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- Ca´lculo 1: Lista de exerc´ıcios 4 - Derivadas 1. Para cada func¸a˜o f dada, calcule a derivada indicada: (a) f(x) = −6x5 + 3x4 − 5x− 2, d25ydx25 ; (b) f(x) = senx, d 37y dx37 ; (c) f(x) = 1x , dny dxn ; 2. Determine a derivada de ordem n de y = lnx. 3. Derive: (a) y = arctan(arcsenx); (b) y = ln(secx+ tgx); (c) y = xx; (d) y = arcsen( √ 1− x2); (e) y = arcsen(e2x − 1). 4. Determine para quais valores de x cada func¸a˜o a seguir esta´ definida: a) y = arcsen(2x+ 1) b) y = arccos(ex5) c) y = arctg(3x+ 2) 5. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de cada func¸a˜o a seguir: a) y = 3x4 − 16x3 + 18x2 b) y = x3 − 3x2 + 1. 6. Determine os pontos cr´ıticos de cada func¸a˜o a seguir: a) y = x3 + x2 − x b) f(x) = x+1x2+x+1 c) y = x2/3 d) y = x2/5 7. Determine, se existirem, os valores ma´ximos e mı´nimos de cada func¸a˜o a seguir, no intervalo indicado: a) y = x3 − 3x+ 1, [0, 3] b) y = (x2 − 1)3, [−1, 2] c) g(t) = t√4− t2, [−1, 2] d) y = x− 2senx, [−pi2 , pi2 ], e) y = ex−e−x2 , (−∞,+∞) f) y = x3 − 3x+ 1, na reta. Respostas: 1. (a) d 25y dx25 = 0; (b) d37y dx37 = cosx, (c) dny dxn = (−1)nn! xn+1 2. d n ln x dxn = (−1)n−1(n−1)! xn 3. (a) y′ = 1 (1+arcsen2x) √ 1−x2 ; (b) y′ = secx; (c) y′ = xx(1 + lnx); (d) y′ = − x|x|√1−x2 (e) y′ = 2e 2x√ 1−(e2x−1)2 4. (a) − 1 ≤ x ≤ 0; (b) ln 4 ≤ x ≤ ln 6, (c) −∞ < x < +∞ 5. (a) Cresce para 0 < x < 1 e 3 < x < +∞, decresce para −∞ < x < 0 e 1 < x < 3. (b) Cresce para −∞ < x < 0 e 2 < x < +∞, decresce para 0 < x < 2. 6. (a) x = −1 e x = 1/3; (b) x = −2 e x = 0; (c) x = 0; (d) x = 0. 7. (a) Ma´ximo: y = 19 em x = 3; Mı´nimo: y = −1 em x = 1; (b) Ma´ximo: y = 27 em x = 2; Mı´nimo: y = −1 em x = 0; (c) Ma´ximo: g = 2 em t = √ 2; Mı´nimo: g = −√3 em t = −1; (d) Ma´ximo: y = √ 3− pi3 em x = −pi3 ; Mı´nimo: y = − √ 3 + pi3 em x = pi 3 ; (e) Na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo em −∞ < x <∞; (f) Na˜o tem ma´ximo nem mı´nimo em −∞ < x <∞.
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