P2 2º 2007 (1)

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Gabarito P2 Cálculo Numérico 2º Semestre 2007 
 
Turma A 
 
Questão 1 
Uma pedra é atirada de um ponto P no solo, com uma trajetória dada por um polinômio não 
linear. Passados 4 seg. ela atinge uma altura de 3 m; após 2 seg. a altura é de 5 m e depois 
de 1 seg. , quando ela começa a cair, ela atingiu a altura de 6,6 m. Quanto tempo havia 
 passado quando ela estava a 4 m? Fazer todos os cálculos detalhadamente. Uma casa 
decimal 
 
 
 
 
02,0t2t.2,0ou480,3t2t.2,0
.trajetória80,3t2t.2,02P
E6,6.
1.3
)6t).(4t(
5.
)1.(2
)7t)(4t(
3.
)3)(2(
)7t)(6t(
2P
=−−=+−
=+−=
+−−+−
−−+−−
−−=
 
 
Haviam passado 5,2 seg. 
 
Questão 2 Sendo 2,4 < t < 2,6, escrever a expressão do polinômio de Newton, que 
aproxima a tabela dada, na forma nn
2
210 t.a....t.at.aa ++++ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tempo 4 6 7 
altura 3 5 6,6 
t F(t) UF(t) U2F(t) U3F(t) 
2,2 1,000 
 
0,124 0,012 0,004 
2,4 1,124 
 
0,136 0,016 0,002 
2,6 1,260 
 
0,152 0,018 
2,8 1,412 
 
0,170 
3,0 1,582 
 0005,0≤ε
 
001,02 ≤ε 002,04 ≤ε
 
004,08 ≤ε
 
2t.008,0t.124,0124,1)t(2P
2
)1t.(t
.016,0t.136,0124,1
!2
)2(t
.016,0t.136,0124,1)t(2P)t(F
++=
−++=++=≈ 
 
 
 P2 = 1,124 + 0,124.t + 0,008.t2 
 
 
Questão 2 
 
 No cálculo de ∫42 dx)xln( , pela fórmula trapezoidal, qual o número mínimo de 
intervalos para que o erro de truncamento seja 
no máximo 0,0001? 
1xc0xonde)c(''f.12
3h
trE <<−= 
 
 O intervalo tem amplitude 2. Sendo n integrais pela fórmula trapezoidal temos: 
n
2
h2h.n =⇒= 
ervalosint41nsãoEntão
82,40n67,16662n
4c24c2
0001,0
2n.22.12
8
2c
1
.
12
3
n
2
.n)c(''f.
12
3h
.ntrE
=
>⇒>
<<<<
<<−



−=−≤
 
 
Portanto n = 41 
 
 
Questão 4 Dada a equação diferencial y ‘ = x + y, utilizando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, 
completar a tabela, que tem passo constante, com os valores faltantes. 
 
Fórmulas: y(x+h) = y(x) + (h/6)( K1 + 2.K2 +2.K3 + K4 ) 
 K1 = f(x,y) 
 K2 = f[ x +h/2, y + (h/2) K1 ] 
 K3 = f[ x +h/2, y + (h/2) K2 ] 
 K4 = f[ x +h, y + h K3 ] 
 
 K1 = x +y 
 K2 =(x + h/2)+[y(x) + (h/2).K1] 
 K3 =(x + h/2)+[y(x) + (h/2).K2] 
 K4 =(x + h)+[y(x) + h.K3] 
 
x y(x) K1 K2 K3 K4 
x0= y(x0) = 2 K1= 4 K2= 9 K3= 14 K4= 34 
x0= 4 y(x1) = 30 
x0= 6 
 
Sendo o passo constante temos x0= 2. 
 
K1 = 2 + y(2) 
 
K2 =(2 + 1)+[y(2) + 1.K1] = 3 + y(2) + 2 +y(2) = 5 + 2.y(2) 
 
K3 =(2 + 1)+[y(2) + 1.K2] = 3 + y(2) + 5 + 2.y(2) = 8 + 3.y(2) 
 
K4 =(2 + 2)+[y(2) + 2.K3] = 4 + y(2) + 2.[ 8 + 3.y(2)] = 20 + 7.y(2) 
 
y(2 + 2) = y(4) = y(2) + (2/6)( K1 + 2.K2 +2.K3 + K4 ) = y(2) + (1/3).[ 48 + 18.y(2)] = 16 + 7.y(2) = 30 
 
y(2) = 2 
(A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Turma B 
Questão 1 
Uma pedra é atirada de um ponto P no solo, com uma trajetória dada por um polinômio não 
linear. Passados 3 seg. ela atinge uma altura de 3 m; após 2 seg. a altura é de 5 m e depois 
de 1 seg. , quando ela começa a cair, ela atingiu a altura de 6,6 m. Quanto tempo havia 
 passado quando ela estava a 4 m? Fazer todos os cálculos detalhadamente. Uma casa 
decimal 
 
 
 
 
 
 
01t.6,02t.2,0ou400,3t.6,02t.2,0
.trajetória00,3t.6,02t.2,02P
E6,6.
1.4
)5t).(3t(
5.
)1.(2
)6t)(3t(
3.
)3)(2(
)6t)(5t(
2P
=−−=+−
=+−=
+−−+−
−−+−−
−−=
 
 
Haviam passado 4,2 seg. 
 
 
Questão 2 Sendo 1,8 < t < 2,0, escrever a expressão do polinômio de Newton, 
que aproxima a tabela dada, na forma nn
2
210 t.a....t.at.aa ++++ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2t.008,0t.124,0124,2)t(2P
2
)1t.(t
.016,0t.136,0124,2
!2
)2(t
.016,0t.136,0124,2)t(2P)t(F
++=
−++=++=≈ 
 
 
tempo 3 5 6 
altura 3 5 6,6 
t F(t) UF(t) U2F(t) U3F(t) 
1,6 2,010 
 
0,124 0,012 0,004 
1,8 2,134 
 
0,136 0,016 0,002 
2,0 2,270 
 
0,152 0,018 
2,2 2,422 
 
0,170 
2,4 2,592 
 0005,0≤ε
 
001,02 ≤ε 002,04 ≤ε
 
004,08 ≤ε
 
 P2 = 2,124 + 0,124.t + 0,008.t2 
 
 
Questão 3 
 
 No cálculo de ∫42 dxx1 , pela fórmula trapezoidal, qual o número mínimo de intervalos 
para que o erro de truncamento seja 
no máximo 0,0001? 
1xc0xonde)c(''f.12
3h
trE <<−= 
 
 O intervalo tem amplitude 2. Sendo n integrais pela fórmula trapezoidal temos: 
n
2
h2h.n =⇒= 
ervalosint41nsãoEntão
82,40n67,16662n
4c24c2
0001,0
2n.22.12
8
3c
2
.
12
3
n
2
.n)c(''f.
12
3h
.ntrE
=
>⇒>
<<<<
<<



−=−≤
 
 
Portanto n = 41 
 
Questão 4 Dada a equação diferencial y’ = 2x + y, utilizando o método de Runge-Kutta 
de 4ª ordem, completar a tabela, que tem passo constante, com os valores faltantes. 
 
Fórmulas: y(x+h) = y(x) + (h/6)( K1 + 2.K2 +2.K3 + K4 ) 
 K1 = f(x,y) 
 K2 = f[ x +h/2, y + (h/2) K1 ] 
 K3 = f[ x +h/2, y + (h/2) K2 ] 
 K4 = f[ x +h, y + h K3 ] 
 
 K1 = 2x +y 
 K2 =2(x + h/2)+[y(x) + (h/2).K1] 
 K3 =2(x + h/2)+[y(x) + (h/2).K2] 
 K4 =2(x + h)+[y(x) + h.K3] 
 
x y(x) K1 K2 K3 K4 
x0= y(x0) = 2 K1= 6 K2= 14 K3= 22 K4= 54 
x0= 4 y(x1) = 46 
x0= 6 
 
Sendo o passo constante temos x0 = 2. 
 
K1 = 2.2 + y(2) = 4 + y(2) 
 
K2 =2.(2 + 1)+[y(2) + 1.K1] = 6 + y(2) + 4 + y(2) = 10 + 2.y(2) 
 
K3 =2.(2 + 1)+[y(2) + 1.K2] = 6 + y(2) + 10 + 2.y(2) = 16 + 3.y(2) 
 
K4 =2.(2 + 2)+[y(2) + 2.K3] = 8 + y(2) + 2.[ 16 + 3.y(2)] = 40 + 7.y(2) 
 
y(2 + 2) = y(4) = y(2) + (2/6)( K1 + 2.K2 +2.K3 + K4 ) = y(2) + (1/3).[ 96 + 18.y(2)] = 32 + 7.y(2) = 46 
 
y(2) = 2 
. (B)