Lista de Exercícios - Binômio de Newton - Enem e Vestibulares

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LISTA DE EXERCÍCIOS – MATEMÁTICA – BINÔMIO DE 
NEWTON 
 
1. (Unitau 1995) O termo independente de x no desenvolvimento de [x + (1/x)]6 é: 
a) 10. 
b) 30. 
c) 40. 
d) 16. 
e) 20. 
 
2. (Esc. Naval 2013) O coeficiente de 𝑥5 no desenvolvimento de (
2
𝑥
+ 𝑥3)
7
 é 
a) 30 
b) 90 
c) 120 
d) 270 
e) 560 
 
3. (Fgv 2002) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + y)5 é igual a: 
a) 81 
b) 128 
c) 243 
d) 512 
e) 729 
 
4. (G1 - ifal 2011) No desenvolvimento (𝑥2 +
3
𝑥
)
𝑛
, 𝑛 ∈ ℕ, os coeficientes binominais do quarto e 
do décimo terceiro termos são iguais. Então, o termo independente de 𝑥 é o: 
a) décimo. 
b) décimo-primeiro. 
c) nono. 
d) décimo-segundo. 
e) oitavo. 
 
5. (Ufrgs 2014) Considere a configuração dos números dispostos nas colunas e linhas abaixo. 
 
 
 
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C
o
lu
n
a
 0
 
C
o
lu
n
a
 1
 
C
o
lu
n
a
 2
 
C
o
lu
n
a
 3
 
C
o
lu
n
a
 4
 
C
o
lu
n
a
 5
 
C
o
lu
n
a
 6
 
C
o
lu
n
a
 7
 
... 
Linha 0 1 
Linha 1 1 1 
Linha 2 1 2 1 
Linha 3 1 3 3 1 
Linha 4 1 4 6 4 1 
Linha 5 1 5 10 10 5 1 
Linha 6 1 6 15 20 15 6 1 
Linha 7 1 7 21 35 35 21 7 1 
... ... ... ... ... ... ... ... ... 
 
O número localizado na linha 15 e na coluna 13 é 
a) 15. 
b) 91. 
c) 105. 
d) 120. 
e) 455. 
 
6. (Uece 2016) No desenvolvimento de 𝑥(2 𝑥 + 1)10 o coeficiente de 𝑥3 é 
a) 480. 
b) 320. 
c) 260. 
d) 180. 
 
7. (Ufpe 2012) Encontre o inteiro positivo n para o qual o quinto termo da expansão binomial 
de ( √𝑥
3
+
1
𝑥
)
𝑛
 seja independente de 𝑥 na expansão em potências decrescentes de 𝑥. 
 
8. (Uern 2012) Qual é o valor do termo independente de 𝑥 do binômio (
2
𝑥2
+ 𝑥)
𝑛
, considerando 
que o mesmo corresponde ao sétimo termo de seu desenvolvimento? 
a) 435 
b) 672 
c) 543 
d) 245 
 
9. (Efomm 2020) Assinale a alternativa que apresenta o termo independente de 𝑥 na expansão 
binomial (𝑥2 +
1
𝑥6
)
8
. 
a) 1 
b) 8 
c) 28 
d) 56 
e) 70 
 
10. (Espm 2012) Para 𝑥 ∈ ℕ e 𝑥 > 2, a expressão 
(𝑥2−1)! ⋅𝑥!
(𝑥2−2)! ⋅(𝑥+1)!
 é equivalente a: 
a) 𝑥 − 2 
b) (𝑥 − 2)! 
c) (𝑥 − 1)! 
 
 
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d) 𝑥 
e) 𝑥 − 1 
 
11. (Fgv 2008) A soma dos coeficientes de todos os termos do desenvolvimento de (𝑥 − 2𝑦)18 
é igual a 
a) 0. 
b) 1. 
c) 19. 
d) -1. 
e) -19. 
 
12. (Mackenzie 2017) O número de valores de 𝑥, para os quais os coeficientes binomiais (
6
2𝑥
) 
e (
6
𝑥2
) sejam iguais, é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
13. (Fgv 2013) Desenvolvendo-se o binômio 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1)5, podemos dizer que a soma de 
seus coeficientes é 
a) 16 
b) 24 
c) 32 
d) 40 
e) 48 
 
14. (Fgv 2012) O termo independente de 𝑥 do desenvolvimento de (𝑥 +
1
𝑥3
)
12
 é 
a) 26. 
b) 169. 
c) 220. 
d) 280. 
e) 310. 
 
15. (Espcex (Aman) 2015) O termo independente de 𝑥 no desenvolvimento de (𝑥3 −
1
𝑥2
)
10
 é 
igual a 
a) 110. 
b) 210. 
c) 310. 
d) 410. 
e) 510. 
 
16. (Upf 2016) Desenvolvendo o binômio (2 𝑥 − 3 𝑦)3𝑛, obtém-se um polinômio de 16 termos. O 
valor de 𝑛 é: 
a) 15 
b) 10 
c) 5 
d) 4 
e) 2 
 
 
 
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17. (G1 - ifal 2017) O termo independente no desenvolvimento do binômio (2𝑥2 −
3
𝑥3
)
5
 é 
a) −720. 
b) −360. 
c) 0. 
d) 360. 
e) 720. 
 
18. (Espcex (Aman) 2016) A solução da equação 
3!(𝑥−1)!
4(𝑥−3)!
=
182(𝑥−2)!−𝑥!
2(𝑥−2)!
 é um número natural 
a) maior que nove. 
b) ímpar. 
c) cubo perfeito. 
d) divisível por cinco. 
e) múltiplo de três. 
 
19. (Uern 2013) A soma dos algarismos do termo independente de 𝑥 no desenvolvimento do 
binômio de Newton (
2
𝑥
+ 𝑥)
8
 é 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 7 
 
20. (Uece 2017) O coeficiente de 𝑥6 no desenvolvimento de (2𝑥 +
1
𝑥2
)
3
⋅ (𝑥2 +
1
2𝑥
)
3
 é 
a) 18. 
b) 24. 
c) 34. 
d) 30. 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [E] 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
(
7
𝑝
) ⋅ (
2
𝑥
)
7−𝑝
⋅ (𝑥3)𝑝 = (
7
𝑝
) ⋅ 27−𝑝 ⋅ 𝑥4𝑝−7 
 
Como o expoente de 𝑥 é 5, temos 4𝑝 − 7 = 5, isto é 𝑝 = 3. Fazendo, agora, 𝑝 = 3, temos: 
(
7
3
) ⋅ 27−3 ⋅ 𝑥4⋅3−7 = 35 ⋅ 16 ⋅ 𝑥5 = 560𝑥5. 
 
Portanto, o coeficiente pedido é 560. 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
O termo geral do binômio (𝑥2 +
3
𝑥
)
𝑛
 é 𝑇𝑝+1 = (
𝑛
𝑝) ⋅ (𝑥
2)𝑛−𝑝 ⋅ (
3
𝑥
)
𝑝
. 
 
Se os coeficientes binominais do quarto e do décimo terceiro termos são iguais, então 
(
𝑛
3
) = (
𝑛
12
) ⇔ 𝑛 = 3 + 12 = 15. 
 
Logo, 
p
2 15 p
p 1
p
30 2p
p
30 3p p
15 3
T (x )
p x
15 3
x
p x
15
x 3
p
−
+
−
−
   
=     
  
 
=   
 
 
=   
 
 
 
Como o desenvolvimento do binômio apresenta um termo independente de 𝑥, deve-se ter 
30 − 3𝑝 = 0 ⇔ 𝑝 = 10. 
 
Portanto, o termo pedido é o décimo primeiro. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
A tabela acima é o famoso triângulo de Pascal. 
(
15
13
) =
15!
2!⋅13!
=
15⋅14
2
= 105 
 
Resposta da questão 6: 
 [D] 
 
 
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O termo geral de 𝑥(2 𝑥 + 1)10 é dado por 
 
𝑇𝑝+1 = 𝑥 ⋅ (
10
𝑝
) ⋅ (2𝑥)𝑝 ⋅ 110−𝑝 = (
10
𝑝
) ⋅ 2𝑝 ⋅ 𝑥𝑝+1. 
 
 Assim, temos 𝑝 = 2 e, portanto, a resposta é (
10
2
) ⋅ 22 =
10!
2! ⋅8!
⋅ 4 = 180. 
 
Resposta da questão 7: 
 16. 
 
O termo geral do binômio ( √𝑥
3
+
1
𝑥
)
𝑛
 é dado por 
 
k
3 n k
k 1
n k
3
k
n 4k
3
n 1
T ( x )
k x
n 1
x
k x
n
x .
k
−
+
−
−
   
=     
  
 
=   
 
 
=  
 
 
 
Sabendo que o quinto termo é independente de 𝑥, temos que 𝑘 = 4 e, portanto, 
 
𝑛−4⋅4
3
= 0 ⇔ 𝑛 = 16. 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
O termo geral do binômio é dado por 
 
n p
p
p 1 2
n p
p
2n 2p
n p 3p 2n
n 2
T x
p x
n 2
x
p x
n
2 x .
p
−
+
−
−
− −
   
=     
  
 
=   
 
 
=   
 
 
 
Sabendo que o termo independente de 𝑥 é o sétimo, segue que 𝑝 = 6 e, assim, 
 
𝑇6+1 = (
𝑛
6
) ⋅ 2𝑛−6 ⋅ 𝑥18−2𝑛. 
 
Daí, impondo 18 − 2𝑛 = 0, concluímos que 𝑛 = 9 e, portanto, 
 
𝑇7 = (
9
6
) ⋅ 29−6 =
9!
6!⋅3!
⋅ 23 =
9⋅8⋅7
3⋅2
⋅ 8 = 672. 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
 
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O termo geral de (𝑥2 +
1
𝑥6
)
8
 é dado por: 
(
8
𝑝
) ⋅ (𝑥2)𝑝 ⋅ (𝑥−6)8−𝑝 
(
8
𝑝
) ⋅ 𝑥2𝑝 ⋅ 𝑥−48+6𝑝 
(
8
𝑝
) ⋅ 𝑥8𝑝−48 
 
Fazendo 8𝑝 − 48 = 0, 
𝑝 = 6 
 
Daí, o termo independente de x na expansão binomial (𝑥2 +
1
𝑥6
)
8
 é: 
(
8
6
) =
8!
6! ⋅ 2!
 
(
8
6
) =
8 ⋅ 7 ⋅ 6!
6! ⋅ 2 ⋅ 1
 
(
8
6
) =
8 ⋅ 7 ⋅ 6!
6! ⋅ 2 ⋅ 1
 
(
8
6
) = 28 
 
Resposta da questão 10: 
 [E] 
 
(𝑥2−1)! ⋅𝑥!
(𝑥2−2)! ⋅(𝑥+1)!
=
(𝑥2−1)⋅(𝑥2−2)! ⋅𝑥!
(𝑥2−2)! ⋅(𝑥+1)⋅𝑥!
=
𝑥2−1
𝑥+1
=
(𝑥+1)⋅(𝑥−1)
(𝑥+1)
= 𝑥 − 1 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Sendo 𝑥 um número natural, tem-se que (
6
2𝑥
) = (
6
𝑥2
) se, e somente se, 
 
|
𝑥2 = 2𝑥
 ou
𝑥2 + 2𝑥 = 6
⇔ |
𝑥(𝑥 − 2) = 0
 ou
𝑥2 + 2𝑥 − 6 = 0
 
   ⇒ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 2. 
 
Portanto, a igualdade se verifica para dois valores naturais de 𝑥. 
 
Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
A soma dos coeficientes de 𝑃 é dada por 
 
𝑃(1) = (1 + 1)5 = 25 = 32. 
 
Resposta da questão 14: 
 [C] 
 
 
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O termo Geral do Binômio de Newton será dado por: (
12
𝑝
) 𝑥12−𝑝 ⋅ (𝑥−3)𝑝 = (
12
𝑝
) ⋅ 𝑥12−4𝑝 
 
Para que T seja o termo independente do desenvolvimento de (𝑥 +
1
𝑥3
)
12
, devemos admitir 12 −
4𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = 3 
Logo, 𝑇 = (
12
3
) =
12!
3!⋅9!
= 220 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Qualquer termo do desenvolvimento do binômioserá dado por: 
(
10
𝑝
) ⋅ (𝑥3)10−𝑝 ⋅ (−𝑥−2)𝑝 = (
10
𝑝
) (−1)𝑝 ⋅ 𝑥30−5𝑝 
 
Para que o termo acima seja independente de x devemos ter: 
30 − 5𝑝 = 0 ⇒ 𝑝 = 6 
 
Fazendo agora p = 6, temos: 
(
10
6
) (−1)6 ⋅ 𝑥30−5⋅6 =
10!
4!⋅6!
= 210 
 
Resposta da questão 16: 
 [C] 
 
(2 𝑥 − 3 𝑦)3𝑛 possui 16 termos, então: 3𝑛 + 1 = 16 ⇒ 𝑛 = 5 
 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
Utilizando a formula do termo geral temos: 
𝑇𝑘+1 = (
𝑛
𝑘
) ⋅ 𝑎𝑛−𝑘 ⋅ 𝑏𝑘 = (
5
𝑘
) ⋅ (2𝑥2)5−𝑘 ⋅ (
3
𝑥3
)
𝑘
= 
 
= (
5
𝑘
) ⋅ 25−𝑘 ⋅ 𝑥10−2𝑘 ⋅ 3𝑘 ⋅ 𝑥−3𝑘 = (
5
𝑘
) ⋅ 3𝑘 ⋅ 25−𝑘 ⋅ (𝑥)10−5𝑘 
 
Igualando o expoente a zero, pois procuramos o termo independente de 𝑥 temos: 
10 − 5𝑘 = 0 ⇒ 𝑘 = 2 
 
Logo, o termo independente é o terceiro termo, pois 𝑇𝑘+1 = 𝑇2+1 = 𝑇3 e dessa maneira: 
𝑇3 = (
5
2
) ⋅ 32 ⋅ 25−2 ⋅ (𝑥)0 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 720 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
3! ⋅ (𝑥 − 1)!
4 ⋅ (𝑥 − 3)!
=
182 ⋅ (𝑥 − 2)! − 𝑥!
2 ⋅ (𝑥 − 2)!
⇒
3! ⋅ (𝑥 − 1) ⋅ (𝑥 − 2)
4
=
182 − 𝑥(𝑥 − 1)
2
⇒ 6(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
= 364 − 2𝑥2 + 2𝑥 
⇒ 8𝑥2 − 20𝑥 − 352 = 0 ⇒ 8𝑥2 − 5𝑥 − 88 = 0 
𝑥 =
5 ± 27
2
⇒ 𝑥 = 8  ou  x = −11/2  (não convém) 
 
 
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Portanto, 8 é um cubo perfeito. 
 
Resposta da questão 19: 
 [B] 
 
O termo geral do binômio é 
 
8 p
p
p 1
8 p 2p 8
8 2
T x
p x
8!
2 x .
p! (8 p)!
−
+
− −
   
=     
  
=  
 −
 
 
O termo independente de 𝑥, se existir, é o natural 𝑝 que torna o expoente de 𝑥 igual a zero, ou 
seja, 
 
2𝑝 − 8 = 0 ⇔ 𝑝 = 4. 
 
Em consequência, o termo independente de 𝑥 existe e é igual a 
 
8 4
5
4
8!
T 2
4! (8 4)!
8 7 6 5
2
4 3 2
1120.
−= 
 −
  
= 
 
=
 
 
Portanto, segue-se que o resultado é 1 + 1 + 2 + 0 = 4. 
 
Resposta da questão 20: 
 [B] 
 
Sendo 
𝑇𝑝+1 = (
3
𝑝
) ⋅ (2𝑥)3−𝑝 ⋅ (
1
𝑥2
)
𝑝
= (
3
𝑝
) ⋅ 23−𝑝 ⋅ 𝑥3−3𝑝, 
 
o termo geral de (2𝑥 +
1
𝑥2
)
3
, e 
 
𝑇𝑞+1 = (
3
𝑞
) ⋅ (𝑥2)3−𝑞 ⋅ (
1
2𝑥
)
𝑞
= (
3
𝑞
) ⋅ 2−𝑞 ⋅ 𝑥6−3𝑞 , 
 
o termo geral de (𝑥2 +
1
2𝑥
)
3
, e 
 
𝑇𝑝+1 ⋅ 𝑇𝑞+1 = (
3
𝑝
) ⋅ (
3
𝑞
) ⋅ 23−(𝑝+𝑞) ⋅ 𝑥9−3(𝑝+𝑞). 
 
Logo, deve-se ter 𝑝 + 𝑞 = 1, o que implica em (𝑝,  𝑞) = (0,  1) ou (𝑝,  𝑞) = (1,  0). Em 
consequência, a resposta é 
(
3
0
) ⋅ (
3
1
) ⋅ 22 + (
3
1
) ⋅ (
3
0
) ⋅ 22 = 24.