TESTE DE CONHECIMENTO para AV1 e AV2.

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Exercício: CCE1003_EX_A1_201403090645
	Matrícula: 201403090645
	Aluno(a): RENATO FERREIRA DA GRAÇA DOS SANTOS
	Data: 30/11/2016 20:55:00 (Finalizada)
	
	1a Questão (Ref.: 201403899492)
	 Fórum de Dúvidas (4 de 4)       Saiba  (0)
	
	Dadas as matrizes A = (aij)3x3, tal que aij = 2i - j + 2 e B = (bij)3x3, tal que bij = i2 + j - 4, vamos realizar o produto dos elementos da primeira linha da matriz A com os elementos da primeira coluna da matriz B, somando, em seguida, os resultados desses produtos (ou seja, a11.b11+a12.b21+a13.b31). O resultado obtido nessa operação será:
		
	
	9
	
	-11
	
	2
	
	-2
	
	8
	
	
	
	
	2a Questão (Ref.: 201403898847)
	 Fórum de Dúvidas (4 de 4)       Saiba  (0)
	
	A soma de todos os elementos da matriz A = (aij)3x3 definida por aij = 4.i - j3 será
		
	
	4
	
	13
	
	0
	
	-36
	
	-21
	
	
	
	
	3a Questão (Ref.: 201403908864)
	 Fórum de Dúvidas (4 de 4)       Saiba  (0)
	
	Determine o valor de x + y para que a equação abaixo seja verdadeira.
		
	
	-3
	
	0
	
	-6
	
	8
	
	5
	
	
	
	
	4a Questão (Ref.: 201403902441)
	 Fórum de Dúvidas (4 de 4)       Saiba  (0)
	
	As matrizes A(3x5), B(mxn) e C(mx4) são tais que a operação A x (B + C) é possível. Nessas condições, é CORRETO afirmar que:
		
	
	O resultado da operação será uma matriz quadrada.
	
	C é uma matriz (6x4).
	
	O valor de m = n é 8.
	
	B é uma matriz quadrada.
	
	O resultado da operação será uma matriz (3x4).
	
	
	
	
	5a Questão (Ref.: 201403908862)
	 Fórum de Dúvidas (4 de 4)       Saiba  (0)
	
	Se as matrizes A e B abaixo são iguais, então o valor de k + t é:
		
	
	1
	
	3
	
	-2
	
	0
	
	-1
	
	
	
	
	6a Questão (Ref.: 201403116159)
	 Fórum de Dúvidas (4 de 4)       Saiba  (0)
	
	Sabendo que vale a soma das matrizes:
[x1-5y]+[41-53]=[32-106]
Determinar os valores de x e y, respectivamente:
		
	
	3 e -1
	
	1 e -3
	
	-3 e 1
	
	-1 e 3
	
	-1 e -3
	
	 Gabarito Comentado
	
	
	7a Questão (Ref.: 201403116173)
	 Fórum de Dúvidas (4 de 4)       Saiba  (0)
	
	Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando materiais diferentes.
Considere a matriz A = aij, em que aij  representa quantas unidades do material j
serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i.
A = [502013421]
Calcule o total de unidades do material 3 que será empregado para fabricar
cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.
		
	
	33
	
	36
	
	16
	
	20
	
	45
	
	
	
	
	8a Questão (Ref.: 201403837829)
	 Fórum de Dúvidas (4)       Saiba  (0)
	
	A soma de todos os elementos de uma matriz quadrada A de ordem 2 é igual a 100. Podemos afirmar que a soma de todos os elementos da matriz 2A é igual a :
		
	
	400
	
	300
	
	500
	
	200
	
	100
		Exercício: CCE1003_EX_A2_201403090645
	Matrícula: 201403090645
	Aluno(a): RENATO FERREIRA DA GRAÇA DOS SANTOS
	Data: 01/12/2016 15:37:29 (Finalizada)
	
	1a Questão (Ref.: 201403116893)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Seja A =[11232-1-104] uma matriz não singular.
Sabendo que A-1 = [8-4-5-a672-1b]
determine os valores de a e b
		
	
	a=-11 e b=1
	
	a=9 e b=3
	
	a=13 e b=1
	
	a=11 e b=-1
	
	a=10 e b=2
	
	
	
	
	2a Questão (Ref.: 201403112288)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Considere a matriz A =  [2111]. Determe uma matriz X de ordem 2 de modo que AX = I2.
		
	
	[1-1-14]
	
	[3-1-12]
	
	[1-1-12]
	
	[-1-1-1-2]
	
	[1-1-52]
	
	 Gabarito Comentado
	
	
	3a Questão (Ref.: 201403108847)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Resolva a equação abaixo, sabendo que o elemento A é a matriz dada.
X = A2 +  2(A.A)  + A.A-1
	
	
	1
	0
	-1
	
	A =
	
	-1
	1
	0
	
	
	
	0
	-2
	1
	
		
	
		
	
	1
	2
	-3
	
	X =
	
	-1
	4
	3
	
	
	
	0
	-12
	14
	
	
		
	
	5
	6
	-8
	
	X =
	
	-3
	3
	3
	
	
	
	-1
	-12
	10
	
	
		
	
	4
	7
	2
	
	X =
	
	-6
	1
	9
	
	
	
	0
	-1
	2
	
	
		
	
	4
	6
	-6
	
	X =
	
	-6
	4
	3
	
	
	
	2
	-12
	4
	
	
		
	
	5
	7
	-2
	
	X =
	
	-1
	4
	3
	
	
	
	0
	-12
	14
	
	
	
	
	
	4a Questão (Ref.: 201403116888)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	As matrizes A=[1m13] e B=[p-2-11] são inversas. Calcule os valores de m e p.
		
	
	m=2 e p=3
	
	m=1 e p=2
	
	m=3 e p=1
	
	m=2 e p=1
	
	m=3 e p=2
	
	
	
	
	5a Questão (Ref.: 201403905421)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Se a matriz A abaixo possui inversa, então:
		
	
	x = -1 ou x = -2
	
	x = 0
	
	x = -2 ou x = 2
	
	x = 4
	
	x = 2
	
	
	
	
	6a Questão (Ref.: 201403905386)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Sabe-se que A e B são matrizes quadradas (mxm), tais que AxB=I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem. Com base nessa informação, analise as afirmativas abaixo:
I. B é a matriz transposta de A;
II. A é uma matriz simétrica;
III. Se o determinantes de A é diferente de zero, B é a inversa de A;
Encontramos afirmativas CORRETAS somente em:
		
	
	I, II e III
	
	III
	
	II e III
	
	I
	
	II
	
	
	
	
	7a Questão (Ref.: 201403918105)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Se A é uma matriz cujo det(A) é não nulo e B é uma matriz tal que AxB = I, sendo I a matriz identidade de mesma ordem de A, então é correto afirmar que:
		
	
	B é a inversa de A
	
	A = B
	
	A = B/2
	
	B + A = 0, sendo 0 a matriz nula de mesma ordem
	
	B é a transposta de A
	
	
	
	
	8a Questão (Ref.: 201403116229)
	 Fórum de Dúvidas (0)       Saiba  (0)
	
	Dada a matriz X abaixo, determine a matriz Z = X.Xt.
X = [123]
		
	
	[3 2 1]
	
	[1]
	
	[1 0 4]
	
	[14]
	
	[0]
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		1.
		Resolva o sistema linear não homogêneo e determineo valor da soma das incógnitas   :
x+2y+2z=-1
x+3y+2z=3
x+3y+z=4
	
	
	
	
	
	10
	
	 
	3
	
	
	-3
	
	 
	-4
	
	
	4
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Considere as afirmações:
I - Se o sistema linear, representado por  AX = B,  tem mais de uma solução, então o mesmo vale para o sistema AX = O .
II - O sistema AX = O  tem solução trivial se, e somente se, não existem variáveis livres.
III - Se um sistema linear tem duas soluções distintas, então ele tem infinitas soluções.
	
	
	
	
	
	I  e  II  são verdadeiras e   III  é falsa.
	
	
	I,  II  e III são verdadeiras.
	
	
	I,  II  e III  são falsas.
	
	
	II  e  III  são verdadeiras e  I  é falsa.
	
	 
	I  e III  são verdadeiras,  II  é falsa.
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Considere o seguinte sistema de equações:
x + y - z = 1
2x +3y +az = 3
x + ay +3z =2
Para que valores de a:
a) não teremos solução e
b) mais de uma solução:d) Nenhuma solução a= 3 e mais de uma solução a = 2
	
	
	a) Nenhuma solução a= 2 e mais de uma solução a = - 2
	
	 
	b) Nenhuma solução a= -3 e mais de uma solução a = - 2
	
	 
	c) Nenhuma solução a= -3 e mais de uma solução a = 2
	
	
	a) Nenhuma solução a= -2 e mais de uma solução a = - 3
	
	
	
		4.
		Vinte pacientes apresentaram-se a um médico, e cada um deles possuía uma dessas enfermidades: calafrio (x), febre (y) e vômito (z). Houve 10 pacientes que queixaram-se de febre ou de vômito; doze apresentaram os sintomas de calafrio ou de febre. Qual o número de pacientes afetados pela febre?
	
	
	
	
	 
	10
	
	
	12
	
	 
	2
	
	
	6
	
	
	8
	
	
	
		5.
		O sistema abaixo representa as equações relativas à produção de uma empresa que fabrica caixas de papelão. As caixas são fabricadas por máquinas de processamento que possuem velocidades de produção diferentes e são chamadas de X e Y e Z. A produção PE é dada de acordo com o sistema abaixo indicado. Resolvendo o sistema, podemos afirmar que a as máquinas X , Y e Z produzem, respectivamente, em 1 minuto as seguintes quantidades de caixas:
	
	
	
	
	
	2, 1, 3
	
	
	1, 2, 3
	
	 
	2, 3, 1
	
	
	4, 5, 1
	
	
	1, 4, 5
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Uma criança economizou a quantia de R$500,00 guardando cédulas de um, cinco e dez reais, num total de 95 cédulas, de modo que as quantidades de cédulas de um e de dez reais eram iguais. Neste caso, qual a quantidade de cédulas de cinco reais a criança economizou?
	
	
	
	
	
	25
	
	
	15
	
	 
	45
	
	
	35
	
	
	50
	
	
	
		7.
		Quais os valores de a e b para que o sistema abaixo não tenha solução.
2x  + 1y  - 3z  =  1
1x  - 2y  + 3z  =  2
3x  - 1y  - az =  b
	
	
	
	
	 
	a=0 e b≠3
	
	
	a≠0 e b=3
	
	 
	a=1 e b≠0
	
	
	a=0 e b≠-3
	
	
	a≠0 e b=-3
	
	
	
		8.
		Em relação ao sistema formado pelas equações:
x + 3y + 2z = 8
y  + z = 2.
Podemos afirmar que: 
	
	
	
	
	 
	É um sistema possível e determinado.
	
	 
	É um sistema possível e indeterminado.
	
	
	O sistema não está na forma escalonada.
	
	
	É um sistema impossível.
	
	
	O sistema admite a solução ( 0, 0, 0 ).
	
			As equações do sistema abaixo representam
		
	
	
	
	 
	duas retas paralelas coincidentes
	
	
	duas retas paralelas disjuntas
	
	 
	dois planos concorrentes
	
	
	dois planos paralelos disjuntos
	
	
	duas retas concorrentes
	
	
	
		2.
		Para uma festa no Dia das Crianças foram comprados 120 brinquedos, gastando R$370,00. Foram comprados carrinhos a R$2,00 cada; bolas a R$3,50 cada e bonecas a R$3,00 cada. Se o número de bolas foi igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, qual é o quadrado do número de bolas?
		
	
	
	
	
	1.600
	
	
	2500
	
	 
	400
	
	
	900
	
	 
	3.600
	
	
	
		3.
		Se o sistema abaixo possui solução única, então
		
	
	
	
	
	k é diferente de 0
	
	
	k = 0
	
	 
	k é diferente de -3/2
	
	
	k = 2
	
	
	k = 3/2
	
	
	
		4.
		Um sistema formado pelas equações, com incógnitas x e y, e1: ax + 3y = 1 e e2: bx - 6y = 2, será possível e determinado se, e somente se:
		
	
	
	
	
	b = -3a
	
	 
	b for diferente de -2a
	
	
	b é diferentes de 3a/2
	
	
	b = 2a
	
	
	b = -2a
	
	
	
		5.
		O valor de k para que as equações ( k - 2 ) x + 3y = 4 e 2x + 6y = 8 , represente no plano cartesiano um par de retas coincidentes é:
		
	
	
	
	
	k = 5
	
	
	k = 4
	
	
	k = 7
	
	 
	k = 6
	
	 
	k = 3
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Determine o valor de k para que o sistema seja indeterminado;
		
	
	
	
	
	k = 15
	
	
	k = - 10
	
	
	k = 10
	
	 
	k = 20
	
	 
	k = - 18
	
	
	
		7.
		Considerando um sistema formado pelas equações, com incógnitas x e y, e1: ax + 3y = 3 e e2: 4x - y = b, é correto afirmar que:
		
	
	
	
	 
	é impossível para a = -12 e b diferente de -1
	
	 
	é possível e indeterminado para a = -12 e b diferente de -1
	
	
	é possível e indeterminado para a = -12, qualquer que seja b
	
	
	é impossível para a diferente de -12
	
	
	é possível e determinado para a = -12
	
	
	
		8.
		O sistema de equações (a-2) x + 2y = 4 e 3x -3y = 9 tem como representação gráfica no plano cartesiano duas retas paralelas. O valor de a é :
		
	
	
	
	 
	0
	
	
	-1
	
	
	-2
	
	 
	1
	
	
	2
	
		Aula 5
	Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução de 2u + v = 3w.
	
	
	
	
	 
	(-7, 2, 0)
	
	
	(6, -2, 0)
	
	
	(7, 2, 0)
	
	
	(-6, 1, 0)
	
	
	(-7, -3, 1)
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Considerando o espaço vetorial R^3, os vetores u=(1,2,1), v=(3,1,-2) e w=(4,1,0), qual é o valor de 2u+v-3w ?
	
	
	
	
	
	(1,0,1)
	
	
	(2,-7,1)
	
	 
	(-7,2,0)
	
	
	(-7,0,2)
	
	
	(0,0,0)
	
	
	
		3.
		Considere V o espaço vetorial das matrizes 2x2 a coeficientes reais e sejam os seguintes subconjuntos de V:
W1={A=[abcd]: det A≠0}
W2={A=[a0bc]}
W3={A=[abcd]: det A=1}
W4={A=[abcd]: a,b,c,d são números pares}
W5={A=[abcd]: a,b,c,d são números racionais}
Selecione os subespaços vetoriais de V
	
	
	
	
	
	W1, W2 e W5
	
	 
	W2  , W4 e W5
	
	 
	W2 e W5
	
	
	W2 e W4
	
	
	W1, W2 e W4
	
	
	
		4.
		Qual(is) vetore(s) é/são combinação(ões) linear(es) de u = (1,-1,3) e de v = (2,4,0):
I -   (3, 3, 3)
II -  (2, 4, 6)
III - (1, 5, 6)
	
	
	
	
	
	I - III
	
	 
	I
	
	
	II
	
	
	I - II - III
	
	
	II - III
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Todos os conjuntos abaixo são base para R2, exceto:
	
	
	
	
	 
	{(1,0), (0,1)}
	
	
	{(0,1), (1,-1)}
	
	 
	{(1,1), (-1,-1)}
	
	
	{(0,1), (1,1)}
	
	
	{(1,0), (1,1)}
	
	
	
		6.
		Seja u = (1,1,0) , w = (x, -1, y) e r = (2, z, 3). Indique nas alternativas abaixo os escalares x, y e z de modo que w - r = u.
	
	
	
	
	
	x = -3, y = 3 e z = -2
	
	
	x = -3, y = -3 e z = -2
	
	 
	x = 3, y = 3 e z = 2
	
	
	x = 3, y = -3 e z = 2
	
	 
	x = 3, y = 3 e z = -2
	 Gabarito Comentado
	 Gabarito Comentado
	
	
		7.
		Considere no espaço vetorial R3 os vetores u = (1, 2, 1), v = (3, 1, -2) e w = (4, 1, 0). Marque a alternativa que indica a solução da equação 3u + 2x = v + w.
	
	
	
	
	
	x = (2, -2, -5)
	
	 
	x = (2, -2, -5/2)
	
	
	x = (-2, 2, 5/2)
	
	
	x = (2, -2, 0)
	
	
	x = (-5/2, -2, -2)
	
			Escrever um vetor w como combinação linear de dois vetores u e v é encontrar os valores dos escalares a e b, tais que, w = a.u + b.v. Assim, se for possível escrever o vetor w = (2, 13) como uma combinação linear entre u = (1, 2) e v = (-1,1), o valor de a + b será
		
	
	
	
	
	-1
	
	 
	8
	
	
	-2
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	
		2.
		Marque a alternativa que indica a dimensão do espaço vetorial
S = {(x,y,z)∈R3 /y=2x}dim = 3
	
	 
	dim = 2
	
	
	dim = 4
	
	
	dim = 1
	
	
	dim = 5
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Para qual valor de K o vetor u = (1, -2, K) é combinação linear de u = (3, 0, 2) e de v = (2, -1, -5)
		
	
	
	
	 
	K = -2
	
	
	K = 8
	
	 
	K = -12
	
	
	K = -10
	
	
	K = 0
	
	
	
		4.
		Considere as afirmações, abaixo, sendo  S = c um subconjunto de um espaço vetorial  V, não trivial de dimensão finita.
I - O conjunto de todas as combinações lineares dos vetores v1, ... , vp é um espaço vetorial
II - Se  { v1, ... , vp-1 } gera  V, então  S  gera  V
III -  Se { v1, ... , vp-1 } é linearmente dependente, então  S  também é.
		
	
	
	
	
	I,  II  e III  são falsas
	
	
	I  e  II  são falsas,  III  é verdadeira
	
	 
	I  e  II  são verdadeiras ,  III  é falsa
	
	
	I  e  III  são verdadeiras,  II  é falsa
	
	
	I  e  III  são falsas,  II  é verdadeira
	
	
	
		5.
		Complete a afirmativa abaixo com a alternativa correta:
Os vetores  v1,  v2, ... ,  vp  em um Espaço Vetorial  V  formam uma base para  V  se ...
		
	
	
	
	
	os vetores v1,  v2, ... ,  vp  formam um subconjunto de  V
	
	
	um dos vetores v1,  v2, ... ,  vp é o vetor nulo
	
	 
	os vetores v1,  v2, ... ,  vp  geram  V  e são linearmente independentes
	
	
	os vetores v1,  v2, ... ,  vp  formam um subespaço de  V
	
	 
	os vetores v1,  v2, ... ,  vp  são linearmente dependentes
	
	
	
		6.
		Dos conjuntos abaixo, podemos afirmar que são Linearmente Dependentes somente
A = {(1, 2), (-2, -4)}
B = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, -1, 1)}
C = {(2, 1, 0), (-1, 0, 1), (3, 1, -1)}
		
	
	
	
	 
	o conjunto A
	
	
	o conjunto B
	
	
	os conjuntos A, B e C
	
	
	o conjunto C
	
	 
	os conjuntos A e C
	
	
	
		7.
		Dos conjuntos abaixo, podemos afirmar que são linearmente Independentes somente
A = {(1, 2), (-2, 1)}
B = {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, -1, 1)}
C = {(2, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, 1, 1)}
		
	
	
	
	
	o conjunto B
	
	
	o conjunto A
	
	 
	os conjuntos A e C
	
	 
	os conjuntos A e B
	
	
	os conjuntos A, B e C
	
	
	
		8.
		Determine o valor de k para o qual os vetores u = (1, 1, 0), v = (0, 2, 2) e w = (1, 0, k) são Linearmente Independentes.
		
	
	
	
	
	k diferente de -2
	
	
	k diferente de +3 e -3
	
	 
	k = 0
	
	 
	k diferente de -1
	
	
	k = 2
	
		CCE1003_A7_201403090645
	
		
	
	Lupa
	
	
	
	
		1.
		Considere os vetores v1= (1, 2, 1), v2=(1, -1, 3) e v3= (1, 1, 4). Para que os mesmos formem uma base de R3 é necessário que para qualquer  u = (x, y,z)  existam c1, c2 e c3 de modo que u = c1v1 + c2 v2 +c3v3.  Verifique se os vetores v1 , v2  e v3 formam uma base e quais os valores de c1, c2 e c3 que satisfazem a equação vetorial
	
	
	
	
	
	Os vetores v1 , v2  e v3 formam uma base e c1 = -3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7
	
	
	Os vetores v1 , v2  e v3 não formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7
	
	 
	Os vetores v1 , v2  e v3 formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7
	
	
	Os vetores v1 , v2  e v3 formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= -6/7
	
	
	Os vetores v1 , v2  e v3 não formam uma base e c1 = 3/7, c2 = -2/7 e c3= 6/7
	
	
	
		2.
		Escreva o vetor v = (5,-2) como combinação linear dos vetores v1=(1,-1) e v2=(1,0).
	
	
	
	
	 
	2v1+3v2
	
	
	2v1+2v2
	
	
	-2v1+3v2
	
	
	3v1+2v2
	
	
	3v1+3v2
	
	
	
		3.
		Considere a seguinte base do ℝ 3: β= {(1, 2, 3), (1, 1, 1),(a ,b, c)}.
Sabendo que as coordenadas do vetor (1, 4, 9), na base βsão (1, 2, 2) , determine o valor de (a+b-c).
	
	
	
	
	
	-2
	
	
	3
	
	
	2
	
	 
	-3
	
	
	1
	
	
	
		4.
		Encontre as condições em X, Y, Z de modo que (x, y, z) є R3 pertença ao espaço gerado por r = (2, 1, 0), s= (1, -2, 2) e t = (0, 5, -4).
	
	
	
	
	
	2X – 3Y + 2Z ≠ 0
	
	 
	X + Y – Z = 0
	
	
	2X – 4Y – 5Z ≠ 0
	
	
	2X  - 3Y + 2Z = 0
	
	 
	2X – 4Y – 5Z = 0
	
	
	
		5.
		Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta.
(I)  O conjunto {1} não é uma base de R.
(II) O conjunto {(1,-1), (-2,2),(1,0)} é uma base de R2.
(III)  O conjunto A = {(1,2,3), (0,1,2), (0,0,1)} é uma base de R3.
	
	
	
	
	
	II, apenas
	
	
	I e III, apenas
	
	 
	II e III, apenas
	
	 
	III, apenas
	
	
	I, apenas
	
	
	
		6.
		Considere as assertivas abaixo:
I - Se nenhum dos vetores de R3 no conjunto S = {v1, v2, v3} é um múltiplo escalar de um dos outros vetores, então S é um linearmente independente;
II - Em alguns casos, é possível que quatro vetores gerem o R5;
III - Se {u, v, w} é um conjunto linearmente independente, então u,  v e w não estão no R2;
IV- Sejam u,  v e w vetores não nulos do R5, v não é um múltiplo de  u , e w não é uma combinação linear de  ue  v. Então {u, v, w} é linearmente independente.
	
	
	
	
	
	As afirmações I e III são falsas e as afirmações II e IV são verdadeiras
	
	 
	As afirmações I e II são falsas e as afirmações III e IV são verdadeiras
	
	 
	As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e IV são falsas
	
	
	As afirmações I e IV são verdadeiras e as afirmações II e III são falsas
	
	
	As afirmações III e IV são falsas e as afirmações I e II são verdadeiras
	
	
	
		7.
		Quais dos seguintes conjuntos de vetores abaixo formam uma base do R3
	
	
	
	
	
	{(1, 1, 1), (1, -1, 5)}
	
	
	{(1, 2, 3),(1, 0, -1), (3, -1, 0) , (2, 1, -2)}
	
	 
	{(1, 1, 1), ( 1, 2, 3), ( 2, -1, 1)}
	
	
	{( 1, 1, 2), (1, 2, 5), ( 5, 3, 4)}
	
	
	{(0,0,1), (0, 1, 0)}
	
	
	
		8.
		Qual dos seguintes conjuntos de vetores abaixo forma uma base de R4?
	
	
	
	
	 
	{(1,2,3,4), (0,-2, 4, 7), (0,0,1,0), (0,0,0,3)}
	
	 
	{(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0), (0,0,0,3), (0,2,3,1) }
	
	
	{(1, 3, 4, 5), (1,2,3,4), (2,3,-1,0) }
	
	
	{(1,2,3,4), (0,2,-3,4),(0,-4, 6,-8),(0,0,2,3)}
	
	
	{(1,0,0, 0), (0,1,0,4), (0, 2, 0, 8), (0,0,2,3)}
	CCE1003_A8_201403090645
		1.
		A função f: R2 →R2, tal que f(x, y) = (2x - y, x + 3y) é uma Transformação Linear do R2. A imagem do vetor v = (1, 2) será
	
	
	
	
	
	(3, 5)
	
	
	(-2, 0)
	
	 
	(2, 6)
	
	 
	(0, 7)
	
	
	(-1, 5)
	
	
	
		2.
		A função f: R3 →R3, tal que f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x - y, 0) é uma Transformação Linear do R3. A imagem do vetor v = (0, 1, 5) será
	
	
	
	
	
	(9, 1, 0)
	
	
	(-3, 5, 0)
	
	
	(13, 5, 2)
	
	 
	(11, -1, 0)
	
	 
	(0, -5, 2)
	
	
	
		3.
		Considere uma transformação  linear T de R2 em R2 definida por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Seja A a matriz associada à transformação linear em relação à base canônica. Uma matriz A é diagonalizável se existe uma matriz não singular P, tal que P-1.A.P = D ,onde D é uma matriz diagonal. Sabendo que essa matriz A é diagonalizável, apresente A5 utilizando a fatoração da matriz A.
	
	
	
	
	 
	[5-1-21].[6500-1].[1717-2757]
	
	 
	[1717-2757].[6500-1].[5-121]
	
	
	[52111].[6500-1].[11-25]
	
	
	[5-121].[600-1].[17172757]
	
	
	[1717-2757].[600-1].[5-121]
	
	
	
		4.
		Considere  T  uma Transformada Linear. Defina T(X) = AX , sendo A =  [13-12-1-5]. A imagem de  X = [1-20] porT  é
	
	
	
	
	
	
[260]
	
	
	[-540]
	
	 
	[11]
	
	
	[70]
	
	 
	[-54]
	
	
	
		5.
		A função f: R3 →R3, tal que f(x, y, z) = (x + y + 2z, 2x - y, 0) é uma Transformação Linear do R3. A imagem do vetor v = (2, -1, 3) será
	
	
	
	
	
	(1, 4, 0)
	
	
	(2, -1, 0)
	
	
	(6, -1, 1)
	
	 
	(7, 5, 0)
	
	
	(-5, 3, 2)
	
	
	
		6.
		As transformações Lineares estão presentes em diversos sistemas dinâmicos lineares. A seguir apresentamos algumas assertivas sobre transformações lineares. Considere as mesmas e assinale a alternativa correta:
I - O princípio da superposição descrito pela equação abaixo é uma transformada linear empregada em sistemas lineares:
T(c1v1+c2v2+...+cpvp) = c1T(v1 )+ c2T(v2 ) + ...+ cpT(vp);
II - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R3;
III - Se a Matriz A tem dimensão 3x5 e T é a transformada definida por T (x) =Ax, então o domínio de T é o R5;
IV - Se T é uma transformada linear, então T(0) = 0 e T(cv +du) = cT(v) + dT(u)
	
	
	
	
	
	As afirmações II e IV são verdadeiras e as afirmações I e III são falsas
	
	 
	As afirmações II, III e IV são verdadeiras e a afirmação I é falsa
	
	
	As afirmações I, III e IV são verdadeiras e a afirmação II é falsa
	
	 
	As afirmações I, II e IV são verdadeiras e a afirmação III falsa
	
	
	As afirmações I e III são verdadeiras e as afirmações II e IV são falsas
	
	
	
		7.
		Nas teorizações sobre diagonalização de matrizes temos o Teorema:
Uma matriz  A, n x n,  é diagonalizável se, e somente se,  A  pode ser fatorada na forma  A = P. D. P-1 , sendo:
P  uma matriz invertível, tal que as colunas de  P  são  n  autovetores de  A, linearmente independentes e,
D  uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são os autovalores de  A  associados, respectivamente, aos autovalores de  P.
Desse modo, para  A = [72-41],  cujos autovalores são  5 e 3 , com autovetores associados  v1 = ( 1, -1 )  e  v2 = ( 1, -2 ), respectivamente temos:
	
	
	
	
	 
	P = [11-1-2]  e  D = [5003]
	
	
	P = [11-1-2]  e  D = [0530]
	
	
	P = [2-1-11]  e  D = [3005]
	
	
	P = [1-11-2]  e  D = [5003]
	
	
	P = [1001]  e  D = [53-3-5]
	
	
	
		8.
		Considere a Transformada Linear  T(X) = AX  tal que A = [231-252]Sendo B = [13327]  a imagem de  X  por  T, o vetor  X  é
	
	
	
	
	
	[531]
	
	 
	[-5-1]
	
	 
	[51]
	
	
	[15]
	
	
	[135]
	
	CCE1003_A9_201403090645
		1.
		Considere as seguintes transformações lineares T:R²->R² assim definidas:
um cisalhamento no plano, na direção do eixo dos x, de um fator α, dado pela matriz canônica[1α01]
uma rotação do plano em torno da origem que faz cada ponto descrever um ângulo β, cuja matriz canônica é:[cosβ-senβsenβcosβ].
O vetor v=(3,2) experimenta sequencialmente: um cisalhamento horizontal de fator 2 e uma rotação de 900 no sentido anti-horário.
Encontre a matriz da transformação linear que representa a composta dessas duas operações e o vetor resultante dessa sequência de operações.
	
	
	
	
	
	[2-111] e  (T1oT2)(3,2) = (4,5)
	
	
	[1-112] e  (T1oT2)(3,2) = (1,5)
	
	 
	[1201]  e   (T1oT2)(3,2) = (7,2)
	
	
	[2-110] e  (T1oT2)(3,2) = (4,3)
	
	 
	[0-112] e  (T1oT2)(3,2) = (-2,7)
	
	
	
		2.
		Considere as matrizes A=[111111111]    e     B=[600033033]. Encontre os polinômios característicos de A  e  de  B.
	
	
	
	
	 
	-λ3 +λ2     e       λ(λ-6)2
	
	
	-λ +λ2     e       λ(λ-6)
	
	 
	-λ3 +λ     e       λ(λ-6)
	
	
	-λ3 +λ2     e       λ2 (λ-6)
	
	
	-λ3 +λ2 +λ    e       λ(λ-6)2
	
	
	
		3.
		Complete a afimativa, abaixo, com a opção correta:
Uma matriz  A,  n x n, é diagonalizável se, e somente se, ...
	
	
	
	
	
	A  possui  n x n  autovetores
	
	 
	A  possui  n  autovetores distintos
	
	 
	A  possui  n  autovetores linearmente independentes
	
	
	A  não possui autovalores reais
	
	
	A  possui  n  autovetores linearmente dependentes
	
	
	
		4.
		Os autovalores da matriz abaixo são?
	
	
	
	
	 
	3,54 e 2,54
	
	
	3,54 e 1,54
	
	
	-3,54 e 2,54
	
	
	-3,54 e -2,54
	
	 
	3,54 e -2,54
	
	
	
		5.
		Seja a matriz A = [51-41] . Marque a alternativa que indica os autovalores da matriz de A.
	
	
	
	
	
	λ = -1  e λ = -3
	
	 
	λ = 3
	
	 
	λ = -3
	
	
	λ = 1  e λ = 3
	
	
	λ = -1  e λ = 3
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Um dos autovalores associados a matriz A = [1 3 4 2] , é:
	
	
	
	
	 
	5
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	4
	
	
	2
	
	
	
		7.
		Para a matriz  A = [233-6] , temos como polinômio característico e autovalores
	
	
	
	
	
	p2(λ) = λ2 + 3λ -10 ;  λ1 = -5  e  λ2 = 2
	
	
	p2(λ) = λ2 - 4λ + 3 ;  λ1 = 1  e  λ2 = 3
	
	 
	p2(λ) =  λ2 + 4λ - 21  ;  λ1 = -7  e  λ2 = 3
	
	 
	p2(λ ) = λ2 + 8λ - 20 ;  λ1 = -10  e λ2 = 2
	
	
	p2(λ) = λ2 - 5λ+ 6 ;  λ1= 2  e  λ2 = 3
	
	
	
		8.
		Considere a matriz  A = [10-11-304-131].  Um dos 3 autovalores de  A  é
	
	
	
	
	 
	λ = 1
	
	 
	λ = -1
	
	
	λ = -2
	
	
	λ = 5
	
	
	λ = 4
	
	CCE1003_A10_201403090645
		1.
		Determine a representação matricial do operador do  R2 - R2  em relação à  T(x, y)=(4x, 2y -x) e base canônica.
	
	
	
	
	
		
	
	4
	0
	
	
	
	1
	2
	
	
	
		
	
	4
	1
	
	
	
	-1
	0
	
	
	
		
	
	-4
	0
	
	
	
	-1
	2
	
	
	 
		
	
	4
	0
	
	
	
	0
	2
	
	
	 
		
	
	4
	0
	
	
	
	-1
	2
	
	
	
	
		2.
		Quais são os valores próprios (autovalores) do operador T do R¿2 dado por T(x,y) = (x+y, x-y)?
	
	
	
	
	 
	Raiz de 2 e -(Raiz de 2)
	
	
	1 e 1
	
	 
	Raiz de 2 e 0
	
	
	0 e 1
	
	
	1 e -1
	
	
	
		3.
		O número de autovalores racionais da matriz A = [0 -1 0 0 0 1 -4 -17 8], é:
	
	
	
	
	
	5
	
	 
	2
	
	
	4
	
	
	3
	
	 
	1
	
	
	
		4.
		Seja um operador definido por T(x,y) = (4x+5y , 2x+y). Apresente a matriz P que diagonaliza a matriz do operador.
	
	
	
	
	
	[P] =[1757-1727]
	
	
	[P] =[2-511]
	
	 
	[P] =[4521]
	
	 
	[P] = [15-12]
	
	
	[P] = [-1006]
	
	
	
		5.
		Uma matriz e sua transposta têm o mesmo polinômio característico quando a ordem dessas matrizes for:
	
	
	
	
	 
	qualquer ordem
	
	
	2
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	4
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Os valores próprios de um operador linear T:R2 em R2 são a1 = 2 e a2 = 3, sendo v1 = (1,-1) e v2 = (-1,0) os respectivos vetores associados. Determine T (x,y):
	
	
	
	
	
	T(x,y) = (-3x-5y, 3y)
	
	 
	T(x,y) = (-3x-7y, 4y)
	
	
	T(x,y) = (-4x-5y, 2y)
	
	
	T(x,y) = (-3x-5y, 4y)
	
	 
	T(x,y) = (-3x-5y, 2y)
	
	
	
		7.
		Os autovalores de  [00005200-1]  são
	
	
	
	
	 
	λ1 = 0 ,  λ2 = 5 ,  λ3 = -1
	
	
	λ1 = 5 ,  λ2 = 2 ,  λ3 = -1
	
	
	λ1 = 0 ,  λ2 = -5 ,  λ3 = 1
	
	
	λ1 = 5  e  λ2 = -1
	
	 
	λ1 = -5 ,  λ2 = -2 ,  λ3 = 1
	
	
	
		8.
		O número de autovalores reais associados a matriz A = [-2 -1 5 2] é igual a :
	
	
	
	
	 
	03
	
	
	1
	
	 
	2
	
	
	4