Derivadas -revisão

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Curso- Engenharia Civil / Mecânica
Disciplina: Cálculo II - 1º semestre de 2013 Profa. Olga
Revisão: Derivadas
Regras de derivação:
1) Derivada de uma função constante:
f(x) = c
f’(x) = 0
A derivada de uma constante é nula.
 2) Derivada de uma função potência:
f(x) = xn
f’(x) = n xn-1
 3) Derivada do produto de uma constante por uma função :
f(x) = c . g(x)
f’(x) = c . g’(x)
4) Derivada de uma soma
f(x) = g(x) + h(x)
f’(x) = g’(x) + h’(x)
5) Derivada de uma diferença:
f(x) = g(x) – h(x)
f’(x) = g’(x) – h’(x)
6) Derivada de um produto:
p(x) = f(x) . g(x)
p’(x) = f(x) . g’(x) + g(x) . f’(x)
7) Derivada de um quociente:
q(x) = )(
)(
xg
xf
 q’(x) = )(
)(').()(').(
2 xg
xgxfxfxg 
8) REGRA DA CADEIA
Função Composta;
Sejam f e g funções tais que para todo x do domínio A de g, g(x) está no domínio de f.
Define-se a composta de f e g , indicada por f0g como sendo a função de domínio A,
dada por:
(f0g)(x) = f(g(x))
 Se g é derivável em x, f é derivável em g(x) e f0g está definida, então
(f0g)’ = f’(g(x)). g’(x)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) ,então:
 onde du
dy é calculada em u = g(x)
Exemplos:
y = 9x4 + 6x2 +1 = (3x2 +1 )2 é a função composta de y = u2 e u = 3x2 + 1
Calculando as derivadas, temos :
dx
du
du
dy . = 2u. 6x = 2(3x2+1) . 6x = (6x2+2 ).6x = 36x2+ 12x
9) Derivadas de funções logarítmicas
axxdx
d
a ln
1)(log 
Exemplo: y = log 2 x  y’= 2ln
1
x
Agora: xxdx
d 1)(ln 
10) Derivada da exponencial
y = a x
aaadx
d xx ln)(  Ex: 2ln2)2( xxdx
d 
Agora : xx eedx
d )(
dx
du
du
dy
dx
dy .
11) Derivadas de funções trigonométricas
(senx)’ = cosx
(cosx)’= - senx
(tg x)’= sec2 x
(cotg x)’ = - cossec2 x
(sec x)’ = sec x . tg x
(cossec x )’ = - cossec x . cotg x
12) Derivadas de funções trigonométricas inversas
Se y = senx ,a inversa é definida como y = sen x1 ou y = arcsenx (y é o arco cujo
seno é x) ou seja sen y = x
2
1
1
1)( xxsendx
d


2
1
1
1)(cos xxdx
d


2
1
1
1)( xxtgdx
d


2
1
1
1)(cot xxgdx
d


1
1)(sec 21 

xxxdx
d
1
1)sec(cos 21 

xxxdx
d
Reta- equação
1) Na forma inclinação-intersecção com o eixo y
Equação da reta que tem inclinação m e corta o eixo y no ponto de ordenada n
y = mx + n


)(secint:
)(:
linearecoeficientyeixoocomçãoern
angularecoeficientretadainclinaçãom
Escreva a equação da reta cujo gráfico é dado abaixo:
(fig 1)
2) Na forma ponto- inclinação
Equação da reta que tem inclinação m e que passa pelo ponto P(x 0 , y 0 )
y- y 0 = m (x- x 0 )
Exemplo: Determine a equação da reta que tem inclinação m = 2
1 e que passa pelo
ponto (2,-3)
Veja a reta da fig. 1. Sua equação é y = 2x+3
 Podemos construir uma tabela:
x y
-2
-1
0
1
Observe que para qualquer valor de x, cada acréscimo de uma unidade para x
acarreta um acréscimo de 2 unidades para y.
Esse acréscimo que y sofre é chamado taxa de variação de y em relação a x , num
determinado ponto. Quando x varia de 1 unidade,y varia de 2 unidades.
No caso de uma função afim, a taxa de variação de y em relação a x é sempre igual
(constante), para qualquer ponto da função.
Podemos dizer que o coeficiente angular de uma reta mede a taxa de variação de y
em relação a x
Reta tangente a uma curva num determinado ponto indicado.
Seja f(x) = x 2 cujo gráfico é dado abaixo. Determine o coeficiente angular da parábola
y = x 2 no ponto P(2,4). Escreva a equação da reta tangente à parábola nesse ponto.
O
coeficiente angular da reta secante PQ = 422
4)2( 2 
 hh
h
Fazendo o ponto Q se aproximar cada vez mais do ponto P, temos a reta tangente à
parábola no ponto (2,4)
 O coeficiente angular da reta tangente = lim )4(lim22
4)2( 2 
 hh
h = 4
 h 0 h 0
O coeficiente angular da curva no ponto P é igual ao coeficiente angular da reta
tangente à curva nesse ponto P.
Equação da reta tangente: y = 4x -4
Seja uma função f(x) e x = x 0
lim h
xfhxf )()( 00  = f’(x 0 ).
h 0
 O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x = x 0 é a derivada da função
nesse ponto.
A derivada de uma função num determinado ponto P para x = x 0 indica o
coeficiente angular da curva nesse ponto ( que é o coeficiente angular da reta
tangente à curva no ponto x = x 0 )e também mede a taxa de variação da função
y em relação a x, nesse ponto.
Exemplos:
1) Determine a equação de uma reta tangente à curva da função dada no ponto
correspondente ao valor de x especificado:
 f(x) = 3x 32 x x = -1
2) Quais são os valores de x para os quais o gráfico de f(x) =2 x 1123 23  xx
tem tangentes horizontais?
3) Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa e o custo da produção
de x metros desse material é C = f( x), C em reais.
a) Qual o significado da derivada f’(x)? Quais suas unidades?
b) Em termos práticos, o que significa dizer que f’(1000)=9?
Exercícios: Lista1
1) Determine a equação de uma reta tangente à curva da função dada no ponto
correspondente ao valor de x especificado:
a) f(x) = -2x 23
1
x x = -1 R: y = -4x -1
b) f(x) = 2x e x x = 0 R: y = 2x
c) f(x) = 1x
x x=4 R: y = - 25
13
100
3 x
d) f(x) = x + cosx x =0 R: y = x+1
e) f(x) = 2x senx x = 2
 R: y = 2x
f) f(x) = x34
8
 x= 4 R: y = - 4
11
16
3 x
g) f(x) = xe1
2 x = 0 R: y = 12
1 x
h) f(x) = (9x-1) 3
1 x =1 R: y= 4
5
4
3 x
2) Encontre todos os pontos sobre o gráfico da função nos quais a tangente é
horizontal:
a) f(x) = (x 2 +x) 2 R: (0,0); (-1,0); (-1/2,1/16)
b) f(x) = xxx 223
23
 R: (2,-10/3); (-1,7/6)
c) f(x) = xxx 22
3
3
23
 R: (1,5/6); (2,2/3)
d) f(x) = xxx 83
2
3
 R:( 4,-80/3); (-2,28/3)
e) f(x) = 542  xx R: (2,1)
f) f(x) = (x-1) 32 )32( x R: (1,0); (-3/2,0); (0,27)
h) f(x) = (x-1)(x )782  x R: (5,-32); (1,0)
i) f(x) = 1
1
2
2


xx
xx R: (0,-1); (2, 5/3)
f(x) = x 233  x R; (1,-4);(-1,0)
3) Determine a taxa de variação dx
dy para o valor especificado de x:
a) y = (x )25)(3 32 x x = 1 R: -18
b) y = 53
12


x
x x = 1 R:13/64
c) y = x + x42
3
 x = 0 R: 4
 4) Usando as regras de derivação, calcule as derivadas das seguintes funções:
a) f(x) = 3x 52
b) f(x) = x 123 x
c) f(x) = 3x 42 23  x
d) f(x) = 3x + x
e) f(x) = 5 + 3 x 2
f) f(x) = 2 3 x
g) f(x) = 3x + x
1
h) f(x) = 2
54
xx 
i) f(x) = 23 4
1
3
2 xx 
j) f(x) = (2x )2)(3 43 xx 
k) f(x) = 2
3
1 x
x

l) f(x) = 2
1
3 

xx
x
m) f(x) = 123 2
2
 xx
x
n) f(x) = 232  xx
o) f(x) = (2x+1)4
p) f(x) = (x5 – 4x -7)8
q) f(x) = 4
5
)1(
)1(
x
x


r) f(x) = x
x
41
13


s) f(x) = sen(x2+2)
t) f(x) = cos ( 5 x3)
u) f(x) = x xe3
v) f(x) = 2e x
w) f(x) = x + 2 senx
x) f(x) = senx
x
2
cos
y) f(x) = sen 1 (2x+1)
z) f(x) = tg x1
aa) f(x) = (1+x arctgx)2
bb) y = cos )( 21 xe
cc) y= e senx
dd) y= lnx 2
Respostas:
a) f’(x) = 6x
b) f’(x) =3x x22
c) f’(x) =9x x42
d) f’(x) =3 + x2
1
e) f’(x) =- 3
6
x
f) f’(x) = 3 23
2
x
g) f’(x) =3- 2
1
x
h) f’(x) =- 32
104
xx 
i) f’(x) =2x x2
12
j) f’(x) =14x 64 36  x
k) f’(x) = 42
24
21
3
xx
xx


l) f’(x) = 23
23
)2(
332


xx
xx
m) f’(x) = 22
2
)123(
22


xx
xx
n) 232
32
2 

xx
x
o) 8( 2x+1)3
p) 8( x5- 4x -7)7(5x4 -4)
q) 5
4
)1(
)9()1(
x
xx


r)
2
3
)41(
65
x
x


s) 2x cox(x2+2)
t) -15 x2. sen(5x3)u) e )3(2 xxx
v) -2e x
w) 1+2cosx
x) - 2)2(
12
senx
senx


y) xx  2
1
z) )1(2
1
xx 
aa) 1+ 2x arctgx
bb) x
x
e
e
4
2
1
2

cc) e xsenxcos
dd) 2/x
Problemas – derivadas
Resolva os seguintes problemas:
1) A posição de uma partícula é dada pela equação: s = f(t)= t tt 96 23  , onde t é
medido em segundos e s em metros.
a) Encontre a velocidade no instante t v(t) = 3 t 9122  t
b) Qual a velocidade após 2s? E depois de 4s? -3m/s ; 9m/s
c) Quando a partícula está em repouso? T=1 ou t =3
d) Quando a partícula está se movendo para a frente(isto é, no sentido
positivo)? t<1 ou t>3
e) Encontre a aceleração no instante t e depois de 4s. a(t) = 6t-12;
12m/s 2
2) No instante t, a posição de um corpo que se desloca ao longo do eixo s é
s= t tt 96 23  (s em metros e t em segundos).
a) Determine a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
R: a(1)= -6m/s 2 ; a(3)= 6m/s 2
b) Determine o módulo da velocidade do corpo toda vez que a aceleração
for nula. R: v(2) = 3m/s
3) No instante t=0, um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no
instante t é dada por s(t) = 16t - t 2 . ( s em metros e t em segundos).
Determine:
a) a velocidade média do corpo no intervalo [2,4] R: 10 m/s
b) a velocidade do corpo no instante t = 2 R:12m/s
c) a aceleração média no intervalo[0,4] R: -2m/s 2
d) a aceleração no instante t = 4 R: -2m/s 2
4) Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica.Os setores de saúde
calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um
tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é,
aproximadamente dado por f(t) = 64t - 3
3t .
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=4?
R: 48
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
R: 0
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia?
R: 43