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Universidade Te
nológi
a Federal do Paraná
Câmpus Campo Mourão
Prof. Lilian Caroline Xavier Candido
CD3X2 - Cál
ulo Diferen
ial e Integral II
Relações e funções em espaços reais n-dimensionais
1. Seja f(x, y) = 3x+ 2y. Cal
ule
a) f(1,−1) R: 1
b) f(a, x) R: 3a+ 2x
)
f(x+h,y)−f(x,y)
h
R: 3
d)
f(x,y+k)−f(x,y)
k
R: 2
2. Seja f(x, y) = x−y
x+2y
.
a) Determine o domínio. R: {(x, y) ∈ R2|x 6= −2y}
b) Cal
ule f(2u+ v, v − u). R: u
v
3. Seja f(x, y) = x2e3xy.
a) Cal
ule f(2, 0). R: 4
b) Determine o domínio de f . R: R2
) Determine a imagem de f . R:[9,∞)
4. Represente gra�
amente o domínio da função z = f(x, y) dada por
a) x+ y − 1 + z2 = 0, z ≥ 0
b) f(x, y) = x−y√
1−x2−y2
) z =
√
y − x2 +√2x− y
d) z = ln(2x2 + y2 − 1)
e) z2 + 4 = x2 + y2, z ≥ 0
f) z =
√
|x| − |y|
g) 4x2 + y2 + z2 = 1, z ≤ 0
h) z = x−y
senx−sen y
5. Desenhe as 
urvas de nível e esbo
e o grá�
o.
a) f(x, y) = 1− x2 − y2
b) f(x, y) = x+ 3y
) z = 4x2 + y2
d) f(x, y) = 1 + xY 2 + y2
e) z = x+ y + 1
f) g(x, y) =
√
1− x2 − y2
g) f(x, y) = x2, −1 ≤ x ≤ 0 e y ≥ 0
h) f(x, y) = 1− x2, x ≥ 0, y ≥ 0 e x+ y ≤ 1
i) z =
√
x2 + y2
j) z = (x− y)2, x ≥ 0 e y ≥ 0
k) z = f(x, y) dada por x2 + 4y2 + z2 = 1, z ≥ 0
l) f(x, y) = 1√
1−x2−y2
, x2 + y2 < 1
m) z = arctg(x2 + y2)
n) f(x, y) = x, x ≥ 0
o) z = 1−
√
x2 + y2, x2 + y2 ≤ 1
p) f(x, y) = sen x, 0 ≤ x ≤ pi, y ≥ 0
q) f(x, y) = xy, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
6. Desenhe as 
urvas de nível e determine a imagem:
a) f(x, y) = x− 2y
b) z = y
x−2
) f(x, y) = x−y
x+y
d) z = x
y−1
e) z = xy
f) f(x, y) = x2 − y2
g) z = 4x2 + y2
h) z = 3x2 − 4xy + y2
i) z = x
2
x2+y2
j) z = xy
x2+y2
7. Desenhe as 
urvas de nível e esbo
e o grá�
o da função
f(x, y) =
√
(x+ 1)2 + y2 +
√
(x− 1)2 + y2
8. O poten
ial elétri
o no ponto (x, y) do plano xy é V (x, y) volts e V (x, y) = 4√
9−x2−y2
. Tra
e as
urvas equipoten
iais de V em 16, 12, 8, 4, 1, 1
2
e
1
4
.
9. Suponha que o número de unidades produzidas de 
erta mer
adoria seja z e z = 6xy, onde x é o
número de máquinas que foram usadas na produção e y é o número de pessoas-hora disponíveis.
Então, a função f , de�nida por f(x, y) = 6xy, é uma função de produção. Tra
e o mapa de 
ontorno
de f mostrando as 
urvas de produção 
onstantes para z a 30, 24, 18, 12 e 6.
10. Uma pla
a �na de metal, lo
alizada no plano xy, tem temperatura T (x, y) no ponto (x, y). As 
urvas
de nível de T são 
hamadas isotérmi
as porque todos os pontos em uma isotérmi
a têm a mesma
temperatura. faça o esboço de algumas isotérmi
as se a função temperatura for dada por
T (x, y) =
100
1 + x2 + 2y2
11. Duas 
urvas de nível podem inter
eptar-se? Justi�que.
12. Seja f(x, y, z) = e
√
z−x2−y2
.
a) Cal
ule f(2,−1, 6). R: e
b) Determine o domínio de f . R: {(x, y, z)|z ≥ x2 + y2}
) Determine a imagem de f . R: [1,∞)
13. Represente geometri
amente o domínio da função dada.
a) f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2
b) f(x, y, z) =
√
1− z
) f(x, y, z) =
√
1− x− y − z, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0
d) w =
√
1− |x| − |y| − |z|
e) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2)
14. Desenhe a superfí
ie de nível 
orrespondente a c = 1.
a) f(x, y, z) = x
b) f(x, y, z) = z
) f(x, y, z) = x2 + y2
d) f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
15. Duas superfí
ies de nível de uma função f podem inter
eptar-se? Justi�que.