Integrais_FuncoesRacionais

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Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC
Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas - DCET
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Prof.: Liliane X. Neves
INTEGRAIS DE FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
Uma função racional é uma função do tipo f(x) =
P (x)
Q(x)
, onde P (x) e Q(x) são polinômios. Para integrar funções
racionais, primeiramente devemos verificar o grau dos polinômios do numerador e denominador:
1. Se o grau do polinômio do numerador é maior que o grau do polinômio do denominador, então devemos efetuar
a divisão entre os polinômios.
2. Se o grau do polinômio do numerador é menor que o grau do polinômio do denominador, então devemos expressar
a função racional como uma soma de frações parciais.
Por exemplo,
2
x− 1−
1
x+ 2
=
x+ 5
x2 + x− 2 . Observe que integrar a função no formato do primeiro membro da igualdade
acima é bem mais simples, bastanto usar o método da substituição.
∫
x+ 5
x2 + x− 2dx =
∫
(
2
x− 1 −
1
x+ 2
)dx = 2 ln |x− 1| − ln |x+ 2|+ C.
Exemplo 1 Calcular
∫ x3 + x
x− 1 dx.
Quando o grau de P (x) é menor que o grau de Q(x) devemos fatorar o denominador Q(x) ao máximo (Q(x) =
(a1x+ b1) · (a2x+ b2) · . . . · (anx+ bn)) e encontrar constantes A1, A2, . . . An tais que:
f(x) =
P (x)
Q(x)
=
A1
a1x+ b1
+
A2
a2x+ b2
+ . . .+
An
anx+ bn
.
Isto ocorre para quatro casos:
CASO 1: O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos.
Exemplo 2 Calcular
∫ x2 + 2x+ 1
2x3 + 3x2 − 2xdx.
CASO 2: O denominador Q(x) é um produto de fatores lineares distintos, mas alguns deles são repetidos.
Exemplo 3 Calcular
∫ x4−2x2 + 4x+ 1
x3 − x2 − x+ 1 dx.
CASO 3: O denominador Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis, nenhum dos quais se repete. Neste caso,
lembre-se que
∫ dx
x2 + a2
=
1
a
arctan(
x
a
) + C.
Exemplo 4 Calcular
∫ 2x2 − x+ 4
x3 + 4x
dx.
CASO 4: O denominador Q(x) contém fatores quadráticos irredutíveis repetidos.
Exemplo 5 Calcular
∫ 1− x+ 2x2 − x3
x(x2 + 1)2
dx.