Aula Teórica Nº 013

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
ENGENHARIA CIVIL 
 
Av: Dom José Gaspar, 500 Coração Eucarístico 
Belo Horizonte - MG - CEP 30535-901 
Tel.: (0**31) 3319-4444 – Fax: (0**31) 3319-4225 
- 1 - 
FUNÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
ÁREA DE CONHEC.: INFRA-ESTRUTURA VIÁRIA 
AULAS Nº: 13 – TEÓRICA 
PROF.: HENRIQUE J. RAAD (henriquejraad@yahoo.com.br) 
 
1. TEÓRICA: Concordância vertical / Planta, perfil e seções transversais 
 
O tema concordância vertical está descrito em DNER (1999), que servirá como fonte de consulta para a tais tópicos. O 
estudo se desenvolverá com base nas páginas 122 a 141 de DNER (1999). O estudo de execução de projeto em planta, projeto 
altimétrico e seções transversais, que foram amplamente discutidos nas aulas práticas seguirão linha de consulta em DNER 
(1999) nas páginas 62 a 65, 115 a 121, e 141 a 192. Os cálculos complementares para a distância de parada são feitos pela 
equação descrita à página 52, item 5.3.1, de DNER (1999). 
 
Análise aprofundada de DNER (1999) resulta em algumas relações matemáticas que definem valores de ordenadas e 
flechas da curva vertical que é uma parábola, a saber (conforme Figura 1): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Esquema para cálculo das cotas e flechas da parábola de concordância vertical [sic PONTES FILHO, 1998] 
 
xix
L
gy ⋅+⋅−= 1
2
2
, Equação 001 
( ) ( )PCVCotaxix
L
gPCota +⋅+⋅−= 1
2
2
, Equação 002 
2
2
x
L
gf ⋅= , Equação 003 
8
LgF ⋅= , Equação 004 
g
LiL ⋅= 10 , e Equação 005 
g
Liy
2
2
1
0
⋅
= , Equação 006 
( ) ( ) 





−=
2
LPIVEPCVE , Equação 007 
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Engenharia Civil – Infra-estrutura Viária 
Prof. Henrique J. Raad 
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( ) ( ) 




+=
2
LPIVEPTVE , Equação 008 
( ) ( ) 




 ⋅
−=
2
1 LiPIVCotaPCVCota , Equação 009 
( ) ( ) 




 ⋅+=
2
1 LiPIVCotaPTVCota . Equação 010 
sendo L0 a abscissa e y0 a ordenada do vértice V em relação ao PCV (ponto de ordenada máxima ou mínima). 
 
Nota de serviço de terraplanagem 
 
A definição do greide de projeto quando comparado com os níveis do terreno, geram informações de alturas de corte e 
aterro que podem auxiliar na avaliação de valores de dimensionamento de movimentação de terra durante a execução da obra e 
até mesmo embasar a escolha do traçado do greide escolhido de forma a ser o mesmo mais econômico possível. Para isto é 
comum utilizar tabelas de cálculo (conforme a mostrada na Figura 2) que apresentam os valores de cotas do terreno, do greide 
e valores de corte e aterro para cada estaca do eixo traçado (o dimensionamento real de volumes deverá ser feito considerando 
alturas de corte e a aterro do eixo e também das bordas da pista, não sendo estudado neste momento). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Notas de serviço de terraplenagem [sic PONTES FILHO, 1998] 
 
Na tabela da Figura 2, as colunas serão preenchidas da seguinte forma: 
• Coluna 1: Nesta coluna devem ser indicadas as estacas, a começar pela estaca de PCV, passando por todas as 
estacas inteiras até chegar e PTV. 
• Colunas 2 e 3: Estas colunas serão preenchidas com os valores das cotas do terreno e do greide reto traçado 
por estaca, respectivamente. 
• Coluna 4: Serão lançados nesta coluna os valores de y para cada estaca, conforme equação 001. 
• Coluna 5: Serão calculados os valores de greide de projeto para cada estaca no trecho curvo, somando-se y ao 
valor da cota do PCV. 
• Colunas 6 e 7: Nesta coluna serão lançados os valores resultantes da subtração entre os valores da cota do 
terreno (coluna 2) e do greide de projeto encontrado (coluna 5), sendo lançados os valores positivos na 
coluna 6 e os negativos na coluna 7. 
 
Exemplo 1 (Superelevação): Calcule os elementos notáveis da curva a seguir, considerando uma velocidade diretriz de 80 
km/h e aceleração centrífuga admissível igual a 5,0% de g [adaptado de PONTES FILHO, 1998]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
1- Cálculo da distância de visibilidade de parada 
 
Conforme descrito em DNER (1999): 
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( )[ ] ( )[ ] mddif
VVd 43,134
02,03,0255
80807,0
255
7,0
22
=∴
+⋅
+⋅=∴
+⋅
+⋅= . 
 
Os valores de f podem ser extraídos a partir da tabela 5.3.1.2 de DNER (1999). 
 
2- Cálculo de g (diferença algébrica dos greides) 
 
( ) 08,0%8%6%221 ==∴−−=∴−= ggiig 
 
3- Cálculo do valor de L 
 
O valor de L pode ser obtido através de um valor de raio conhecido ou simplesmente ser estimado em função dos 
comprimentos dos trechos de greide, onde o comprimento total será limitado a estas medidas e considerando valores próximos 
aos mais econômicos com relação a processos de corte e aterro. Em nosso exemplo será calculado L conforme DNER (1999): 
 
mkk
a
Vk 08,10
8,905,01296
80
1296 min
2
min
2
min =∴
⋅⋅
=∴
⋅
= , 
 
e daí 
 
( )[ ] mLLLAkL 10064,806208,10 ≅∴=∴−−⋅=∴⋅= 
 
4- Cálculo de Lmin 
 
Como trata-se de uma curva convexa e a distancia de visibilidade de parada é maior que o valor de L, temos: 
 
mLL
A
DL 36,217
8
41243,13424122 minminmin =∴−⋅=∴−=
. 
 
O cálculo mostra que Lmin é superior ao L adotado, então, este último deverá ser corrigido. Adotaremos o valor superior e 
arredondado de 220 metros. Nova verificação pode ocorrer da seguinte forma: 
 
mLLADL 90,3508
412
43,134
412 min
2
min
2
min =∴⋅=∴⋅= . 
 
Após a nova verificação, constatou-se que o valor real mínimo para L deverá ser superiora 350,90 m, então, por 
arredondamento, adotaremos em definitivo o valor de 360 metros (Notem que a impossibilidade de adoção do valor inicial de 
L se deu por ser o valor A muito grande. Caso a progressão fosse de, por exemplo, +1,5% para -0,5%, teríamos Lmin valendo 
62,86 metros, ou seja, inferior ao valor adotado inicialmente. É comum a adoção de valores altos para o L estimado no início 
para evitar retrabalhos. É importante considerar que os valores adotados para L e R devem ser tanto maiores quanto possível 
para aumentar a qualidade no uso da via.). 
 
5- Cálculo de R 
 
Sabe-se que R é dado pela razão entre L e g. Então: 
 
mRR
g
LR 4500
08,0
360
=∴=∴= . 
 
6- Cálculo de F (flecha máxima da parábola de concordância vertical) 
 
Segundo a Equação 004, temos: 
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mFFLgF 6,3
8
36008,0
8
=∴
⋅
=∴
⋅
= 
 
7- Cálculo das estacas e cotas do PCV e PTV 
 
Considerando que, segundo DNER (1999), a projeção horizontal da parábola de concordância vertical deve ser simétrica com 
relação à abscissa do PIV, teremos: 
 
estavasm
L 9180
2
== , 
( ) ( ) 00,071980 +=∴−= EPCVEstEPCVEst , 
( ) ( ) 00,089980 +=∴+= EPTVEstEPTVEst , 
( ) ( ) ( ) ( ) mPCVCotaPCVCotaLiPIVCotaPCVCota 40,826
2
36002,0830
2
1
=∴
⋅
−=∴
⋅
−= , 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mPCVCotaPCVCotaLiPIVCotaPTVCota 20,819
2
36006,0830
2
2
=∴
⋅−
+=∴
⋅
+= , 
 
8- Cálculo do vértice V 
 
Conforme Equações 005 e 006, temos: 
 
mestLmLL
g
LiL 00,10490
08,0
36002,0
000
1
0 +=∴=∴
⋅
=∴
⋅
= 
( )
( )myyg
Liy 90,0
08,02
36002,0
2 0
2
0
2
1
0 =∴
⋅
=∴
⋅
=
. 
 
E conforme Figura 1, teremos: 
 
( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) mEVEEVELPCVEVE 00,107500,10400,0710 +=∴+++=∴+= 
( ) ( ) ( ) ( ) mVCotaVCotayPCVCotaVCota 30,82790,040,8260 =∴+=∴+= 
 
9- Cálculo das ordenadas da parábola e notas de terraplenagem para a concordância 
 
Pela Equação 001, teremos: 
 
xxyxxyxix
L
gy ⋅+⋅⋅−=∴⋅+⋅
⋅
−
=∴⋅+⋅
−
=
− 02,0101111,102,0
3602
08,0
2
242
1
2
 
 
Daí, para PCV e PTV (E71) temos: 
 
( ) ( ) myy EE 00,0002,00101111,1 712471 =∴⋅+⋅⋅= − , 
( ) ( ) 0712400,1075 90,09002,090101111,1 ymyy EE ==∴⋅+⋅⋅= −+ , 
( ) ( ) myy EE 00,018002,0180101111,1 712480 =∴⋅+⋅⋅= − , e 
( ) ( ) myy EE 20,736002,0360101111,1 712489 −=∴⋅+⋅⋅= − . 
 
Lançando os valores na tabela para cada estaca teremos: 
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*** 
 
Além do descrito em DNER (1999), PONTES FILHO (1998) especifica alguns critérios a serem considerados na 
implantação da 3ª faixa: 
a) Ponto de início da rampa 
a1) Rampa ascendente precedida de rampa descendente: Ponto de início é eqüidistante do vértice e do PTV, ou seja: 
( ) Lii
id ⋅
−
=
12
2
2
, Equação 011 
onde 
d = distância do ponto de inicio da rampa ao PTV em metros, 
L = comprimento da curva vertical em metros, 
i1 = valor algébrico da rampa descendente, em %, 
i2 = valor algébrico da rampa ascendente, em %, e 
2
0LLd −= . Equação 012 
a2) Rampa ascendente precedida de rampa ascendente: Ponto de início coincide com a estaca do PIV. 
b) Ponto final da rampa 
b1) Rampa ascendente seguida de rampa descendente: Ponto final coincide com o vértice da curva parabólica vertical, 
ou seja, igual a L0 (Equação 005). 
b2) Rampa ascendente seguida de rampa ascendente: Ponto final coincide com a estaca do PIV. 
 
È importante ressaltar o uso dos “tapers” antes e após o comprimento da 3ª faixa, conforme descrito em DNER 
(1999). 
 
2. PRÁTICA 
 
- 
 
3. BIBLIOGRAFIA 
 
DNER – Departamento Nacional de Estradas de Rodagem. Manual de Projeto Geométrico de Rodovias Rurais. 1999. 
Estaca Cotas (m) Ordenadas da parábola (y) 
Greide de Projeto 
(C=B71+y) 
Cotas Vermelhas (A-C) 
Terreno (A) Greide Reto (B) Corte (+) Aterro (-) 
71 = PCV 820,00 826,40 0,00 826,40 6,40 
72 821,10 826,80 0,3556 826,76 5,66 
73 822,23 827,20 0,6222 827,02 4,79 
74 823,50 827,60 0,8000 827,20 3,70 
75 824,69 828,00 0,8889 827,29 2,60 
76 825,99 828,40 0,8889 827,29 1,30 
77 827,10 828,80 0,8000 827,20 0,10 
78 828,10 829,20 0,6222 827,02 1,08 
79 828,45 829,60 0,3556 826,76 1,69 
80 = PIV 828,60 830,00 0,0000 826,40 2,20 
81 828,63 828,80 -0,4444 825,96 2,67 
82 828,40 827,60 -0,9778 825,42 2,98 
83 828,03 826,40 -1,6000 824,80 3,23 
84 827,,69 825,20 -2,3111 824,09 3,60 
85 827,30 824,00 -3,1111 823,29 4,01 
86 826,90 822,80 -4,0000 822,40 4,50 
87 826,30 821,60 -4,9778 821,42 4,88 
88 825,12 820,40 -6,0444 820,36 4,76 
89 = PTV 824,89 819,20 -7,20 819,20 5,69 
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LEE, Shu Han. Projeto Geométrico de Estradas. Apostila do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal de 
São Carlos – UFSC. 2000. 
PONTES FILHO, Glauco. Estradas de Rodagem: Projeto Geométrico. São Carlos. 1998. 
SENÇO, Wlastermiler de. Estradas de Rodagem: Projeto. Universidade de São Paulo. 1980. 
CARVALHO1, M. Pacheco de. Curso de Estradas: Estudos, Projetos e Locação de Ferrovias e Rodovias. 2ª Edição. 
Rio De janeiro. Editora Científica. 1967. 
CARVALHO2, M. Pacheco de. Método Prático de Construção de Estradas de Rodagem. Rio De janeiro. Editora 
Rodovia. 1954. 
BARNETT, J. Transition Curves for Highways. Public Road Administration. Washington, D. C. 1940.