Trabalho De Vibrações - Prof. Virgilio - UFPB

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
 CENTRO DE TECNOLOGIA
 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
 DISCIPLINA: VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS
PROFESSOR: VIRGILIO MENDONÇA DA COSTA E SILVA
ANÁLISE DE UM MECANISMO COMPOSTO POR CORREIA, POLIAS E BRAÇO MECÂNICO DO PONTO DE VISTA DAS VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS.
Arthur Lisbôa Formiga – 11111470
Luana Maria Gomes Macêdo Barbosa – 11111486
Novembro, 2016
INTRODUÇÃO
	Neste trabalho buscaremos analisar um sistema do ponto de vista das Vibrações dos Sistemas Mecânicos. Tal sistema se resume a um conjunto de polias ligado por uma correia, e um braço mecânico que tem a função de tensionar a correia, prevenindo folgas e deslizamentos. No item 1 deste relatório iremos determinar a EDM do sistema e determinar sua frequência natural de vibração, posteriormente, no item 2, buscaremos determinar a EDM e a frequência natural amortecida do sistema quando esse apresentar um amortecedor na extremidade livre do braço. Nos itens 3 e 4 iremos determinar as respostas do sistema mecânico, com e sem amortecimento, quando submetido a uma força particular que será apresentada. O conjunto polia, correia e braço mecânico pode ser visto em detalhes na figura 1 abaixo.
Figure 1. Sistema Mecânico
DESENVOLVIMENTO DOS CÁLCULOS
Primeiramente, procederemos para a resolução do item 1 e 2 do trabalho, nos quais estaremos interessados em encontrar a EDM e a equação de frequência natural para o sistema com e sem amortecimento. Buscaremos nessa primeira etapa substituir a correia e polias por uma mola perpendicular ao braço mecânico.
O diagrama de corpo livre do sistema mecânico, que engloba a correia e o disco de massa M e o braço mecânico, se encontra na figura 2 abaixo e indica a força resultante que as tensões na correia fazem no braço mecânico de massa m.
Figure 2. Ilustração da força resultante da correia sobre o braço mecânico.
No diagrama mostrado acima as duas tensões fazem o mesmo ângulo com a horizontal e logo a força resultante se torna:
	
	
	(1)
	
	
	
Já a tensão pode ser calculada por:
O braço mecânico divide a parte inferior da correia em duas metades, de modo que a deformação em uma dessas metades pode ser encontrada através da fórmula:
Em termos do comprimento total , a equação para a deformação acima não sofreria alteração, apenas substituiremos o pelo . Sabendo que a parte da correia que apresenta essa deformação age como uma mola de rigidez igual a , logo, em posse da deformação na correia, de sua rigidez e da tensão T que age sobre ela, podemos montar uma equação que relacione esses três fatores usando a Lei de Hooke;
	
	
	(2)
Substituindo a equação II acima na equação I, temos:
	
	
	(3)
Uma mola de rigidez K a ser colocada na extremidade livre do braço mecânico, poderia ser calculada pela fórmula;
	
	
	(4)
Porém;
	
	
	(5)
Logo, substituindo a equação V e a derivada da equação III na equação IV, obtemos:
	Com isso, podemos agora substituir as polias e correia por uma mola cuja rigidez K foi calculada acima, o novo sistema mecânico é mostrado na figura 3 abaixo:
Figure 3. Mola equivalente a força exercida sobre o braço pela correia.
	Feita esse simplificação, iremos agora determinar a equação de movimento (EDM) do sistema acima usando o método dos mmentos para pequenas angulações a partir do equilíbrio apresentado na figura. 
ITEM 1
Primeiramente vale lembrar que as forças peso da barra e do disco não serão consideradas aqui devido ao fato de elas se cancelarem com as deflexões estáticas das molas. Para análise dos momentos o eixo X será considerado como a direção longitudinal ao braço, enquanto o eixo Y é aquele perpendicular a barra. Como o peso se cancela com as deflexões estáticas das molas, as únicas forças externas atuantes no sistema serão as forças das molas para pequenas deflexões, uma mola está localizada na extremidade do braço e consideraremos a outra mola como estando localizada na metade do braço, ou seja , logo:
Onde J representa o momento de inércia total do sistema, representa o comprimento do braço mecânico, representa a deformação da mola localizada na ponta da barra e representa a deformação da mola localizada a do ponto do fixo da barra. As deformações nas molas podem ser colocadas em função do deslocamento angular do braço:
O momento de inércia do sistema é composto pelo momento de inércia de uma barra com relação a sua extremidade e o momento de inércia de um disco com relação a extremidade fixa da barra:
Onde o termo que antencede a aceleração angular é a massa equivalente do sistema e o termo que antecede a posição angular é a rigidez equivalente do sistema. Desse modo, é fácil perceber que a frequência natural do sistema será:
ITEM 2
Neste item, buscaremos determinar a EDM e a frequência natural amortecida do sistema após a adição de um amortecedor de coeficiente de amortercimento na extremidade livre do braço, a EDM se tornará:
Explicitando a velocidade da extremidade fixa da barra em termos do deslocamento angular, temos:
A frequência natural amortecida desse amortecedor pode ser encontrada a partir da seguinte fórmula:
Onde é o fator de amortecimento do amortecedor e pode ser encontrado da fórmula:
	Com isso a expressão para a frequência amortecida do sistema se tornará:
	Onde o a frequência natural é aquela mesma calculada no item 1 para o sistema sem amortecimento. 
ITEM 3
	Seguindo adiante com a estrutura do trabalho, procuraremos agora determinar a resposta do sistema mecânico em questão (sem o amortecedor), quando submetido por uma força aplicada perpendicularmente ao braço e em sua extremidade. O gráfico dessa força em função do tempo se resume a figura 4 mostrada abaixo.
Figure 4. Gráfico da força de excitação aplicada na extremidade livre do braço mecânico.
	Acharemos a resposta usando dois métodos de cáculo diferentes, pelo método de integral de convolução e pelo método clássico. Usando o método da integral de convolução, temos:
	Onde dividiremos as respostas para três intervalos diferentes:
Para o intervalo de t ≤ 2, teremos:
Para o intervalo de 2 ≤ t ≤ 3, teremos:
Dividindo a equação acima para simplificar a visualização, temos que a segunda integral será:
Já a terceira integral, será:
E por último, a primeira integral será:
Juntando todos esses resultados na equação original, e simplicando os termos teremos:
Para o intervalo de t ≥ 3, teremos:
	O cálculo de tais integrais já foram efetuados acima, e portanto iremos apenas substituir os novos limites de integração. Na primeira integral, teremos:
	Na segunda integral, teremos:
	A terceira integral, resultará na expressão:
Juntando todos esses resultados na equação original, teremos:
Já pelo método clássico, a solução é conhecida através da utilização de soluções resposta padrão para certos tipos de força em junção com as equações abaixo:
	
	
	(6)
	
	
	(7)
Usaremos essas equações para determinar as respostas nos 3 intervalos já descritos:
Para t ≤ 2s;
Supondo que as condições iniciais do sistema são e , e sabendo que a solução particular para o intervalo de t < 3s é , podemos simplifcar as equações acima para encontrar:
	Substituindo o valor de A, na equação 6, temos:
	Logo, a equação da resposta do sistema se torna:
	
	
	(8)
Para 2 ≤ t ≤ 3;
Para definir a equação de resposta nesse intervalo usaremos as equações básicas lembradas acima, com as condições iniciais analisadas em 2s e a resposta particular será . Logo, pela equação 6 temos;
	Porém, para 2s a equação de resposta para um t < 2s também pode ser usada, logo usando a equação 8, temos:
	Logo;
	
	
	(9)
	Vamos agora usar a equação 7 e a derivada da equação 8 para char outra relação entre A e B. Usando a equação 7, temos:
	Já a derivaad da equação 8 para um tempo t = 2s, se tornará:
	Igualando, temos:
	
	
	(10)
	Ao multiplicar a equação 9 pore a equação 10 por , podemos reanjar esse sistema de equações de modo que:
	Substituindo o valor de B na equação 10, temos:
	Substituindo os valores A e B na equação 6 resultará na resposta do sistema mecânico para tempos entre 2 e 3s;
	O que após a aplicação de algumas relações trigonométricas se torna exatamente o que encontramos pelo método da integral de convolução:
	
	
	(11)
Para t ≥ 3s;
Nesse intervalo de tempo, a solução particular será nula devido a ausência de forças nesse intervalo de tempo. Porém o restante da equação será avaliado em t = 3s. Novamente usando a equação 6, temos:
Enquanto a equação 11 nos mostra que:
Logo;
Enquanto que a equação 7 e a derivada da equação 11 nos dão que:
Logo;
Do qual podemos formar o sistema:
Multiplicando a segunda equação por , a primeira por , e somando-as podemos reanjar as equações da seguinte forma:
A expressão para pode ser encontrada substituindo B em uma das equações do sistema, a qual após algumas simplificações se torna:
Onde após algumas simplificações e relações trigonométricas, encontramos:
Substituindo os valores de A e B encontrados na equação 6, nós obtemos a resposta do sistema pelo método clássico para o intervalo de t > 3s;
ITEM 4
O item 4 nos pede determinar a resposta do sistema considerando que um amortecedor seja colocado na extremidade livre do braço. Iremos usar o método da integral de convolução para chegar na resposta do sistema, porém o calculo das integrais será efetuado no site www.integral-calculator.com. Novamente dividiremos, os intervalos em 3, mostrando as respostas para cada intervalo:
Para t ≤ 2;
Para 2 ≤ t ≤ 3;
Para t ≥ 3;
Essas são as respostas do sistema com amortecimento, o que finaliza o quarto e último item desse trabalho.
ATRIBUIÇÃO DE VALORES E RESULTADOS DOS CÁLCULOS
	Para chegarmos a resultados reais a equipe atribuiu valores a alguns dados essenciais do problema. Para o braço mecânico foi determinando um comprimento L = 0,5m e uma massa de m = 3kg, enquanto para o raio do disco foi atribuído o valor de r = 0,05m e uma massa de M = 0,5kg. Para a correia os valores escolhidos foram: A = 0,001 , , E = 2,8MPa e por geometria definimos . A rigidez da mola localizada em L/2 equivale a k = 2000N/m e o amortecedor localizado em L tem coeficiente de amortecimento igual a , já a força de excitação usada nos itens 3 e 4 tem valor . Antes de podermos começar a calcular o que foi pedido, precisamos definir a rigidez da mola que substitui o sistema de polias e correia:
Item 1:
	EDM:
	
	FREQ.
NATURAL
	
Item 2:
	EDM:
	
	FATOR DE 
AMORTECIMENTO
	
	FREQ.
NATURAL
AMOTERCIDA
	
Item 3:
	RESPOSTAS PARA SISTEMA SEM AMORTECIMENTO
	t ≤ 2s
	
	2 ≤ t ≤ 3s
	
	t ≥ 3s
	
Item 4:
	RESPOSTAS PARA SISTEMA COM AMORTECIMENTO
	t ≤ 2s
	
	2 ≤ t ≤ 3s
	
	t ≥ 3s
	
CONCLUSÃO
	Esse trabalho fez uma análise de uma mecanismo tensor de correia para polias sob a ótica das vibrações mecânicas. Em primeiro momento buscamos substituir o conjunto de correia e polia por uma forças resultante agindo no tensor, em seguida, modelamos essa força como uma mola, com rigidez dependendo do ângulo entre a correia e a horizontal. Em seguida buscamos determinar as EDMs e frequências naturais (amortecida e normal) do sistema, quando com amortecedor e sem a presença do mesmo. Pudemos também, em um segundo momento determinar as respostas do sistema quando excitado por uma força não periódica de forma definida pelo professor, quando analisando o sistema sem amortecimento calculamos a resposta pelo método clássico e pelo método da integral de convolução, enquanto que para o sistema com amortecimento a resposta foi definida apenas pelo segundo método mencionado. Com tudo isso, podemos concluir que elaboramos uma modelagem precisa do movimento angular do tensor de correia com amplas aplicações práticas.