Análise Matricial de Estruturas

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Código: ECIV-057 2015.1
Carga Horária Semestral: 60 horas
Docente Responsável: Eduardo Toledo de Lima Junior
Sala de Permanência: LCCV-CTEC
Tel (ramal): 3214 (1730)
e-mail: limajunior@lccv.ufal.br
 Será formulada neste Curso com base no Método dos Deslocamentos,
e explora sua principal característica:
Utilizar a soma de contribuições de coeficientes de rigidez locais de
barras para compor um coeficiente de rigidez global da estrutura
 Aplicada à análise de estruturas reticuladas (no curso, apenas planas)
 De fácil sistematização e implementação, dá origem ao método
numérico mais clássico para análise estrutural, o Método dos
Elementos Finitos
 Será formulada neste Curso com base no Método dos Deslocamentos,
e explora sua principal característica:
Utilizar a soma de contribuições de coeficientes de rigidez locais de
barras para compor um coeficiente de rigidez global da estrutura
 Aplicada à análise de estruturas reticuladas (no curso, apenas planas)
 De fácil sistematização e implementação, dá origem ao método
numérico mais clássico para análise estrutural, o Método dos
Elementos Finitos
PROCESSO DOS ANÁLISE MATRICIAL
DESLOCAMENTOS DE ESTRUTURAS
 Conceito de Grau de Liberdade: Qualquer componente de
deslocamento ou rotação nodal, restrita ou não por apoios
 Conceito de Discretização: Divisão da estrutura em elementos de
barra, definidos por seus nós de extremidade. Assim, os nós são os
pontos de discretização da estrutura.
É possível, e pode ser bastante útil em algumas situações dividir uma
barra em mais de um elemento de barra. Veremos adiante...
CARGAS NODAIS EQUIVALENTES (CNE)
 Seguindo o conceito de discretização em nós e elementos, os carregamentos
atuantes na estrutura são representados por suas cargas nodais equivalentes.
Estas são calculadas pelas reações de engastamento perfeito, e aplicadas no
sentido invertido
COORDENADAS
 Direções e sentidos associados aos nós (referentes aos graus de liberdade)
São a base do mapeamento da Análise Matricial de Estruturas
Considere-se a estrutura formada por Ne elementos
 Assim, tem-se a ESTRUTURA e o conjunto dos ELEMENTOS
 É razoável adotar referenciais para as duas representações,
inclusive para a adequação da formulação
Sistema de Coordenadas Globais
 Referências aplicadas aos nós da representação da estrutura
y
xz
• Numerar as coordenadas
(1..n)
• Posicioná-las nos nós
• Barra: entre nós
1
2
3
4
5
6
10
11
12
7
8
9
Sistema de Coordenadas Locais
 Referências aplicadas aos nós dos elementos (nas extremidades das barras)
• Numerar as coordenadas
(1..m)
• Posicioná-las nos nós de
extremidade das barras
2’
1’
3’
5’
4’
6’
4’
5’
6’
1’
2’
3’
1’
2’
3’
4’
5’
6’
Matriz de Rigidez LOCAL de uma barra de pórtico plano
𝑘′ =
𝐸𝐴/𝑙 0 0 −𝐸𝐴/𝑙 0 0
0 12𝐸𝐼/𝑙3 6𝐸𝐼/𝑙2 0 −12𝐸𝐼/𝑙3 6𝐸𝐼/𝑙2
0 6𝐸𝐼/𝑙2 4𝐸𝐼/𝑙 0 −6𝐸𝐼/𝑙2 2𝐸𝐼/𝑙
−𝐸𝐴/𝑙 0 0 𝐸𝐴/𝑙 0 0
0 −12𝐸𝐼/𝑙3 −6𝐸𝐼/𝑙2 0 12𝐸𝐼/𝑙3 −6𝐸𝐼/𝑙2
0 6𝐸𝐼/𝑙2 2𝐸𝐼/𝑙 0 −6𝐸𝐼/𝑙2 4𝐸𝐼/𝑙
 Os termos já vistos no Método dos Deslocamentos podem ser agrupados na
matriz de rigidez local do elemento de barra de pórtico plano
A matriz é definida de acordo 
com o sistema de coordenadas 
locais do elemento
𝑓′ = 𝑘′ 𝑑′
Matriz de Rigidez Local no Sistema Global
 As grandezas referentes a barra podem ser expressas em termos do sistema
de coordenadas globais da estrutura. Desta forma, as contribuições de todas
as barras podem ser superpostas adequadamente.
Matriz de Rigidez Local no Sistema Global
 As grandezas referentes a barra podem ser expressas em termos do sistema
de coordenadas globais da estrutura. Desta forma, as contribuições de todas
as barras podem ser superpostas adequadamente.
Matriz de Rigidez Local no Sistema Global
 As grandezas referentes a barra podem ser expressas em termos do sistema
de coordenadas globais da estrutura. Desta forma, as contribuições de todas
as barras podem ser superpostas adequadamente.
𝑓 = 𝑘 𝑑
Vetor de forças de barra no sistema global
Matriz de rigidez de barra no sistema global
Vetor das deslocabilidades de barra no sistema global
𝑓
𝑘
𝑑
Matriz de Rigidez Local no Sistema Global
𝑑1
′ = 𝑑1 cos 𝜃 + 𝑑2 sen 𝜃
𝑑2
′ = −𝑑1 sen 𝜃 + 𝑑2 cos 𝜃
𝑑4
′ = 𝑑4 cos 𝜃 + 𝑑5 sen 𝜃
𝑑5
′ = −𝑑4 sen 𝜃 + 𝑑5 cos 𝜃
𝑑3
′ = 𝑑3
𝑑6
′ = 𝑑6
 A transformação é feita com base numa matriz de rotação, que relaciona os
graus de liberdade locais da barra com os graus de liberdade globais da
estrutura. A transformação é aplicável aos deslocamentos e também aos
termos de força.
Matriz de Rigidez Local no Sistema Global
𝑑1
′ = 𝑑1 cos 𝜃 + 𝑑2 sen 𝜃
𝑑2
′ = −𝑑1 sen 𝜃 + 𝑑2 cos 𝜃
𝑑4
′ = 𝑑4 cos 𝜃 + 𝑑5 sen 𝜃
𝑑5
′ = −𝑑4 sen 𝜃 + 𝑑5 cos 𝜃
𝑑3
′ = 𝑑3
𝑑6
′ = 𝑑6
𝑑′ = 𝑅 𝑑
 A transformação é feita com base numa matriz de rotação, que relaciona os
graus de liberdade locais da barra com os graus de liberdade globais da
estrutura. A transformação é aplicável aos deslocamentos e também aos
termos de força.
𝑅 =
cos(𝜃) sen(𝜃) 0 0 0 0
−sen(𝜃) cos(𝜃) 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 cos(𝜃) sen(𝜃) 0
0 0 0 −sen(𝜃) cos(𝜃) 0
0 0 0 0 0 1
MATRIZ DE ROTAÇÃO
Matriz de Rigidez Local no Sistema Global
𝑑′ = 𝑅 𝑑
A Matriz de Rotação é ortogonal, ou seja, sua inversa é igual à sua transposta.
Logo:
𝑑 = 𝑅 T 𝑑′
𝑓′ = 𝑅 𝑓 𝑓 = 𝑅 T 𝑓′
Matriz de Rigidez Local no Sistema Global
𝑑′ = 𝑅 𝑑 𝑑 = 𝑅 T 𝑑′
𝑓′ = 𝑅 𝑓 𝑓 = 𝑅 T 𝑓′
𝑓′ = 𝑘′ 𝑑′
𝑅 T 𝑓′ = 𝑅 T 𝑘′ 𝑅 𝑑
A Matriz de Rotação é ortogonal, ou seja, sua inversa é igual à sua transposta.
Logo:
Matriz de Rigidez Local no Sistema Global
𝑑′ = 𝑅 𝑑 𝑑 = 𝑅 T 𝑑′
𝑓′ = 𝑅 𝑓 𝑓 = 𝑅 T 𝑓′
𝑓′ = 𝑘′ 𝑑′
𝑓 = 𝑅 T 𝑘′ 𝑅 𝑑
= 𝑘
A Matriz de Rotação é ortogonal, ou seja, sua inversa é igual à sua transposta.
Logo:
𝑅 T 𝑓′ = 𝑅 T 𝑘′ 𝑅 𝑑
ORIENTAÇÃO DO ELEMENTO
 A noção de nó inicial e nó final
deve ser seguida, a fim de garantir
uma orientação comum a todos os
elementos da discretização.
ORIENTAÇÃO DO ELEMENTO
 A noção de nó inicial e nó final
deve ser seguida, a fim de garantir
uma orientação comum a todos os
elementos da discretização.
OUTRAS MATRIZES DE RIGIDEZ LOCAL DE BARRA
𝑘′ =
𝐸𝐴/𝑙 0 0 −𝐸𝐴/𝑙 0 0
0 3𝐸𝐼/𝑙3 0 0 −3𝐸𝐼/𝑙3 3𝐸𝐼/𝑙2
0 0 0 0 0 0
−𝐸𝐴/𝑙 0 0 𝐸𝐴/𝑙 0 0
0 −3𝐸𝐼/𝑙3 0 0 3𝐸𝐼/𝑙3 −3𝐸𝐼/𝑙2
0 3𝐸𝐼/𝑙2 0 0 −3𝐸𝐼/𝑙2 3𝐸𝐼/𝑙
 Pórtico articulado no nó inicial
𝑘′ =
𝐸𝐴/𝑙 0 0 −𝐸𝐴/𝑙 0 0
0 3𝐸𝐼/𝑙3 3𝐸𝐼/𝑙2 0 −3𝐸𝐼/𝑙3 0
0 3𝐸𝐼/𝑙2 3𝐸𝐼/𝑙 0 −3𝐸𝐼/𝑙2 0
−𝐸𝐴/𝑙 0 0 𝐸𝐴/𝑙 0 0
0 −3𝐸𝐼/𝑙3 −3𝐸𝐼/𝑙2 0 3𝐸𝐼/𝑙3 0
0 0 0 0 0 0
 Pórtico articulado no nó final
OUTRAS MATRIZES DE RIGIDEZ LOCAL DE BARRA
 Viga (elemento com 2 G.L. por nó)
𝑘′ =
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
1 3
2 4
OUTRAS MATRIZES DE RIGIDEZ LOCAL DE BARRA
 Viga (elemento com 2 G.L. por nó)
𝑘′ =
𝐸𝐴
𝑙
0 −
𝐸𝐴
𝑙
0
0 0 0 0
−
𝐸𝐴
𝑙
0
𝐸𝐴
𝑙
0
0 0 0 0
 Treliça (elemento com 2 G.L. por nó)
𝑘′ =
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
1 3
2 4
2 4
1 3
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
 Amatriz de rigidez da estrutura é montada a partir da superposição das
contribuições das matrizes de rigidez das barras.
Os coeficientes da matriz de rigidez 𝑘 de uma barra contribuem apenas para
os termos da matriz de rigidez global 𝐾 associados às coordenadas globais
dos nós inicial e final da barra
Ex: Problema de uma barra (rigidez axial apenas)
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
 A matriz de rigidez da estrutura é montada a partir da superposição das
contribuições das matrizes de rigidez das barras.
Os coeficientes da matriz de rigidez 𝑘 de uma barra contribuem apenas para
os termos da matriz de rigidez global 𝐾 associados às coordenadas globais
dos nós inicial e final da barra
Ex: Problema de uma barra (rigidez axial apenas)
A
l
B
EA
1 2
elemento de barra adotado
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
 A matriz de rigidez da estrutura é montada a partir da superposição das
contribuições das matrizes de rigidez das barras.
Os coeficientes da matriz de rigidez 𝑘 de uma barra contribuem apenas para
os termos da matriz de rigidez global 𝐾 associados às coordenadas globais
dos nós inicial e final da barra
Ex: Problema de uma barra (rigidez axial apenas)
𝐾 =
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
𝐸𝐴
𝑙
A
l
B
EA
1 2
discretizando em 1 elemento
1 2
elemento de barra adotado
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
 A matriz de rigidez da estrutura é montada a partir da superposição das
contribuições das matrizes de rigidez das barras.
Os coeficientes da matriz de rigidez 𝑘 de uma barra contribuem apenas para
os termos da matriz de rigidez global 𝐾 associados às coordenadas globais
dos nós inicial e final da barra
Ex: Problema de uma barra (rigidez axial apenas)
A
l
B
EA
1 32
discretizando em 2 elementos
1 2
elemento de barra adotado
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
 A matriz de rigidez da estrutura é montada a partir da superposição das
contribuições das matrizes de rigidez das barras.
Os coeficientes da matriz de rigidez 𝑘 de uma barra contribuem apenas para
os termos da matriz de rigidez global 𝐾 associados às coordenadas globais
dos nós inicial e final da barra
Ex: Problema de uma barra (rigidez axial apenas)
A
l
B
EA
1 32
discretizando em 2 elementos
1 2
elemento de barra adotado
𝐾 =
2𝐸𝐴
𝑙
−
2𝐸𝐴
𝑙
0
−
2𝐸𝐴
𝑙
2𝐸𝐴
𝑙
+
2𝐸𝐴
𝑙
−
2𝐸𝐴
𝑙
0 −
2𝐸𝐴
𝑙
2𝐸𝐴
𝑙
MONTAGEM DA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL
 A matriz de rigidez da estrutura é montada a partir da superposição das
contribuições das matrizes de rigidez das barras.
Os coeficientes da matriz de rigidez 𝑘 de uma barra contribuem apenas para
os termos da matriz de rigidez global 𝐾 associados às coordenadas globais
dos nós inicial e final da barra
Ex: Problema de uma barra (rigidez axial apenas)
𝐾 =
2𝐸𝐴
𝑙
−
2𝐸𝐴
𝑙
0
−
2𝐸𝐴
𝑙
2𝐸𝐴
𝑙
+
2𝐸𝐴
𝑙
−
2𝐸𝐴
𝑙
0 −
2𝐸𝐴
𝑙
2𝐸𝐴
𝑙
A
l
B
EA
1 32
discretizando em 2 elementos
1 2
elemento de barra adotado
MONTAGEM DO VETOR DE FORÇAS GLOBAL
 As cargas aplicadas nos nós e as cargas/carregamentos aplicados no
interior dos elementos (os quais devem ser transformadas em equivalentes
nodais) são combinados para compor o vetor de forças da estrutura 𝑭
SISTEMA FINAL DE EQUAÇÕES
 Com todas as grandezas devidamente representadas no sistema de
coordenadas GLOBAL da estrutura, têm-se o sistema:
𝐾 𝑈 = 𝐹
Vetor de deslocamentos da estrutura
𝑛 x 𝑛 𝑛 x 1 𝑛 x 1
SISTEMA FINAL DE EQUAÇÕES
 Com todas as grandezas devidamente representadas no sistema de
coordenadas GLOBAL da estrutura, têm-se o sistema:
𝐾 𝑈 = 𝐹
Vetor de deslocamentos da estrutura
𝑛 x 𝑛 𝑛 x 1 𝑛 x 1
obs: a matriz de rigidez global montada até aqui é singular, por natureza. Seu
determinante é nulo.
ex: Imaginemos um sistema em que o vetor de forças global é nulo, para verificar
esse fato. ESSA CONDIÇÃO REPRESENTA A POSSIBILIDADE DE IMPOSIÇÃO DE UM
MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO ARBITRÁRIO À ESTRUTURA, com valores não
nulos do vetor de deslocamentos.
Deve-se impor as condições de contorno do problema, a fim de que este tenha
solução.
SISTEMA FINAL DE EQUAÇÕES
 Com todas as grandezas devidamente representadas no sistema de
coordenadas GLOBAL da estrutura, têm-se o sistema:
𝐾 𝑈 = 𝐹
Vetor de deslocamentos da estrutura
𝑛 x 𝑛 𝑛 x 1 𝑛 x 1
CONSIDERAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DO PROBLEMA
 Em cada nó, uma das grandezas, força ou deslocamento, sempre será
conhecida, pelas condições de vinculação e carregamento da estrutura. Estes
valores, chamados valores prescritos, são introduzidos nos vetores 𝑼 e 𝑭 ,
nas posições dos G.L. correspondentes.
Ex 1
A
BEA
P
𝐾 =
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
𝐸𝐴
𝑙
1 2
discretizando em 1 elemento
l
Ex 1
A
BEA
P
𝐾 =
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
𝐸𝐴
𝑙
1 2
discretizando em 1 elemento
l
𝐹 =
𝐹1
𝑃
valores incógnitos
valores prescritos
Ex 1
A
BEA
P
𝐾 =
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
𝐸𝐴
𝑙
1 2
discretizando em 1 elemento
l
𝐹 =
𝐹1
𝑃
𝑈 =
0
𝑈2
valores incógnitos
valores prescritos
𝐾 𝑈 = 𝐹
Ex 1
A
BEA
P
𝐾 =
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
𝐸𝐴
𝑙
1 2
discretizando em 1 elemento
l
𝐹 =
𝐹1
𝑃
𝑈 =
0
𝑈2
valores incógnitos
valores prescritos
𝐾 𝑈 = 𝐹 𝑈2 =
𝑃𝑙
𝐸𝐴
𝐹1 = −𝑃
Ex 1
A
BEA
P
𝐾 =
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
−
𝐸𝐴
𝑙
𝐸𝐴
𝑙
1 2
discretizando em 1 elemento
l
𝐹 =
𝐹1
𝑃
𝑈 =
0
𝑈2
valores incógnitos
valores prescritos
𝐾 𝑈 = 𝐹 𝑈2 =
𝑃𝑙
𝐸𝐴
𝐹1 = −𝑃
Se discretizarmos esta barra em vários elementos, a resposta não se altera.
Logo, não é necessário.
O COMPORTAMENTO DE UM ELEMENTO DE BARRA QUALQUER É CONTÍNUO,
PODENDO ENTÃO SER REPRESENTADO UNICAMENTE POR PARÂMETROS NODAIS.
PORÉM, EXISTEM SITUAÇÕES EM QUE A DISCRETIZAÇÃO PODE INFLUENCIAR NA
QUALIDADE DA RESPOSTA, COMO É O CASO DAS BARRAS COM SEÇÃO
TRANSVERSAL VARIÁVEL.
Em estruturas com cargas pontuais e/ou distribuídas aplicadas ao longo das barras,
pode-se utilizar uma discretização que facilite a modelagem, introduzindo-se nós em
pontos estratégicos. A resposta será igual a que se obteria com um único elemento,
porém a montagem do sistema pode se tornar mais imediata.
discretização mínima exigida
Aqui, teríamos de transformar as cargas/carregamentos fora dos nós em cargas nodais 
equivalentes!
Em estruturas com cargas pontuais e/ou distribuídas aplicadas ao longo das barras,
pode-se utilizar uma discretização que facilite a modelagem, introduzindo-se nós em
pontos estratégicos. A resposta será igual a que se obteria com um único elemento,
porém a montagem do sistema pode se tornar mais imediata.
discretização mínima exigida
discretização alternativa
Em se tratando de um problema de viga,
a cada nó estariam associados 2 G.L.,
transversal e de rotação
Ex 2
EI
10 kN
1,0m
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
EI=1680 kN.m2
Matriz local de um elemento de viga, a 
qual, neste exemplo, é a própria matriz 
de rigidez global da estrutura, pois utiliza-
se apenas 1 elemento na discretização
Ex 2
EI
10 kN
1,0m
𝐹 =
𝐹1
𝐹2
−10
0
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
EI=1680 kN.m2
𝑈 =
0
0
𝑈3
𝑈4
K
2.016 10
4

1.008 10
4

2.016- 10
4

1.008 10
4

1.008 10
4

6.72 10
3

1.008- 10
4

3.36 10
3

2.016- 10
4

1.008- 10
4

2.016 10
4

1.008- 10
4

1.008 10
4

3.36 10
3

1.008- 10
4

6.72 10
3

















=
discretizando em 1 elemento
Ex 2
EI
10 kN
1,0m
𝐹 =
𝐹1
𝐹2
−10
0
𝐾 𝑈 = 𝐹
𝑈3 = −1,984 x 10
−3 𝑚
𝐹1 = 10 𝑘𝑁
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
EI=1680 kN.m2
𝑈 =
0
0
𝑈3
𝑈4
𝑈4 = −2,976 x 10
−3 𝑟𝑎𝑑
𝐹2 = 10 𝑘𝑁.𝑚
K
2.016 10
4

1.008 10
4

2.016- 10
4

1.008 10
4

1.008 10
4

6.72 10
3

1.008- 10
4

3.36 10
3

2.016- 10
4

1.008- 10
4

2.016 10
4

1.008- 10
4

1.008 10
4

3.36 10
3

1.008- 10
4

6.72 10
3

















=
discretizando em 1 elemento
Ex 3
EI
5 kN/m
6,0m
EI=1708 kN.m2
K
94.907
284.722
94.907-
284.722
284.722
1.139 10
3

284.722-
569.444
94.907-
284.722-
94.907
284.722-
284.722
569.444
284.722-
1.139 10
3















=
discretizando em 1 elemento
A B
Ex 3
𝐹 =
−
5 ∙ 6
2
−
5 ∙ 62
12
−
5 ∙ 6
2
5 ∙ 62
12
EI=1708 kN.m2
𝑈 =
0
𝑈2
0
𝑈4
K
94.907
284.722
94.907-
284.722
284.722
1.139 10
3

284.722-
569.444
94.907-
284.722-
94.907
284.722-
284.722
569.444
284.722-
1.139 10
3















=
REDUNDÂNCIA!
discretizando em 1 elemento
EI
5 kN/m
6,0m
A B
Ex 3
𝐹 =
−
5 ∙ 6
2
−
5 ∙ 62
12
−
5 ∙ 6
2
5 ∙ 62
12
EI=1708 kN.m2
𝑈 =
0
𝑈2
0
𝑈4
K
94.907
284.722
94.907-
284.722
284.722
1.139 10
3

284.722-
569.444
94.907-
284.722-
94.907
284.722-
284.722
569.444
284.722-
1.139 10
3















=
𝑈 =
𝑈1
𝑈2
𝑈3
𝑈4
REDUNDÂNCIA!
K
9400000
284.722
94.907-
284.722
284.722
1.139 10
3

284.722-
569.444
94.907-
284.722-
9400000
284.722-
284.722
569.444
284.722-
1.139 10
3















=
discretizando em 1 elemento
EI
5 kN/m
6,0m
A B
IMPOR RIGIDEZ “INFINITA” (PENALIZAÇÃO)
Ex 3
𝐹 =
−
5 ∙ 6
2
−
5 ∙ 62
12
−
5 ∙ 6
2
5 ∙ 62
12
𝐾 𝑈 = 𝐹 𝑈1 = −1,596 x 10
−6 𝑚
𝑈2 = −0,026 𝑟𝑎𝑑
EI=1708 kN.m2
𝑈 =
0
𝑈2
0
𝑈4
𝑈3 = −1,596 x 10
−6 𝑚
𝑈4 = 0,026 𝑟𝑎𝑑
K
94.907
284.722
94.907-
284.722
284.722
1.139 10
3

284.722-
569.444
94.907-
284.722-
94.907
284.722-
284.722
569.444
284.722-
1.139 10
3















=
𝑈 =
𝑈1
𝑈2
𝑈3
𝑈4
REDUNDÂNCIA!
IMPOR RIGIDEZ “INFINITA” (PENALIZAÇÃO)
K
9400000
284.722
94.907-
284.722
284.722
1.139 10
3

284.722-
569.444
94.907-
284.722-
9400000
284.722-
284.722
569.444
284.722-
1.139 10
3















=
discretizando em 1 elemento
EM TEORIA, SABE-SE QUE VALEM ZERO
EI
5 kN/m
6,0m
A B
Detalhe estratégia de penalização
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝑈1
𝜌
𝑈3
=
𝐹1
𝐹2
𝐹3
Grau de liberdade que possui o valor de 
deslocamento prescrito 𝜌 (apoio rígido 
[𝜌 = 0], apoio elástico, recalque de 
apoio, ou deslocamento imposto)
Detalhe estratégia de penalização
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝑈1
𝜌
𝑈3
=
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 + 𝐾𝑔 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝑈1
𝑈2
𝑈3
=
𝐹1
𝐾𝑔 ∙ 𝜌
𝐹3
Grau de liberdade que possui o valor de 
deslocamento prescrito 𝜌 (apoio rígido 
[𝜌 = 0], apoio elástico, recalque de 
apoio, ou deslocamento imposto)
Insere-se um coeficiente 
de rigidez fictício, com 
valor muito alto, em 
relação aos outros termos 
da diagonal principal
Detalhe estratégia de penalização
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝑈1
𝜌
𝑈3
=
𝐹1
𝐹2
𝐹3
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 + 𝐾𝑔 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝑈1
𝑈2
𝑈3
=
𝐹1
𝐾𝑔 ∙ 𝜌
𝐹3
Grau de liberdade que possui o valor de 
deslocamento prescrito 𝜌 (apoio rígido 
[𝜌 = 0], apoio elástico, recalque de 
apoio, ou deslocamento imposto)
Insere-se um coeficiente 
de rigidez fictício, com 
valor muito alto, em 
relação aos outros termos 
da diagonal principal
𝑈2 ≈
𝐾𝑔 ∙ 𝜌
𝐾𝑔
= 𝜌Matematicamente, equivale a impor
Ex 4
EI=5000 kN.m2 
k=500 kN/m
𝐹 =
−
20 ∙ 4
2
−
20 ∙ 42
12
−
20 ∙ 4
2
20 ∙ 42
12
−10
0
𝑈 =
𝑈1
𝑈2
𝑈3
𝑈4
𝑈5
𝑈6
1 3
2 4
5
6
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
0 0
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
0 0
−
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
+
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
+
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
+
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
+
4𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
0 0 −
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
0 0
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
A
4,0m 5,0m
20 kN/m
CBEI EI
10 kN
(PENALIZAÇÃO)
K
479.972
1.2 10
3

479.972-
1.2 10
3

1.2 10
3

4 10
3

1.2- 10
3

2 10
3

479.972-
1.2- 10
3

479.972
1.2- 10
3

1.2 10
3

2 10
3

1.2- 10
3

4 10
3

















=
K
937.446
1.875 10
3

937.446-
1.875 10
3

1.875 10
3

5 10
3

1.875- 10
3

2.5 10
3

937.446-
1.875- 10
3

937.446
1.875- 10
3

1.875 10
3

2.5 10
3

1.875- 10
3

5 10
3

















=
Ex 5
A
4,0m 5,0m
20 kN/m
CB
kk k
EI EI
10 kN
1 3
2 4
5
6
A PRESENÇA DE UMA MOLA
NUMA COORDENADA É
CONSIDERADA INSERINDO-SE
SUA RIGIDEZ NA MATRIZ GLOBAL
𝐾 =
12𝐸𝐼
𝑙3
+ 𝑘
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
0 0
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
0 0
−
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
+
12𝐸𝐼
𝑙3
+ 𝑘 −
6𝐸𝐼
𝑙2
+
6𝐸𝐼
𝑙2
−
12𝐸𝐼
𝑙3
6𝐸𝐼
𝑙2
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
+
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
+
4𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
0 0 −
12𝐸𝐼
𝑙3
−
6𝐸𝐼
𝑙2
12𝐸𝐼
𝑙3
+ 𝑘 −
6𝐸𝐼
𝑙2
0 0
6𝐸𝐼
𝑙2
2𝐸𝐼
𝑙
−
6𝐸𝐼
𝑙2
4𝐸𝐼
𝑙
EI=5000 kN.m2 
k=500 kN/m
DE RESTO, O 
PROCEDIMENTO 
É O USUAL
B
A
C
4,0m
3,0m 6,0m
E, I, A
5 kN/m
E = 1,2x107 kN.m2
I = 1,2x10-3 m4
A = 1,2x10-2 m2
Ex 6
B
A
C
4,0m
3,0m 6,0m
E, I, A
5 kN/m
E = 1,2x107 kN.m2
I = 1,2x10-3 m4
A = 1,2x10-2 m2
Ex 6
𝑈 =
0
0
0
𝑈4
𝑈5
𝑈6
0
0
0
𝐹 =
𝐹1
𝐹2𝐹3
0
−
5 ∙ 6
2
−
5 ∙ 62
12
0
−
5 ∙ 6
2
5 ∙ 62
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9(2)
klinha2
2.4 10
4

0
0
2.4- 10
4

0
0
0
800
2.4 10
3

0
800-
2.4 10
3

0
2.4 10
3

9.6 10
3

0
2.4- 10
3

4.8 10
3

2.4- 10
4

0
0
2.4 10
4

0
0
0
800-
2.4- 10
3

0
800
2.4- 10
3

0
2.4 10
3

4.8 10
3

0
2.4- 10
3

9.6 10
3























=
klinha1
2.88 10
4

0
0
2.88- 10
4

0
0
0
1.382 10
3

3.456 10
3

0
1.382- 10
3

3.456 10
3

0
3.456 10
3

1.152 10
4

0
3.456- 10
3

5.76 10
3

2.88- 10
4

0
0
2.88 10
4

0
0
0
1.382- 10
3

3.456- 10
3

0
1.382 10
3

3.456- 10
3

0
3.456 10
3

5.76 10
3

0
3.456- 10
3

1.152 10
4























=
Matrizes de rigidez local
R
0.6
0.8-
0
0
0
0
0.8
0.6
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0.6
0.8-
0
0
0
0
0.8
0.6
0
0
0
0
0
0
1
















=
R
T
klinha1 R
1.126 10
4

1.316 10
4

2.764- 10
3

1.126- 10
4

1.316- 10
4

2.764- 10
3

1.316 10
4

1.892 10
4

2.074 10
3

1.316- 10
4

1.892- 10
4

2.074 10
3

2.764- 10
3

2.074 10
3

1.152 10
4

2.764 10
3

2.074- 10
3

5.76 10
3

1.126- 10
4

1.316- 10
4

2.764 10
3

1.126 10
4

1.316 10
4

2.764 10
3

1.316- 10
4

1.892- 10
4

2.074- 10
3

1.316 10
4

1.892 10
4

2.074- 10
3

2.764- 10
3

2.074 10
3

5.76 10
3

2.764 10
3

2.074- 10
3

1.152 10
4























=
Matriz de rigidez do elemento 1 no sistema global
R
T
klinha1 R
1.126 10
4

1.316 10
4

2.764- 10
3

1.126- 10
4

1.316- 10
4

2.764- 10
3

1.316 10
4

1.892 10
4

2.074 10
3

1.316- 10
4

1.892- 10
4

2.074 10
3

2.764- 10
3

2.074 10
3

1.152 10
4

2.764 10
3

2.074- 10
3

5.76 10
3

1.126- 10
4

1.316- 10
4

2.764 10
3

1.126 10
4

1.316 10
4

2.764 10
3

1.316- 10
4

1.892- 10
4

2.074- 10
3

1.316 10
4

1.892 10
4

2.074- 10
3

2.764- 10
3

2.074 10
3

5.76 10
3

2.764 10
3

2.074- 10
3

1.152 10
4























=
Montagem da matriz de rigidez global da estrutura
R
T
klinha1 R
1.126 10
4

1.316 10
4

2.764- 10
3

1.126- 10
4

1.316- 10
4

2.764- 10
3

1.316 10
4

1.892 10
4

2.074 10
3

1.316- 10
4

1.892- 10
4

2.074 10
3

2.764- 10
3

2.074 10
3

1.152 10
4

2.764 10
3

2.074- 10
3

5.76 10
3

1.126- 10
4

1.316- 10
4

2.764 10
3

1.126 10
4

1.316 10
4

2.764 10
3

1.316- 10
4

1.892- 10
4

2.074- 10
3

1.316 10
4

1.892 10
4

2.074- 10
3

2.764- 10
3

2.074 10
3

5.76 10
3

2.764 10
3

2.074- 10
3

1.152 10
4























=
klinha2
2.4 10
4

0
0
2.4- 10
4

0
0
0
800
2.4 10
3

0
800-
2.4 10
3

0
2.4 10
3

9.6 10
3

0
2.4- 10
3

4.8 10
3

2.4- 10
4

0
0
2.4 10
4

0
0
0
800-
2.4- 10
3

0
800
2.4- 10
3

0
2.4 10
3

4.8 10
3

0
2.4- 10
3

9.6 10
3























=
Montagem da matriz de rigidez global da estrutura
Combiná-las para montar 
a matriz global 9x9
Arquivo Mathcad com a resolução completa do exemplo 5 no site
“Exemplo5_AnaliseMatricial.xmcd”
Versão em pdf também disponível
“Exemplo5_AnaliseMatricial.pdf”
CÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOS 𝒔′ EM CADA BARRA
Uma vez resolvido o sistema, tem-se os deslocamentos nas extremidades do elemento,
calculados no sistema global. Basta fazer a transformação deles para o sistema local
e calcular o vetor das forças nodais no elemento, com base em sua matriz de rigidez local
obs1: ainda que se tenha utilizado o método da penalidade para resolver o sistema de
equações, a matriz de rigidez que deve ser utilizada na equação acima é a 𝒌′ original
obs2: No caso de barras sujeitas apenas a cargas nodais, os EIS já são os valores do
vetor 𝒇′ obtido anteriormente. Se existirem cargas nodais equivalentes (CNE) aplicadas
ao elemento, deve-se ainda fazer:
obs3: os sinais resultantes dos esforços internos obedecem à convenção do elemento de
barra característico da análise matricial. Logo, os valores devem ser interpretados para a
convenção usual de traçado de diagramas, caso seja de interesse traçá-los.
𝑢′ = 𝑅 𝑢
𝑠′ = 𝑓′ = 𝑘′ 𝑢′
𝑠′ = 𝑓′ − 𝐹𝐶𝑁𝐸
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
Uma vez calculados os esforços internos solicitantes em cada barra, pode-se
transformá-los em esforços nas extremidades de cada barra, da forma:
Logo, esforços generalizados nas extremidades das barras são as reações de apoio, nos
nós de vinculação.
𝑠 = 𝑅 T 𝑠′
Retomando o Exemplo 3
𝑢′ = 𝑅 𝑢
ulinha
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1












U
1.596- 10
6-

0.026-
1.596- 10
6-

0.026














==
Retomando o Exemplo 3
𝑢′ = 𝑅 𝑢 𝑠′ = 𝑘′ 𝑢′ − 𝐹𝐶𝑁𝐸
ulinha
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1












U
1.596- 10
6-

0.026-
1.596- 10
6-

0.026














==
slinha Kulinha
5- 6
2
5- 6
2

12
5- 6
2
5 6
2

12
























-
15
8.786 10
3-

15
8.786- 10
3-















==
𝑠 = 𝑅 T 𝑠′
Retomando o Exemplo 3
s
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1












T
slinha
15
8.786 10
3-

15
8.786- 10
3-















==