cn_taylor

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Ca´lculo Nume´rico
Se´ries de Taylor
Joa˜o Paulo Gois
Universidade Federal do ABC
1
1
Apresentac¸a˜o baseada no Livro Numerical Analysis, Kincaid & Cheney
Teorema de Taylor
O Teorema de Taylor determina um resultado muito
importante para func¸o˜es Cn[a, b]
Aplicado diversas vezes em Ana´lise Nume´rica e no estudo de
algoritmos em Computac¸a˜o Cient´ıfica
Teorema de Taylor
O Teorema de Taylor determina um resultado muito
importante para func¸o˜es Cn[a, b]
Aplicado diversas vezes em Ana´lise Nume´rica e no estudo de
algoritmos em Computac¸a˜o Cient´ıfica
Teorema de Taylor
O Teorema de Taylor determina um resultado muito
importante para func¸o˜es Cn[a, b]
Aplicado diversas vezes em Ana´lise Nume´rica e no estudo de
algoritmos em Computac¸a˜o Cient´ıfica
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor com Resto de Lagrange
Se f ∈ Cn[a, b] e se f (n+1) existe no intervalo aberto (a, b), enta˜o
para quaisquer pontos c e x no intervalo fechado [a, b]
f(x) =
n∑
k=0
1
k!
f (k)(c)(x− c)k + En(x) (1)
onde para algum ponto ξ entre c e x, o termo do erro e´:
En(x) =
1
(n+ 1)!
f (n+1)(ξx)(x− c)n+1
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor com Resto de Lagrange
Se f ∈ Cn[a, b] e se f (n+1) existe no intervalo aberto (a, b), enta˜o
para quaisquer pontos c e x no intervalo fechado [a, b]
f(x) =
n∑
k=0
1
k!
f (k)(c)(x− c)k + En(x) (1)
onde para algum ponto ξ entre c e x, o termo do erro e´:
En(x) =
1
(n+ 1)!
f (n+1)(ξx)(x− c)n+1
Teorema de Taylor
Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,
dependendo dos valores de x e c envolvidos.
Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.
Neste caso a Eq. 1 se torna a Se´rie de Maclaurin:
f(x) =
n∑
k=0
1
k!
f (k)(0)(x)k + En(x) (2)
onde
En(x) =
1
(n+ 1)!
f (n+1)(ξ)(x)n+1
Teorema de Taylor
Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,
dependendo dos valores de x e c envolvidos.
Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.
Neste caso a Eq. 1 se torna a Se´rie de Maclaurin:
f(x) =
n∑
k=0
1
k!
f (k)(0)(x)k + En(x) (2)
onde
En(x) =
1
(n+ 1)!
f (n+1)(ξ)(x)n+1
Teorema de Taylor
Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,
dependendo dos valores de x e c envolvidos.
Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.
Neste caso a Eq. 1 se torna a Se´rie de Maclaurin:
f(x) =
n∑
k=0
1
k!
f (k)(0)(x)k + En(x) (2)
onde
En(x) =
1
(n+ 1)!
f (n+1)(ξ)(x)n+1
Exemplos de Se´ries de Taylor
Podemos obter se´ries de Taylor para muitas func¸o˜es importantes
tais como:
sinx =
∞∑
k=0
(−1)k x
2k+1
(2k + 1)!
(−∞ < x <∞)
cosx =
∞∑
k=0
(−1)k x
2k
(2k)!
(−∞ < x <∞)
ex =
∞∑
k=0
xk
k!
(−∞ < x <∞)
ln(1 + x) =
∞∑
k=1
(−1)k−1
k
xk (−1 < |x| <∞)
1
1 + x
=
∞∑
k=1
(−1)kxk (−1 < x < 1)
Observac¸o˜es
As se´ries anteriores sa˜o denominadas Se´ries de Poteˆncias
A se´rie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada como
um mecanismo de aproximac¸a˜o
Primeiramente tem que se garantir que uma func¸a˜o possui
“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a ana´lise do erro
En(x) quando n→∞, podemos garantir que as fo´rmulas
possuem valores de x para os quais elas convergem.
Observac¸o˜es
As se´ries anteriores sa˜o denominadas Se´ries de Poteˆncias
A se´rie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada como
um mecanismo de aproximac¸a˜o
Primeiramente tem que se garantir que uma func¸a˜o possui
“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a ana´lise do erro
En(x) quando n→∞, podemos garantir que as fo´rmulas
possuem valores de x para os quais elas convergem.
Observac¸o˜es
As se´ries anteriores sa˜o denominadas Se´ries de Poteˆncias
A se´rie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada como
um mecanismo de aproximac¸a˜o
Primeiramente tem que se garantir que uma func¸a˜o possui
“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a ana´lise do erro
En(x) quando n→∞, podemos garantir que as fo´rmulas
possuem valores de x para os quais elas convergem.
Observac¸o˜es
As se´ries anteriores sa˜o denominadas Se´ries de Poteˆncias
A se´rie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada como
um mecanismo de aproximac¸a˜o
Primeiramente tem que se garantir que uma func¸a˜o possui
“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a ana´lise do erro
En(x) quando n→∞, podemos garantir que as fo´rmulas
possuem valores de x para os quais elas convergem.
Observac¸o˜es
As se´ries anteriores sa˜o denominadas Se´ries de Poteˆncias
A se´rie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada como
um mecanismo de aproximac¸a˜o
Primeiramente tem que se garantir que uma func¸a˜o possui
“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a ana´lise do erro
En(x) quando n→∞, podemos garantir que as fo´rmulas
possuem valores de x para os quais elas convergem.
Exerc´ıcio
Determine a Se´rie de Taylor para a seguinte func¸a˜o
f(x) = cosx
em c = 0.
Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.
Assim sendo,
f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);
f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·
Aplicando em c = 0, temos:
f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;
f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·
Exerc´ıcio
Determine a Se´rie de Taylor para a seguinte func¸a˜o
f(x) = cosx
em c = 0.
Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.
Assim sendo,
f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);
f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·
Aplicando em c = 0, temos:
f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;
f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·
Exerc´ıcio
Determine a Se´rie de Taylor para a seguinte func¸a˜o
f(x) = cosx
em c = 0.
Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.
Assim sendo,
f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);
f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·
Aplicando em c = 0, temos:
f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;
f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·
Exerc´ıcio
Determine a Se´rie de Taylor para a seguinte func¸a˜o
f(x) = cosx
em c = 0.
Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.
Assim sendo,
f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);
f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·
Aplicando em c = 0, temos:
f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;
f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·
Exerc´ıcio
cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) + f
′′(0)
2
(x− 0)2 + · · ·+
+
f (2n)
(2n)!
(x− 0)2n + f
(2n+1)
(2n+ 1)!
(x− 0)2n+1 + · · ·
cosx = 1− 1
2
x2 + · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
cosx =
∞∑
k=0
(−1)k x
2k
(2k)!
Exerc´ıcio
cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) + f
′′(0)
2
(x− 0)2 + · · ·+
+
f (2n)
(2n)!
(x− 0)2n + f
(2n+1)
(2n+ 1)!
(x− 0)2n+1 + · · ·
cosx = 1− 1
2
x2 + · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
cosx =
∞∑
k=0
(−1)k x
2k
(2k)!
Exerc´ıcio
cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) + f
′′(0)
2
(x− 0)2 + · · ·+
+
f (2n)
(2n)!
(x− 0)2n + f
(2n+1)
(2n+ 1)!
(x− 0)2n+1 + · · ·
cosx = 1− 1
2
x2 + · · ·+ (−1)n x
2n
(2n)!
cosx =
∞∑
k=0
(−1)k x
2k
(2k)!
Exerc´ıcio
Determine a Se´rie de Taylor para f(x) = lnx, considerando
a = 1, b = 2, c = 1, .
Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,
f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k
Em x = 1 temos:
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
Colocando tudo junto, temos:
lnx =
n∑
k=1
(−1)k−1 1
k
(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)
Exerc´ıcio
Determine a Se´rie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .
Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,
f (4)(x) = −6x−4.
Generalizando temos:
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k
Em x = 1 temos:
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
Colocando tudo junto, temos:
lnx =
n∑
k=1
(−1)k−1 1
k
(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)
Exerc´ıcio
Determine a Se´rie de Taylor para f(x) = lnx, considerando
a = 1, b = 2, c = 1, .
Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,
f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k
Em x = 1 temos:
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
Colocando tudo junto, temos:
lnx =
n∑
k=1
(−1)k−1 1
k
(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)
Exerc´ıcio
Determine a Se´rie de Taylor para f(x) = lnx, considerando
a = 1, b = 2, c = 1, .
Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,
f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k
Em x = 1 temos:
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
Colocando tudo junto, temos:
lnx =
n∑
k=1
(−1)k−1 1
k
(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)
Exerc´ıcio
onde
En(x) = (−1)n 1
n+ 1
ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)
lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).
No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equac¸a˜o
polinomial;
O u´ltimo termo pode ser considerado como o erro;
Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ
|En(x)| = 1
n+ 1
ξ−(n+1)(x− 1)n+1 < 1
n+ 1
(x− 1)n+1
Exerc´ıcio
onde
En(x) = (−1)n 1
n+ 1
ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)
lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).
No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equac¸a˜o
polinomial;
O u´ltimo termo pode ser considerado como o erro;
Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ
|En(x)| = 1
n+ 1
ξ−(n+1)(x− 1)n+1 < 1
n+ 1
(x− 1)n+1
Exerc´ıcio
onde
En(x) = (−1)n 1
n+ 1
ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)
lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).
No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equac¸a˜o
polinomial;
O u´ltimo termo pode ser considerado como o erro;
Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ
|En(x)| = 1
n+ 1
ξ−(n+1)(x− 1)n+1 < 1
n+ 1
(x− 1)n+1
Exerc´ıcio
Quantos termos da se´rie sa˜o necessa´rios para garantir uma precisa˜o
de 10−8 para calcular ln 2?
Fazendo x = 2, temos
ln 2 = 1 =
1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · ·+ (−1)
n−1
n
+ En(2)
com |En(2)| < 1n+1 .
Precisamos enta˜o garantir que En(1) < 10
−8. Isto significa que
precisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e´, no m´ınimo 100 milho˜es de termos.
Exerc´ıcio
Quantos termos da se´rie sa˜o necessa´rios para garantir uma precisa˜o
de 10−8 para calcular ln 2?
Fazendo x = 2, temos
ln 2 = 1 =
1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · ·+ (−1)
n−1
n
+ En(2)
com |En(2)| < 1n+1 .
Precisamos enta˜o garantir que En(1) < 10
−8. Isto significa que
precisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e´, no m´ınimo 100 milho˜es de termos.
Exerc´ıcio
Quantos termos da se´rie sa˜o necessa´rios para garantir uma precisa˜o
de 10−8 para calcular ln 2?
Fazendo x = 2, temos
ln 2 = 1 =
1
2
+
1
3
− 1
4
+ · · ·+ (−1)
n−1
n
+ En(2)
com |En(2)| < 1n+1 .
Precisamos enta˜o garantir que En(1) < 10
−8. Isto significa que
precisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e´, no m´ınimo 100 milho˜es de termos.