Arquimedes e o Início do Cálculo Integral

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Eudoxo e os incomensuráveis
Deve-se a Eudoxo o seguinte enunciado, que define a razão entre duas grandezas, presente na Definição 5 do Livro V de Os Elementos:
“Diz-se que grandezas estão na mesma razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta se, quando equimúltiplos quaisquer são tomados da primeira e da terceira e equimúltiplos quaisquer da segunda e da quarta, os primeiros equimúltiplos são ambos maiores que, ou ambos iguais a, ou ambos menores que, os últimos equimúltiplos considerados em ordem correspondente.”
O enunciado atual desta definição é:
“a/b=c/d se, e somente se, dados inteiros m e n, se ma>nb então mc>nd; ou se ma=nb então mc=nd; ou se ma<nb então mc<nd.”
Devemos também a Eudoxo um axioma, hoje conhecido como propriedade Arquimediana:
“A diferença pela qual a maior de duas áreas excede a menor pode, sendo somada a si mesma repetidas vezes, exceder qualquer área finita dada.”
Atualmente, usando a noção de número real, esta propriedade é enunciada assim: 
“Dados os números reais x e y, com x>0, existe um natural m tal que mx>y.”
Com este axioma, utilizando uma reductio at absurdum, Eudoxo conseguiu provar o seguinte resultado:
“Dadas duas grandezas distintas, se da maior de duas áreas subtrai-se mais que sua metade, do resto mais que sua metade, e assim por diante, acabará restando uma grandeza menor que a menor das grandezas dadas.”
Essas duas propriedades são equivalentes. Elas são tomadas como o fundamento para o cálculo de áreas e volumes de objetos curvos, como parábolas, e sólidos de revolução.
Atualmente, essas propriedades são fundamentais para demonstrações envolvendo sequências e séries e, de modo mais geral, teoremas envolvendo a existência de números naturais respeitando certas propriedades dadas.
Com este princípio, Eudoxo conseguiu, aplicando o método da redução ao absurdo, mostrar que a área do círculo é igual à área do triângulo de altura igual ao raio do triângulo e base igual ao comprimento do círculo.
Traçando um polígono de n lados inscrito no círculo, é possível aplicar o axioma via redução ao absurdo e demonstrar o resultado.
Paradoxos de Zenão
O infinito foi sempre evitado pelos matemáticos gregos devidos aos paradoxos de Zenão. Vejamos dois deles.
A Dicotomia: Se um segmento de reta pode ser subdividido indefinidamente, então o movimento é impossível pois, para percorrê-lo, é preciso antes alcançar se ponto médio, antes ainda alcançar o ponto que estabelece um quarto de segmento, e assim por diante, ad infinitum. Logo, o movimento jamais começará.
A Flecha: Se o tempo é formado de instantes atômicos indivisíveis, então uma flecha em movimento está sempre parada, posto que em cada instante ela está parada em uma posição fixa. Sendo isso verdadeiro em cada instante, segue-se que a flecha jamais se move.
Ou seja, não é possível que uma soma de zeros dê um número diferente de 0.
Paradoxos de Zenão
Estes paradoxos eram entendidos pelos gregos como uma demonstração, por absurdo, de que o infinito não existe. Com efeito, se o infinito existisse, pelos paradoxos de Zenão, o movimento não existiria, mas ele existe, por que o vemos a todo o instante. Logo o infinito não existe.
Muitos historiadores da Matemática acreditam que esta não aceitação do infinito, aliada à uma notação difícil para números e operações (notação algébrica pobre) foi a responsável por fazer com que o cálculo não se desenvolvesse na Grécia.
Por outro lado, essa fuga pelo conceito de infinito é, ironicamente, o modo como se define infinito hoje. Além disso, a redução ao absurdo é o método ainda hoje empregado, junto com o axioma de Eudoxo, para demonstrações envolvendo existência de números naturais.
Em poucas palavras ...
O método da exaustão é um método matematicamente bastante rigoroso.
Arquimedes
Basicamente tudo que se sabe sobre a vida de Arquimedes está contida numa biografia de Marcelo, o general romano que comandou o saque de Siracusa em 212 a.c., escrita por Plutarco. 
Arquimedes morreu neste saque. Acredita-se que ele viveu cerca de 75 anos, daí ele nasceu por volta de 287a.c.
Arquimedes escreveu os livros Sobre a Esfera e o Cilindro, Medida do Círculo, Sobre Conóides e Esferóides, Sobre as Espirais, Sobre o Equilíbrio dos Planos, O Contador de Areia, Sobre os Corpos Flutuantes, Quadratura da Parábola e O Método.
Pintura de Domenico Fetti (1620)
A lei da alavanca
Arquimedes não foi o primeiro a usar alavanca ou a formular a lei da alavanca:
Havia, por exemplo, uma demonstração de que este princípio era uma consequência das leis do movimento natural de Aristóteles.
Arquimedes, por outro lado, deduziu este princípio de uma outra suposição: a de que corpos bilateralmente simétricos se equilibram.
Conta-se que ele estava tão certo de sua lei da alavanca, que teria dito:
“Se me derem uma alavanca suficientemente grande, moverei a Terra”
O princípio de Arquimedes
No seu tratado Sobre corpos flutuantes, Arquimedes estabelece dois princípios logo no início:
“Todo sólido mais leve que um fluido, se colocado nele, ficará imerso o suficiente para que o peso do sólido seja igual ao do fluido deslocado. Um sólido mais pesado que um fluido, se colocado nele, descerá até o fundo do fluido, e o sólido, se pesado dentro do fluido, pesará menos que seu peso real de um tanto igual ao peso do fluido deslocado.”
A derivação matemática deste princípio teria levado Arquimedes a saltar de sua banheira gritando “Eureka” (Eu achei).
Conta-se que este princípio teria levado Arquimedes a verificar a fraude na construção da coroa do rei Hiero. Esta história é provavelmente falsa, pois seria muito difícil verificar a tal diferença.
O método
Arquimedes usava o método da exaustão para demonstrar seus resultados, mas usava outro método para descobri-los – um método mecânico.
Ele escreveu um tratado explicando o método para Eratóstenes. O livro começa assim:
“Arquimedes para Eratóstenes, 
				Saudações.
Enviei a você em uma ocasião anterior alguns dos teoremas que descobri, apresentando apenas os enunciados e convidando-o a descobrir as demonstrações, que não havia fornecido naquela ocasião. Os enunciados dos teoremas que enviei naquela ocasião são como segue.
“Estou persuadido de que este procedimento não é menos útil até mesmo para a demonstração dos próprios teoremas; pois algumas coisas tornaram-se claras para mim por um método mecânico, embora tivessem de ser demonstradas depois pela geometria, pois a investigação destas coisas por este método não forneceu uma demonstração real. Mas obviamente é mais fácil fornecer uma demonstração quando já adquirimos anteriormente, pelo método, algum conhecimento das questões, do que encontrar a demonstração sem qualquer conhecimento.(...) Pois entendo que alguns dos meus contemporâneos ou dos meus sucessores serão capazes, por meio do método uma vez que ele esteja estabelecido, de descobrir outros teoremas adicionais, os quais ainda não ocorreram para mim.”
A área da parábola
O volume da esfera
O volume de qualquer esfera é quatro vezes o do cone com base com base igual a um grande círculo da esfera e altura igual ao do raio da mesma esfera.
O volume do cilindro com base igual a um grande círculo da esfera e altura igual ao diâmetro é 3/2 vezes o volume da esfera.
Este era o método de descoberta, não de demonstração. As demonstrações utilizavam o método da exaustão. 
Com isso, Arquimedes calculou:
A érea do círculo;
A área de um segmento parabólico;
O volume de um segmento de paraboloide;
etc.
Vamos ilustrar o método calculando a área de um segmento parabólico, mas com uma notação diferente.
	Da figura, chega-se a
Repetindo este processo para os “pedaços restantes,” obtemos
Dessa forma, somos tentados a dizer que a área da parábola é
que é a soma de uma pg. Logo
Mas Arquimedes não conhecia as PGs e não aceitava o infinito. A sua demonstração consistia em mostrar, por uma
dupla redução ao absurdo, que a área da parábola não poderia ser maior ou menor que (4/3)T.
Para isso é que serve a propriedade arquimediana.
Referências
Imagem do livro original:
http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/archimedes.html
CARL B. BOYER. História da Matemática. 2.ed. Editora Edgar Blücher, São Paulo, 1996.
H. EVES. An Introduction to the History of Mathematics. 3rd. ed. University of Mayne, 1969.
G. ÁVILA. Arquimedes o Rigor e o Método. Revista Matemática Univesrsitária n. 3. 1986.
H.L. GUIDORIZZI. Um Curso de Cálculo. vol.1. 5.ed. São Paulo, LTC, 2001.
A.K.T. ASSIS. Arquimedes, o Centro de Gravidade e a Lei da Alavanca. Apeiron Montreal, 2008.
EUCLIDES. Os Elementos.