funções e equações polinomisia e transcendentais

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Notas de Aula: Revisão de funções e geometria analítica 
 
REVISÃO DE FUNÇÕES 
 
Função como regra ou correspondência 
Definição 1: Uma função f é uma regra ou uma correspondência que faz associar um e 
somente um valor da variável y para cada valor de variável x. 
Deve ser bem compreendido que a variável x é denominada variável independente, podendo 
tomar qualquer valor num certo conjunto de números denominado domínio de f. Para cada valor de 
x no domínio de f, o valor correspondente de y é denotado por f(x) tal que y = f(x). A variável y é 
denominada variável dependente, visto que seu valor depende do valor de x. O conjunto de valores 
assumidos por y à medida que x varia no domínio é denominada imagem de f. Usualmente, mas não 
sempre, utiliza-se x para a variável independente e y para a variável dependente. Uma equação que 
fornece y em termo de x determina uma função f, e diz-se que a função f é definida pela equação 
(ou dada pela equação). 
Se a função f é definida por uma equação, então (a não ser que recomendações 
explícitas sejam feitas) compreende-se que o domínio de f consiste naqueles valores de x para 
os quais a equação faz corresponder um e somente um y (diz-se que f é definida no ponto). 
Portanto, a imagem de f é automaticamente determinada, visto que esta consiste naqueles 
valores de y que correspondem, pela equação de definição aos valores de x no domínio. 
 
Gráfico de uma função 
Definição 2: o gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x,y) no plano xy tal 
que x pertence ao domínio de f e y a imagem de f, e y = f(x). 
 
 
Fig. 1 Gráfico da função f definida pela equação com a restrição x > 0. 2x2y =
 
Na definição 1, a necessidade de que uma função f associe um e somente um valor de y para 
cada valor de x em seu domínio corresponde à condição geométrica de que dois pontos distintos de 
um gráfico não podem possuir a mesma abscissa. Portanto, a curva na Fig. 2 não pode corresponder 
ao gráfico de uma função, porque os dois pontos P e Q têm a mesma abscissa. O gráfico de uma 
função não pode passar acima ou abaixo de si mesma. 
 
Fig. 2 O gráfico acima não representa uma função, pois uma função não pode possuir 
valores distintos para a mesma abscissa. 
 
 
O domínio e a imagem de uma função podem ser facilmente determinados no gráfico da 
função. Assim, o domínio de uma função é o conjunto de todas as abscissas dos pontos sobre o 
gráfico (Fig. 3a), enquanto sua imagem é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos de seu 
gráfico (Fig. 3b). 
 
Fig. 3 (a) Domínio e (b) Imagem de uma função 
 
Ex. 1: Seja f uma função definida pela equação 1xy −= com a restrição . Esboce o gráfico 
de f e determine seu domínio e imagem, indicando-os nos eixos x e y respectivamente. 
2x ≤
 
 
Tipos de Funções 
Descreveremos a seguir certos tipos ou classes de funções que são importantes ao cálculo. 
Entre estas estão as funções pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as algébricas e as 
transcendentais. 
 
1) Funções pares e ímpares
Definição 3: 
(a) uma função f é par se, para todo x no domínio de f, -x pertence também ao domínio de f 
e f(-x) = f(x). 
(b) uma função f é ímpar se, para todo x no domínio de f, -x pertence também ao domínio de 
f e f(-x) = -f(x). 
 
Fig. 4 (a) função par e (b) função ímpar 
2) Funções polinomiais
Uma função definida por uma equação da forma 
n
n
1n
1n
2
210 xaxaxaxaaxf +++++= −−...)( 
onde n é um inteiro não-negativo e os coeficientes a0, a1, a2, ..., an são números reais constantes é 
denominada função polinomial. Se 0an ≠ , diz-se que esta função polinomial é de grau n. 
Casos particulares: 
0axf =)( função constante 
xaaxf 10 +=)( função afim 
xxf =)( função identidade 
 
 
3) Funções racionais e algébricas
A soma, diferença ou produto de duas funções polinomiais é ainda uma função polinomial, 
mas o quociente de duas polinomiais não é, geralmente, uma polinomial. Por exemplo, 
1xx4
1xx3xf 35
2
+−
+−=)( 
não é uma função polinomial. Esta observação motiva a seguinte definição: 
Definição 4: 
A função f definida pela equação f(x) = p(x)/q(x), onde p e q são funções polinomiais e q 
não é uma função constante nula, é denominada função racional. 
O domínio da função racional definida por f(x) = p(x)/q(x) consiste em todos os valores de x 
para os quais 0xq ≠)( . Observe que a soma, o produto, a diferença e o quociente de funções 
racionais são ainda funções racionais. No entanto, extraindo-se a raiz de uma função racional, pode-
se encontrar uma função que não seja racional. 
 
Definição 5: 
Uma função algébrica elementar é uma função que pode ser obtida através de um número 
finito de operações algébricas (sendo estas operações a adição, a multiplicação, a subtração, a 
divisão e a radiciação com índice inteiro positivo), começando pelas funções identidade e 
constantes. 
Alguns exemplos de funções algébricas elementares 
5x
xxf
2 +
=)( , 
22x
11xxf
5 2
3
+−
++=)( 
Ainda se poderia observar que qualquer função racional é, automaticamente, uma função algébrica 
elementar. 
 
Em cursos mais avançados, um conjunto de funções mais abrangente, denominado conjunto 
das funções algébricas (sem o adjetivo "elementar”), é definido. Genericamente, estas são as 
funções acessíveis através de operações algébricas. 
4) Funções transcendentes
As funções restantes, aquelas que não são algébricas, são denominadas funções 
transcendentes, já que elas transcendem aos métodos algébricos. Estão nesta categoria, por 
exemplo, as funções trigonométricas, as funções exponencial, logarítmica e hiperbólica. 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
As seis funções trigonométricas, seno, co-seno, tangente, secante, co-secante e co-tangente 
(abreviadas, sen, cos, tan, sec, cossec e cot, respectivamente) são, provavelmente, já bastante 
familiares ao leitor, e assim nos restringimos a uma breve revisão. 
Certas fórmulas fundamentais do cálculo tornam-se muito mais simples se os ângulos são 
medidos em radianos e não em graus. Por definição, a medida de um ângulo θ em radianos (Fig. 5) 
é o número de vezes que o raio como unidade de comprimento está contido no arco s subentendido 
pelo ângulo θ num círculo de raio r. 
 
Fig. 5 Arco em radianos 
Então, 
r
sradianosem =)(θ 
Visto que o comprimento da circunferência s = 2πr e o arco subentendido é 360o, tem-se: 
π radianos = 180o
 
Portanto, 1 radiano = (180/π)º = 57º18'. 
Da circunferência trigonométrica: 
 
Fig. 6 Circunferência Trigonométrica 
As seis funções trigonométricas relativas ao ângulo t estão discriminadas a seguir: 
xt =cos yt =sen 
x
1t =sec 
x
yttg = 
y
xt =cot 
y
1t =seccos 
 
Fig. 7 Arcos notáveis 
 
 
Identidades Trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
Gráficos 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 
As funções algébricas e trigonométricas, embora úteis, não são suficientes para a 
aplicação da matemática à física, química, engenharia, economia e às ciências naturais. Nesta 
seção introduziremos as funções exponenciais e logarítmicas. Todas as funções que podem ser 
construídas a partir das funções algébricas, trigonométricas, exponenciais e logarítmicas por 
adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão são chamadas funções 
elementares. 
 
Aspectos básicos 
 Sejam n e m inteiros positivos e suponha que a e b sejam números reais positivos. 
Então, 
i) ( ) 1avezesnaaaa 0n =⋅⋅= ;...
ii) iii) mnmn bbb += mnm
n
b
b
b −= iv) ( ) mnmn bb = 
v) ( ) vi) nnn baba =⋅ n
nn
b
a
b
a =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ vii) nn b
1b =− 
viii) m nm
naa = 
Logaritmo: Se então y é chamado o logaritmo de x na base b (b>1) e escrevemos ybx =
xy blog= 
 
 
 
Propriedades do logaritmo: 
Considere a>0 e c>0 números reais positivos. Então, 
i) caac bbb logloglog += ii) cac
a
bbb logloglog −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
iii) iv) ana b
n
b loglog = ( )1bb01b >∀=log 
v) Mudança de Base: 
a
x
x
b
b
a log
log
log = 
 
A função logarítmica natural 
 Introduziremos agora a base dos logaritmos naturais. Nesta base, b = 2,71828..., que é 
definido através 
u
u u
11e ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += ∞→lim 
Definimos 
xxy e lnlog == 
como função logarítmica natural. 
 
Propriedades do logaritmo natural: 
Considere a>0 e b>0 números reais positivos. Então, 
i) baab lnlnln +=
ii) ba
b
a lnlnln −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
iii) akak lnln =
iv) 01=ln
 
 
A função exponencial 
A inversa da função logarítmica natural é chamada função exponencial. Denotaremos a 
função exponencial por exp. 
 
yxexy x ln)exp( =⇔== 
 
Como exp é a inversa de ln, o gráfico de exp é obtido refletindo-se o gráfico de ln em relação à reta 
y = x (Fig. 8) 
 
Fig. 8 As funções logarítmica natural e exponencial 
 
 
ELEMENTOS DE GEOMETRIA PLANA E ANALÍTICA 
Para o estudo do cálculo além do conhecimento de funções é necessário ter em mente 
noções básicas da geometria plana e da geometria analítica. Nesta seção iremos destacar alguns 
aspectos que serão úteis posteriormente. 
 
 
 
Áreas em geometria plana 
i) ii) 
 
2lA= 2
baA ⋅= 
iii) iv) 
 
 4
3lA
2 ⋅= 2
hbBA ⋅+= )( 
v) vi) Área do setor circular 
 
 2rA π= 2
rA
2α= 
 r2C π= 
Fig. 9 Áreas Planas 
 
Equações da reta 
Distância entre 2 pontos: 
 
( ) ( 212212
2
21 xxyyPP −+−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ____ )
)
 
( ) ( 212212 xxyyd −+−= 
“Distância entre 2 pontos” 
Coeficiente angular da reta: 
x
ytgm ∆
∆== θ 
12
12
xx
yym −
−= 
“Coeficiente angular da reta” 
Equação da reta: 
 
 
)( 11 xxmyy −=− 
“Equação da reta” 
 
Escrevendo 
 
11 yxmxmy +−=⇒ 
 
então 
 
bxmy += 
“Equação reduzida da reta” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condições de paralelismo e perpendicularidade 
i) Condição de paralelismo 
“Duas retas não-verticais, distintas, são paralelas se, e somente se, possuem o mesmo coeficiente 
angular”. 
ii) Condição de perpendicuralidade 
 
Da figura: 
o
2 180=+ϕα 
oo
1 18090 =++ϕα 
Então, 
o
12 90+= ϕϕ 
)( o12 90tgtg +=⇒ ϕϕ 
Resulta que, 
1
12 tg
1gtg ϕϕϕ −=−=⇒ cot 
Logo, 
1
2 m
1m −= 
 
A circunferência 
 
 
rCP =
___
 
( ) ( ) rkyhx 22 =−+−⇒ 
Então, 
( ) ( ) 222 rkyhx =−+− 
“Equação da circunferência” 
 
Exercícios: 
1) Encontre o círculo através da origem com centro em (2,-1). 
2) Determine as coordenadas do centro, o raio e faça o gráfico da circunferência: 
12y6x4yx 22 =−++ 
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