Exercícios resolvidos de Probabilidade C

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(152.159) Probabilidade C
Prova 1 - 17/11/2016, 19h
Instruc¸o˜es: Escreva seu nome completo e nu´mero RA imediatamente na sua folha de respostas. E´ vedada a
consulta a qualquer material durante a prova. Escreva claramente as suas respostas, deixando evidente qual foi a
linha de racioc´ınio que voceˆ utilizou. Boa prova!
Exerc´ıcio 1 (4 pontos). Seja (X,Y ) um par de varia´veis aleato´rias tal que
fX,Y (x, y) = c exp(−2x) sin(y)I(x > 0)I(0 < y < pi)
(a) Determine o valor de c.
(b) Determine F(X,Y )(x, y).
(c) Determine FX(x) e fX(x).
(d) Prove que X e Y sa˜o independentes.
Soluc¸a˜o:
(a)
1 = P ((X,Y ) ∈ R2) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(X,Y )(x, y)dxdy
=
∫ pi
0
∫ ∞
0
exp(−2x) sin(y)dxdy
= c
∫ pi
0
sin(y)dy ·
∫ ∞
0
exp(−2x)dx
= c · − cos(y)
∣∣∣∣pi
0
· −2−1 exp(−2x)
∣∣∣∣∞
0
= c · 2 · 2−1 = c
Portanto, c = 1.
(b) Note que, se x < 0 ou y < 0, enta˜o F(X,Y )(x, y) = 0. Caso contra´rio,
F(X,Y )(u, v) =
∫ v
−∞
∫ u
−∞
f(X,Y )(x, y)dxdy
=
∫ min(v,pi)
0
∫ u
0
exp(−2x) sin(y)dxdy
=
∫ min(v,pi)
0
sin(y)dy
∫ u
0
exp(−2x)dx
= − cos(y)
∣∣∣∣min(v,pi)
0
· −2−1 exp(−2x)
∣∣∣∣u
0
= 2−1(1− cos(min(v, pi)))(1− exp(−2u))
1
Portanto, F(X,Y )(x, y) = 2
−1(1− cos(min(y, pi)))(1− exp(−2x))I(x > 0)I(y > 0).
(c)
FX(x) = lim
y→∞F(X,Y )(x, y)
= lim
y→∞ 2
−1(1− cos(min(y, pi)))(1− exp(−2x))I(x > 0)I(y > 0)
= 2−1(1− cos(pi))(1− exp(−2x))I(x > 0) = (1− exp(−2x))I(x > 0)
fX(x) =
dFX(x)
dx
=
d(1− exp(−2x))I(x > 0)
dx
= 2 exp(−2x)
(d)
fX,Y (x, y) = exp(−2x) sin(y)I(x > 0)I(0 < y < pi)
= exp(−2x)I(x > 0) · sin(y)I(0 < y < pi)
= h1(x) · h2(y) h1(x) = exp(−2x)I(x > 0)
h2(y) = sin(y)I(0 < y < pi)
Portanto, X e Y sa˜o independentes.
Exerc´ıcio 2 (2 pontos). Seja (X,Y ) um par de varia´veis aleato´rias tal que, para todo y ∈ R, fX|Y (x|y) = fX(x).
Prove que, para todo x ∈ R, fY |X(y|x) = fY (y).
Soluc¸a˜o:
fY |X(y|x) =
f(X,Y )(x, y)
fX(x)
=
fX(x)fY |X(y|x)
fX(x)
=
fX(x)fY (y)
fX(x)
= fY (y)
Exerc´ıcio 3 (2 pontos). Seja (X,Y ) um par de varia´veis aleato´rias tal que fX(x) = I(0 < x < 1) e, para todo
x ∈ (0, 1), fY |X(y|x) = c · exp(−xy)I(y > 0). Encontre fX|Y (x|y).
2
Soluc¸a˜o:
fX|Y (x|y) =
fX(x)fY |X(y|x)∫∞
−∞ fX(x)fY |X(y|x)dy
=
I(0 < x < 1)c exp(−xy)I(y > 0)∫ 1
0 cI(y > 0) exp(−xy)dx
=
I(0 < x < 1) exp(−xy)∫ 1
0 exp(−xy)dx
=
I(0 < x < 1) exp(−xy)
−y−1 exp(−xy)
∣∣∣∣1
0
= (1− y−1 exp(−y))−1 exp(−xy)I(0 < x < 1)
Exerc´ıcio 4 (2 pontos). Seja (X,Y ) um par de varia´veis aleato´rias tal que
f(X,Y )(x, y) = cI(y > 0)I(x+ y < 1)I(y − x < 1)
(a) Determine o valor de c.
(b) Determine P (Y > 0.5).
Soluc¸a˜o:
(a)
1 = P ((X,Y ) ∈ R2) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(X,Y )(x, y)dydx
=
∫ 1
−1
∫ min(1−x,1+x)
0
cdydx
= c
(∫ 0
−1
∫ 1+x
0
dydx+
∫ 1
0
∫ 1−x
0
dydx
)
= c
(∫ 0
−1
(1 + x)dx+
∫ 1
0
(1− x)dx
)
= c
(
(x+ 2−1x2)
∣∣∣∣0
−1
+ (x− 2−1x2)
∣∣∣∣1
0
)
= c
(
2−1 + 2−1
)
= c
Portanto, c = 1.
3
(b)
P (Y > 0.5) =
∫
(x,y):y>0.5
f(X,Y )(x, y)dydx
=
∫ 0.5
−0.5
∫ min(1−x,1+x)
0.5
cdydx
=
(∫ 0
−0.5
∫ 1+x
0.5
dydx+
∫ 0.5
0
∫ 1−x
0.5
dydx
)
=
(∫ 0
−0.5
(0.5 + x)dx+
∫ 0.5
0
(0.5− x)dx
)
=
(
(2−1x+ 2−1x2)
∣∣∣∣0
−0.5
+ (2−1x− 2−1x2)
∣∣∣∣0.5
0
)
=
(
8−1 + 8−1
)
= 4−1
Boˆnus
Exerc´ıcio 5 (1 ponto). Seja (X,Y ) um par de varia´veis aleato´rias. Ache a func¸a˜o f : R→ R que minimiza
E[(Y − f(X))2]
Soluc¸a˜o: Note que, para todo f ,
E[(Y − f(X))2] = E[(Y − E[Y |X] + E[Y |X]− f(X))2]
= E[(Y − E[Y |X] + E[Y |X]− f(X))2]
= E[(Y − E[Y |X])2 + 2(Y − E[Y |X])(E[Y |X]− f(X)) + (E[Y |X]− f(X))2]
= E[(Y − E[Y |X])2] + E[2(Y − E[Y |X])(E[Y |X]− f(X))] + E[(E[Y |X]− f(X))2] (1)
Tambe´m note que
E[2(Y − E[Y |X])(E[Y |X]− f(X))] = 2E[E[(Y − E[Y |X])(E[Y |X]− f(X))|X]]
= 2E[(E[Y |X]− f(X))E[Y − E[Y |X]|X]
= 2E[(E[Y |X]− f(X))(E[Y |X]− E[Y |X])]
= 0 (2)
Conclua das equac¸o˜es 1 e 2 que
E[(Y − f(X))2] = E[(Y − E[Y |X])2] + E[(E[Y |X]− f(X))2]
Note que E[(E[Y |X]− f(X))2] e´ minimizado tomando f(X) = E[Y |X].
4