ANÁLISE COMBINATÓRIA Aula 08

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
AULA 8- TERMO GERAL
Exercícios
	
	
	
		1.
		Qual é o termo independente de a no desenvolvimento de (a + 1/a)^ 6?
	
	
	
	
	
	20
	
	
	40
	
	
	15
	
	
	10
	
	
	12
Primeiramente, o termo independente de x é aquele em que o x não aparece, ou mesmo que tenha expoente igual a zero. 
Vamos aos calculos. 
(x + 1/x)6 equivale a (x + x-¹)6, traduzindo, "x mais x elevado a menos um e tudo elevado a sexta" 
para aramar o termo procurado se escreve C6,p (combinação de 6 tomados p a p) multiplicada por x elevado a "6-p" vezes x elevado a -1 elevado a "p", ou seja, o segundo x estará elevado a "-p". Nesse calculo, os expoentes de x serão 6-p e -p. Como queremos encontrar o termo independente, o expoente será igual a zero, entao é só somar os expoentes, pois são potencias de mesma base, e igualar a zero: 
(6 - p) + (-p) = 0 
6 - 2p = 0 
2p = 6 
p = 3 
encontramos p igual a 3. Entretanto,para sabermos qual é o termo tem que se somar 1 a p, logo o termo independente de x é o quarto. 
Caso queira calcular qual é esse termo é so substituir "p" por 3 nos primeiros calculos: 
Logo 
C6,p = C6,3 = 20 
x "elevado a 6-p" = x³ (x ao cubo) 
x "elevdo a -p" = x "elevado a -3" 
entao 20 . x³ . x "elevado a -3" = 20 
Portantoo termo independente de x é o quarto termo e vale 20.
	
	
		2.
		Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (2x+y)n é igual a 243, então o número n é
	
	
	
	
	
	5
	
	
	8
	
	
	10
	
	
	12
	
	
	3
Como o expoente não está definido, não nos convém calcular termo a termo esse binômio e somar. Ao invés disso, vamos substituir as letras dentro do binômio por 1:
Em um binômio de Newton, quando substituída por 1 as incógnitas, o resultado será a soma de seus coeficientes. Nesse caso, a soma dos coeficientes é 3^n, que, de acordo com o enunciado, é 243. Isso nos leva a uma equação exponencial:
Portanto, nesse caso, n vale 5.
	
	
		3.
		O coeficiente de x4 no polinômio P(x)=(x+2)6 é:
	
	
	
	
	
	4
	
	
	64
	
	
	24
	
	
	60
	
	
	12
Calculando os termos ==> C6,n * x^(6 -n) * (2)^n 
X^4=x^(6-n) --> 4=6-n --> n=2 
--------------------------------------... 
Atenção ----Cr,p= r!/(p! * (r-p)! 
--------------------------------------... 
C6,2 * x^(6-2) * (2)^2 
[6!/2! * (6-2)!] * x^4 * 4 
6x5/2 * x^4 * 4 
15 * x^4 * 4 
60 * x^4 
coeficiente =60..............................
	
	
		4.
		Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)^(3n), obtemos um polinômio de 16 termos. Qual é o valor de n?
	
	
	
	
	
	5
	
	
	4
	
	
	8
	
	
	6
	
	
	15
O expoente é igual à quantidade de termos menos 1 (é "polinômio" em vez de "polígono"): 
3n = 16 - 1 
3n = 15 
n = 5
	
	
		5.
		No desenvolvimento de (x + m/x)10, para que o coeficiente do termo em x4 seja 15, m deve ser igual a:
	
	
	
	
	
	4
	
	
	1/3
	
	
	2
	
	
	1/2
	
	
	3
5- O termo geral é:
Queremos o termo x4: . Assim:
	
	
		6.
		A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)^(k) é 625. Qual é o valor de k?
	
	
	
	
	
	4
	
	
	7
	
	
	6
	
	
	8
	
	
	5
 Melhor resposta:  Para somar os coeficientes, teremos x = 1 e y = 1 
(2.1 + 3.1)^m = 5^m 
5^m = 625 > m = 4
	
	
		7.
		O coeficiente de x³ no desenvolvimento de (x² + 2x + 1)10 é: 
	
	
	
	
	
	138
	
	
	978
	
	
	1140
	
	
	568
	
	
	3780