Álgebra - p2

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Universidade do Estado do l^io de Janeiro.
Rio de Janeiro, 22 de novembro de 2010.
Professora: Joice Santos . |
Aluno (a): .Raxxm, Qx-
Nota: '• \
Prova de Álgebra Linear VIII
1) (2,5 pontos) Dada a transformação linear T: IR3 -»IR3 defini da por
T (x, y, z} = (2x + y-z,x-y,3y-z) determine:
a) Uma base para Ker (T): ;
b) A equação cartesiana de definição da Im(7"):
c) T é invertível? Por que?
! : ! ' .
2) (2,5 pontos) Seja ! T : IR2 -» IR3 transformação linear 7"(l,il) = (l,-l 0) e
r(l,-l) = (1,2,4). Determine:
a) T (x, y) i
b) \T] onde /? é a base canónica do IR2 e a é a base canónica do
L J# ;
3) (2,5 pontos) Dada a transformação linear T definida pela matriz:
"O 0; l"
O l 2
L0 O l
Determine:
; j | •
a) seu polinómio característico: ! j
• ; b) seus autovaloreslassociadps: '
c) seu-; auto-espaço:s e autovetores associados:
d) T .é diagonalizáyel? Se for determine uma forma diagonal pá -a T e unia base
de autovetores, caso contrário, determine 'uma forma canónica de Jordan e
uma base associada a ela .} j .
! ; j ; j l .
4) (2,5 pontos) Dada aibase (3 = {(!,-!,!);(!, 1,0);(l,0,1)} do//?3, use o processo de
ortogono.Uzàção Graham Smith pai-a encontrar uma base /?' ortonormal a partir
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da base1/S e encontre os coeficientes de Fourier do vetor v = (1,1,1) nessa base:
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