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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP2 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2014-2 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Questa˜o 1 (3.0 pts) : Determine o conjunto soluc¸a˜o das inequac¸o˜es a seguir na forma de intervalo ou reunia˜o de intervalos. a) (1.5 pts) |3x− 4| > 1. b) (1.5 pts) 2 ( x− 1 2 )2 + 7 2 ≤ 5 Soluc¸a˜o: a) Para resolver a inequac¸a˜o deste item, vamos substituir a expressa˜o com mo´dulo, para em seguida resolver a expressa˜o resultante. Para isso, lembremos que |w| = { w, se w ≥ 0 −w, se w < 0. Desta forma, temos que |3x− 4| = { 3x− 4, se 3x− 4 ≥ 0 −(3x− 4), se 3x− 4 < 0, o que e´ equivalente a dizer que |3x− 4| = 3x− 4, se x ≥ 4 3 −3x+ 4, se x < 4 3 , Notamos, enta˜o, que o valor do mo´dulo da inequac¸a˜o depende da localizac¸a˜o de x em relac¸a˜o ao ponto 4 3 . Tomando como refereˆncia este ponto, vamos analisar a expressa˜o da inequac¸a˜o quando substitu´ımos o mo´dulo nos intervalos ( −∞, 4 3 ) , [ 4 3 ,∞ ) . Tendo isso em vista, contru´ımos a tabela a seguir. Me´todos Determin´ısticos I AP2 2 Intervalo (−∞, 4/3) [4/3,∞) Expressa˜o de |3x− 4| −3x+ 4 3x− 4 Expressa˜o de |3x− 4| > 1 −3x+ 4 > 1 3x− 4 > 1 Dessa forma, de acordo com a localizac¸a˜o de x, temos que calcular o conjunto soluc¸a˜o para cada uma das duas desigualdades provenientes de |4x− 3| > 1, e, em seguida, fazer a reunia˜o destes conjuntos. Temos: Caso 1: Para x ∈ ( −∞, 4 3 ) , segue que |3x− 4| > 1 =⇒ −3x+ 4 > 1 =⇒ −3x+ 4− 4 > 1− 4 =⇒ −3x > −3 =⇒ −3x ( −1 3 ) < −3 ( −1 3 ) =⇒ x < 1. Notemos que os valores de x tais que x < 1, que pertencem ao intervalo ( −∞, 4 3 ) sa˜o aqueles que esta˜o no intervalo (−∞, 1). Logo, o conjunto soluc¸a˜o, S1, deste caso, e´ dado por S1 = (−∞, 1). Caso 2: Para x ∈ [ 4 3 ,∞ ) , segue que |3x− 4| > 1 =⇒ 3x− 4 > 1 =⇒ 3x− 4 + 4 > 1 + 4 =⇒ 3x > 5 =⇒ 3x ( 1 3 ) > 5 ( 1 3 ) =⇒ x > 5 3 . Notemos que os valores de x tais que x > 5 3 , que pertencem ao intervalo [ 4 3 ,∞ ) sa˜o aqueles que esta˜o no intervalo ( 5 3 ,∞ ) . Logo, o conjunto soluc¸a˜o, S2, deste caso, e´ S2 = ( 5 3 ,∞ ) . Portanto, o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o dada e´ S = S1 ∪ S2 = (−∞, 1) ∪ ( 5 3 ,∞ ) . Outra soluc¸a˜o para o item a) Usando a propriedade que |w| > a se, e somente se, w > a ou w < −a, temos que: 3x− 4 > 1 ou 3x− 4 < −1. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 3 Temos, enta˜o, de determinar o conjunto soluc¸a˜o de 3x− 4 > 1 e de 3x− 4 < −1 e, em seguida fazer a reunia˜o deles. Temos que: 3x− 4 > 1 =⇒ 3x− 4 + 4 > 1 + 4 =⇒ 3x > 5 =⇒ 3x ( 1 3 ) > 5 ( 1 3 ) =⇒ x > 5 3 , 3x− 4 < −1⇐⇒ 3x− 4 + 4 < −1 + 4 =⇒ 3x < 3 =⇒ 3x ( 1 3 ) < 3 ( 1 3 ) =⇒ x < 1 . Fazendo a reunia˜o, segue que o conjunto soluc¸a˜o e´: (−∞, 1) ∪ ( 5 3 ,∞ ) . b) Temos que 2 ( x− 1 2 )2 + 7 2 ≤ 5 ⇐⇒ 2 ( x− 1 2 )2 + 7 2 − 5 ≤ 0 ⇐⇒ 2 ( x2 − x+ 1 4 ) + 7 2 − 5 ≤ 0 ⇐⇒ 2x2 − 2x+ 1 2 + 7 2 − 5 ≤ 0 ⇐⇒ 2x2 − 2x+ 4− 5 ≤ 0 ⇐⇒ 2x2 − 2x− 1 ≤ 0. Ou seja, a inequac¸a˜o 2 ( x− 1 2 )2 + 7 2 ≤ 5 e´ equivalente a inequac¸a˜o 2x2 − 2x− 1 ≤ 0. Chamando 2x2 − 2x − 1 de y, isto e´, y = 2x2 − 2x − 1, vamos determinar quando y e´ igual a zero para, em seguida, determinar quando e´ negativo. Para isso, observemos que o gra´fico de y = 2x2− 2x− 1 e´ uma para´bola com concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de x2 e´ positivo. Assim, os valores de x em que y = 0, sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o do segundo grau 2x2−2x−1 = 0, isto e´, x = 2± √ 4− 4(2)(−1) 4 = 2±√12 4 = 2± √ 4(3) 4 = 2±√4√3 4 = 2± 2√3 4 = 1±√3 2 . Temos, assim, as ra´ızes x = 1−√3 2 e x2 = 1 + √ 3 2 . O gra´fico da para´bola esta´ plotada na Figura 1 Observando o gra´fico, vemos que o y da para´bola e´ negativo quando 1−√3 2 < x < 1 + √ 3 2 . Portanto, os valores de x que satisfazem 2 ( x− 1 2 )2 + 7 2 ≤ 5 pertencem ao intervalo [ 1−√3 2 , 1 + √ 3 2 ] . Questa˜o 2 (2.5 pts) Seja S o sistema de equac¸o˜es do primeiro grau dado por S : −x+ 3y = 0 x+ 2y = −5. a) (1.0 pts) Determine, caso exista, a soluc¸a˜o de S. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 4 ++ -x1 x2 x y Figura 1: Questa˜o 1 b) (1.0 pts) Represente no plano cartesiano o gra´fico de cada uma das equac¸o˜es de S e localize, tambe´m, a soluc¸a˜o encontrada para esse sistema, se houver. c) (0.5 pts) Qual o significado geome´trico para a soluc¸a˜o de S? Soluc¸a˜o: a) Temos da equac¸a˜o (i) do sistema { −x+ 3y = 0 (i) x+ 2y = −5 (ii) que x = 3y. Substituindo-a na Equac¸a˜o (ii) vem que 3y + 2y = −5⇐⇒ 5y = −5⇐⇒ y = −1. Consequentemente, de x = 3y segue que x = 3(−1). Ou seja, x = −3. Portanto, a soluc¸a˜o do sistema e´ o par ordenado (x, y) = (−3,−1) . b) Cada uma das equac¸o˜es do sistema dado e´ representado no plano cartesiano por uma reta. Na Figura 2 plotamos em linha cont´ınua rosa o gra´fico da reta −x+3y = 0⇔ x = 3y, trac¸ada pelos pontos (0, 0) e (−3,−1), e em linha tracejada azul o gra´fico da reta x+2y = −5⇔ x = −5−2y, trac¸ada pelos pontos (−5, 0) e (0,−5/2). O ponto (−3,−1) esta´ marcado em vermelho na Figura. c) O ponto (−3,−1) representa a intersec¸a˜o das duas retas cujas equac¸o˜es sa˜o as equac¸o˜es do sistema. Questa˜o 3 (2.5 pts) Em uma certa plantac¸a˜o, a produc¸a˜o, P, de tomate depende da quantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependeˆncia pode ser expressa por P = −q2 + 28 q + 60, onde a produc¸a˜o e´ medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 5 -5 -3 -1 1 3 x - 5 2 -1 y Figura 2: Questa˜o 2 a) (1.0 pts) Determine em que ponto(s) o gra´fico da func¸a˜o corta o eixo q e em que ponto(s) corta o eixo P . Fac¸a um esboc¸o do gra´fico no plano cartesiano. b) (0.5 pts) Determine o valor da produc¸a˜o, quando o fertilizante na˜o e´ utilizado. c) (0.8 pts) Determine a quantidade de fertilizante que deve ser usado para que a produc¸a˜o seja ma´xima, bem como o valor da produc¸a˜o ma´xima. d) (0.2 pts) Determine a partir de que quantidade de fertilizante utilizada, a planta e´ prejudicada e impedida de produzir. Soluc¸a˜o: a) Notemos que a func¸a˜o P = −q2 + 28 q + 60 que representa a produc¸a˜o de tomate em termos da quantidade de fertilizante e´ uma func¸a˜o quadra´tica. Logo, seu gra´fico e´ uma para´bola. Como o coeficiente de q2 e´ negativo, a concavidade da para´bola e´ voltada para baixo. A para´bola corta o eixo q quando P = 0, o que nos leva a −q2 + 28 q + 60 = 0 cujas ra´ızes, se existirem, sa˜o obtidas pela fo´rmula de Ba´skara q = −28± √ (28)2 − 4(−1)(60) −2 = −28±√1024 −2 = −28± √ 210 −2 = −28± 32 −2 . Assim, temos duas ra´ızes reais e distintas q1 = −28 + 32 −2 = −2 e q2 = −28− 32 −2 = 30. O que significa que a para´bola corta o eixo q nos pontos q1 = −2 e q2 = 30. A para´bolaintercepta o eixo P quando q = 0. Isto e´, P (0) = −02 + 28(0) + 60 = 60. Ou seja, a para´bola corta o eixo P no ponto P = 60. Na Figura 3, plotamos o gra´fico da para´bola. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 6 -2 30 q 60 P Figura 3: Questa˜o 3-a) b) Quando o fertilizante na˜o e´ utilizado, isso significa que q = 0. Logo, substituindo esse valor na func¸a˜o dada, vem que: P = −(0)2 + 28(0) + 60 = 60, Nesse caso, o valor da produc¸a˜o sera´ de 60 kg. c) Como o gra´fico da func¸a˜o e´ uma para´bola, a produc¸a˜o ma´xima Pv ocorrera´ em qv, primeira coordenada do ve´rtice V = ( qv, Pv ) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) da para´bola. Ou seja, V = ( − (28) 2(−1) ,− 1024 4(−1) ) = (14, 256). Portanto, devera´ ser usado 14 g/m2 de fertilizante para que a produc¸a˜o seja ma´xima. O valor dessa produc¸a˜o sera´ de 256 kg. d) Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidades que fazem a produc¸a˜o se anular (P = 0) sendo que q1 = −2 na˜o apresenta significado pra´tico e q2 = 30 g/m2 representa uma quantidade ta˜o grande de fertilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a de produzir. Questa˜o 4 (2.0 pts) : Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respectivamente, por D(P ) = −P 2 + 14 3 P + 3 e Q(P ) = P 2 − P + 2, 0 ≤ P ≤ 4 onde P e´ o prec¸o do produto em reais e, D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em milho˜es de unidades. a) (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$1,20? b) (0.7 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua oferta e´ de 4 milho˜es de unidades? Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP2 7 c) (0.8 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Soluc¸a˜o: a) Vamos substituir P = 1.2 na func¸a˜o demanda D. Neste caso, temos que D(1, 2) = −(1, 2)2 + 14 3 (1, 2) + 3 = 179 25 = 7, 16. Resposta: 7.160.000 unidades. b) Vamos igualar a func¸a˜o oferta Q a 4 e encontrar os valores de P correspondentes. P 2 − P + 2 = 4 ⇐⇒ P 2 − P + 2− 4 = 0⇐⇒ P 2 − P − 2 = 0 ⇐⇒ P = 1± √ 1 + 8 2 ⇐⇒ P = −1 ou P = 2. Como 0 ≤ P ≤ 4, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com P = 2. Resposta: O prec¸o do produto quando sua oferta e´ de 4 milho˜es de unidades e´ R$2,00. c) Para encontrar o prec¸o de equil´ıbrio, vamos igualar as func¸o˜es demanda D e oferta Q. −P 2 + 14 3 P + 3 = P 2 − P + 2 ⇐⇒ −P 2 + 14 3 P + 3− P 2 + P − 2 = 0 ⇐⇒ −2P 2 + 17 3 P + 1 = 0 ⇐⇒ 6P 2 − 17P − 3 = 0 ⇐⇒ P = 17± √ 289 + 72 12 ⇐⇒ P = 17± 19 12 ⇐⇒ P = 3 ou P = −1 6 . Como 0 ≤ P ≤ 4, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com P = 3. Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio para este produto e´ R$3,00. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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