ C1 correspondem aos
4 pontos do plano que interseccionam ou cortam os eixos x e y, que tambe´m podem estar
associados ao Norte e Sul, Oeste e Leste. Mas o ponto central (0, 0) < C1 - na˜o pertence ao
c´ırculo, embora ele seja o centro do c´ırculo.
Os pontos intermedia´rios, como: (
√
3
2 ,
1
2 ) ∈ C1, (
√
2
2 ,
√
2
2 ) ∈ C1, correspondem aos aˆngulos de
30 e 45 graus.
Figura 8: C´ırculo de raio 1 centrado em (0,0)
q
1.2 Tipos de Relac¸o˜es
Algumas relac¸o˜es possuem caracter´ısticas distintas que podem existir entre seus elementos.
Essas caracter´ısticas, quando agrupadas, sa˜o os tipos ou propriedades. Tomemos o exemplo
da relac¸a˜o “ ser amigo” entre as pessoas de um conjunto. Se Paulo e´ amigo de Se´rgio,
enta˜o, comumente, dizemos que Se´rgio e´ amigo de Paulo. Num sentido mais amplo de “ser
amigo” podemos dizer que Paulo e´ amigo de si mesmo, se conceituamos ser amigo como
gostar, fraternalmente, da pessoa. Essa caracter´ıstica de alguns tipos de relac¸a˜o, na qual
um elemento esta´ relacionado sempre consigo mesmo, e´ chamada de reflexividade. Assim,
dizemos, que a relac¸a˜o ser amigo, e´ reflexiva.
Mas a relac¸a˜o “ser ma˜e” na˜o e´ reflexiva, pois ningue´m e´ ma˜e de si mesmo, no sentido
comum ou natural. E´ claro que na˜o estamos considerando as possibilidades gene´ticas dos
clones.
Para dizermos que uma relac¸a˜o e´ de um certo tipo, e´ necessa´rio que a propriedade esteja
presente em todos os pares da relac¸a˜o. Se, numa dada relac¸a˜o, a caracter´ıstica na˜o
for presente em, pelo menos um par da relac¸a˜o, enta˜o na˜o podemos afirmar a propriedade.
Havendo um ou mais pares nos quais a caracter´ıstica desejada, na˜o e´ verificada enta˜o na˜o
existe a propriedade. A exigeˆncia de ser verificada, em todos elementos x e´ indicada pelo
s´ımbolo ∀ .
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Assim (∀x ∈ A) significa: (a) Para todos elementos x que pertencem ao conjunto A; (b)
para todo elemento de A; (c) para qualquer elemento x do conjunto A; e (d) para cada
elemento do conjunto A. Todos, qualquer e cada sa˜o sinoˆnimos.
Definic¸a˜o 1.3. Relac¸a˜o Reflexiva
Uma relac¸a˜o R em A e´ reflexiva, se todos os elementos de A, esta˜o relacionados consigo
mesmos, ou seja:
(∀x ∈ A)[(x, x) ∈ R]
•
Exemplo 1.7. Seja A = {10, 12, 14, 16, 18}; a relac¸a˜o R dada por
R1 = {(10, 10), (10, 18), (12, 12), (12, 14), (14, 14), (14, 16), (16, 16), (16, 18), (18, 18), }
e´ reflexiva.q
Definic¸a˜o 1.4. Relac¸a˜o Sime´trica
Uma relac¸a˜o R em A e´ sime´trica, se para cada elemento x de A que esta´ relacionado com
algum y, enta˜o ocorre que y tambe´m esta´ relacionado com x, ou seja:
(∀x, y ∈ A)[(x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R]
O s´ımbolo → significa: enta˜o. Da´ı, lemos a frase anterior como: Para todos elementos
x, y do conjunto A, se, o par (x, y) esta´ na relac¸a˜o, enta˜o o par (y, x) tambe´m esta´ na relac¸a˜o
R.
•
Exemplo 1.8. Relac¸a˜o Sime´trica e Reflexiva
Dado um conjunto de pessoas a relac¸a˜o “ser amigo” e´ reflexiva e sime´trica,conforme ja´ foi
comentado anteriormente.
q
Exemplo 1.9. Relac¸a˜o Sime´trica
Seja A = {10, 12, 14, 16, 18} e a relac¸a˜o R dada por
R = {(10, 18), (12, 12), (12, 14), (14, 12), (14, 16), (16, 14), (16, 16),
(16, 18), (18, 10), (18, 16), (18, 18), }
R e´ sime´trica.
Nessa relac¸a˜o toda vez que um par (a, b) esta´ na relac¸a˜o o seu sime´trico, ou seja, o par
(b, a) tambe´m esta´ na relac¸a˜o, por exemplo, (10, 18) ∈ R e temos tambe´m o par (18, 10);
(14, 16) e (16, 14) e todos os demais casos.
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Conve´m observar que na˜o estamos obrigando que todos os pares poss´ıveis estejam
presentes na relac¸a˜o. Mas se um par esta´, enta˜o o seu sime´trico, tambe´m deve estar, para
que a relac¸a˜o seja considerada como Sime´trica.
Mas esta mesma relac¸a˜o na˜o e´ reflexiva, pois nem todos elementos de A esta˜o relacionados
consigo mesmos, por exemplo x = 10 na˜o esta relacionado consigo mesmo, o par (10, 10) na˜o
esta´ na relac¸a˜o.
q
Definic¸a˜o 1.5. Relac¸a˜o Transitiva
Uma relac¸a˜o R em A e´ transitiva, se para cada elemento x de A que esta´ relacionado com
algum y - formando o par (x, y) e esse mesmo y esta´ relacionado com algum z - formando o
par (y, z), enta˜o acarreta que x deve estar relacionado com z, ou seja, existe tambe´m o par
(x, z). Simbolicamente:
(∀x, y, z ∈ A)[(x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R]
•
Exemplo 1.10. Relac¸a˜o Transitiva.
A relac¸a˜o x < y e´ transitiva no conjunto Z.
Se dizemos que um nu´mero 3 e´ menor que 10 e por sua vez que 10 e´ menor que 24, enta˜o
podemos afirmar que 3 e´ menor que 24. Mesmo se dissermos que, x e´ menor que 10 e 10 e´
menor que 24, enta˜o podemos afirmar que x e´ menor que 24.
Mas isso, vale para quaisquer nu´meros: se x < y, pela definic¸a˜o de “ser menor”, existe
um nu´mero k tal que x + k = y. Analogamente, se y < z, enta˜o existe um nu´mero m tal que
y + m = z. Para verificar se x < z, basta tomar o nu´mero k + m e da´ı x + (k + m) = z, logo, de
fato, x < z.
E´ claro que podemos constatar isso com outros exemplos nume´ricos em vez de ‘letras’,
isto e´, varia´veis. Mas so´ exemplos, na˜o provam uma afirmac¸a˜o. Restara´ a du´vida para
outros casos. A argumentac¸a˜o anterior e´ uma prova do que afirmamos.
q
Exemplo 1.11. Num conjunto de nu´meros as relac¸o˜es x|y e x = y sa˜o reflexivas, sime´tricas
e transitivas.
q
Definic¸a˜o 1.6. Relac¸a˜o Antissime´trica
Uma relac¸a˜o R em A e´ anti-sime´trica se
(∀x, y ∈ A)[(x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x = y]
•
Cuidado! Dizer que uma relac¸a˜o e´ anti-sime´trica na˜o e´ o mesmo que dizer que uma relac¸a˜o
na˜o e´ sime´trica. Um tipo na˜o e´ a negac¸a˜o do outro. Uma relac¸a˜o pode na˜o ser sime´trica e
nem anti-sime´trica.
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Exemplo 1.12. A relac¸a˜o divide e´ antissime´trica.
Consideremos o conjunto dos nu´meros naturais.
Se dizemos que um nu´mero 2 divide outro, digamos y, sabemos que o outro e´ um nu´mero
par. Agora, se dissermos que o outro, y tambe´m divide 2, so´ podemos concluir que eles sa˜o
iguais, ou seja, o outro deve ser exatamente 2.
Vamos supor que y na˜o seja 2, e seja 8, por exemplo. Ora, de fato, 2 divide 8, mas nesse
caso, na˜o podemos dizer que 8 divide 2. Logo, se 2 divide y e tambe´m ocorre que y divide 2,
enta˜o e´ porque y = 2.
q
1.3 Relac¸a˜o de Ordem e Equivaleˆncia
Podemos agrupar os tipos de relac¸o˜es em duas grandes classes.
Definic¸a˜o 1.7. Relac¸a˜o de Equivaleˆncia
Uma relac¸a˜o R em A e´ de equivaleˆncia se ela for:
1. Reflexiva
2. Sime´trica
3. Transitiva
•
A outra classe e´ a de ordem.
Definic¸a˜o 1.8. Relac¸a˜o de Ordem
Uma relac¸a˜o R em A e´ de equivaleˆncia se ela for:
1. Reflexiva
2. Antissime´trica
3. Transitiva
•
Exemplo 1.13. Relac¸o˜es diversas:
Considere o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}.
1. A relac¸a˜o R1 : x ≤ y em A e´ reflexiva, antissime´trica e transitiva, logo, e´ uma relac¸a˜o
Ordem em A.
R1 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5)
(3, 3), (3, 4), (3, 5)(4, 4), (4, 5), (5, 5)}
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Figura 9: Relac¸a˜o ≤
2. A relac¸a˜o R2 : x = y em A e´ reflexiva, sime´trica e transitiva, logo, e´ uma relac¸a˜o de
equivaleˆncia em A.
R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}
3. A relac¸a˜o R3 : x|y em A e´ reflexiva, antissime´trica e transitiva, logo, e´ uma relac¸a˜o de
Ordem em A.
R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4), (5, 5)}
As relac¸o˜es de ≤ e | podem ser estendidas a outros conjuntos nume´ricos, subconjuntos
de N,Z e mantera˜o as mesmas caracter´ısticas. A relac¸a˜o de ordem dada por ≤ pode ser
estendida tambe´m para Q,R.
4. A relac¸a˜o R4 em A dada por
R4 = {(1, 2), (2, 4), (1, 4), (3, 5)}
e´ apenas transitiva.
Observe que existem os 3 pares (x, y), (y, z), (x, z) associados respectivamente, com x = 1,
y = 2 e z = 4. Contudo o par (3, 5) na˜o e´ associado com nenhum outro.
O que e´ necessa´rio e´: se existirem dois pares, (x, y), (y, z), enta˜o e´ obrigato´rio ter, o
terceiro par(x, z). Se existisse o par (5, 9) em R enta˜o dever´ıamos ter, tambe´m o par
(3, 9) na relac¸a˜o R, para que ela fosse considerada como transitiva.
5. A Relac¸a˜o R5 em A dada por
R5 = {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (4, 1), (5, 1), (1, 5)}
e´ apenas sime´trica.
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6. A inclusa˜o entre conjuntos R6
A relac¸a˜o ⊆ no conjunto das partes de um conjunto A e´ uma relac¸a˜o de ordem, pois e´
reflexiva, antissime´trica e transitiva. Isso pode ser visto no seguinte diagrama, no qual
tomamos como refereˆncia o conjunto finito de 3 elementos, B = {x, y, z}.
Essa relac¸a˜o de ordem pode ser vista na figura com o diagrama de Hasse, que tem
caracter´ısticas especiais e e´ pro´prio, entre outras coisas, para representar uma relac¸a˜o
de ordem, conforme se veˆ na figura 10. Cada seta de a para b, a → b, indica que
existe uma ligac¸a˜o da relac¸a˜o: (a, b) = aRb. No caso, existe uma seta {x} → {x, y} pois
{x} ⊂ {x, y}, entre outras incluso˜es. No caso, na˜o existe seta de {x, y} para {y, z} pois
{x, y} 1 {x, z}
Figura 10: Relac¸a˜o ⊆ em B = {x, y, z}
q
Exemplo 1.14. Relac¸o˜es em Geometria.
1. A relac¸a˜o de paralelismo na geometria plana r || s : r = s ou r ∩ s = ∅, ou seja, r
e s nunca se encontram ou sa˜o iguais. As retas paralelas manteˆm sempre a mesma
distaˆncia entre si.
A relac¸a˜o e´ claramente sime´trica, pois, se, a reta a e´ paralela a b, enta˜o a reta b e´
paralela a reta a. Se, temos 3 retas, r, s, t, e, se r||s e s||t, enta˜o, pela definic¸a˜o, r||t. Ser
paralela e´ uma relac¸a˜o reflexiva, pois r e´ igual a si mesma e da´ı satisfaz a` definic¸a˜o dada.
Como, a relac¸a˜o e´ reflexiva, sime´trica e transitiva, enta˜o e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
2. A relac¸a˜o de perpendicularidade r ⊥ s e´ so´ sime´trica. Na˜o e´ reflexiva, pois uma reta
na˜o pode ser perpendicular a si mesma, assim como na˜o e´ transitiva, pois se dadas
treˆs retas r, s e t, se r ⊥ s e s ⊥ t enta˜o r||t, ou seja, as retas r e t sa˜o paralelas e na˜o
perpendiculares.
q
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
2 Func¸o˜es
As func¸o˜essa˜o presentes em va´rios processos mesmo que aparentemente na˜o percebemos as
suas definic¸o˜es. Qualquer ma´quina, de um liquidificador ate´ um computador, possui uma ou
mais func¸o˜es que podem ser descritas matematicamente.
2.1 Definic¸a˜o de Func¸a˜o
De alguns modos, ja´ usamos o conceito de func¸a˜o e, agora, vamos defini-la formalmente.
Definic¸a˜o 2.1. Func¸a˜o
Uma func¸a˜o de A em B e´ uma relac¸a˜o nos mesmos conjuntos, a qual satisfaz aos dois
ı´tens:
1. Dom(f)=A
2. Se (x, y) ∈ f e (x, z) ∈ f , enta˜o y = z
•
Ou seja, com isso dizemos que, todos os elementos de A possuem algum valor em B e que,
para cada elemento do Conjunto de Partida A, existe apenas um elemento correspondente
no Conjunto de Chegada B.
Isso pode ser dito, simbolicamente, como:
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B)[Se (x, y) ∈ f e (x, y′) ∈ f enta˜o y = y′]
O conjunto A e´ chamado de Domı´nio e o conjunto B de Contra-domı´nio de f .
A notac¸a˜o de func¸a˜o e´
f : A → B
x 7→ y = f (x)
Notemos que:
• Numa relac¸a˜o qualquer, o Domı´nio na˜o precisa ser todo o conjunto de partida, em geral,
Dom(R) ⊆ A
mas numa func¸a˜o isso e´ obrigato´rio: Dom( f ) = A. So´ em alguns casos se fala em func¸a˜o
parcial, na qual isso na˜o acontece.
• Os elementos do contra-domı´nio que sa˜o resultados da func¸a˜o para algum elemento do
Domı´nio constituem a Imagem da func¸a˜o f , cuja notac¸a˜o e´ Im( f ) :
Im( f ) = { f (x)|x ∈ A}
Im( f ) ⊆ B
O termo Imagem e´ usado tanto para o valor da func¸a˜o y para um elemento x, como
para o conjunto de todas as imagens dos elementos de A.
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Ja´ vimos e conhecemos va´rios tipos de func¸o˜es.
Exemplo 2.1. Func¸o˜es em conjuntos finitos.
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c}.
1. Consideremos a primeira func¸a˜o f1:
f1 : A → B
x 7→ y = f (x)
e
f1 = {(1, c), (2, b), (3, a)}
Nesse caso, Im( f1) = B.
2. Outro exemplo, com os mesmo conjuntos e´
f2 = {(1, a), (2, b), (3, c)}
Ainda temos Im( f2) = B, mas as func¸o˜es sa˜o diferentes, f1 , f2, pois os valores sa˜o
diferentes.
3. Seja, agora, a terceira func¸a˜o f3, dada por:
f3 = {(1, a), (2, a), (3, a)}
Agora Im( f3) = {a}
Ale´m disso, observe, agora, que todos os exemplos possuem o mesmo domı´nio e contra-
domı´nio, mas as func¸o˜es f1, f1 e f3 sa˜o diferentes. As imagens das func¸o˜es f1 e f3, respectiva-
mente Im( f1) e Im( f3), sa˜o diferentes.
q
Teorema 2.1. Igualdade de func¸o˜es
Sejam f : A → B e g : A → B, enta˜o f = g se e somente se
(∀x ∈ X)[ f (x) = g(x)]
?
Isso quer dizer que, para todo elemento de A as imagens de cada termo devem ser iguais
tanto pela func¸a˜o g como pela f. Ale´m disso, Domı´nio e Imagem devem ser iguais.
Exemplo 2.2. Igualdade de Func¸o˜es
Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b, c}.
f1 : A → B
x 7→ y = f1(x)
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Figura 11: Func¸o˜es de A em B
f2 : A → B
x 7→ y = f2(x)
f1 = {(1, c), (2, a), (3, c)}
f2 = {(1, c), (3, c), (2, a)}
Agora as func¸o˜es f1 e f2 sa˜o iguais.
q
Definic¸a˜o 2.2. Operac¸o˜es
Uma func¸a˜o com domı´nio A×A em A e´ chamada de operac¸a˜o bina´ria ou operador bina´rio.
Se o domı´nio for apenas A e o contra-domı´nio tambe´m o conjunto A, o operador e´ chamado
una´rio ou apenas func¸a˜o. Os valores do domı´nio sa˜o tambe´m chamados de argumentos. Se
o domı´nio for A × A × A, a operac¸a˜o e´ terna´ria, etc.
•
Exemplo 2.3. Func¸o˜es Aritme´ticas
As func¸o˜es aritme´ticas que constituem as operac¸o˜es ja´ estudas em va´rios conjuntos nu-
me´ricos, sa˜o func¸o˜es.
Vejamos uma descric¸a˜o mais completa da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.3. Adic¸a˜o
A operac¸a˜o bina´ria adic¸a˜o e´ definida por
+ : N × N→ N
(x, y) 7→ z = f ((x, y)) = x + y
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O valor de x + y e´ definido, atrave´s da Teoria de Conjuntos. Sejam A e B conjuntos
disjuntos, e n(A) = x e n(B) = y, enta˜o
x + y
de f
= n(A ∪ B) se A ∩ B = ∅
O s´ımbolo n(A) significa nu´mero de elementos de A.
•
Definic¸a˜o 2.4. Multiplicac¸a˜o
A operac¸a˜o bina´ria multiplicac¸a˜o e´ definida por
· : N × N→ N
(x, y) 7→ w = f ((x, y)) = x · y
A multiplicac¸a˜o e´ definida pela adic¸a˜o de uma mesma parcela y pelo nu´mero de vezes da
parcela x,
x · y de f= y + y + . . . + y︸ ︷︷ ︸
x vezes
.
•
Isso nos mostra que conceitos ta˜o “ intuitivos” ou sedimentados de va´rias formas sa˜o de-
fin´ıveis, ou seja, explicitados de forma objetiva, simbo´lica e finita, usando apenas outras
noc¸o˜es ja´ definidas ou realmente ba´sicas, que sa˜o dadas em nu´mero finito e bem pequeno.
O diagrama, a seguir, na figura 12, mostra apenas alguns pares da func¸a˜o.
Figura 12: Alguns pontos da func¸a˜o Adic¸a˜o
Observe tambe´m que, agora, o domı´nio e´ infinito e, ale´m disso, e´ constitu´ıdo de pares
de elementos do produto cartesiano, ao passo que o contra-domı´nio e´ de elementos simples.
Temos uma func¸a˜o pois a cada par temos uma u´nica soma e todos os pares de nu´meros
naturais possuem uma soma, pois a operac¸a˜o e´ fechada.
Para definir subtrac¸a˜o e divisa˜o, usamos algumas restric¸o˜es da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o.
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
q
Dica para a Computac¸a˜o:
Outra maneira, mais formal e´ usarmos a definic¸a˜o recursiva na qual na˜o usamos as
reticeˆncias, como no exemplo da multiplicac¸a˜o: y+y+ . . .+y. Muitas vezes, isso e´ claramente,
entendido por no´s, no entanto, esse processo na˜o pode ser mecanizado, diretamente, num
computador, atrave´s de uma linguagem de programac¸a˜o, ao passo que, a definic¸a˜o recursiva
e´ quase imediata, na maioria, nas linguagens computacionais.
A multiplicac¸a˜o de dois naturais, m, n ∈ N pode ser definida recursivamente por:
m · n =
{
m(1) = m se n = 1
m(n) = m(n − 1) + m se n > 1
}
Isso quer dizer se n = 1, enta˜o m · 1 = m, ou seja, qualquer nu´mero m multiplicado por 1
e´ m.
Se, por exemplo, n = 4, enta˜o m · 4 = m(4) e´ calculado, em cadeia:
m(4) = m(3) + m = [m(2) + m] + m = [[m(1) + m]+m] + m =m + m+m + m
Outra definic¸a˜o recursiva, muito comum, e´ a de fatorial: n! = n · (n− 1)!, se n > 1 e 0! = 1.
Observe que nessas definic¸o˜es, na˜o usamos reticeˆncias.⊗
As func¸o˜es ou operac¸o˜es nume´ricas que foram definidas no conjunto dos Naturais sa˜o
tambe´m definidas em outros conjuntos, como os Inteiros, Racionais e Reais, usando as pro-
priedades desses novos conjuntos que permitem estender os conceitos da subtrac¸a˜o e divisa˜o.
Podemos definir func¸o˜es na˜o so´ nos conjuntos discretos, como os Naturais, Inteiros ou
Racionais, mas tambe´m nos Reais, como as func¸o˜es trigonome´tricas, lineares, quadra´ticas,
etc. Estudaremos as func¸o˜es Lineares e Quadra´ticas mais tarde, detalhadamente.
Exemplo 2.4. Func¸o˜es Trigonome´tricas
As relac¸o˜es entre os lados dos triaˆngulos constituem func¸o˜es trigonome´tricas, como seno,
cosseno e tangente. Agora a func¸a˜o e´ definida num conjunto infinito e cont´ınuo, o conjunto
dos reais, mas o contra-domı´nio, no caso do seno e cosseno, e´ apenas um intervalo dos reais,
pois os valores do seno e cosseno esta˜o apenas em [−1, 1]. Ja´, na tangente, o contra-domı´nio
e´ todo o conjunto real, muito embora, a tangente na˜o esteja definida em certos pontos nos
quais o valor e´ infinito. Mas, isso e´ mais estudado em Ca´lculo.
sin : R→ R
x 7→ y = sin(x)
cos : R→ R
x 7→ y = cos(x)
Mas Im(sin) = Im(cos) = [−1, 1].
tan : R→ R
x 7→ y = tan(x)
Agora Im(tan) = R.
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Figura 13: Func¸o˜es Trigonome´tricas, Seno, Cosseno e Tangente
q
Sob certas condic¸o˜es, a composic¸a˜o entre func¸o˜es tambe´m resulta em uma func¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.5. Func¸a˜o Composta
Sejam f : A → B e g : C → D a composic¸a˜o das duas func¸o˜es e´indicada por g◦ f : A → D
e´ dada por g ◦ f (x) = g( f (x)), para todo x ∈ A.
g ◦ f = {(x, z) ∈ A × D | ∃y ∈ B tal que (x, y) ∈ f e (y, z) ∈ g}
•
2.2 Tipos de Func¸o˜es
Assim como tivemos tipos de relac¸o˜es, tambe´m temos tipos de func¸o˜es.
Definic¸a˜o 2.6. Func¸a˜o Injetora
Uma func¸a˜o f : A → B e´ do tipo Injetora, ou um-a-um se ocorre que:
(∀x1, x2 ∈ A)[ f (x1) = f (x2) → x1 = x2]
ou seja, se a elementos diferentes do domı´nio corresponderem elementos diferentes na Imagem
de f , enta˜o a func¸a˜o e´ injetora.
•
Outro modo equivalente de dizer a mesma coisa e´
(∀x1, x2 ∈ A)[x1 , x2 → f (x1) , f (x2)]
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
Exemplo 2.5. Para A = {1, 2, 3, 4} e B = {a, b, c, d, e}.
f1 : A → B
x 7→ y = f (x)
f1 = {(1, c), (2, b), (3, a), (4, d)}
f2 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)}
Nesse caso, f1 e f2 sa˜o injetoras.
Mas, a seguinte func¸a˜o f3 na˜o e´ injetora,
f3 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, c)},
pois, para x = 3 e y = 4, temos, x , y mas f (x) = f (y) = c.
Figura 14: As func¸o˜es f1 e f2 sa˜o injetoras, f3 na˜o o e´.
q
Algumas func¸o˜es reais podem ser injetoras, outras na˜o.
Exemplo 2.6. As func¸o˜es seno e cosseno na˜o sa˜o injetoras, pois, para diferentes aˆngulos,
temos, em alguns casos, os mesmos valores de seno ou cosseno, por exemplo:
sin(450) = sin(
pi
4
) = sin(1350) =
√
2
2
sin(900) = sin(
pi
2
) = sin(4500) = 1, etc.
Pore´m, se definirmos o Domı´nio como sendo o intervalo real de [0, pi2 ], enta˜o as func¸o˜es
seno e cosseno sa˜o injetoras. A cada aˆngulo desse intervalo existe apenas um seno ou um
cosseno.
sin : [0, pi2 ] → [0, 1]
x 7→ y = sin(x)
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Figura 15: A func¸a˜o f4 na˜o e´ Sobrejetora e f5 e´ Sobrejetora.
q
A adic¸a˜o na˜o e´ injetora, pois cada nu´mero do Contra-domı´nio e´ imagem de pelo menos
2 pares, resultado da adic¸a˜o de zero com ele mesmo, x = x + 0 e com algum outro par, por
exemplo, 8 e´ resultado da soma de 0 com 8: 0+8=8, 2+6=8, 4+4=8., etc. Analogamente a
multiplicac¸a˜o na˜o e´ injetora, pois cada par e´ o produto da unidade por ele mesmo: x = x · 1
e de pelo menos um outro par.
“Sera´ que existe alguma restric¸a˜o do domı´nio para que a adic¸a˜o seja injetora, tal como
pode ser feito no caso do seno?”
Definic¸a˜o 2.7. Func¸a˜o Sobrejetora
Uma func¸a˜o f : A → B e´ do tipo sobrejetora, se ocorre que:
(∀y ∈ B)(∃x ∈ A)[ f (x) = y]
ou seja, a func¸a˜o e´ sobrejetora, se Im( f ) = B.
•
Exemplo 2.7. Para A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {a, b, c, d}, sejam f3 e f4, dadas a seguir:
f3 : A → B
x 7→ y = f (x)
f4 = {(1, c), (2, b), (3, b), (4, d), (5, d)}
f5 = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, d)}
Nesse caso, f4 na˜o e´ sobrejetora e f5 e´ sobrejetoras.
Mas a seguinte func¸a˜o f6 na˜o e´ sobrejetora,
f6 = {(1, a), (2, a), (3, c), (4, c), (5, c)},
pois, para y = b e y = c, na˜o temos z,w ∈ A tal que f (w) = b, e f (z) = d.
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Unidade: Relac¸o˜es e Func¸o˜es
q
Exemplo 2.8. As func¸o˜es trigonome´tricas seno e cosseno na˜o sa˜o sobrejetoras, pois, por
exemplo, 0.5 e´ seno de 300 = pi6 , mas 1.2 na˜o e´ seno de nenhum aˆngulo e da´ı a Imagem de
seno ou cosseno e´ apenas o intervalo [−1, 1].
Im(sin) = Im(cos) = [−1, 1].
Nesse caso as duas func¸o˜es seno e cosseno tornam-se sobrejetoras.
A func¸a˜o tangente: tan e´ sobrejetora, pois todo valor real e´ imagem tangente de pelo menos
algum aˆngulo, (mais de um, na verdade). Evidentemente, alguns desses aˆngulos podem ser
maiores que 900.
A func¸a˜o tangente e´ injetora e sobrejetora quando o domı´nio e´ o intervalo [−pi, pi] ou
[−1800, 1800].
Podemos ter as seguintes restric¸o˜es, de modo que, as func¸o˜es trigonome´tricas sejam inje-
toras e sobrejetoras.
sin : [0, pi2 ] → [0, 1]
x 7→ y = sin(x)
cos : [0, pi2 ] → [0, 1]
x 7→ y = cos(x)
tan : [−pi, pi] → R
x 7→ y = tan(x)
q
A func¸a˜o da Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o sa˜o sobrejetoras. Cada elemento do Contra-domı´nio
N e´ imagem de algum par do domı´nio que e´ N × N. No caso da adic¸a˜o, cada elementos do
Contra-domı´nio e´ imagem, ou seja, e´ a soma dele mesmo com o zero, pelo menos. No caso da
multiplicac¸a˜o, analogamente, cada nu´mero natural e´ resultado do produto dele mesmo com
a unidade, o 1.
Definic¸a˜o 2.8. Func¸a˜o Bijetora
Uma func¸a˜o f : A → B e´ do tipo bijetora, se e somente se f e´ injetora e tambe´m
sobrejetora.
•
Exemplo 2.9. Nos exemplos anteriores f1 e f2 sa˜o bijetoras.
q
As restric¸o˜es das func¸o˜es trigonome´tricas dadas anteriormente sa˜o bijetoras. Ale´m disso,
as func¸o˜es lineares f (x) = ax + b, sendo a , 0, que sera˜o vistas logo depois, tambe´m sa˜o
bijetoras.
O estudo das func¸o˜es e´ muito vasto e lindo, como a figura inicial. Criamos as func¸o˜es,
principalmente, para podermos descrever o comportamento de va´rios fenoˆmenos da natureza,
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como ca´lculo e velocidades, de temperaturas, de volumes, etc. Se conhecemos um valor de
uma argumento podemos calcular qual valor sera´ a sa´ıda de determinado fenoˆmeno.
Terminamos essa unidade, onde definimos relac¸o˜es e func¸o˜es, suas caracter´ısticas e tipos.
Num mundo, visto apenas mecanicamente, como muitos cientistas o veˆem, todos os processos
que conhecemos sa˜o descritos por func¸o˜es simples ou complexas, que, para muitos, podem
ate´ ser modeladas para mapear o comportamento do ce´rebro humano como um todo. Alguns
neurocientistas e pesquisadores de Inteligeˆncia Artificial e outras a´reas, pensam que isso pode
acontecer, num futuro pro´ximo. E´ claro, que esse assunto e´ controverso, mesmo sem levarmos
em conta, so´ as considerac¸o˜es te´cnicas e filoso´ficas do tema.
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