prova_2_013

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Segunda Prova de A´lgebra Linear 1 - 08.013-6 D
05-11-2013
Nome: RA :
1. Responda verdadeiro (V) ou falso (F), sendo que cada ı´tem correto vale 20% da questa˜o e
cada ı´tem incorreto vale −10% da questa˜o. Itens em branco na˜o sera˜o computados.
a) ( ) Se v1, v2 e v3 sa˜o auto-vetores de um operador T : V → V correspondentes aos
autovalores λ1, λ2 e λ3 e λ1 6= λ2, λ1 6= λ3, λ2 6= λ3, enta˜o {v1, v2, v3} e´ L.I.
b) ( ) Se T : V → V e´ um operador linear diagonaliza´vel e dim(V) = n, enta˜o T possui n
autovalores distintos;
b) ( ) Se T : V→ V e´ um operador linear invers´ıvel, enta˜o T e´ diagonaliza´vel.
c) ( ) 〈(x, y), (a, b)〉 = 3
2
x2 − 4
3
y2 define um produto interno sobre R2.
RESOLVER APENAS 3 (TREˆS) DOS 4 (QUATRO) EXERCI´CIOS ABAIXO.
2. Seja T : R2 → R2 o u´nico operador linear tal que T (1, 1) = (8, 5) e T (−1, 1) = (28, 17).
a) Encontre uma base ordenada β de R2 tal que a matriz [T ]ββ seja uma matriz diagonal;
b) Determine [T ]ββ.
3. Dizemos que um operador linear na˜o nulo T : V→ V e´ nilpotente se existe um inteiro positivo
k tal que T k = T ◦ T ◦ · · · ◦ T︸ ︷︷ ︸
k
e´ o operador nulo, ou seja, T k(v) = 0V para todo v ∈ V.
a) Prove que T : R2 → R2, definido por T (x, y) = (0, x) e´ um operador nilpotente;
b) Mostre que se F : V→ V e´ nilpotente, enta˜o λ = 0 e´ o u´nico autovalor de F ;
c) Se dim(V) = n e F : V → V e´ nilpotente, determine o polinoˆmio caracter´ıstico, pF (x),
de F ;
d) Se F e´ um operador linear nilpotente enta˜o podemos afirmar que F e´ diagonaliza´vel?
4. Considere R3 munido do produto interno usual. Seja α = {(2, 1, 0), (1,−2, 3), (0, 0, 1)}.
a) Aplique o processo de Gram-Schmidt a` base α para encontrar uma base ortogonal β de R3;
b) Calcule [v]β se v = (3,−1, 4).
5. Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, munido de um produto interno 〈, 〉. Se u, v e
w sa˜o vetores ortogonais dois a dois, mostre que
||u+ v + w||2 = ||u||2 + ||v||2 + ||w||2
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