Torque

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Jonathan Tejeda Quartuccio - Unicamp 
 
 
Física I - Torque 
Torque 
Vimos que o momento angular com relação a um ponto Q é dado por: 
| ⃗ | 
Podemos derivar nosso momento angular, de maneira a obter um torque: 
 ⃗ 
 
 
Assim, o torque ocasiona uma variação do momento angular. Se o momento angular 
não muda, então não há torque envolvido. A Terra (m) move-se ao redor do Sol (C). A distância 
é dada por e existe a força da gravidade que aponta para o centro. 
 
A Terra possui uma velocidade tangencial. Podemos calcular o momento angular com 
relação ao centro C. 
| | 
Como o ângulo é reto, temos que o valor do seno é um. Podemos escrever o momento 
angular em termos da velocidade angular, e não em termos da velocidade linear (visto que o 
movimento é circular). Então: 
| | 
 
Se derivarmos o momento angular, encontraremos o torque. Sabemos que torque é o 
produto vetorial da posição pela força. Nesse caso, a força forma um ângulo de 180° com o 
vetor posição, ou seja: 
 ( ) 
Nossa conclusão é que, com relação ao centro não há torque e então o momento 
angular é conservado. 
Temos uma barra, ou uma haste, de massa M e comprimento L com seu centro de 
massa dado em C. Iremos forçar essa barra a girar em torno de P, onde iremos colocar um 
prego. A distância de P a C é d e nossa barra gira com uma velocidade . 
 
O momento angular com relação a P será: 
| | 
Não sabemos o valor do momento de inércia em P, mas sabemos o valor em C. Assim, 
podemos utilizar o teorema dos eixos paralelos e escrever: 
 
 
 
 
Assim: 
| | (
 
 
 ) 
No ponto P existirá uma força agindo na seguinte direção: 
 
Para entender melhor o que está ocorrendo, vamos imaginar uma barra de massa 
desprezível com duas massas iguais em suas extremidades. As massas irão girar em torno do 
eixo que passa pelo centro da barra. Como elas estão girando, surgirá forças centrípetas 
apontando para o centro: 
 
Como as massas são iguais e ambas distanciam o mesmo valor do centro, as forças 
centrípetas irão se anular (pois são iguais, mas com sentidos opostos). Mas agora, irei fazer 
com que as massas girem em torno de outro ponto: 
 
Perceba que nesse caso a força centrípeta da massa da direita será maior do que a da 
esquerda: 
 
Portanto haverá uma força sobre o ponto no qual a barra está girando. Mas essas 
forças que agem na barra, entre as massas, não me interessam. O que interessa é apenas o 
torque envolvido. Perceba que qualquer força que atue em P não terá efeito algum. Assim, 
podemos dizer que essa força em P não realiza torque. Com isso, sabemos que, com relação a 
P o momento angular se conserva. Vamos tomar o caso da barra girando em torno do seu 
centro de massa. 
 
Nesse caso, como já vimos, as forças atuando sobre o ponto C se anulam e então o 
torque tem de ser zero para qualquer ponto. O momento angular da barra será: 
| | 
 
 
 
Sabemos que o momento angular é descrito, de uma maneira geral, como: 
 ⃗ 
| | 
| | ( ) 
| | 
Derivando: 
 ⃗ 
 
 
 
 
 
Assim, podemos escrever o torque como: 
 
Onde é a aceleração angular.