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Avaliação 7 1. Seja T: : R2 - R a transformação linear tal que T(1,1)=3 e T(0,1)=2. Determine T(x, y). T(x , y)= x - 2y T(x , y)= x + 2y T(x , y)= 2x + y T(x , y)= x + y T(x , y)= 2x + 2y Gabarito Comentado 2. Considere as afirmações abaixo, em que S = { v1 , ... , vp } é um conjunto de vetores do espaço vetorial V não trivial de dimensão finita I - Se S é linearmente independente, então S é uma base para V II - Se SpanS = V , então algum subconjunto de S é uma base para V III - Um plano do R3 é um subespaço vetorial bidimensional I e II são verdadeiras, III é falsa I, II e III são falsas I, II e III são verdadeiras I e II são falsas, III é verdadeira I e III são falsas, II é verdadeira Gabarito Comentado 3. Encontre as condições em X, Y, Z de modo que (x, y, z) є R3 pertença ao espaço gerado por r = (2, 1, 0), s= (1, -2, 2) e t = (0, 5, -4). 2X – 4Y – 5Z = 0 2X – 4Y – 5Z ≠ 0 2X - 3Y + 2Z = 0 X + Y – Z = 0 2X – 3Y + 2Z ≠ 0 4. Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. (I) O conjunto {1} não é uma base de R. (II) O conjunto {(1,-1), (-2,2),(1,0)} é uma base de R2. (III) O conjunto A = {(1,2,3), (0,1,2), (0,0,1)} é uma base de R3. III, apenas II e III, apenas II, apenas I, apenas I e III, apenas 5. Considere as assertivas abaixo: I - Se nenhum dos vetores de R3 no conjunto S = {v1, v2, v3} é um múltiplo escalar de um dos outros vetores, então S é um linearmente independente; II - Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem o R5; III - Se {u, v, w} é um conjunto linearmente independente, então u, v e w não estão no R2; IV- Sejam u, v e w vetores não nulos do R5, v não é um múltiplo de u , e w não é uma combinação linear de u e v. Então {u, v, w} é linearmente independente. As afirmações I e III são falsas e as afirmações II e IV são verdadeiras As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e IV são falsas As afirmações I e IV são verdadeiras e as afirmações II e III são falsas As afirmações I e II são falsas e as afirmações III e IV são verdadeiras As afirmações III e IV são falsas e as afirmações I e II são verdadeiras 6. Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo formam uma base do R3 {(1, 2, 3),(1, 0, -1), (3, -1, 0) , (2, 1, -2)} {(1, 1, 1), (1, -1, 5)} {(1, 1, 1), ( 1, 2, 3), ( 2, -1, 1)} {(0,0,1), (0, 1, 0)} {( 1, 1, 2), (1, 2, 5), ( 5, 3, 4)} 7. Qual dos seguintes conjuntos de vetores abaixo forma uma base de R4? {(1,2,3,4), (0,2,-3,4),(0,-4, 6,-8),(0,0,2,3)} {(1,0,0, 0), (0,1,0,4), (0, 2, 0, 8), (0,0,2,3)} {(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0), (0,0,0,3), (0,2,3,1) } {(1,2,3,4), (0,-2, 4, 7), (0,0,1,0), (0,0,0,3)} {(1, 3, 4, 5), (1,2,3,4), (2,3,-1,0) } Gabarito Comentado 8. Considere a seguinte base do ℝ 3: β= {(1, 2, 3), (1, 1, 1),(a ,b, c)}. Sabendo que as coordenadas do vetor (1, 4, 9), na base βsão (1, 2, 2) , determine o valor de (a+b-c). 3 1 2 -3 -2
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